Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Phương trình mũ. Bất phương trình mũ (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Phương trình mũ. Bất phương trình mũ (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. f x g x 1. a a f x g x . f x loga b 2. a b a f x loga b . f x g x 3. a b f x g x loga b . f x g x 4. a a 1 • Nếu a 1 thì 1 f x g x • Nếu 0 a 1 thì 1 f x g x a 0 Hay 1 . a 1 f x g x 0 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: f x g x 0 a 1 a a a 1 hoặc f x g x Logarit hóa và đưa về cùng cơ số . f x 0 a 1,b 0 Dạng 1: Phương trình: a b f x loga b Dạng 2: Phương trình : f x g x f x f x a b loga a loga b f x g x .loga b f x g x hoặc logb a logb b f x .logb a g x . Ví dụ 1.1.2 Giải các phương trình: 2 1. 2x x 8 41 3x 2. 5x 1 5x 2x 1 2x 3 Lời giải. 2 2 2 1 3x 1. 2x x 8 41 3x 2x x 8 2 x2 x 8 2 1 3x 25
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x2 5x 6 0 x 2,x 3. Vậy, phương trình cho có nghiệm x 2,x 3 2. 5x 1 5x 2x 1 2x 3 5.5x 5x 2.2x 23.2x x x x 5 10 5 4.5 10.2 x 1 2 4 2 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1 Ví dụ 2.1.2 Giải các phương trình: x 3 1. 8x 2 36.32 x 2. 2x. 4x .3x 0.125 43 2 Lời giải. 1. Điều kiện: x 2 3x x 4 x 4 Phương trình cho 2x 2 22.34 x 2x 2 34 x log 2 4 x x 2 3 x 4 x 2 log3 2 0 x 4 hoặc x 2 log3 2 Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 4 hoặc x 2 log3 2 1 x 2. Điều kiện : 3 . 3x ¥ Vì các cơ số của các lũy thừa đều viết được dưới dạng lũy thừa cơ số 2 nên ta biến đổi hai vế của phương trình về lũy thừa cơ số 2 và so sánh hai số mũ. 1 x 1 x x 1 7 2. x 1 3x 2 Phương trình 2 .2 3. 2 .23 22.2 3 22x 23 8 x x 1 7 x x 1 7 1 22 3 2x 23 5x2 14x 3 0 x hoặc x 3 . 2 3 2x 3 5 Kết hợp với điều kiện ta có x 3 là nghiệm của phương trình . 2 2 2 Ví dụ 3.1.2 Giải phương trình: 4x 3x 2 42x 6x 5 43x 3x 7 1 Lời giải. 2 2 2 2 Phương trình cho 4x 3x 2 42x 6x 5 4x 3x 2.42x 6x 5 1 2 2 2 2 4x 3x 2 1 42x 6x 5 4x 3x 2.42x 6x 5 0 x2 3x 2 2x2 6x 5 4 1 4 1 0 2 4x 3x 2 1 x2 3x 2 0 x 1 hoặc x 2 26
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 42x 6x 5 1 2x2 6x 5 0 , phương trình này vô nghiệm. Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x 1, x 2 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: x 10 x 5 1 1. 5x 1 5x 2x 1 2x 3 2. 81x 10 .27 x 15 27 1 1 x x 3. 9.22x 8 32x 1 4. 5 2 9x 32x 2 5 2 x 10 x 5 x 5 x 17 5. 16x 10 0,125.8x 15 6. 32x 7 0.25.128 x 3 2 1 x 3 2 x 3 4 2sin x sin 2x 7. x2.2x 1 2 x2.2 2x 1 8. 5 5 4.5cos2x 252 2 3x 1 5x 8 9. 2x 3x 4 4x 1 10. 2 3 2 3 Bài 2: Giải các phương trình: x2 x2 1 x2 1 x2 2 x 1 x 2 x 2 1 x 1 1. 5 3 2 5 3 2. 3.4 .9 6.4 .9 3 2 Bài 3: Giải các phương trình: 2 1. 2x 2x 1 2x 2 3x 3x 1 3x 2 2. 5x 5x 6 2x 3 3 2 2 3. 2x 1 . 42x 1 .83 x 2 2.0,125 4. 2x x 4.2x x 22x 4 0 Bài 4: Giải các phương trình: 2 2 2 1. 15x 3.5x 3x 3 2. 22x 5x 2 24x 8x 3 1 26x 13x 5 8 2x 18 2 2 3. 4. 3x 5x 1 50.9x x 812x 1 0 2x 1 1 2x 2 2x 1 21 x 2 2 2 5. 2x x 4.2x x 22x 4 0 Dạng 2. Đặt ẩn phụ Phương pháp: g x g x t a 0 f a 0 0 a 1 f t 0 f x Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: F a 0 .Với dạng này ta f x đặt t a , t 0 và chuyển về phương trình F t 0 , giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x. Ta thường gặp dạng: 27
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2f x f x m.a n.a p 0 . Với bất phương trình ta cũng làm tương tự. f x f x Dạng 2: m.a n.b p 0 , trong đó a.b 1 . f x f x 1 Đặt t a , t 0 b . t 2f x f x 2f x 2f x Dạng 3: m.a n. a.b p.b 0 . Chia 2 vế phương trình cho b f x a 2 và đặt t , t 0 . Ta có phương trình : mt nt p 0 . b Ví dụ 1.2.2 Giải các phương trình: 1 12 1. 2.16x 15.4x 8 0 2. 23x 6.2x 1 23(x 1) 2x Lời giải. 1 1. Đặt t 4x ,t 0 ta có phương trình : 2t2 15t 8 0 t 8,t (loại) 2 Với t 8 2x 23 x 3 . Vậy, phương trình cho c ó nghiệm x 3 x 3 8 12 3 8 2 2. Đặt t 2 ,t 0 ta có: t 6t 1 t 6 t 1 0 . t3 t t3 t 2 3 8 2 2 4 2 2 2 2 Đặt y t t t t 2 t (t ) 6 y(y 6) t t3 t t2 t t 2 Nên ta có phương trình : y3 1 0 y 1 t 1 t t2 t 2 0 t 2 x 1 . Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1 Ví dụ 2.2.2 Giải các phương trình: 2 2 2 1. 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0 2. 9 x 2x 1 34.152x x 252x x 1 0 Lời giải. 3x 2x x 2 2 2 1. Phương trình cho 3 4. 2 0 . 3 3 3 x 2 3 2 2 Đặt t ,t 0 ta được: 3t 4t t 2 0 (t 1)(3t t 2) 0 3 2 t x 1. 3 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1 28
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 2 2 2. Phương trình 9.92x x 34.152x x 25.252x x 0 2(2x x2 ) 2x x2 3 3 9 34 25 0 5 5 2x x2 3 2 Đặt t ,t 0 .Ta có phương trình : 9t 34t 25 0 5 25 t 1; t . 9 2x x2 3 2 * Với t 1 1 2x x 0 x 0; x 2 . 5 2x x2 2 25 3 3 2 * Với t x 2x 2 0 x 1 3 . 9 5 5 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: x 0; x 2; x 1 3 . Ví dụ 3.2.2 Giải các phương trình: 2 2 8 2x 18 1. 22x 1 9.2x x 22x 2 0 2. 2x 1 1 2x 2 2x 1 21 x 2 2 2 2 2 3. x 9 x 3 3 x 3 32 x 3 1 3 x 3 1 6 x 18 x x x 4. 9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1 Lời giải. 1. Chia cả 2 vế phương trình cho 22x 2 0 ta được: 2 2 1 2 9 2 22x 2x 1 9.2x 2x 2 1 0 .22x 2x .2x x 1 0 2 4 2 2 2.22x 2x 9.2x x 4 0 . 2 Đặt t 2x x ,t 0 . Khi đó phương trình cho viết lại: t 4 2 2x x 22 x2 x 2 x 1 2t2 9t 4 0 1 2 2 t x x 1 x x 1 x 2 2 2 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1,x 2 . 29
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Chú ý: Để ý bài toán cho không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn 1 phụ chỉ là t 0 và nếu t vô nghiệm. Nếu bài toán có chứa tham số thì điều 2 2 1 2 1 1 1 x2 x 1 kiện đúng của t : x x x 2 24 t . 2 4 4 4 2 8 1 18 2. Phương trình cho viết lại: 2x 1 1 21 x 1 2x 1 21 x 2 Đặt: u 2x 1 1, v 21 x 1 u,v 1 8 1 18 u 8v 18 Phương trình trở thành: u v u v u v 2 hoặc u v uv u v uv 9 u 9; v 8 2x 1 1 2 Với u v 2 , ta được x 1 1 x 2 1 2 2x 1 1 9 9 Với u 9; v , ta được 9 x 4 8 21 x 1 8 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 1, x 4 x 0 x 0 3. Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x 3 * x 3 0 x 3 2 2 2 2 x 9 x 3 3 x 3 32 x 3 1 3 x 3 1 6 x 1 2 2 2 2 x 9 x 3 3 x 3 3 9 x 3 3 x 3 6 x 3 2 2 x 3 9 x 3 3 x 3 6 0 x 3 x 3 0 2 2 2 x2 3 x2 3 x 3 x 3 9 3 6 0 3 3 6 0 x 9 x 9 x 9 * * x2 3 2 x 2 3 3 x 3 1 30
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Từ * , * * suy ra nghiệm phương trình là x 9,x 2 . Lời bình : Nếu chúng ta không có điều kiện x 3 thì phương trình đã cho xuất hiện nghiệm ngoại lai x 2!!! x 3 x 3 x 4. Nhận xét 9 3 11 2 3 2 3 2 x 2 x 2 x 5 2 6 3 2 3 2 x x x 3 2 3 2 3 2 3 2 1 x x 1 Đặt t 3 2 ,t 0 3 2 t 1 Phương trình cho trở thành: t3 2t2 2 1 t4 2t3 t 2 1 t t 1 t 2 t2 t 1 0 t 2 ( không thỏa t 0 ) hoặc t 1 x 0 Với t 1 tức 3 2 1 3 2 , suy ra x 0 . Vậy, phương trình cho có nghiệm x 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: 2 2 2 2 2 1. 101 x 101 x 99 2. 252x x 1 92x x 1 34.152x x 2x x2 x2 2x 2 3 2 2x x x x 3. 3 7 6 0 4. 3 2 9 .3 9.2 0 3 2 Bài 2: Giải các phương trình: 2 2 2x x x x x x 1. e 3e 12e 4 0 2. 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3. 4x x 5 12.2x 1 x 5 8 0 4. 34x 8 4.32x 5 27 0 2 2 2 5. 53x 9.5x 27 5 3x 5 x 64 6. 9 x 2x 1 34.152x x 252x x 1 0 Bài 3: Giải các phương trình: 1. 6x 2x 2 4.3x 22x 2. 5x 1 5x 3 2.52x 10.5x 1 16 2 3. 2.16x 15.4x 8 0 4. 4cos 2x 4cos x 3 0 31
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x x 2 2 5. 7 4 3 3 2 3 2 0 6. 9x x2 3 3x 2x2 2 0 Bài 4: Giải các phương trình: 1. 32x 2x 9 .3x 9.2x 0 7. 53x 9.5x 27 5 3x 5 x 64 0 2x 4 x 2x 2 2. 3 45.6 9.2 0 3x 3x x 1 8. 2 8.2 6 2 1 1 1 1 2 x 1 2 3. 25x 2 3.10x 2x 0 3x x 1 12 2 2 2 9. 2 6.2 1 x x x 3 x 1 x 4. 2.49 9.14 7.4 0 2 2 2 2 2 5. 32x 6x 10 4.15x 3x 5 2.52x 6x 10 0 x 4 x 4 x 1 x 2 2 6. 8.3 9 9 2 2 x 1 2 x 2 2 10. 2x 4 2 2 4.2x 1 1 11. 5.32x 1 7.3x 1 1 6.3x 9x 1 0 Dạng 3. Logarit hóa Phương pháp: g x f x 0 Dạng 1: a f x 0 a 1 g x loga f x f x g x f x g x Dạng 2: a b 0 a,b 1 loga a loga b f x g x .loga b Ví dụ 1.3.2 Giải các phương trình: x 1 x2 5x 4 1. (x2 1) (x2 1)x 4 2. 5x.8 x 500. Lời giải. x2 1 1 1. Phương trình x2 5x 4 x 4 x 0 x 0 x 4 x 4 2 2 2 2 2 (x 5x 4) (x 4) 0 (x 4x 8)(x 6x) 0 x 0,x 6 là nghiệm của phương trình đã cho. Chú ý: Lấy logarit 2 vế, bài toán cho lời giải đẹp. x 1 x 1 x 3 3 2. Cách 1: 5x.8 8 500 5x.2 x 53.22 5x 3.2 x 1 32
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được: x 3 x 3 log 5x 3.2 x 0 log 5x 3 log 2 x 0 2 2 2 x 3 x 3 x 3 .log 5 log 2 0 1 2 x 2 x log 2 5 log2 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 3,x log5 2 x 3 3 x 1 3 x 1 Cách 2: 5x.2 x 53.22 5x 3 2 x 5x 3 2 x x 3 x 3 1 x 3 0 x 3 1 x 3 5 5.2x 1 1 1 x log 2 5.2x 1 5 2x Ví dụ 2.3.2 Giải các phương trình: 2 2 1. x6.5 logx 5 5 5 2. 49.2x 16.7x 3. 8x.5x 1 2 3 Lời giải. 1. Điều kiện: 0 x 1 Lấy logarit cơ số 5 cả 2 vế phương trình cho ta được: 6 logx 5 5 log5 x .5 log5 5 hay 6log5 x logx 5 5 2 6 log5 x 5log5 x 1 0 2 Đặt t log5 x , phương trình trở thành 6t 5t 1 0 , phương trình 1 này có 2 nghiệm t 1 hoặc t . 6 1 Với t 1 tức log x 1 x 5 1 5 5 1 1 1 Với t tức log x x 55 6 5 6 5 6 1 Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm: x 6 5;  . 5 2 2. Phương trình cho tương đương 2x 4 7x 2 33
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x2 4 x 2 Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được: log2 2 log2 7 2 x 4 x 2 log2 7 x 2 x 2 log2 7 0 x 2 hoặc x log2 7 2 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x log2 7 2 , x 2 . 3. Lấy logarit hai vế với cơ số 8 , ta được 2 1 2 log 8x.5x 1 log log 8x log 5x 1 log 8 1 8 8 8 8 8 8 2 2 x x 1 log8 5 1 x 1 x 1 log8 5 0 x 1 x 1 x 1 log8 5 0 x 1 1 x 1 log8 5 0 x 1 0 x 1 x 1 1 x 1 log8 5 0 x.log8 5 log8 5 1 x 1 log5 8 Vậy phương trình có nghiệm: x 1,x 1 log5 8 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: x 1. 4.xlog4 x x2 2. 3x.8x 1 36 2 log 5x 1 log 7 2 3. 7 25 x 5 4. 3x.2x 1 2 2 5. 2x 2x 3 6. 2x 1 5x 1 Bài 2: Giải các phương trình: 2 x 1 x2 x 2 1. x2 x 1 1 2. x 3 x 3 2 2 x 4 3x2 5x 2 x x 4 3. x2 5x 4 1 4. x 3 x2 6x 9 Dạng 4. Ẩn phụ không hoàn toàn, phương pháp đồ thị Phương pháp: Giải phương trình: ax f x 0 a 1 là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y ax 0 a 1 và y f x . Khi đó ta thực hiện 2 bước: Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: y ax 0 a 1 và y f x . Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị. 34
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 1.4.2 Giải các phương trình: 1. 3.4x (3x 10)2x 3 x 0 2. 9x 2 x 5 .3x 9 2x 1 0 Lời giải. 1. Đặt t 2x , t 0 , ta có phương trình : 3t2 (3x 10)t 3 x 0 (1) Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn t và x là tham số. Phương trình này có: (3x 10)2 12(3 x) (3x 8)2 1 (1) t hoặc t x 3 . 3 1 1 * t 2x x log 3 3 3 2 * t x 3 2x x 3 x 1 (Do VT là một hàm đồng biến) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x log2 3; x 1. 2. Đặt t 3x , t 0 . Phương trình cho trở thành: t2 2 x 5 t 9 2x 1 0 , phương trình này 2 2 có biệt số ' x 5 9 2x 1 x 4 Vì ' 0 nên phương trình có 2 nghiệm t 9 hoặc t 2x 1 Với t 9 tức 3x 9 x 2 Với t 2x 1 tức 3x 2x 1 Xét f x 3x và g x 2x 1 là hàm số đồng biến trên ¡ . Do đó, đồ thị của 2 hàm số f x và g x cắt nhau tại hai giao điểm có hoành độ x 0 và x 1. Như vậy, x 0 và x 1 là nghiệm phương trình. Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm: x 0 , x 1, x 2 . 3 3 Ví dụ 1.4.2 Giải phương trình: 42x x 2 2x 42 x 2 2x 4x 4 Lời giải. Điều kiện: x 2 . 3 Phương trình 4 x 2 2 42x 2 1 2x 1 42x 2 0 2x 2 3 4 1 2x 2 x 2 2 x 4 1 4 2 0 3 x 2 2 x 4 2 • 42x 2 1 2x 2 0 x 1 35
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 • 4 x 2 2 2x 2 x 2 4 x3 (x3 8) 2 x 2 2 0 2 2(x 2) 2 2 (x 2)(x 2x 4) 0 (x 2) x 2x 4 0 (*) x 2 2 x 2 2 x2 2x 4 (x 1)2 3 3 2 2 Do 2 x 2x 4 0 (*) x 2 . 1 x 2 2 x 2 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1,x 2 . Chú ý: Ta có thể giải phương trình 2 x 2 4 x3 (1) như sau Ta thấy (1) có nghiệm thì x 3 4 . Xét hàm số f(x) x3 2 x 2 4, x [3 4; ) 1 Có f(2) 0 và f'(x) 3x2 0 , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên x 2 [3 4; ) . Suy ra (1) có nghiệm duy nhất x 2 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: 1. 3.25x 2 3x 10 .5x 2 3 x 0 2. x.2x x 3 x 2 2x 1 2 2 3. 9x x2 3 3x 2x2 2 0 Bài 2: Giải các phương trình: 1. 32x 2x 9 .3x 9.2x 0 7. 53x 9.5x 27 5 3x 5 x 64 0 2x 4 x 2x 2 2. 3 45.6 9.2 0 3x 3x x 1 8. 2 8.2 6 2 1 1 1 1 2 x 1 2 3. 25x 2 3.10x 2x 0 3x x 1 12 2 2 2 9. 2 6.2 1 x x x 3 x 1 x 4. 2.49 9.14 7.4 0 2 2 2 2 2 5. 32x 6x 10 4.15x 3x 5 2.52x 6x 10 0 x 4 x 4 x 1 x 2 2 6. 8.3 9 9 2 2 x 1 2 x 2 2 10. 2x 4 2 2 4.2x 1 1 11. 5.32x 1 7.3x 1 1 6.3x 9x 1 0 Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Phương pháp: 36
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đoán nghiệm. Chứng minh nghiệm duy nhất. Chuyển phương trình đã cho về dạng f x k Nhẩm 1 nghiệm x x0 , ta chứng minh x x0 là nghiệm duy nhất. Với x x0 f x f x0 k , suy ra x x0 là nghiệm phương trình . Với x x0 f x f x0 k , suy ra phương trình vô nghiệm. Với x x0 f x f x0 k , suy ra phương trình vô nghiệm. Tính chất 1: Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên a; b thì số nghiệm của phương trình : f x k (trên a; b ) không nhiều hơn một và f u f v u v u,v a; b . Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên a; b • Nếu u v f u f v • Nếu u v f u f v Tính chất 2: Nếu hàm số y f x liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y g x liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : f x g x không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và x0 D : f x0 g x0 . * Nếu x x0 f x0 f x0 g x0 g x PT:f x g x vô nghiệm * Nếu x x0 f x f x0 g x0 g x PT:f x g x vô nghiệm Vậy x x0 là nghiệm duy nhất của phương trình f x g x . Tính chất 3: Nếu hàm số y f x luôn đồng biến( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì f u f v u v (u v) u,v D . Tính chất 4: Cho hàm số y f x liên tục trên a; b và có đạo hàm trên khoảng a; b . Nếu f a f b thì phương trình f' x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng a; b . Chứng minh: Giả sử phương trình f' x 0 vô nghiệm trên a; b . Khi đó f' x 0 x a; b (hoặc f' x 0 x a; b ). Suy ra f b f a (hoặc f b f a ). Điều này trái với giả thiết f a f b . 37
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Vậy phương trình f' x 0 có ít nhất một nghiệm trên a; b . Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau: Hệ quả 1: Nếu phương trình f x 0 có m nghiệm thì phương trình f' x 0 có m 1 nghiệm. Hệ quả 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp k liên tục trên a; b . Nếu k k 1 phương trình f x 0 có đúng m nghiệm thì phương trình f x 0 có nhiều nhất là m 1 nghiệm. k 1 Thật vậy: Giả sử phương trình f x 0 có nhiều hơn m 1 nghiệm thì phương trình f' x 0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán.Từ hệ quả 2 nếu f' x 0 có một nghiệm thì f x 0 có nhiều nhất hai nghiệm. Ví dụ 1.5.2 Giải các phương trình: x 1. 15 1 4x 2. 4x 5x 9 3. x x2 1 5x Lời giải. x x 15 1 1. Phương trình cho 1 ( ) 4 4 Ta thấy vế trái của ( ) là một hàm số nghịch biến và x 2 là một nghiệm của phương trình, nên x 2 là nghiệm duy nhất của ( ) . Vậy, phương trình cho có nghiệm x 2 . 2. Nhận xét x 1là nghiệm của phương trình đã cho vì 41 51 9 Ta chứng minh phương trình cho có nghiệm duy nhất là x 1 Thật vậy, xét hàm số f x 4x 5x xác định trên ¡ Vì f' x 4x ln 4 5x ln 5 0 với mọi x thuộc ¡ nên f x đồng biến trên ¡ Do đó : Với x 1thì f x f 1 hay 4x 5x 9 , nên phương trình cho không thể có nghiệm x 1. Với x 1 thì f x f 1 hay 4x 5x 9 , nên phương trình cho không thể có nghiệm x 1 . Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất x 1. 2 3. Phương trình cho ln x x 1 xln 5 0 38
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 1 Xét hàm số f(x) ln x x 1 xln 5 , có f'(x) ln 5 0 f(x) là x2 1 hàm nghịch biến Hơn nữa f(0) 0 x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 2.5.2 Giải các phương trình: 3 3 2 2 1. 32x x 2 3x 2x x3 3x 2 0 2. 2x 1 2x x x 1 Lời giải. 3 3 1. 32x x 2 2x3 x 2 3x 2x x3 2x dạng f 2x3 x 2 f x3 2x . Xét hàm số f t 3t t , t ¡ ta có f' t 3t ln 3 1 0 , t ¡ nên f t đồng biến trên ¡ . Phương trình cho tương đương 2x3 x 2 x3 2x phương trình này có nghiệm x 2, x 1 Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 2, x 1 2. Đặt u x 1, v x2 x , phương trình cho viết về dạng: 2u u 2v v . Hàm số f t 2t t luôn đồng biến trên ¡ , do đó f u f v xảy ra khi u v tức x 1 thỏa bài toán. Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 1 1 1 x 1 2 Ví dụ 3.5.2 Giải phương trình: 2x 3 x 2x 2x 2x 1 3 Lời giải. Điều kiện: x 0 . 1 1 x 1 2x2 2x 1 Phương trình đã cho viết lại: 3 x hay 3 2x 1 1 x 1 1 1 1 x 1 3 x 1 x 3 2x 3 x 1 . 3 2x 2x Xét hàm số g t 3t t có g' t 3t ln 3 1 0, t 0,t ¡ nên hàm số g t đồng biến trên các khoảng ;0 và 0; 1 1 2 Do đó g g x 1 x 1 tương đương 2x 2x 1 0 2x 2x 1 3 1 3 x hoặc x . 2 2 39
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 3 1 3  Vậy, tập nghiệm của phương trình là S ;  . 2 2  2x2 2x 1 1 Chú ý: Cần tìm a,b,c ¡ sao cho a b x 1 c hay 2x x 2 2x2 2x 1 bx b c x a 1 , đồng nhất thức hai vế ta tìm được a , 2x x 2 2x2 2x 1 1 b 1, c 0 . Vì thế 1 x . 2x 2x Để hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn đọc tìm đọc cuốn: “ Phương pháp giải toán chuyên đề Phương trình, Bất phương trình, hệ phương trình – Bất đẳng thức “ nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: 1. 2x 1 3x 2. x x2 1 3x Bài 2: Giải các phương trình: sin x 1. 1 x 2 4x 3.4x 2. e 4 tan x 3. 3.4x 3x 10 2x 3 x 0 4. 3x 2x 3x 2 Dạng 6. Phương pháp lượng giác hóa Phương pháp: Chọn thích hợp để đặt ax sin t hoặc ax cost , 0 a 1 2x 2x x Ví dụ Giải phương trình: 1 1 2 1 2 1 2 .2 Lời giải. Điều kiện: 1 22x 0 22x 1 x 0 x x Với x 0 0 2 1, đặt 2 sin t; t 0; . 2 2 2 Phương trình cho trở thành: 1 1 sin t sin t 1 2 1 sin t t 1 cost 1 2cost sin t 2 cos sin t sin 2t 2 t 3t t t 3t 2 cos 2sin cos 2 cos 1 2 sin 0 2 2 2 2 2 40
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt t cos 0 1 t 2x x 1 2 6 2 3t 2 x x 0 sin t 2 1 2 2 2 Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x 1 hoặc x 0 . Dạng 7. Tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I cho trước 2 2 Ví dụ Tìm m để phương trình 91 1 x m 2 31 1 x 2m 1 0 có nghiệm thực. Lời giải. Điều kiện: 1 x 1 1 1 x2 Đặt t 3 , với 1 x 1 t 3;9 2 Phương trình cho trở thành: t m 2 t 2m 1 0 , với t 3;9 , tương t2 2t 1 đương với m . t 2 t2 2t 1 Xét hàm số: f t với t 3;9 t 2 t2 4t 3 Ta có: f' t 0 với mọi t 3;9 , do đó hàm số f t đồng biến trên 2 t 2 64 đoạn 3;9 và f 3 f t f 9 suy ra 4 m . 7 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2 2 Bài 1: Cho phương trình: m.2x 5x 6 21 x 2.26 5x m 1 1. Giải phương trình với m 1 2. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 2: Tìm m để phương trình : x2 4x 3 1 4 2 1. m m 1 có bốn nghiệm phân biệt. 5 x x 7 3 5 7 3 5 2. m 8 có nghiệm 2 2 2 2 3. 5x 2mx 2 52x 4mx m 2 x2 2mx m có hai nghiệm phân biệt. 41
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 4. (m 3)16x (2m 1)4x m 1 0 có hai nghiệm trái dấu. x 5. 2 x 1 x2 x2 m có nghiệm duy nhất Bài 3: Cho phương trình : 4x m.2x 1 2m 0 1. Giải phương trinh khi m 2 . 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 sao cho: x1 x2 3 . Dạng 8. Giải bất phương trình Ví dụ 1.8.2 Giải các bất phương trình: x 3 x 1 2x2 x 1 1 x 2 1 2 1 1. 10 3 x 1 10 3 x 3 2. x x 2 2 Lời giải. 1 1. Ta có ( 10 3)( 10 3) 1 10 3 10 3 x 3 x 1 Bất phương trình cho 10 3 x 1 10 3 x 3 x 3 x 1 2x2 10 3 x 5 0 . x 1 x 3 (x 1)(x 3) 1 x 5 1 2. Vì x2 0 nên ta có các trường hợp sau 2 1 1 * x2 1 x . 2 2 2 1 1 x 1 x 1 x * 2 2 1 . 2 2 x 2x x 1 1 x 2x 2x 0 2 2 1 1 x 1 x 1 * 2 2 x 0 . 2 2 2 2x x 1 1 x 2x 2x 0 1 1 Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ( ; 1] ;0  ; . 2 2 2 2 Ví dụ 2.8.2 Giải bất phương trình: 9 x 2x x 7.3 x 2x x 1 2 Lời giải. 2 2 Bất phương trình cho 3.9 x 2x x 7.3 x 2x x 6 . 42
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 Đặt t 3 x 2x x ,t 0 , ta có bất phương trình : 3t2 7t 6 0 t 3 x2 2x x 1 x2 2x x 1 x2 2x 0 x 0  x 2 1 x 1 0 x 1 x 0 hoặc x 2 4 2 2 1 x 2x (x 1) x 4 1 Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x 0 hoặc x 2 4 Ví dụ 3.8.2 Giải các bất phương trình: 4 1 4 x 1. (7 4 3)x 3(2 3)x 2 0 2. 2.3 x x 9 2 9 x Lời giải. 1. Ta có: 7 4 3 (2 3)2 và (2 3)(2 3) 1 nên đặt t (2 3)x ,t 0 ta có bất phương trình : 3 t2 2 0 t3 2t 3 0 (t 1)(t2 t 3) 0 t 1 t (2 3)x 1 x 0 . Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x 0 4 4 2. Chia hai vế bất phương trình cho 9 x ta được: 2.3 x x 3.9 x x 1. 4 Đặt t 3 x x ,t 0 , nên có bất phương trình : 3t2 2t 1 0 1 4 1 5 t 3 x x 3 1 4 x x 1 x 4 x 1 0 4 x 3 2 7 3 5 0 x 2 7 3 5 Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là 0 x 2 Ví dụ 4.8.2 Giải bất phương trình: 21 x 2x 1 4x 2x 2 x2 2x 3 1. 0 2. 0 x2 4x 3 3 3x 1 2x 1 Lời giải. 1. Điều kiện: x 1; x 3 . Xét hàm số f x 21 x 2x 1 , ta thấy f là hàm nghịch biến, đồng thời f 1 0 . 43
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Do đó theo nhận xét trên thì f x f x f 1 sẽ trái dấu với x 1 (do x 1). x 1 x 1 Do vậy bất phương trình 0 1 x 3 . x2 4x 3 0 x 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3 . 2 2 2. Ta có: 4x 2x 2 x2 2x 3 2x 2 x 1 2x x 3 2x x 1 2x x 3 2x x 1 Nên bất phương trình 0 1 3 3x 1 2x 1 3 3 Ta có: k1 3x 1 2x 1 3x 1 1 2x 1 1 nên k1 cùng dấu hoặc cùng triệt tiêu với x . x x 1 k2 2 x 3 2 2 x 1 k2 cùng dấu hoặc cùng triệt tiêu với x 1 2x x 1 x 1 . Do đó: 1 0 2 x Hàm số f x 2x x 1 có đúng hai nghiệm x 0; x 1 và f x 0 x 0;1 f x cùng dấu với x x 1 x 1 x x 1 x 1 2 0 . x x 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: T ¡ \ 0;1 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình: 6x 6 2 2 x x x x2 x 1 x x 1. 2 1 x 1 2 1 2. 5 1 2 3. 5 1 2 5 3. 3x 4 x2 4 3x 2 1 4. 3 x 1 3 x2x 1 1 Bài 2: Giải các bất phương trình: 1. 7x 7x 1 7x 2 5x 5x 1 5x 2 1 1 1 2. 6.9x 13.6x 6.4x 0 3. 2x 3x 5x 38 21 x 2x 1 5. 1 2.2x 3.3x 6x 4. 0 2x 1 Bài 3: Giải các bất phương trình: 44
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5x 5 2.5x 1. 2. 5x 3 5 x x 5 3 2 52x 4 Bài 4: Giải các bất phương trình: x 3x 1 1. 2 4 5. 2 x 21 x 1 2x2 1 2 2 1 3x 2 6. 9 x 2x x 7.3 x 2x x 1 2 2. 0,125 2 4 1 4 x 7. 2.3 x x 9 2 9 x 3. 3x 1 5x 2 3x 2 5x 1 2x x x 4 x 4 2x2 x 1 1 x 8. 3 8.3 9.9 0 2 1 2 1 x 1 x 4. x x 2 2 9. 4x 1 0.25.32x 2 10. 15.2x 1 1 2x 1 2x 1 Bài 5: 1. Tìm m để bất phương trình 9x m.3x 1 0 có nghiệm. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình : x x a.2x 1 2a 1 3 5 3 5 0 được nghiệm đúng với mọi x 0 . 2 2 2 3. Tìm m để bất phương trình m.92x x 2m 1 62x x m.42x x 0 nghiệm 1 đúng với mọi x thỏa mãn x . 2 4. Tìm m để bất phương trình 32x m.3x 2 x 4 9.92 x 4 0 có nghiệm. 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : a.9x (a 1).3x 2 a 1 0 nghiệm đúng với mọi x 2 2 2 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 2sin x 3cos x m.3sin x . 7. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4x m.2x 3 2m 0 . 45