Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Ứng dụng tích phân (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Ứng dụng tích phân (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Tính diện tích hình phẳng: Định lí 1. Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên a; b . Khi đó diện tích S của hình thang cong giới y hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng: x a,x b là: y f x b S f x dx . a O a b x Bài toán 1: Cho hàm số y f x liên tục trên a; b . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y f x ; trục Ox : ( y 0 ) và hai b đường thẳng x a; x b là: S f x dx . a Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: y C1 : y f x , C2 : y g x và hai đường y f x đường thẳng x a,x b . Được xác định bởi b công thức: S f x g x dx . y g x a O a b Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: f x g x tìm nghiệm x1 ,x2 , ,xn a; b x1 x2 xn . x x b Tính: S 1 f x g x dx 2 f x g x dx f x g x dx a x1 xn x b 1 f x g x dx f x g x dx . a xn Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 114
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị C1 : y f x , C2 : y g x . Khi đó, ta có công thức tính xn như sau: S f x g x dx . x1 Trong đó: x1 ,xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: f x g x . 2. Tính thể tích khối tròn xoay: a. Tính thể tích của vật thể Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a,x b a b . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a x b cắt C theo một thiết diện có diện tích S x . Giả sử S x là hàm liên tục trên a; b . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp P và b Q được tính theo công thức: V S x dx . a b. Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y f x ; y 0; x a; x b quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ y bằng x là một hình tròn có bán kính R f x y f x nên diện tích thiết diện bằng S x R2 f2 x . Vậy thể tích khối tròn a xoay được tính theo công thức: O b x b b V S x dx f2 x dx . a a Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y f x ,y g x , x a, x b (Với f x .g x 0 x a; b ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: b V f2 x g2 x dx . a 115
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x g y , y a, y b, Oy quanh trục Oy được tính b theo công thức: V g2 y dy . a Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo cách sau. Chứng minh hàm số y f(x) liên tục và đơn điệu trên [c;d] với c min g(a),g(b),d max g(a),g(b) . Khi đó phương trình y f(x) có duy nhất nghiệm x g(y) . d Thực hiện phép đổi biến x g(y),dy f'(x)dx ta có: V x2f'(x)dx . c B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Diện tích hình phẳng giới hạn Phương pháp: Cho hàm số y f x liên tục trên a; b . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y f x ; trục Ox : ( y 0 ) và hai đường thẳng b x a; x b là: S f x dx . a b b f x dx f x dx công thức này chỉ đúng khi f x không đổi dấu trên a a khoảng a; b . b b Nếu: f x 0 , x a ; b thì f x dx f x dx a a b b Nếu f x 0 , x a ; b thì f x dx f x dx a a Chú ý: Nếu phương trình f x 0 có k nghiệm phân biệt x1 ,x2 , ,xk trên a; b thì trên mỗi khoảng a; x1 , x1; x2 xk ; b biểu thức f x không đổi dấu. 116
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt b Khi đó tích phân S f x dx được tính như sau: a b x1 x2 b S f x dx f x dx f(x)dx f x dx . a a x1 xk Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y f x và y g x và hai đường thẳng x a,x b a b : b S f x g x dx . a Ví dụ 1.1.7 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 1. y x3 4x,x 3,x 1,y 0 2. y sin2 xcosx,x 0,x ,y 0 Lời giải. 1 3 1. Ta có diện tích cần tính là: SD x 4x dx . 3 Mà x3 4x 0 x 0,x 2 nên ta có bảng xét dấu x 3 2 0 1 x3 4x x3 4x 0 x3 4x 0 x3 4x 2 0 1 3 3 3 Do vậy SD ( x 4x)dx (x 4x)dx ( x 4x)dx 3 2 0 2 0 1 x4 x4 x4 2x2 2x2 2x2 12 (đvdt) 4 4 4 3 2 0 2. Diện tích cần tính là: 2 2 2 2 SD sin xcosx dx sin xcosxdx sin xcosxdx 0 0 2 1 2 1 2 sin3 x sin3 x (đvdt) . 3 0 3 3 2 Ví dụ 2.1.7 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 1 1. y ln x,x ,x e và trục Ox 2. y x(ex 1),x 1,x 2 và trục Ox . e Lời giải. 117
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. e e 1 1. Diện tích cần tính là: SD ln x dx ln xdx ln xdx 1 1 1 e e Mà ln x x(ln x)' x'ln x (xln x)' e 1 1 Nên S xln x xln x e (đvdt). D 1 1 e e 2 x 2. Diện tích cần tính là: SD x(e 1) dx 1 x Vì x(e 1) 0, x 1; 2 nên ta có 2 2 2 x x x x 1 2 S x(e 1)dx (xe x)dx xe e x D 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 3 2e e 2 e e e (đvdt). 2 e 2 4 2 Ví dụ 3.1.7 Cho hàm số y x m 1 x m có đồ thị Cm . Xác định m 1 để đồ thị Cm cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi Cm và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox . Lời giải. Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x4 m 1 x2 m 0 1 có 4 nghiệm phân biệt t2 m 1 t m 0 2 có 2 nghiệm dương phân biệt 2 m 1 4m 0 m 1 0 0 m 1 m 0 Với 0 m 1 thì phương trình 2 có 2 nghiệm là t 1, t m , vì m 1 nên 4 nghiệm phân biệt của 1 theo thứ tự tăng là: m , 1,1, m Theo bài toán, ta có: 1 m S S x4 m 1 x2 m dx x4 m 1 x2 m dx H1 H2 0 1 1 m x4 m 1 x2 m dx x4 m 1 x2 m dx 0 1 118
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt m m x5 x3 x4 m 1 x2 m dx 0 m 1 mx 0 5 3 0 0 m m 1 1 0 m 5 5 3 Vậy, m 5 thỏa bài toán Ví dụ 4.1.7 Tìm các giá trị tham số m ¡ sao cho: 4 2 2 2 y x m 2 x m 1 , có đồ thị Cm cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi Cm với trục hoành phần phía trên Ox 96 có diện tích bằng . 15 Lời giải. Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x4 m2 2 x2 m2 1 0 hay x2 1 x2 m2 1 0 có 4 nghiệm phân biệt, tức m 0 . Với m 0 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt 1; m2 1 Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi Cm với trục hoành phần phía trên 1 96 trục hoành là: S 2 x4 m2 2 x2 m2 1 dx 15 0 20m2 16 96 m 2 15 15 Vậy, m 2 thỏa bài toán Ví dụ 5.1.7 Cho parabol P : y 3x2 và đường thẳng d qua M 1; 5 có hệ số góc là k .Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi P và d có diện tích nhỏ nhất. Lời giải. d : y kx k 5 Phương trình hoành độ giao điểm: 3x2 kx k 5 0 Vì k2 12k 60 0,k ¡ nên d luôn cắt P tại A và B có hoành độ là k k x hoặc x A 6 B 6 x xB B kx2 Khi đó S k x 1 5 3x2 dx 5 k x x3 2 x A xA 119
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. k x2 x2 5 k x x x3 x3 2 B A B A B A k 2 2 xB xA xB xA 5 k xA xAxB xB 2 k k k2 k 5 . 5 k k2 12k 60 3 2 3 9 3 54 Vậy, min S k 6 2 2 Ví dụ 6.1.7 Tìm m để Cm : y x m 1 x 2 có 3 điểm cực trị. Khi đó gọi là tiếp tuyến của Cm tại điểm cực tiểu, tìm m để diện tích miền 4 phẳng giới hạn bởi C và bằng . m 15 Lời giải. m 1 hàm số có cực đại, cực tiểu và : y 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x2 m 1 x2 2 2 x m 1 m 1 Diện tích hình phẳng giới hạn: x4 m 1 x2 dx m 1 m 1 5 3 2 x m 1 x 4 m 1 m 1 2 5 3 15 0 2 5 Giả thiết suy ra m 1 m 1 1 m 1 1 m 2. Vậy, m 2 thỏa bài toán Ví dụ 7.1.7 Tìm các giá trị tham số m ¡ sao cho: y x3 3x 2 và y m x 2 giới hạn hai hình phẳng có cùng diện tích. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x 2 m x 2 x 2 hoặc x 1 m , m 0 . Điều kiện d và C giới hạn 2 hình phẳng : 0 m 9 . Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận được theo thứ tự từ trái sang phải. d qua A khi m 1( tức là d qua điểm uốn ) . Khi đó, S1 S2 4 . 120
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Nếu: 0 m 1: S1 4 S2 Nếu: 1 m 9 : S1 4 S2 Nếu: m 9 1 m 2; 1 m 4 . Khi đó: 2 1 m 3 3 S1 x 3x 2 m x 2 dx; S2 x 3x 2 m x 2 dx 1 m 2 Suy ra S2 S1 2m m 0 Vậy, m 1 thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 8.1.7 Cho parabol P : y x2 2x , có đỉnh S và A là giao điểm khác O của P và trục hoành. M là điểm di động trên SA , tiếp tuyến của P tại M cắt Ox, Oy tại E, F . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích 2 tam giác cong MOE và MAF . Lời giải. Tiếp tuyến tại M m; 2m m2 , 1 m 2 có phương trình: y 2 2m x m 2m m2 y 2 2m x m2 m2 Ta có: E 0; m2 ; F ;0 với 1 m 2 2m 2 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và trục hoành: 2 4 1 m4 m4 S x2 2x dx . S 3 OEF 2 2m 2 0 4 m 1 Ta thấy, SMOE SMAF SOEF S, SMOE SMAF min SOEF min 3 4 4 28 4 SMOE SMAF min khi m . 3 3 27 3 4 Vậy, m thỏa bài toán 3 Ví dụ 9.1.7 Tìm m để đồ thị C : y x4 2mx2 m 2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi C và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi C và Ox . Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của C và Ox : x4 2mx2 m 2 0 1 121
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Đặt t x2 , t 0 , ta có phương trình : t2 2mt m 2 0 2 . Yêu cầu bài toán 2 có hai nghiệm t 0 phân biệt ' m2 m 2 0 S 2m 0 m 2 . P m 2 0 Gọi t1 ,t2 (0 t1 t2 ) là hai nghiệm của 2 . Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2 . Do tính đối xứng của C nên yêu cầu bài toán x3 x4 x4 2mx2 m 2 dx x4 2mx2 m 2 dx 0 x3 x5 2mx3 4 4 m 2 x 0 3x4 10mx2 15 m 2 0 5 3 4 4 4 4 2 x 2mx m 2 0 x là nghiệm của hệ: 4 4 4 4 2 3x4 10mx4 15 m 2 0 3 m 2 4mx2 12 m 2 0 x2 thay vào hệ ta có được 4 4 m 2 m 2 9 6 m 2 m 2 0 9 m 2 5m2 0 (do m 2 ) m2 2 5m 9m 18 0 m 3 x4 5 . x 1 Với m 3 1 x4 6x2 5 0 . x 5 Vậy m 3 là giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi : 1. Đồ thị hàm số: y x , trục hoành và đường thẳng y 2 x . 2. Đồ thị hàm số: y e 1 x và y ex 1 x . Đề thi Đại học khối A, năm 2007. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 1. y 5x x2 9 và y x3 9x. 122
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 2. y và x 1, x 2, trục Ox x x3 1 xln x 2 3. y và trục hoành. 4 x2 4. y x2 , trục Ox và tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3 . Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 1. y x2 4x 3, x 0, x 3 và Ox . 2. y x3 11x 6, y 6x2 , x 0, x 2 . 3. y x2 4 x 3 và trục hoành. 4. y x2 4x 3 và y x 3 . 5. y xln x,x e và Ox 6. y x2 3x 2 và y x 1 ln x 7. x 1,x e,y 0,y . 2 x 8. x 0,x ,y cosx,y sin x 9. y x3 3x,y x 5,x 2 x2 x2 10. y 4 ,y 4 4 2 11. y (e 1)x; y (1 ex )x 12. y x ; y x(2 tan2 x) và x . 4 Bài 4: 5 1. Tìm m thuộc khoảng 0; sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 6 1 1 hàm số y x3 mx2 2x 2m và các đường x 0, x 2, y 0 có diện 3 3 tích bằng 4. 2. Cho hàm số y x3 2x2 m 1 x m 1 . Trong trường hợp hàm số 1 đồng biến trong tập số thực ¡ , tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 và hai trục Ox,Oy có diện tích bằng 1. 123
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 5: Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): y x2 và phía trên bởi đường thẳng đi qua A(1; 4) có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất Dạng 2. Thể tích hình phẳng giới hạn Phương pháp: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y f x ; y 0; x a; x b quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành y độ bằng x là một hình tròn có bán kính R f x nên diện tích thiết diện bằng y f x S x R2 f2 x . Vậy thể tích khối a tròn xoay được tính theo công thức: O b x b b V S x dx f2 x dx . a a Ví dụ 1.2.6 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 1) là một đường tròn có độ dài bán kính R x x 1 . Lời giải. Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là: S(x) R2 x2(x 1) (x3 x2 ) 1 1 x4 x3 7 Nên thể tích cần tính là: V (x3 x2 )dx (đvtt). 4 3 12 0 0 Ví dụ 2.2.6 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x 3 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 3 ) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 1 x2 . Lời giải. Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là: 124
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt S(x) x 1 x2 nên thể tích cần tính là: 3 3 1 1 3 7 V x 1 x2 dx 1 x2 d(1 x2 ) (1 x2 ) 1 x2 (đvtt) . 2 3 3 0 0 0 Ví dụ 3.2.6 Cho parabol P : y x2 m . Gọi d là tiếp tuyến với P qua O có hệ số góc k 0 . Xác định m để khi cho quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi P , d và trục Oy có thể tích bằng 6 . Lời giải. Tiếp tuyến d qua O có dạng y kx, k 0 . d tiếp xúc với P tại điểm có 2 x0 m kx0 2 hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 tức phương trình x0 m có 2x0 k 0 nghiệm x0 0 hay x0 m và m 0 suy ra k 2 m . Phương trình d : y 2 mx 2 2m 2m 2 y 2 m V dy y m dy 2m 6 0 m Mà V 6 m 6 mà m 0 suy ra m 6 . Vậy, m 6 thỏa mãn bài toán. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y xln x, y 0, x e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox . Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1. y x, Ox và đường thẳng x y 2 0 2. y x sin x 0 x và trục Ox . 3. x2 y 5 0 và x y 3 0 . 4. y xcosx sin2 x, y 0,x 0,x . 2 5. y xex ,y 0,x 0,x 1 . 6. y x ln 1 x2 ,y 0,x 1 . Bài 3: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1. y 4 x2 , x2 3y 0 quay quanh Ox 2. x y2 5 , x 3 y quay quanh Oy . 125
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. y xex ,y 0,x 0,x 2 và quay quanh trục Ox . 4. y x2 4,y 2x 4,x 0,x 2 và quay quanh trục Ox . Bài 4: Tính thể tich của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x2 4x 3 và Ox 126