Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Tiệm cận (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Tiệm cận (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG. Định nghĩa . Cho hàm số y f x xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a; ),( ; b) hoặc ( ; ) . Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y y0 , lim y y0. x x II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG. Định nghĩa . Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn. lim f(x) , lim f(x) ; lim f(x) , lim f(x) . x x0 x x0 x x0 x x0 III . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Định nghĩa Đường thẳng y ax b,a 0 ,được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn. lim [f(x) (ax b)] 0 , lim [f(x) (ax b)] 0 . x x B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Phương pháp . 1. Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng của đồ thị hàm Thực hiện theo các bước sau B1. Tìm tập xác định của hàm số f x B2. Tìm các giới hạn của f x khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận Chú ý . Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể tiến đến hoặc ) Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có một trong các dạng sau: (a;b) ,[a;b) , (a;b], (a ; ) ; ( ; a) hoặc là hợp của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: R , [c; ), ( ; c], [c;d] 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm Thực hiện theo các bước sau 115
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. B1. Tìm tập xác định của hàm số (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận xiên nếu tập xác định của nó là là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn) B2. Sử dụng định nghĩa Hoặc sử dụng định lí : f(x) f(x) Nếu lim a 0 và lim [f(x) ax] b hoặc lim a 0 và x x x x x lim [f(x) ax] b thì đường thẳng y ax b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm x số f P(x) CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức : f x trong đó P(x), Q(x) là hai đa Q(x) thức của x ta thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số i) Tiệm cận đứng . P(x0 ) 0 Nếu thì đường thẳng : x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Q(x0 ) 0 ii) Tiệm cận ngang Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường A thẳng : y trong đó A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất B của P(x) và Q(x) Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang iii) Tiệm cận xiên Nếu bậc của P(x) bé hơn hay bằng bậc của Q(x) hoặc lớn hơn bậc của Q(x) từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một bậc và P(x) không chia hết cho Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P(x) cho R(x) R(x) R(x) Q(x) và viết f x ax b , trong đó lim 0 , lim 0 . Q(x) x Q(x) x Q(x) Suy ra đường thẳng : y ax b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Ví dụ Tìm tiệm cận của hàm số: 2x 1 2 4x 1. y 2. y x 1 1 x 116
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 x2 3. y 2x 1 4. y x 2 1 x Lời giải. 2x 1 1. y x 1 Giới hạn , tiệm cận . lim y 2 , lim y 2 , suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang x x của đồ thị (C). lim y , lim y , suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng x 1 x 1 của đồ thị (C). 2 4x 2. y 1 x Giới hạn , tiệm cận . lim y 4 , lim y 4 , suy ra đường thẳng y = 4 là đường tiệm cận ngang x x của đồ thị (C). lim y , lim y , suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng x 1 x 1 của đồ thị (C). 1 3. y 2x 1 x 2 Giới hạn , tiệm cận . lim y , lim y Đường thẳng : x = -2 là tiệm cận đứng của (C). x 2 x 2 lim y , lim y . x x lim [y (2x 1)] 0 , lim [y (2x 1)] 0 Đường thẳng y = 2x 1 là tiệm x x cận xiên của (C). 1 4. y x 1 1 x Giới hạn , tiệm cận . lim y , lim y Đường thẳng : x = 1 là tiệm cận đứng của (C). x 1 x 1 lim y , lim y . x x lim [y ( x 1)] 0 , lim [y ( x 1)] 0 Đường thẳng y = x 1 là tiệm x x cận xiên của (C). 117
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : 3x 2 2x 5 1. y 2. y x 2 3x 1 Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : 1 2x2 6x 1 1. y x 1 2. y x 5 3x 1 Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : 2x 3 4x 1. y 2. y x2 4 x2 8 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : 2x 4 3 1. y 2x 3 x 2 3 2. y x 1 x2 2x Bài 5: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : 2x3 x 4 x2 x 2 1. y 2. y x2 4 x2 2x 3 Bài 6: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : 2 2x 1. y x 4 x 3x 2 3. y x2 3 2. y 3x x2 4 Vấn đề 2 Một số dạng toán khác. Phương pháp . Ví dụ 1.2.5 1 1. Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị là (C) . Gọi M là một điểm bất kỳ x 2 thuộc (C) , qua M vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của (C) , hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một hình bình hành , chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi. Lời giải. Gọi MNIP là hình bình hành tạo bời hai tiệm cận của (C) và hai đường thẳng vẽ từ M lần lượt song song với hai tiệm cận này. 1 M (C) M x0 ; 2x0 1 x0 2 118
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt N TCX 1 N(x0 ; 2x0 1) MN yM yN MN  Ox x0 2 Đường thẳng MN qua M và song song với TCĐ nên có phương trình là : x – x0 0 d I,MN 2 x0 2 x0 . Diện tích của hình bình hành MNIP: 1 S MN.d I,MN x0 2 1 (hằng số). x0 2 x2 (m 1)x m2 2m 1 Ví dụ 2.2.5 Cho hàm số y (1). Tìm m để đường 1 x tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện 1 tích bằng . 2 Lời giải. m2 m 1 Ta có : y x m 1 x Vì lim [y ( x m)] 0 , lim [y ( x m)] 0 nên đường thẳng d x x y x m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1). d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A 0; m và B m;0 . 1 1 1 Diện tích tam giác OAB : S OA.OB y . x m2. 2 2 A B 2 1 Theo giả thiết ta có : S m2 1 m 1. 2 Ví dụ 3.2.5 1 x2 1. Cho hàm số y có đồ thị là (C) . Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho x d M,TCĐ 2d M,TCX . Lời giải. 1 1 1. M (C) M x ; x . Ta có: d(M;TCX) , d M,TCĐ x 0 0 x 0 0 2x0 1 2 x0 1 , y0 0 d M,TCĐ 2d M,TCX x 2 x 1 0 0 x 1 , y 0 2x0 0 0 Vậy, các điểm cần tìm là M 1;0 . 119
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 4.2.5 2 1. Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị là (C) . hai điểm thuộc hai nhánh 2x 1 khác nhau của (C) sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất. 3 2x 2. Cho hàm số y có đồ thị là (C) . Tìm các điểm trên (C) có tổng các x khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. Lời giải. 1 1 1. M thuộc nhánh phải của (C) ,suy ra M a; 2a , a 0 . 2 a 1 1 N thuộc nhánh trái của (C), suy ra N b; 2b , b 0 . 2 b 2 2 2 2 1 1 2 1 MN (a b) 2(a b) (a b) 2 a b ab Côsi 4 1 4 Côsi 4 4ab 4 16ab 16 2 16ab. 16 32 ab a2b2 ab ab a b a b 1 MN 4 2; MN 4 2 4 4 1 a b 16ab a 2 ab 4 1 1 1 1 Vậy hai điểm cần tìm là M ;0 , N ;0 2 2 2 2 3 2. A (C) A(x0 ; y0 ) với y0 2 . x0 d(A,Ox) y0 , d(A,Oy) x0 T d(A,Ox) d(A,Oy) y0 x0 . Nếu A thuộc nhánh trái của (C) thì y0 2 khi đó T 2 .Mặt khác giao điểm 3 3 của (C) với trục Ox là E ;0 , vì d E,Ox d E,Oy 2 ,suy ra điểm cần 2 2 tìm thuộc nhánh phải của (C). Như vậy ta chỉ cần xét các điểm A thuộc nhánh phải của (C) ( x0 0 ). 3 Khi đó T = y0 x0 2 x0 . x0 Lập bảng biến thiên của hàm số T trên 0; 120
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 3 2x0 3 3 * Nếu 2 0 0 x0 0; thì T 2 x0 x0 x0 2 x0 2 3 x0 3 3 Ta có: T' 1 0 với mọi x 0; 2 2 0 2 x0 x0 3 3 3 * Nếu 2 0 x0 , thì T 2 x0 x0 2 x0 3 3 Ta có: T' 1 0 với mọi x , . 2 0 2 x0 3 3 7 3 1 *Tại x : T' . , T' 0 2 2 3 2 3 3 3 3 Vì T' T' nên T' không tồn tại. 2 2 2 Bảng biến thiên của hàm số T. 3 x0 - 2 + T' - + T 3 2 3 3 Từ bảng biến thiên trên suy ra minT đạt được khi x . 2 0 2 3 Vậy điểm cần tìm là E ; 0 . 2 Ví dụ 5.2.5 2m x Cho hàm số: y có đồ thị là C . Cho A 0;1 và I là tâm đối xứng. x m m Tìm m để trên Cm tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A. Lời giải. 2m b uuur m 2b Xét B b; (Cm ) AB b; b m m b uur Ta có I( m; 1) AI ( m; 2) . 121
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. uuur uur AB.AI 0 Tam giác ABI vuông cân tại A 2 2 AB AI m 2b m 2b bm mb 2 0 (1) m b m b 2 2 2 2 2 2 m 2b 2 2 m b m 4 b m 4 b (2) m b 4 (2) m2 b2 4 4(b2 4) 0 (b2 4)(m2 4) 0 b2 4 b 2 . m 4 * b 2 thay vào (1) ta được: m m2 3m 4 0 m 1,m 4 . m 2 m 4 * b 2 thay vào (1) ta được: m m2 3m 4 0 m 1,m 4 . m 2 Vậy m 1, m 4 là những giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC 4x 1 Bài 1: Gọi C là đồ thị của hàm số y . 3 x 1.Chứng minh rẳng tích các khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên C đến hai đường tiệm cận của nó là một hằng số. 2. Tìm các điểm thuộc C sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận của C nhỏ nhất. mx2 (3 m)x m2 2 Bài 2: Gọi C là đồ thị của hàm số y ,m là tham số . x 1 Khi C có tiệm cận xiên , gọi đường tiệm cận xiên này là d . Tìm m để 1. d đi qua điểm A(1; 4). 2. d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. 3. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d bằng 3 . (m 1)x2 (2m 1)x 2 Bài 3: Gọi C là đồ thị của hàm số y . x 1 1. Tìm m để tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên C đến hai đường tiệm cận của nó bằng 2. 2. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của C luôn thuộc parabol (P) : y x2. 122
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3. Khi C có tiệm cận xiên , tìm m để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn 1 () : x2 y2 . 4 3x 1 Bài 4: Cho hàm số y có đồ thị là (C). x 2 1. Tìm những điểm nằm trên (C) cách đều hai trục tọa độ 2. Tìm những điểm M nằm trên (C), sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. 3. Tìm hai điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) sao cho AB nhỏ nhất. 4. Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 : 3x 4y 1 0 bằng . 5 123