Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Số phức (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Số phức (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt SỐ PHỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa số phức. Xét ¡ 2 ¡ .¡ x; y x; y ¡  x1 x2 Hai phần tử x1; y1 và x2 ; y2 bằng nhau . y1 y2 2  x1; y1 , x2 ; y2 ¡ : 2 Phép cộng : z1 z2 x1; y1 x2 ; y2 x1 x2 ; y1 y2 ¡ 2 Phép nhân: z1.z2 x1; y1 . x2 ; y2 x1.x2 y1.y2 ; x1y2 x2y1 ¡ Định nghĩa. Tập ¡ 2 , cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập số phức £ . Phần tử x; y £ gọi là một số phức. 2. Tính chất phép cộng. Giao hoán: z1 z2 z2 z1 , z1 ,z2 £ Kết hợp: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1 ,z2 ,z3 £ Tồn tại phần tử không: 0 0;0 £ , z 0 0 z z, z £ Mọi số có số đối: z £ ,  z £ : z z z z 0 Phép trừ: z1 z2 z1 z2 x1; y1 x2 ; y2 x1 x2 ; y1 y2 £ 3. Tính chất phép nhân. Giao hoán: z1.z2 z2.z1 , z1 ,z2 £ Kết hợp: z1.z2 .z3 z1. z2.z3 , z1 ,z2 ,z3 £ Tồn tại phần tử đơn vị: 1 0;1 £ , z.1 1.z z, z £ Mọi số khác 0 có số nghịch đảo : z £ , z 1 £ : z.z 1 z 1.z 1 Giả sử z x; y £ , để tìm z 1 x'; y' . Ta có: x; y . x'; y' 1;0 xx' yy' 1 x y . Giải hệ cho ta x' , y' xy' x'y 0 x2 y2 x2 y2 1 x y Vậy, z 1 ; 2 2 2 2 z x y x y z x x y y xy x y Phép chia: 1 z z 1 1 1 ; 1 1 £ với z x ; y £ 1 2 2 2 2 1 1 1 z x y x y 127
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 4. Định lý. Số phức bất kì z x; y được biểu diễn duy nhất dạng z x yi , x; y ¡ , trong đó i2 1 Hệ thức i2 1 , được suy từ định nghĩa phép nhân: i2 i.i 0;1 . 0;1 1;0 1 . Biểu diễn x yi gọi là dạng đại số của số phức z x; y . Do đó: £ x yi x ¡ ,y ¡ ,i2 1. x Re z : phần thực của z , y Im z : phần ảo của z . Đơn vị ảo là i . Tổng 2 số phức: z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1 x2 y1 y2 i £ . Hiệu 2 số phức: z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1 x2 y1 y2 i £ . Tích 2 số phức: z1.z2 x1 y1i . x2 y2i x1.x2 y1.y2 x1y2 x2y1 i £ . 5. Lũy thừa đơn vị ảo i : i0 1, i1 i , i2 1 , i3 i2.i i , bằng quy nạp ta được: i4n 1 , i4n 1 i , i4n 2 1 , i4n 3 i , n ¥ Do đó: in 1;1; i;i,n ¥ 6. Số phức liên hợp: Cho z x yi , số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z z z z ¡ . Thật vậy, z z x yi x yi 2yi 0 y 0 z x ¡ ( đpcm ). z z . Thật vậy, z x yi, z x yi z ( đpcm ). z.z là số thực không âm. Thật vậy, z.z x yi x yi x2 y2 0 ( đpcm ). z1 z2 z1 z2 Thật vậy, z1 z2 x1 x2 y1 y2 i x1 x2 y1 y2 i x1 y1i x2 y2i z1 z2 ( đpcm ). z1.z2 z1.z2 Thật vậy, z1.z2 x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 i 128
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 i x1 y1i . x2 y2i z1.z2 ( đpcm ). 1 z 1 z , z £ 1 1 1 1 1 Thật vậy, z. 1 z. 1 z 1 tức là z z ( đpcm ). z z z z z 1 1 , z £ z 2 2 z2 z 1 1 1 z Thật vậy, 1 z . z . z . 1 ( đpcm ). z 1 z 1 z 1 2 2 2 z2 z2 z z z z Re z , Im z 2 2i Thật vậy, z z x yi x yi 2x , z z x yi x yi 2yi z z z z Do đó Re z , Im z ( đpcm ). 2 2i 8. Môđun của số phức Số z x2 y2 gọi là môđun của số phức z x yi 9. Biểu diễn hình học của số phức ur Mỗi số phức z x yi được biểu diễn một điểm M x; y hay véc tơ u x; y trên mặt phẳng phức.Ta viết: M x yi hoặc M z . 10. Tính chất i. Gọi M z , M1 z , M2 z . Khi đó: M1 đối xứng với M qua Ox ; M2 đối xứng với M qua O . ur ur ur ur ii. Gọi u, v lần lượt là biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Khi đó: u v là biểu diễn của z1 z2 . iii. Cho A z1 , B z2 . uuur Khi đó: AB là biểu diễn của z2 z1 và AB z1 z2 . B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. Phương pháp: 129
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Dạng 1: Các phép tính về số phức. Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức. Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó. Tìm phần thực và phần ảo: z a bi , suy ra phần thực a , phần ảo b Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 1.1.7 Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 3 4i 1. z i 2 i 3 i 2. z 4 i 2 3. 1 i 1 i z 8 i 1 2i z Lời giải. 1. z i 2 i 3 i 2i i2 3 i 2i 1 3 i 7i 2i2 3 7i 2 1 3 1 7i Vậy z có phần thực a 1 , phần ảo b 7 . 3 4i 3 4i 4 i 12 13i 4i2 2. z 4 i 4 i 4 i 16 i2 12 13i 4 1 16 13i 16 13 i 16 1 17 17 17 16 13 Vậy z có phần thực a , phần ảo b . 17 17 2 2 3. 1 i 2i 1 i 2 i 2i 2 i 2 4i 8 i Giả thiết 2 4i z 8 i 1 2i z 1 2i z 8 i z 2 3i 1 2i Vậy z có phần thực là a 2 và phần ảo b 3 . Ví dụ 2.1.7 1. Tìm môđun của số phức z, biết rằng: 1 2i z 3 8i 2. Tìm các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm 1 nghiệm. Lời giải. 3 8i 3 8i 1 2i 1. 1 2i z 3 8i z 1 2i 1 2i 1 2i 3 6i 8i 16i2 19 2i 19 2 z z i 12 22 5 5 5 130
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 2 19 2 19 2 73 365 Do đó: z i 5 5 5 5 5 5 2. z 1 i là 1 nghiệm của phương trình z2 bz c 0 nên: 2 1 i b 1 i c 0 b c b 2 i 0 b c 0 b 2 Theo điều kiện bằng nhau của hai số phức thì: b 2 0 c 2 Vậy, các số thực cần tìm là b 2 và c 2 . Ví dụ 3.1.7 3 3 2 2 Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z z . z z 1 4i z zz z Lời giải 2 2 2 2 2 2 Đẳng thức cho : 2 z z z z.z z 1 4i z z.z z 2 2 z2 z 4abi , z2 z.z z 3a2 b2 Khi đó: 2 3a2 b2 4abi 1 4i 3a2 b2 z 1 i,z 1 i Vậy, số phức cần tìm là: z 1 i,z 1 i Ví dụ 4.1.7 2 1. Tìm phần ảo của số phức z , biết : z 2 i 1 2i . 3 1 i 3 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . 1 i Lời giải 1. Ta có: z 1 2 2i 1 2i 1 2i 2 2i 4i2 5 2i z 5 2i . Vậy phần ảo của z bằng 2 . 1 3i 3 9i2 3 3i3 4 2. z 2 2i 1 3i 3i2 i3 1 i Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2 . Ví dụ 5.1.7 2 1. Tìm phần ảo của số phức z , biết z 3z 1 2i 131
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2. Tìm phần thực của số phức z , biết z 1 i z 1 2i Lời giải. 1. Đặt z a bi z a bi , a,b ¡ 2 2 Ta có: z 3z 1 2i a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 4i 4 3 4a 3 a 4a 2bi 3 4i 4 2b 4 b 2 3 Vậy, z 2i , phần ảo bằng 2 4 2. z a bi z a bi . 2 Từ giả thiết, suy ra a bi 1 i a bi 1 2i a bi a ai bi b 1 4i 4 b 2b a i 3 4i b 3 b 3 2b a 4 a 10 Vậy, z 10 3i , phần thực bằng 10 Ví dụ 6.1.7 Tìm số phức z thỏa mãn: 9 z 2i 1. z 3i 1 iz và z là số thuần ảo. 2. z z 2 2i và là số ảo. z z 2 Lời giải. 1. Đặt z a bi a, b ¡ . Khi đó z 3i 1 iz tương đương với a b 3 i 1 i a bi a b 3 i 1 b ai 2 2 2 a2 b 3 1 b a b 2 . 3 2 9 9 9 a 2i a 5a 2a 26 i Khi đó z a 2i a 2i và là số z a 2i a2 4 a2 4 thuần ảo khi và chỉ khi a3 5a 0 hay a 0, a 5 . Vậy các số phức cần tìm là z 2i, z 5 2i, z 5 2i . 2. Đặt z a bi a, b ¡ . Khi đó z z 2 2i tương đương với 2 2 a bi a 2 b 2 i tức a2 b2 a 2 b 2 b 2 a 1 z 2i a b 2 i a b 2 i a 2 bi Ta có: 2 z 2 a 2 bi a 2 b2 132
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a a 2 b b 2 a 2 b 2 ab i là số ảo khi và chỉ khi 2 2 a 2 b2 a 2 b2 a a 2 b b 2 0 2 2 a 2 b2 Từ 1 và 2 suy ra a 0,b 2 tức ta tìm được z 2i z 1 z 3i Ví dụ 7.1.7 Tìm số phức z thỏa mãn: 1 và 1 z i z i Lời giải. Cách 1: Giả sử z a bi , a,b ¡ . z 1 1 z 1 z i a 1 bi a b 1 i hay z i 2 2 a 1 b2 a2 b 1 tức a b z 3i Lại có: 1 z 3i z i a b 3 i a b 1 i hay z i 2 2 a2 b 3 a2 b 1 b 1 a 1 Vậy, số phức cần tìm là z 1 i Cách 2: z z Với 2 số phức z và z' z' 0 , ta luôn có: z' z' z 1 Ta có: 1 z 1 z i . Gọi A và B là 2 điểm biểu diễn các số 1 và i z i tức là A 1;0 , B 0;1 . Với giả thiết: z 1 z i MA MB , ở đây M M z là điểm biểu diễn số phức z . Như vậy, M nằm trên đường trung trực của AB M nằm trên đường thẳng y x a z 3i Lại có: 1 z 3i z i MA MB tức là M nằm trên trung trực z i của AB , nghĩa là điểm M nằm trên đường thẳng y 1 b . Từ a và b suy ra M nằm trên đường thẳng y x và y 1 tức M 1;1 z 1 i . 133
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 8.1.7 Cho số phức z x yi; x,y ¢ thỏa mãn z3 18 26i . Tính 2012 2012 T z 2 4 z Lời giải. x3 3xy2 18 z3 x3 3xy2 3x2y y3 i 18 26i 2 3 3x y y 26 Do x y 0 không là nghiệm hệ, đặt y tx 3 2 x 1 3t 18 Khi đó ta có: 3t 1 3t2 12t 13 0 x3 3t t3 26 Khi t 1 thì x 3,y 1, thỏa mãn 3 Khi 3t2 12t 13 0 thì x, y ¢ . Vậy số phức cần tìm là: z 3 i 2012 2012 2012 2012 Vậy, T z 2 4 z 1 i 1 i 21007 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. 1. Cho 2 số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 1, z1 z2 3 . Tính z1 z2 2. Tìm các số thực x,y sao cho : a. z z' , biết rằng: z 2x 3 3y 1 i , z' 2y 1 3x 7 i . 3 b. x 2y 4 i 3x y x 2i 47 20i . x yi 1 3 c. i . 3 yi 2 2 3 xyi x y 2i d. và là ( phức ) liên hợp. 3 3 1 2i 1 2i 3. Cho z cos180 cos720 i . Tính z . 4. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 33 1 i 10 1 z 1 i 2 3i 2 3i 1 i i 5. Thực hiện các phép tính : 9 10 21 A 1 i 1 i 8 13 1 1 i B 1 i i 13 1 i M i5 i6 i7 i18 i 2 3 2010 N 1 1 i 1 i 1 i 1 i 134
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 6. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 2 2 a. z 2 3i 3 2i c. z 1 i 1 i 1 2i 3 b. z 2 i 1 i 3 2i d. 4) z 4 3i 7. Cho z 2x2 3x 1 x 1 y 3 i với x,y là các số thực Tìm x,y sao cho: a. z là số thực. b. z là thuần ảo và z 4 c. z 6 5i 8. Thực hiện các phép tính : 3 3 2009 2 i 2 i 1 3 3i A B 3 3 2 i 2 i 2 3i 2 3 2010 C i i2 i2009 D 1 i 1 i 1 i 9. Cho số phức z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i Trong đó x,y là các số thực. Tìm x,y sao cho a. z là số thựcb. z là số thuần ảo và z 1 c. z 20 15i . 10. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: (1 2i)2 a. z b. z (2 i)3 (3 2i)3 3 i (3 i)(1 2i) 4 2i c. z d. z (1 3i)(2 i)2 (3 2i)2 1 3i 11. Tìm modun của số phức z biết: 3 2i (2 3i)2 a.(1 2z)(3 4i) 29 22i b. z 2i 3 2i z c. (1 2i)(2 i) d. (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i) . (2 3i)2 Bài 2 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : 2 1 i 2 i z 8 i 1 2i z Đề thi Cao đẳng năm 2009. z1 z2 2. Chứng minh nếu z1 z2 1, z1z2 1 thì là số thực. 1 z1z2 3. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 i 1 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 2 đơn vị. 4. Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z 2i là số thực và z 1 5 . 135
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 5. Tìm số phức z thỏa mãn z.z 3 z z 5 6i . 6. Tính z biết: 2 z 1 z 1 3i 2 a. 3i 1 z 2i 1 b. 2i 3 c. z 2 3z 2 i 1 7. Tìm số phức z biết : a. 4z (3i 1)z 25 21i b. 3z 2(z)2 0 Bài 3 Xét các điểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4i 2 6i , 1 i 1 2i , . i 1 3 i 1. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân 2. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông. Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình: z2 6z 18 0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân. Bài 5 Chứng minh rằng: 2010 2010 1. 1 i 1 i là một số thực 2009 2009 2. 3i 1 3i 1 là số thuần ảo. ur ur Bài 6 Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3 2i ur ur ur ur 1. 3u 2v ; 5u 3v biểu diễn những số phức nào? r r ur ur 2. Gọi x là biểu diễn của số phức 6 4i . Hãy phân tích x qua u, v . Bài 7 Gọi A1 ,A2 ,A3 ,A4 lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1 1 3i, z2 3 2i, z3 5 i, z4 4 5i . 1. Tính độ dài các đoạn A1A2 , A1A3 , A1A4 2. Tìm số phức có biểu diễn là điểm M sao cho A1A2A4M là hình bình hành. Bài 9. n 1. Tìm phần thực của số phức z 1 i ,n N thỏa mãn phương trình: log4 n 3 log4 n 9 3 iz 1 3i z 2 2. Tìm phần ảo của số phức z , biết z 1 i Bài 10. 1. Gọi z là nghiệm của phương trình z2 2z 2 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 Q z2012 . z2012 136
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Tính z , biết 2z 1 1+i z 1 1 i 2 2i. Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 i 1. z 2i z 1 i và là một số thuần ảo. z 2i 2. z 5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó. 3. z z3 4. z 2 và z2 là số thuần ảo. Đề thi Đại học Khối D ,2010 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn: 4 z 200 1. z 0 z2 1 7i 5 i 3 2. z 1 0 Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 z 3. z (2 3i)z 1 9i Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 2 4. z2 z z Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z i z z 2i z 2i z 2. 1. 2 z i z 1 z2 z 2 2 z 2 1 z 2i z 2 i 10 4. 3. z 1 z i 5 z.z 25 z i 1 1 z 2z i 5. 6. 1 i 1 i z i 1 2 7. z2 z 8z 44 8. z3 z Bài 14 z1 z2 1. Nếu z1 z2 1, z1z2 1 thì T là số thực. 1 z1z2 z1 z2 z2 z3 z3 z1 2. Nếu z1 z2 z3 r thì T là số thực và z1z2z3 z1z2 z2z3 z3z1 r với z1 z2 z3 0 . z1 z2 z3 z 1 3. Số phức w là số thuần ảo z 1. z 1 137
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 15. Cho , là hai số phức liên hợp thoả mãn R và  2 3. Tính . 2 Bài 16. Tính z1 z2 , z1 z2 , z1.z2 , z1 2z2 , 2z1 z2 biết: 1. z1 5 6i, z2 1 3i 2. z1 2 3i, z2 3 4i 1 3 1 2 3. z i, z i 4. z 3 2i,z 2 i 1 2 2 2 3 3 1 2 Bài 17. Cho các số phức z1 1 2i,z2 2 3i,z 1 i . Tính : 1. z1 z2 z2 2. z1z2 z2z3 z3z1 3. z1z2z3 z z z z2 z2 4. z2 z2 z2 5. 1 2 3 6. 1 2 1 2 3 z z z 2 2 2 3 1 z2 z3 Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn: 1. z 5 7i 2 i 2. 2 3i z 5 i z 3. z(2 3i) 4 5i 4. 3 2i 1 3i 2 i 1 3i 5. z 6. 2z(1 i) 2iz(1 i) 4i 1 i 2 i 1 3 1 3 Bài 19. Cho z i . Hãy tính: ; z; z2 ; z ; 1 z z2 . 2 2 z Bài 20. Gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 3 2i, z2 2 3i , z3 5 4i . 1. Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó. 2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành. 3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z' . Tìm z' sao cho tam giác AEB vuông cân tại E . Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng . Phương pháp: Ví dụ 1.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z i 1 i z Lời giải. Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z x y.i x,y ¡ 138
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 Suy ra z i x2 y 1 2 2 1 i z 1 i x yi x y x y 2 2 2 Nên z i 1 i z x2 y 1 x y x y 2 x2 y 1 2 . 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn: x2 y 1 2 . Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 i z Lời giải. Cách 1: Đặt z a bi, a,b ¡ là số phức đã cho và M x; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Ta có: z 2 i z x 2 yi x y 1 i 2 2 x 2 y2 x2 y 1 4x 2y 3 0 . Vậy, tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x 2y 3 0 . Cách 2: z 2 i z z 2 z i Đặt z a bi, a,b ¡ là số phức đã cho và M x; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số 2 tức A 2;0 và điểm B biểu diễn số phức i tức B 0;1 Khi đó MA MB Vậy, tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB : 4x 2y 3 0 . Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 z 2 5 Lời giải. Đặt z a bi, a,b ¡ là số phức đã cho và M x; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Ta có: z 2 z 2 5 a 2 bi a 2 bi 5 hay 2 2 a 2 b2 a 2 b2 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b a 2 b 5 a 2 b a 2 b 139
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2 8a a 2 b2 a 2 b2 2 5 2 2 2 2 a 2 b a 2 b 5 Từ 1 , 2 ta có hệ: 2 2 8a a 2 b2 a 2 b2 5 2 2 5 4a 25 2 2 5 4a 2 a 2 b a 2 b , a 2 5 2 5 8 2 2 2 5 4a a 2 b 2 2 5 4a 25 2 5 a 2 b , a 2 5 8 9a2 9 25 25 b2 , a 25 4 8 8 Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là elip có phương trình x2 y2 1 25 9 4 4 Cách 2 : Đặt z a bi, a,b ¡ là số phức đã cho và M x; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Trong mặt phẳng phức, xét các điểm F1 2;0 ,F2 2;0 2 2 2 2 Ta có: MF1 2 a b a 2 b z 2 2 2 2 2 MF1 2 a b a 2 b z 2 Giả thiết z 2 z 2 5 MF1 MF2 5 Vì MF1 MF2 F1F2 , nên tập hợp điểm M là 1 elip. 2a 5 4a2 25 x2 y2 Ta có: E : 1 2 25 9 2c 4 4b 9 4 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z2 là số ảo. Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 1. z2 z 2. 2 z i z z 2i Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức: 140
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. z' 1 3i z 2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z 1 2 . 2. z i z i 4 3. z 4 z 4 10 Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức: 1. z i z 2 3i 3. z 3 4i 2 2. 2z 3 5i 2 4. z 4 3i z 3 2i 10 Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa: 1. z 4 3i là số thực 2. z 1 2i 1 3. z 3i z 2 i 4. z 4 3i z 3 2i 2 5. 5 4i 3z 1 6. z 1 i z 2 3i 2 . Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa 2z i z 2i 3 1. có phần thực bằng 3 2. là một số thực dương. z 2i z 3 i Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. 2. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;1]. 3. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]. 4. z 2 5. 2 z 3 6. z 1 2i 2 1 7. 2 z i z z 2i 8. 1 z 2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng . 2 Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Phương pháp: 1. Định nghĩa: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa z2 w gọi là căn bậc hai của w . Xét số thực w a 0 (vì 0 có căn bậc hai là 0 ). Nếu a 0 thì a có hai căn bậc hai là a và a . Nếu a 0 thì a có hai căn bậc hai là i a và i a . Đặc biệt : 1 có hai căn bậc hai là i và a2 ( a là số thực khác 0) có hai căn bậc hai là ia . 2. Cách tìm căn bậc hai của số phức Với w a bi . Để tìm căn bậc hai của w ta gọi z x iy 141
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x2 y2 a Từ z2 w giải hệ này, ta được x,y . xy b 3. Phương trình bậc hai với hệ số phức Là phương trình có dạng: az2 bz c 0 , trong đó a,b,c là các số phức a 0 . a. Cách giải: Xét biệt thức b2 4ac và  là một căn bậc hai của b Nếu 0 phương trình có nghiệm kép: z 2a Nếu 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt b  b  z ;  . 1 2a 2 2a b. Định lí viét 2 Gọi z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình : az bz c 0 . Khi đó, ta có hệ b z z 1 2 a thức sau: . c z z 1 2 a Ví dụ 1.3.7 Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai z2 mz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . Lời giải. Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho và m a bi với a,b ¡ . 2 2 2 Theo bài toán, ta có: z1 z2 4i suy ra m 2i , dẫn tới hệ: a2 b2 0 m 1 i hoặc m 1 i . 2ab 2 Ví dụ 2.3.7 Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. z2 2z 17 0 2. z2 (2i 1)z 1 5i 0 4z 3 7i 2 2 3. z 2i 4. 25 5z2 2 4 25z 6 0 z i Lời giải. 2 2 1. Ta có: z2 2z 1 16 z 1 16i2 4i nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức : z1 1 4i; z2 1 4i . 2. Ta có: (2i 1)2 4(1 5i) 7 24i (3 4i)2  3 4i là một căn bậc hai của . Vậy phương trình có hai nghiệm: z1 i 1; z2 2 3i . 3. Điều kiện: z i 142
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương trình 4z 3 7i (z i)(z 2i) z2 (4 3i)z 1 7i 0 Ta có: (4 3i)2 4(1 7i) 3 4i (2 i)2 phương trình có hai nghiệm : z1 3 i; z2 1 2i . Kết hợp điều kiện, ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm z1 3 i; z2 1 2i . 4. Phương trình (25z2 10)2 (50iz 12i)2 0 (25z2 50iz 10 12i)(25z2 50iz 10 12i) 0 25z2 50iz 10 12i 0 (5z 5i)2 35 12i (1 6i)2 2 2 2 25z 50iz 10 12i 0 (5z 5i) 35 12i (1 6i) 1 11i 1 i 1 11i 1 i z ; z hoặc z ; z 1 5 2 5 3 5 4 5 Ví dụ 3.3.7 Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. z3 (2 2i)z2 (5 4i)z 10i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo 3 4 3 2 z i 2. z 2z z 2z 1 0 3. 8 z 1 Lời giải. 1. Giả sử z xi là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có: x3i (2 2i)x2 (5 4i)xi 10i 0 ( 2x2 4x) ( x3 2x2 5x 10)i 0 2x2 4x 0 x 2 x 2i là một nghiệm của phương trình. 3 2 x 2x 5x 10 0 Nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng: z 2i z 2i 2 (z 2i)(z 2z 5) 0 2 . z 2z 5 0 z 1 2i 2. Vì z 0 không là nghiệm của phương trình nên 1 1 Phương trình z2 2(z ) 1 0 z2 z 1 1 (z )2 2(z ) 3 0 z z 1 2 Z 1 Đặt Z z , ta có: Z 2Z 3 0 . z Z 3 143
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 1 3i Z 1 z 1 z2 z 1 0 z z 2 3 5 Z 3 z2 3z 1 0 z . 2 z i Z 2 3. Đặt Z , ta có: Z3 8 (Z 2)(Z2 2Z 4) 0 z 1 Z 1 3i z i Z 2 2 z i 2z 2 z 2 i z 1 z i 5 3 2 3 Z 1 3i 1 3i z i . z 1 7 7 z i 5 3 2 3 Z 1 3i 1 3i z i . z 1 7 7 78y 16x 11y x 20 x 7 x2 y2 x2 y2 Ví dụ 4.3.7 Giải hệ phương trình: ; 78x 11x 16y y 15 y 1 2 2 2 2 x y x y Lời giải. 1 x yi Xét số phức z x yi với x,y ¡ , suy ra . z x2 y2 78y x 20 1 2 2 x y 1. Hệ suy ra . Lấy 1 2 vế theo vế, ta được: 78x y i 15i 2 2 2 x y 78y 78x x y i 20 15i 3 . 2 2 2 2 x y x y x yi Phương trình 3 viết lại x yi 78i. 20 15i hay x2 y2 78i z 20 15i 4 do , quy đồng mẫu số phương trình 4 và rút gọn z 2 ta được: z2 5 4 3i z 78i 0 5 , phương trình 5 có biệt số 16 9i nên có nghiệm z 2 3i hoặc z 18 12i . Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2; 3 , 18;12 . 144
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 16x 11y 11x 16y 2. Hệ suy ra x i y 7 i 2 2 2 2 x y x y x iy x iy x iy 16 11i 7 i x2 y2 x2 y2 16 11i z 7 i z2 7 i z 16 11i 0 , phương trình này có hai z nghiệm: z 2 3i,z 5 2i , hệ có nghiệm: x; y 2; 3 hoặc x; y 5; 2 3 12 10x 1 3 x 1 2 5x y 3x y Ví dụ 5.3.7 Giải hệ phương trình: ; 3 12 y 1 1 y 1 6 5x y 3x y Lời giải. 3 3 u 1 u2 v2 2 1. Đặt u 5x,v y với u,v 0 , hệ cho có dạng: 3 v 1 1 u2 v2 1 u vi Đặt z u iv z u2 v2 3 3 3 Hệ suy ra u 1 iv 1 i u2 v2 u2 v2 2 u iv 3 3 3 2 2i u iv 3 i z u2 v2 2 z 2 2 2z2 3 2 2i z 6 0 , phương trình này có: 34 12 2i 2 6i 2 2i suy ra có nghiệm z 2 2i, z . 2 2 2i 2 1 Do u,v 0 nên chọn z do đó u ,v 1 x ,y 1 2 2 10 1 Vậy, hệ cho có nghiệm x; y ;1 10 2. Cách 1: 12 u 1 2 3 u2 v2 Đặt u 3x,v y với u,v 0 , hệ cho có dạng: 12 v 1 6 u2 v2 145
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 u vi Đặt z u iv z u2 v2 12 12 Hệ suy ra u 1 iv 1 2 3 6 u2 v2 u2 v2 u iv 12 u iv 12 2 3 6i z 2 3 6i u2 v2 z 2 z2 2 3 3i z 12 0 , phương trình này có: 6 6 3i 3 3 i suy ra có nghiệm z 3 3 3 3 i, z 3 3 3 3 i Do u,v 0 nên chọn u 3 3,v 3 3 , do đó x; y 4 2 3;12 6 3 Vậy, hệ cho có nghiệm x; y 4 2 3;12 6 3 Cách 2: Điều kiện: x 0,y 0 Nhân phương trình đầu cho 3 , phương trình sau cho số ảo i , rồi cộng 2 vế 12 ta được 3x yi 3x yi 2 3 6i y 3x 12 Đặt z 3x yi , phương trình trở thành: z 2 3 6i , phương z trình này tương đương với z2 2 3 6i z 12 0 z 3 3 3 3i 3x 3 3 x 4 2 3 Với z 3 3 3 3i y 3 3 y 12 6 3 Ví dụ 6.3.7 Cho số phức z thoả mãn điều kiện 11z10 10iz9 10iz 11 0. Chứng minh rằng z 1. Lời giải. 11 10iz 11z10 10iz9 10iz 11 0 z9 11z 10i 11 10iz hay: z9 (1) 11z 10i Đặt z x yi với x,y R . Từ (1) suy ra: 2 2 2 2 9 11 10iz 10 x y 11 220y z 11z 10i 112 x2 y2 102 220y 2 2 2 21 1 z 18 21(1 x y ) Suy ra z 1 112(x2 y2 ) 100 220y 112(x2 y2 ) 100 220y 146
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 2 21 1 z 18 2 z 1 1 z 0 112(x2 y2 ) 100 220y 2 2 2 z 1 0 z 1 z 1. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức: 1. z 8 6i 2. z 33 56i 3. z 1 4i 3 4. z 5 12i Bài 2: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 5 2 5 1. 3i 3 i 3. 1 2i 4 2. 1 i Bài 3: Giải phương trình sau trên £ : 4z 3 7i 1. z2 1 3i z 2 2i 0 2. z 2i Đề thi Cao đẳng năm 2009 z i 4 z 200 3. z 0 4. z3 3 1 2i z2 3 8i z 2i 5 0 z2 1 7i Bài 4: Giải phương trình sau trên £ : 1. z2 1 5i z 8 i 0 2. z2 3 4i z 5i 1 0 3. z2 3 2i z 5 5i 0 4. z2 8 1 i z 63 16i 0 5. 1 i z2 2 1 2i z 4 0 6. z2 2i 1 z 1 5i 0 Bài 5: Giải phương trình sau trên £ : 1. z3 2 1 i z2 5 4i z 10 0 2. z3 4 5i z2 4 2 5i z 40i 0 3. z3 3 2 i z2 2 5 9i z 30i 0 2 z 1 Bài 6: Giải phương trình: z 2 , biết z 3 4i là 1 nghiệm của z 7 phương trình. 2 2 z z 5 2i 1 Bài 7: Giải phương hệ trình sau trên £ : 1 2 z1 z2 4 i 2 3x y 1 x 3 2 2 3x 1 2 x y x y Bài 8: Giải hệ phương trình: , x 3y 1 y 0 7y 1 4 2 2 2 x y x y 147
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 9: 1. Tìm các số thực a,b để: 2z3 9z2 14z 5 (2z 1)(z2 az b) rồi giải phương trình sau trên C: 2z3 9z2 14z 5 0 . 2. Tìm các số thực a,b để : z4 4z2 16z 16 (z2 2z 4)(z2 az b) rồi giải phương trình sau trên C: z4 4z2 16z 16 0 . Bài 10: 1. Tìm tất cả cá giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực: z3 (3 i)z2 3z (m i) 0 . 2. Biết phương trình 1 i x2  i x 1 i 0 không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của . Bài 11: Giải các hệ sau trên tập số phức z 1 z1 z2 z1z2 9 2i 1. 2 2 2. z z z z 11 2i 1. 1 2 z z Dạng 4. Phương trình quy về bậc hai Ví dụ 1.4.7 Lời giải. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP z2 Bài 1: Giải phương trình sau trên £ : z4 z3 z 1 0 2 Bài 2: Giải phương trình: 1. z4 2 i z2 2i 0 2. 2z4 7z3 9z2 7z 2 0 3. 4z4 6 10i z3 15i 8 z2 6 10i z 4 0 4. z4 3 i z3 4 3i z2 2 3 i z 4 0 2 2 5. 25 5z2 2 4 25z 6 0 Bài 3: Giải phương trình: 4 4 2 2 1. z 4 z 6 82 2. z2 1 z 3 0 4 4 3. z2 1 16 z 1 4. z z 2 z 1 z 3 10 Bài 4: Gọi z1 ,z2 ,z3 ,z4 là các nghiệm phức của phương trình 148