Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán tìm phương trình tiếp tuyến của một đồ thị đã được học trong chương trình toán của lớp 11 và trong bài trước chúng ta cũng đã đề cập đến bài toán này. Dưới đây chúng ta sẽ hệ thống hóa lại các phương pháp giải đã học và sử dụng thêm điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị giải bài toán . A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Hai đồ thị tiếp xúc 1.1. Định nghĩa: Hai đồ thị của hai hàm số y f x và y g x gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu tại M chúng có cùng tiếp tuyến. 2.1. Định lí 1: Hai đồ thị của hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc nhau khi f(x) g(x) và chỉ khi hệ phương trình: có nghiệm và nghiệm của hệ là tọa độ f'(x) g'(x) tiếp điểm. 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1.2. Định nghĩa: Cho hàm số y f x . Một cát tuyến MM0 được giới hạn bởi đường thẳng M0T khi M dần tới M0 thì M0T gọi là tiếp tuyến của đồ thị. M0 gọi là tiếp điểm. Định lí 2: Đạo hàm của f x tại x x0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại M x0 ;f x0 . Nhận xét: Hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng f' x0 . 2.2. Các bài toán về phương trình tiếp tuyến: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M(x0 ;f(x0 )) . Phương pháp: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại M(x0 ; y0 ) là: y f'(x0 )(x x0 ) y0 với y0 f(x0 ) . Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k . Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b f(x) kx b (1) * Điều kiện tiếp xúc là hệ pt: f'(x) k (2) Từ (2) ta tìm được x , thế vào (1) ta có được b . Ta có tiếp tuyến cần tìm. 167
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Cách 2: * Giải phương trình f'(x) k giải phương trình này ta tìm được các nghiệm x1 ,x2 , ,xn . * Phương trình tiếp tuyến: y f'(xi )(x xi ) f(xi ) (i 1,2, ,n) . Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: * Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f'(x) k . *Cho hai đường thẳng d1 : y k1x b1 và d2 : y k2x b2 . Khi đó k1 k2 · i) tan , trong đó (d1 ,d2 ) . 1 k1.k2 k1 k2 ii) d1 / /d2 b1 b2 iii) d1  d2 k1.k2 1 . Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA ) . Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y k(x xA ) yA f(x) k(x x ) y (1) Điều kiện tiếp xúc: hệ pt A A có nghiệm. f'(x) k (2) Thay (2) vào (1), ta được: f(x) f'(x)(x xA ) yA , giải pt này ta tìm được các nghiệm x1 ,x2 , ,xn . Thay vào (2) ta tìm được k từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến. Cách 2: Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó tiếp tuyến có dạng: y f'(x0 )(x x0 ) y0 Vì tiếp tuyến đi qua A nên ta có: yA f'(x0 )(xA x0 ) y0 , giải phương trình này ta tìm được x0 suy ra phương trình tiếp tuyến. Chú ý: * Nếu giải theo cách 1 thì số tiếp tuyến của đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình: f(x) f'(x)(x xA ) yA * Nếu giải theo cách 2 thì số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình yA f'(x0 )(xA x0 ) f(x0 ) (với ẩn là x0). B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị ( C ). 168
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương pháp . * Đường cong C : y f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số y f x khả vi tại x0 . Trong trường hợp C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f' x0 . * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x tại điểm M x0 ;f x0 có dạng : y f' x0 x x0 f x0 Ví dụ 1.1.8 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 6x2 9x 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1; 2 , B 3; 2 và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x y 4 0 . Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C của hàm số và tiếp tuyến 3 2 d cần tìm. Khi đó y0 x0 6x0 9x0 2 2x y 4 Ta có: AB 2 5 , d M; AB 0 0 5 1 Giả thiết S 6 .AB.d M; AB 6 2x y 4 6 MAB 2 0 0 2x0 y0 10 hoặc 2x0 y0 2 2x0 y0 2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 2 2x0 y 2 0 hay M 0; 2 x x2 6x 11 0 x 0 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 2 . 2x0 y0 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 10 2x0 y 2 0 hay M 4; 2 x 4 x2 6x 11 0 x 4 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 . Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2 và y 9x 34 169
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 2.1.8 Tìm m ¡ , để tiếp tuyến của đồ thị hàm số : y x3 mx m 1 2 2 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đường tròn x 2 y 3 theo 1 dây 5 cung có độ dài nhỏ nhất. Lời giải. y' 3x2 m y' 1 3 m . Với x 1 y 1 0 M 1;0 . Phương trình tiếp tuyến tại M : y y' 1 x 1 3 m x y 3 m 0 d . 1 Đường tròn có tâm I 2; 3 và bán kính R . Vì IM R nên độ dài cung 5 nhỏ nhất khi d tiếp xúc với đường tròn, tức là d I; d R 3 m 2 3 3 m 1 m 1 hay , bình phương hai vế 2 2 3 m 1 5 m 6m 10 5 và rút gọn ta được phương trình 2m2 3m 5 0 , giải phương trình này ta 5 được m 1 hoặc m thỏa bài toán. 2 x2 2mx m Ví dụ 3.1.8 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y , m là tham số khác x m 1 0 và khác 3 1.Chứng minh rằng nếu (C) cắt Ox tại điểm M có hoành độ x0 thì hệ số góc của 2x 2m tiếp tuyến của (C) tại M là : k 0 x0 m 2.Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến của (C) tại hai điêm đó vuông góc với nhau. Lời giải. 3m2 m 1. Ta có y x 3m x m 1 Khi m 0 và m thì đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu do đó đồ 3 thị hàm số không suy biến thành đường thẳng. Hệ số góc của tiếp tuyến (d) của (C) tại M là (2x 2m)(x m) (x2 2mx m) k y'(x ) 0 0 0 0 . 0 2 (x0 m) 170
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 x0 2mx0 m 2 Vì M thuộc Ox nên y(x0 ) 0 x0 2mx0 m 0 . x0 m (2x 2m)(x m) 2x 2m k 0 0 0 (đpcm). 2 x m (x0 m) 0 2.Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox x2 2mx m x m 0 2 x m g(x) x 2mx m 0 (1) (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt M,N (1) có hai nghiệm x1, x2 khác – m . m 0  m 1 ' m2 m 0 m 0  m 1 2 1 .(*) g( m) 0 3m m 0 m 3 Khi đó hệ số góc của hai tiếp tuyến của (C) tại M, N là 2x1 2m 2x2 2m k1 , k2 . x1 m x2 m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1.k2 1 2x1 2m 2x2 2m 1 x1 m x2 m 2 2 4[x1x2 m(x1 x2 ) m ] x1x2 m(x1 x2 ) m (2) 2 Lại có x1 x2 2m , x1.x2 m Do đó : (2) m 5m 0 m 0  m 5 . So với điều kiện (*) nhận m = 5. Ví dụ 4.1.8 1. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x3 (2m 1)x2 (m 3)x 3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ 7 O đến (d) bằng . 17 1 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = x4 (m 1)x2 m , m là tham số , (d) là 4 tiếp tuyến của (Cm) tại điểm A có hoành độ x = 1. Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm A, B, C sao cho BC = 4 Lời giải. 1. Ta có: y' 3x2 2 2m 1 x m 3. Phương trình tiếp tuyến (d) : y y'(2)(x 2) y(2) 171
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. y 11 – 7m x – 2 7 – 6m 11 – 7m x 8m – 15 (11 7m)x y 8m 15 0 8m 15 7 d(0,(d)) 17(8m 15)2 49[(11 7m)2 1] (11 7m)2 1 17 2153 1313m2 3466m 2153 0 m 1  m . 1313 2. Phương trình tiếp tuyến (d) : 3 1 y y'(1)(x 1) y(1) ( 1 2m)(x 1) 2m (2m 1)x 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d): 1 1 x4 (m 1)x2 m (2m 1)x 4 4 x4 4(m 1)x2 4(2m 1)x 4m 1 0 (x 1)2(x2 2x 4m 1) 0 x 1, g(x) x2 2x 4m 1 0 (1) (d) cắt (Cm) tại ba điểm A, B, C Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 m ' 1 4m 1 0 2 khác 1 . (*) 2 4m 0 1 m 2 Hoành độ của B, C là hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) , lại có B, C thuộc 1 1 (d) ,suy ra B x1; (2m 1)x1 , C x2 ; (2m 1)x2 . 4 4 2 2 2 2 2 2 BC (x2 x1) (2m 1) (x2 x1) [(2m 1) 1](x2 x1) 2 2 (4m 4m 2)[(x2 x1) 4x1x2 ]. Vì x1 x2 2 , x1x2 4m 1 Do đó BC 4 BC2 (4m2 4m 2)[4 4(4m 1)] 16 (4m2 4m 2)(16m 8) 16 64m3 96m2 64m 16 16 m(2m2 3m 2) 0 m 0 So điều kiện (*) nhân m = 0. x 1 Ví dụ 5.1.8 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . x 3 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng của (C) tại A , cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C) . Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB. ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải. 172
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 yM 5 . y 5 7 M (C) M x TH1: x 1 M 3 y 5 5 M M y 5 xM 3 M yM 5 M (C) xM 4 TH2: xM 1 yM 5 5 yM 5 xM 3 7 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ; 5 là y 9x 16. 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 4; 5 là y 4x 21. · 2. i) Ta có ABI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục hoành suy ra · IA hệ số góc của (d) là k tan ABI 4 IB Phương trình tiếp tuyến d : y 4x 5 hoặc y 4x 21. ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 4 x 1 4 x2 2x 3 y (x x ) 0 x 0 0 . 2 0 x 3 2 2 (x0 3) 0 (x0 3) (x0 3) Tiệm cận đứng của (C) : D1 : x 3 Tiệm cận ngang của (C) : D2 : y 1. x2 2x 15 A là giao điểm của (d) và D y 0 0 1 A 2 (x0 3) B là giao điểm của (C) với D2 xB 2x0 3 . x2 2x 15 8 IA IB y y x x 0 0 1 2x 6 2x 6 A I B I 2 0 x 3 0 (x0 3) 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có 8 IA IB 2 2x0 6 8 . x0 3 8 2 x0 1 IA IB 8 2x0 6 (x0 3) 4 x0 3 x0 5 min IA IB 8 d: y x, y x 8 173
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x 1 Ví dụ 6.1.8 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . Viết phương trình tiếp x 1 tuyến (t) của (C), biết: 1. (t) tiếp xúc với đường tròn: () : (x 2)2 (y 6)2 45 . 2. Khoảng cách từ (t) đến điểm I(1;1) lớn nhất. Lời giải. uur 1. Tịnh tiến OI với I(1;1), hệ trục Oxy hệ trục IXY. x X x X 1 Công thức chuyển hệ tọa độ : I y Y yI Y 1 X x 1 2 1 1 Đối với hệ trục IXY thì A có tọa độ là Y y 1 6 1 5 X 1 1 X 2 2 Hàm số cho trở thành : Y 1 Y F(X). (X 1) 1 X X Phương trình của đường tròn () là (X 1)2 (Y 5)2 45, (  ) có tâm A(1;5) , bán kính R = 3 5 . Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm có hoành độ X0 là 2 2 2 4 Y F'(X )(X X ) F(X ) (X X ) X 0 0 0 2 0 X 2 X X0 0 X0 0 2 2X X0Y 4X0 0. (D) tiếp xúc (C) d A, D R 2 2 2 2 5X0 4x0 (5X 4X 2) d[A,(D)) 3 5 [(d(A,(D))]2 0 0 45 4 4 X4 4 X0 0 4 2 3 2 4 25X0 16X0 4 40X0 20X0 16X0 180 45X0 4 3 2 2 2 5X0 10X0 9X0 4X0 44 0 (X0 2) (5X0 10X0 11) 0 X0 2 1 Vậy phương trình (D): Y X 2 ,suy ra phương trình (D) đối với hệ trục 2 1 1 1 xuất phát Oxy là : y 1 (x 1) 2 x . 2 2 2 2. Đối với hệ tọa độ IXY , phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 2 4X0 2X X0Y 4X0 0 , d(I,(d)) 4 4 X0 4 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có : 4 X0 2 4X0 4X0 174
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4X0 4X0 4 d(I,(d)) 2 d(I,(d)) 2 X0 4 X0 2 2 2X0 4X0 Khi đó phương trình tiếp tuyến (d): Y X 2 2,Y X 2 2 . Suy ra phương trình (d) đối với hệ trục Oxy là y x 2 2 2 . Ví dụ 7.1.8 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 2x3 6x2 5 . 1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A thuộc (C) có hoành độ x 3 . Tìm giao điểm khác A của (d) và (C). 2. Xác định tham số a để tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a. 3. Chứng minh rằng chỉ có duy nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' 0 của (C). Lời giải. 1. Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A: y y'(3)(x 3) y(3) 18x 49 . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 2x3 6x2 5 18x 49 2x3 6x2 18x 54 0 x 3  x 3 Suy ra giao điểm của (d) và (C) khác A là B 3;103 . 2. Tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a x0 ¡ , y'(x0 ) a 2 x0 : 6x0 12x0 a . Bài toán quy về :Tìm a để phương trình - 6x2 +12x = a (1) có nghiệm. (1) 6x2 – 12x + a = 0 . (1) có nghiệm ' 36 6a 0 a 6. Vậy a 6. 3. Từ giả thiết, suy ra hoành độ phương trình y'' 0 x 1 I 1; 1 . Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) đi qua I 1; 1 . có dạng : y k x – 1 – 1. 3 2 2x 6x 5 k(x 1) 1 (1) (D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 0 0 có 0 2 6x0 12x0 k (2) nghiệm x0 . Thay (2) vào (1) ta được 3 2 2 3 2x0 6x0 5 ( 6x0 12x0 )(x0 1) 1 (x0 1) 0 x0 1 Suy ra phương trình d : y 6x – 7 Ví dụ 8.1.8 175
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 x 1. Cho hàm số y (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) x 2 cách đều hai điểm A 1; 2 và B 1;0 . 2. Cho hàm số y x3 6x2 9x 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A 2;7 và B 2;7 . Lời giải. 1. Cách 1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) ( x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)). 5 3 x 5 ( x2 6x 6) = (x x ) 0 x 0 0 2 0 x 2 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) (x0 2) 2 2 5x (x0 2) y x0 6x0 6 0 2 2 2 5 2(x0 2) x0 6x0 6 5 x0 6x0 6 d(A,(d)) d(B,(d)) 4 4 25 (x0 2) 25 (x0 2) x2 14x 19 x2 6x 1 x2 14x 19 x2 6x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 x0 14x0 19 x0 6x0 1 x0 1 2 x0 1. x0 4x0 9 0 Vậy phương trình d : y 5x – 1 Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của đoạn AB. * Trường hợp 1: (d) //AB. yA yB Hệ số góc của đường thẳng AB: kAB = 1 . xA xB 5 (d) // AB suy ra hệ số góc của (d) : f’ x 1 1 (*) . Phương trình 0 2 (x0 2) (*) vô nghiệm do đó trường hợp này không xảy ra. * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB. Phương trình (d) có dạng y = kx – 1. 3 x0 kx0 1 (2) x0 2 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x có nghiệm x . 0 5 0 k (3) 2 (x0 2) 176
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5 3 x 5 Thay k vào (2) ta đươc 0 1 2 x 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) x0 2 x 2 0 x 1 2 0 (3 x0 )(x0 2) 5 (x0 2) x0 1 Thay x0 1 vào (2) ta được k 5 . Vậy phương trình d : y 5x – 1 2. Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : 2 3 2 2 3 2 y (3x0 12x0 9)(x x0 ) x0 6x0 9x0 1 (3x0 12x0 9)x 2x0 6x0 1 2 3 2 (3x0 12x0 9)x y 2x0 6x0 1 0 (*) d(A,(D)) d(B,(D)) 2 3 2 2 3 2 2(3x0 12x0 9) 7 2x0 6x0 1 2(3x0 12x0 9) 7 2x0 6x0 1 2 2 2 2 (3x0 12x0 9) 1 (3x0 12x0 9) 1 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 2x3 12x2 24x 10 2x3 24x 26 (1) 0 0 0 0 0 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 (2) 2 12x0 48x0 36 0 x0 3  x0 1 3 2 x 1  x 2 4x0 12x0 16 0 0 0 Lần lượt thay x0 3  x0 1 x0 1  x0 2 vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến (D) là y 1 0, y 3 0, y 24x 7, y 3x 7. x4 x2 Ví dụ 9.1.8 Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). 4 2 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : y 2x 2 . 2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến 9 (d) bằng . 4 5 Lời giải. 1. f'(x0 ) 2 (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (t) với (C)). 3 3 x0 x0 2 x0 x0 2 0 x0 1. 11 3 Phương trình (t): y f'(1)(x 1) f(1) 2(x 1) 2x 4 4 2. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y f'(x0 )(x x0 f(x0 ) 177
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)). x4 x2 3 1 Phương trình (d): y (x3 x )(x x ) 0 0 2 (x3 x )x x4 x2 2 0 0 0 4 2 0 0 4 0 2 0 3 1 (x3 x )x y x4 x2 2 0. 0 0 4 0 2 0 3 1 x4 x2 1 9 4 0 2 0 9 d(A;(d)) 4 5 3 2 4 5 (x0 x0 ) 1 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3x0 2x0 4 5 9 x0 (x0 1) 1 5(3x0 2x0 4) 81[x0 (x0 1) 1] 2 2 2 2 Đặt t x0 , t 0 . Phương trình (1) trở thành: 5(3t 2t 4) 81[t(t 1) 1] 5(9t4 4t2 16 12t3 24t2 16t) 81t3 162t2 81t 81 45t4 21t3 22t2 t 1 0 (t 1)(45t3 24t2 2t 1) 0 t 1 (do t 0 nên 45t3 24t2 2t 1 0) 2 Với t 1 ,ta có x0 1 x0 1 . 3 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y 2x ,y 2x 4 4 Ví dụ 10.1.8 ax b 1. Cho hàm số y , có đồ thị là C . Tìm a,b biết tiếp tuyến của đồ thị x 2 1 C tại giao điểm của C và trục Ox có phương trình là y x 2 2 2. Cho hàm số y ax4 bx2 c (a 0) , có đồ thị là C . Tìm a,b,c biết C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0; 3 và tiếp tuyến d của C tại giao điểm của C với trục Ox có phương trình là y 8 3x 24 . Lời giải. 1 1. Giao điểm của tiếp tuyến d : y x 2 với trục Ox là A 4;0 , hệ số góc 2 1 4a b của d : k và A 4;0 , (C) 0 4a b 0 . 2 2 2a b 2a b Ta có: y' y 4 (x 2)2 4 1 1 2a b 1 Theo bài toán thì: k y'(4) 2a b 2 2 2 4 2 178
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4a b 0 Giải hệ ta được a 1, b 4 2a b 2 2. C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0; 3 a 0 ,b 0 c 3 Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B 3;0 và hệ số góc của d là 8 3 9a 3b c 0 B (C) 9a 3b c 0 3 . y' 3 8 3 4a 3 2b 3 8 3 6a b 4 c 3 Giải hệ 9a 3b c 0 ta được a 1, b 2, c 3 y x4 2x2 3 6a b 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 6x2 11x 1 tại điểm có tung độ bằng 5. 1 1 4 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x2 2x , biết 3 2 3 tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0 . Bài 2: 1. Cho hàm số y x3 2x2 x 1. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị. 2. Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc d : y 3x 2 sao cho từ M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 2x m 3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ,m là tham số khác – 4 và (d) là một x 2 tiếp tuyến của (C) .Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 2. Bài 3: Cho hàm số y x3 ax2 bx c , c 0 có đồ thị (C) cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N . Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a; b;c để SAMN 1. Bài 4: Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 . 179
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. x3 Bài 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x2 2x 1 . 3 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. x 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y 2 . 5 3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 3 2 Bài 6: Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm ) tại điểm có hoành độ x 1 song song với đường thẳng y 3x 10 . 2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng : y 2x 1. 3. Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm ) đúng hai tiếp tuyến. Bài 7: Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là (C). 1. Chứng minh rằng (C) tiếp xúc với trục hoành. 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 3. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 8. Cho hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24x y 1 0 . 2. Tìm M Oy sao cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC 2x 2 Bài 9: Cho hàm số y có đồ thị là (C). x 1 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 4. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua tâm đối xứng. 180
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2x Bài 10 Cho hàm số y có đồ thị (C). x 2 1. Trên đồ thị (C) tồn tại bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến của (C) tại đó song song với đường thẳng y 4x 3 . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ 1 một tam giác có diện tích bằng . 18 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất. Bài 11 Cho hàm số y x3 3x2 9x 1 có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 5 d : y x 1 một góc thỏa cos . 41 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1;6) . 2x 1 Bài 12: Cho hàm số y có đồ thị là (C). x 1 1 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng . 4 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn nhất. 4. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. Bài 13: 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x4 1 và (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt hai trục tọa độ tại A và B. Viết phương trình tiếp tuyến (d) khi tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất ( O là gốc tọa độ ). 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x4 3 m 1 .x2 3m 2 , m là tham số Tìm các giá trị dương của tham số m để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24. Bài 14: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = f(x) = x3 5x2 (m 4)x m , m là tham số . 1. Tìm tham số m để trên (Cm) tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm 1 đó vuông góc với đường thẳng y x 3 . 2 181
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A(1;0), B, C . Khi đó gọi 2 2 k1 , k2 là hai tiếp tuyến của (Cm) tại B và C . Tìm m để k1 k2 160 Vấn đề 2 Tiếp tuyến đi qua điểm Phương pháp . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x đi qua điểm M x1; y1 Cách 1 : Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y k x x1 y1 . f x0 k x0 x1 y1 d tiếp xúc với đồ thị C tại N x0 ; y0 khi hệ: có f' x0 k nghiệm x0 . Cách 2 : Gọi N x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C và tiếp tuyến d qua điểm M , nên d cũng có dạng y y'0 x x0 y0 . d đi qua điểm M nên có phương trình : y1 y'0 x1 x0 y0 * Từ phương trình * ta tìm được tọa độ điểm N x0 ; y0 , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng d . Ví dụ 1.2.8 Viết phương trình tiếp tuyến của C : 3 x 2 1 1. y x 3x 1 đi qua điểm A 0; 3 3 2. y x4 4x2 3 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị. Lời giải. TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2x 3 Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) x3 2 y (x2 2x 3)(x x ) 0 x2 3x 1 (x2 2x 3)x x3 x2 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 1 1 2 3 2 3 2 A 0; d x0 x0 1 2x0 3x0 4 0 x0 2. 3 3 3 182
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x . 3 2. Điểm cực tiểu của C là A 0; 3 . Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) 3 4 2 3 4 2 y ( 4x0 8x0 )(x x0 ) x0 4x0 3 ( 4x0 8x0 )x 3x0 4x0 3 4 2 4 2 2 A(0; 3) d 3 3x0 4x0 3 3x0 4x0 0 x0 0 hoặc x0 3 Với x0 0 thì phương trình d: y 3 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 16 59 16 59 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y 3 , y x , y x 3 3 9 3 3 9 x3 1 Ví dụ 2.2.8 Tìm m để (Cm): y (m 2)x2 2mx 1 tiếp xúc với đường 3 2 thẳng y = 1 Lời giải. (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau 3 x0 1 2 (m 2)x0 2mx0 1 1 (a) 3 2 có nghiệm x0 . 2 x0 (m 2)x0 2m 0 (b) (b) x0 2  x0 m. 2 Thay x 2 vào (a) ta được m . 0 3 m3 Thay x m vào (a) ta được m2 0 m 0  m 6. 0 6 2  Vậy (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 m 0; ;6 3  183
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x 2 Ví dụ 3.2.8Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = . (0;m) là một điểm thuộc trục 2x 1 Oy , m 0 . Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương. Lời giải. Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m. x0 2 kx0 m (1) 2x0 1 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ sau 0 3 có k (2) 2 (2x0 1) nghiệm x0 . x 2 3x 0 0 m Thay (2) vào (1) ta được : 2x 1 2 0 (2x0 1) 1 (x 2)(2x 1) 3x m(2x 1)2 (3) (do x = không phải là nghiệm của 0 0 0 0 2 2 (3)) (4m 2)x0 4(m 2)x0 m 2 0 (4) Yêu cầu của bài toán Phương trình (4) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m 0. Vì m 0 nên 4m – 2 < 0 suy ra (4) có nghiệm ' 4(m 2)2 (4m 2)(m 2) 0 m 2 0 . Bất đẳng thức này đúng với mọi m 0. Khi đó gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (4). 4(m 2) x x 0 1 2 4m 2 Ta có m 0 , ,suy ra x 0,x 0 m 2 1 2 x x 0 1 2 4m 2 Vậy, với mọi m 0 luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) là số dương. 2 Ví dụ 4.2.8 Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị là ( C ). x 1 1. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). 2. Gọi M1M2 là hai điểm thuộc (C) có hoành độ lần lượt là x1 ,x2 (x1 x2 ) . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ,x2 sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M1M2 song song với nhau. Chứng minh rằng khi đó giao điểm I của hai đường tiệm cận của (C) là trung điểm của đoạn M1M2 Lời giải. 184
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. Tiệm cận đứng của (C) : x = 1, tiệm cận xiên của (C): y = 2x – 1, suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận này là I(1;1). Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua I : y = k(x – 1) + 1. 2 2x 1 k(x 1) 1 (1) x 1 (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x có 0 2 2 k (2) 2 (x 1) nghiệm x0 . 2 Thay 2 k vào (1) ta được 2 (x0 1) 2 2 4 2x 1 2 (x 1) 1 0 (3) 0 x 1 2 0 2 0 (x0 1) (x0 1) Phương trình (3) vô nghiệm nên không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua I. 2. Hai tiếp tuyến của (C) tại M1M2 song song với nhau y'(x1) y'(x2 ) 2 2 2 2 2 2 (x1 1) (x2 1) 2 2 (x1 1) (x2 1) x1 1 1 x2 (do x1 x2 ) x1 x2 2. Gọi E là trung điểm của đoạn M1M2 thì x1 x2 x 1 E 2 1 2 2 y 2x 1 2x 1 E 1 2 2 x1 1 x2 1 1 2 2 yE 2(x1 x2 ) 2 1 2 x1 1 x1 1 Vậy E(1;1) E  I điều phải chứng minh . Ví dụ 5.2.8 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m luôn cắt đồ x 1 thị C : y tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi k ,k lần lượt là hệ số 2x 1 1 2 góc của các tiếp tuyến với C tại A và B . Tìm m ¡ để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn nhất. Đề thi Đại học Khối A– năm 2011 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm x 1 1 x m g x 2x2 2mx m 1 0 ,x 2x 1 2 185
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ' m2 2m 2 0,m ¡ Vì 1 nên phương trình luôn có 2 nghiệm g 0,m ¡ 2 phân biệt với m ¡ . x 1 Vậy đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị y tại hai điểm phân biệt 2x 1 A,B . Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của thì A x1; y1 ,B x2 ; y2 . Tiếp tuyến của C tại A,B lần lượt có hệ số góc là 1 1 k y' x ,k y' x 1 1 2 2 2 2 2x1 1 2x2 1 Cách 1 : 2 2 2 4 x1 x2 8x1x2 4 x1 x2 2 2x1 1 2x2 1 k k 1 2 2 2 2 2x1 1 2x2 1 4x1x2 2 x1 x2 1 x x m 1 2 Theo định lý Vi – et : m 1 x .x 1 2 2 2 Khi đó k1 k2 4 m 1 2 2 Vậy k1 k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m 1 Cách 2 : 1 1 2 k1 k2 2 2 2x 1 2x 1 2x1 1 2x2 1 1 2 2x1 1 2x2 1 4x1x2 2 x1 x2 1 2 m 1 2m 1 1 Nên k1 k2 2 k1 k2 lớn nhất bằng 2 . Đẳng thức xảy ra khi 2x1 1 1 2x2 x1 x2 1 m 1 Vậy k1 k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m 1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x2 2x 1 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y , biết tiếp x 2 tuyến đi qua điểm M(6; 4) . 186