›
›
›

Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ (Có hướng dẫn)

doc 62 trang xuanthu 400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ (Có hướng dẫn)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docphuong_phap_giai_cac_chuyen_de_hinh_hoc_lop_10_chuong_1_vect.doc
  • pdfChuong I [1].pdf
  • docG_I Y VA DAP S_ CHUONG I [2].doc
  • pdfG_I Y VA DAP S_ CHUONG I [2].pdf

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ (Có hướng dẫn)

  1. CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là r r trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ a B x rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm A cuối. Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta Hình 1.1 uuur kí hiệu : AB r r r r Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y, r Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ - Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương - Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. A B F E C D Hình 1.2 H G uuur uuur Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn uuur uuur EF và HG ngược hướng. Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ. 3. Hai vectơ bằng nhau uuur - Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB , A B uuur kí hiệu AB . uuur C D Vậy AB = AB . Hình 1.3 - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. uuur uuur Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB = CD B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ 1. Phương pháp giải.
  2. • Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa • Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác. Lời giải Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ- uuur uuur không là AB, BA . Mà từ bốn đỉnh A, B, C, D của ngũ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ uuur uuur khi AB, AC cùng phương. Lời giải uuur uuur Nếu A,B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường thẳng đi qua uuur uuur ba điểm A,B,C nên AB, AC cùng phương. uuur uuur Ngược lại nếu AB, AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A,B,C thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M ,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB . uuuur a) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. uuur b) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. uuur c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A,B . Lời giải (Hình 1.4) uuuur a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN là uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur NM , AB, BA, AP, PA, BP, PB . uuur uuur uuur uuuur b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB là AP, PB, NM . 2
  3. c) Trên tia CB lấy điểm B ' sao cho BB ' = NP A' A uuuur Khi đó ta có BB ' là vectơ có điểm đầu uuur là B và bằng vectơ NP . P N Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường B' uuur C thẳng đó lấy điểm A ' sao cho AA ' B M uuur cùng hướng với NP và AA ' = NP . Hình 1.4 uuur Khi đó ta có AA ' là vectơ có điểm đầu uuur là A và bằng vectơ NP . Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm đối xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau uuur uuuur MD , MN . Lời giải (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có 2 æa ö 5a2 DM 2 = AM 2 + AD 2 = ç ÷ + a2 = èç2ø÷ 4 N D C a 5 Þ DM = 2 uuur a 5 Suy ra MD = MD = . O 2 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD P A M B cắt AB tại P . Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và Hình 1.5 a 3a PM = PA + AM = a + = . 2 2 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có 2 æ3a ö 13a2 a 13 MN 2 = NP 2 + PM 2 = a2 + ç ÷ = Þ DM = èç 2 ø÷ 4 2 uuuur a 13 Suy ra MN = MN = . 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
  4. Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C, D, O uuur uuur a) Bằng vectơ AB ; OB uuur b) Có độ dài bằng OB Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. uuur uuur a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ? uuur uuur b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ? Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. uuur uuur a) Nếu AB = BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C uuur uuur b) Nếu AB = DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết khẳng định nào sau đây đúng ? uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB = BC b) AB = DC c) OA = - OC uuur uuur uuur uuur uuur uuur d) OB = OA e) AB = BC f) 2 OA = BD Bài 1.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Hãy tìm các vectơ khác vectơ- không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho uuur uuur a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC Bài 1.7: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tính độ dài của các vectơ AB, AC,OA,OM ,OA + OB . Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG . uuur uuur uur Tính độ dài của các vectơ AB, AG, BI . Bài 1.9: Cho trước hai điểm A, B phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả uuur uuur mãn MA = MB .  DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau. 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình uuur uuur uuur uuur bình hành thì AB = DC và AD = BC 2. Các ví dụ. 4
  5. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, uuuur uuur BC, CD, DA. Chứng minh rằng MN = QP . Lời giải (hình 1.6) Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN / / AC và 1 MN = AC (1). D 2 Q Tương tự QP là đường trung bình của tam A giác ADC suy ra QP / / AC và P M 1 QP = AC (2). 2 B N C Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và Hình 1.6 MN = QP do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành uuuur uuur Vậy ta có MN = QP Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của uuuur uuur BC . Dựng điểm B ' sao cho B 'B = AG . uur uur a) Chứng minh rằng BI = IC uuur uur b) Gọi J là trung điểm của BB ' . Chứng minh rằng BJ = IG . Lời giải (hình 1.7) a) Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và uur uur uur A BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , uur uur uur B' IC bằng nhau hay BI = IC . uuuur uuur G b) Ta có B 'B = AG suy ra B 'B = AG và J BB '/ / AG . uuur uur B C Do đó BJ, IG cùng hướng (1). I Hình 1.7 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 1 1 IG = AG , J là trung điểm BB ' suy ra BJ = BB ' 2 2 Vì vậy BJ = IG (2) uuur uur Từ (1) và (2) ta có BJ = IG . Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳngDC, AB theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho DM = BN . Gọi P là giao điểm của
  6. uuuur uuur AM , DB và Q là giao điểm của CN, DB . Chứng minh rằng AM = NC uuur uuur và DB = QB . Lời giải (hình 1.8) Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác A N ANCM là hình bình hành B uuuur uuur Suy ra AM = NC . Q Xét tam giác DDMP và DBNQ ta có · · P DM = NB (giả thiết), PDM = QBN (so D M C le trong) · · Hình 1.8 Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) và · · APQ = NQB (hai góc đồng vị) suy ra · · DMP = BNQ . Do đó DDMP = DBNQ (c.g.c) suy ra DB = QB . uuur uuur uuur uuur Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB = QB . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, uuur uuur BC, CD, DA. Chứng minh rằng MQ = NP . Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của DC, AB ; P là giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của uuuur uuur uuur uuur uuur CN, DB . Chứng minh rằng DM = NB và DP = PQ = QB . Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB 2CD . uur uuur Từ C vẽ CI = DA . Chứng minh rằng   uur uuur uur uur uuur a) AD IC và DI = CB b) AI = IB = DC Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại uuur uuuur tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng B qua O. Chứng minh : AH = B 'C . 6
  7. §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ r r uuur r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a; b . Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a rồi từ B uuur r uuur r r vẽ BC = b khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a; b . uuur r r Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B b) Tính chất : r r r r r r a + Giao hoán : a + b = b + a r r b r r r r r r a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) r r C r r r r A a + b + Tính chất vectơ – không: a + 0 = a, " a Hình 1.9 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ. r r Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a r Kí hiệu - a r r r r uuur uuur Như vậy a + (- a) = 0, " a và AB = - BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí r r r r hiệu là a - b = a + (- b) 3. Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì uuur uuur uuur AB + AD = AC uuur uuur uuur Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB - OA = AB Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1,A2, ,An thì uuuur uuuur uuuuuur uuuur A1A2 + A2A3 + + An- 1An = A1An B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ • Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.
  8. • Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. · Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 300 và BC = a 5 . uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tính độ dài của các vectơ AB + BC , AC - BC và AB + AC . Lời giải (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur B D • AB + BC = AC · AC Mà sin ABC = BC · a 5 Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin 300 = 2 uuur uuur uuur a 5 Do đó AB + BC = AC = AC = A C 2 uuur uuur uuur uuur uuur Hình 1.10 • AC - BC = AC + CB = AB Ta có 5a2 a 15 AC 2 + AB 2 = BC 2 Þ AB = BC 2 - AC 2 = 5a2 - = 4 2 uuur uuur uuur a 15 Vì vậy AC - BC = AB = AB = 2 • Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. uuur uuur uuur Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD = BC = a 5 uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a 5 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính AB + AD , OA - CB , CD - DA r uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh rằng u = MA + MB - MC - MD không phụ thuộc vị trí r điểm M . Tính độ dài vectơ u Lời giải (hình 1.11) uuur uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC 8
  9. uuur uuur uuur Suy ra AB + AD = AC = AC . Áp dụng định lí Pitago ta có C' AC 2 = AB 2 + BC 2 = 2a2 Þ AC = 2a uuur uuur Vậy AB + AD = a 2 uuur uuur + Vì O là tâm của hình vuông nên OA = CO suy ra uuur uuur uuur uuur uuur A B OA - CB = CO - CB = BC uuur uuur uuuur Vậy OA - CB = BC = a uuur uuur O + Do ABCD là hình vuông nên CD = BA suy ra uuur uuur uuur uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD uuur D C Mà BD = BD = AB 2 + AD 2 = a 2 suy ra Hình 1.11 uuur uuur CD - DA = a 2 b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = (MA - MC ) + (MB - MD ) = CA + DB r Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm M . Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' . Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) uuur uuuur suy ra DB = AC ' r uur uuuur uuuur Do đó u = CA + AC ' = CC ' r uuuur Vì vậy u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.14: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính độ dài của các vectơ sau     AB AC, AB AC . Bài 1.15: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính AB + OD , AB - OC + OD     b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MD · Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD = 600 . Gọi O là tâm hình thoi.
  10. uuur uuur uuur uuur Tính AB + AD , OB - DC . Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur r OA, OB, OC cùng bằng a và OA + OB + OC = 0 a) Tính các góc AOB, BOC, COA uuur uuur uuur b) Tính OB + AC - OA Bài 1.18: Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của uuur uuur A,B sao cho OA + OB nằm trên phân giác của góc Oxy .  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có uuur uuur uuur uuur uuur VT = AC + CB + CD + ED + DA (uuur uuur ) uuur (uuur uuur) = CB + ED + AC + CD + DA (uuur uuur ) (uuur uuur ) = (CB + ED ) + AD + DA uuur uuur = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với 10
  11. uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = 0 ( uuur uu)ur (uuur uuur) r Û EC + BD - EC + DB = 0 uuur uuur r BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BA + DA + AC = 0 uuur uuur uuur uuur r b) OA + OB + OC + OD = 0 A B uuur uuur uuur uuur c) MA + MC = MB + MD . Lời giải (Hình 1.12) O a) Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur BA + DA + AC = - AB - AD + AC D C uuur uuur uuur = - (AB + AD ) + AC Hình 1.12 uuur uuur uuur Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy ra uuur uuur uuur uuur uuur r BA + DA + AC = - AC + AC = 0 b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur r OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = 0 uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r Tương tự: OB + OD = 0 Þ OA + OB + OC + OD = 0 . c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuur uuur uuur uuur uuur = MB + MD + BA + DC = MB + MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng do ABCD là hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 0 uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kì. Lời giải (Hình 1.13) a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
  12. PN / /BM , MN / /BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành   BM PN   N là trung điểm của AC CN NA A Do đó theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur BM + CN + AP = PN + NA + AP N uuur uuur r ( ) P = PA + AP = 0 b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo uuur uuur uuuur C quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , B M kết hợp với quy tắc trừ uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uHìnhuur 1.13 Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = 0 do M là trung điểm của BC . uuur uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = 0 . c) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu(r uuur )uuur( uuur ) ( ) = OM + ON + OP + PA + MB + NC (uuur uuur uuur ) uuur uuur uuur = (OM + ON + OP )- (BM + CN + AP ) uuur uuur uuur r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OM + ON + OP . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.19: Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng minh rằng     a) DA CA DB CB       b) AC DA BD AD CD BA Bài 1.20: Cho các điểm A, B, C , D, E, F . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur uuur AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng.  Chứng minh rằng a) AB OD OC AC     b) BA BC OB OD      c) BA BC OB MO MB Bài 1.22: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng 12
  13. uuur uuur uuur r a) NA + PB + MC = 0 uuur uuur uuur uuur b) MC + BP + NC = BC Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C 'D ' có chung đỉnh A. uuuur uuuur uuuur r Chứng minh rằng B 'B + CC ' + D 'D = 0 Bài 1.24: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OE + OF = 0 Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD . Dựng uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur AM = BA, MN = DA, NP = DC, PQ = BC . uuur r Chứng minh rằng: AQ = 0.
  14. §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT r 1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là r r r ka , cùng hướng với cùng hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu r k < 0 và có độ dài bằng k a r r r r Quy ước: 0a = 0 và k0 = 0 2. Tính chất : r r r r r r r i) (k + m)a = ka + ma ii) k(a ± b) = ka ± kb r r r r ék = 0 êr r iii) k(ma) = (km)a iv) ka = 0 Û ê êa = 0 r r r r ë v) 1a = a, (- 1)a = - a 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r • b cùng phương a (a ¹ 0) khi và chỉ khi có số k thỏa b = ka • Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho uuur uuur AB = kAC 4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. r r r Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn r r r x = ma + nb với m, n là các số thực duy nhất. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. 1    1  a) CB MA b) BA BC 2 2 1   3   c) AB 2AC c) MA 2,5MB 2 4 Lời giải (Hình 1.14) 14
  15. 1   a) Do CB CM suy ra theo quy tắc ba 2 A điểm ta có L 1      CB MA CM MA CA K 2 N 1   Vậy CB MA CA a 2 C M B H 1   b) Vì BC BM nên theo quy tắc trừ ta 2  1     có BA BC BA BM MA Q 2 Theo định lí Pitago ta có 2 P 2 2 2 a a 3 MA AB BM a Hình 1.14 2 2  1  a 3 Vậy BA BC MA 2 2 c) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN . 1     Khi đó ta có AB AN, 2AC AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta 2 1      có AB 2AC AN AQ AP 2 Gọi L là hình chiếu của A lên QN · · · Vì MN / / AC ANL MNB CAB 600 Xét tam giác vuông ANL ta có · AL · a a 3 sin ANL AL AN.sin ANL sin 600 AN 2 4 · NL · a a cos ANL NL AN.cos ANL cos600 AN 2 4 a 9a Ta lại có AQ PN PL PN NL AQ NL 2a 4 4 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có 3a2 81a2 21a2 a 21 AP2 AL2 PL2 AP 16 16 4 2
  16. 1   a 21 Vậy AB 2AC AP 2 2 3 d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK MA , H thuộc tia 4 MB sao cho MH 2,5MB . 3     Khi đó MA MK, 2,5MB MH 4 3      Do đó MA 2,5MB MK MH HK 4 3 3 a 3 3 3a a 5a Ta có MK AM . , MH 2,5MB 2,5. 4 4 2 8 2 4 Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có 25a2 27a2 a 127 KH MH 2 MK 2 16 64 8 3   a 127 Vậy MA 2,5MB KH 4 8 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a . r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng u = 4MA - 3MB + MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. r b) Tính độ dài vectơ u Lời giải (Hình 1.15) a) Gọi O là tâm hình vuông. Theo quy tắc ba điểm ta có r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur u = 4(MO + OA )- 3(MO + OB )+ (MO + OC )- 2(MO + OD ) uuur uuur uuur uuur = 4OA - 3OB + OC - 2OD uuur uuur uuur uuur r uuur uuur Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = 3OA - OB r A' Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A' trên tia OA sao cho OA' 3OA khi đó uuur uuur r uuur uuur uuur A B OA ' = 3OA do đó u = OA ' - OB = BA ' Mặt khác O BA ' = OB 2 + OA '2 = OB 2 + 9OA2 = a 5 r D C Suy ra u = a 5 Hình 1.15 3. Bài tập luyện tập. 16
  17. Bài 1.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M , N lần lượt là trung điểm BC, CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.  1  1   a) AN CB b) BC 2MN 2 2    3  c) AB 2AC c) 0,25MA MB 2 Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a . r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng u = MA - 2MB + 3MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. r b) Tính độ dài vectơ u  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: • Các tính chất phép toán vectơ • Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ • Tính chất trung điểm: uuur uuur r M là trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 uuur uuur uuur M là trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý) • Tính chất trọng tâm: uuur uuur uuur ur G là trọng tâm của tam giác ABC Û GA +GB +GC =O uuur uuur uuur uuur G là trọng tâm của tam giác ABC Û OA +OB +OC =OG (Với O là điểm tuỳ ý) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Chứng minh rằng: uuur uuur uur a) AC + BD = 2IJ uuur uuur uuur uuur r b) OA + OB + OC + OD = 0 uuur uuur uuur uuur uuur c) MA + MB + MC + MD = 4MO với M là điểm bất kì I B Lời giải (Hình 1.16) A a) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uur uur uur uur uur AC = AI + IJ = AI + IJ + JC O D J C Hình 1.16 14
  18. uuur uur uur uur Tương tự BD = BI + IJ + JD Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên uur uur r uur uur r AI + BI = 0, JC + JD = 0 uuur uuur uur uur uur uur uur uur Vậy AC + BD = (AI + BI )+ ( JC + JD )+ 2IJ = 2IJ đpcm uuur uuur uur uuur uuur uur b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA + OB = 2OI , OC + OD = 2OJ uur uur r Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI + OJ = 0 uuur uuur uuur uuur uur uur r Suy ra OA + OB + OC + OD = 2(OI + OJ ) = 0 đpcm uuur uuur uuur uuur r c) Theo câu b ta có OA + OB + OC + OD = 0 do đó với mọi điểm M thì uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Û (OM + MA ) + (OM + MA ) + (OM + MA ) + (OM + MA ) = 0 uuur uuur uuur uuur uuur Û MA + MB + MC + MD = 4MO đpcm Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G , G , G lần lượt là trọng tâm tam giác BCA , ABC , ACB . Chứng minh 1 u2uuur 3 uuuur uuuur r 1 1 1 rằng GG1 + GG2 + GG3 = 0 Lời giải uuuur uuur uuur uuur Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1 Tương tự G , G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACB suy ra uuuur uuur2 u3uur uuuur uuuur uuur uuur uu1 ur 1 3GG2 = GA + GB + GC1 và 3GG3 = GA + GC + GB1 Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur GG1 + GG2 + GG3 = 2(GA + GB + GC )+ (GA1 + GB1 + GC1 ) Mặt khác hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm G nên uuur uuur uuur r uuur uu1ur 1 1uuuur GA + GB + GC = 0 và GA + GB + GC uuuur uuuur uuuur 1 r 1 1 Suy ra GG1 + GG2 + GG3 = 0 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, A trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur a)HA + HB + HC = 2HO uuur uuur uuur uuur H b) OA + OB + OC = OH uuur uuur r O c) GH + 2GO = 0 B C Lời giải (Hình 1.17) 18 D Hình 1.17
  19. uuur uuur uuur uuur a) Dễ thấy HA + HB + HC = 2HO nếu tam giác ABC vuông Nếu tam giácABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O khi đó BH / /DC (vì cùng vuông góc với AC) BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB) Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì uuur uuur uuur HB + HC = HD (1) uuur uuur uuur Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2HO (2) uuur uuur uuur uuur Từ (1) và (2) suy ra HA + HB + HC = 2HO b) Theo câu a) ta có uuur uuur uuur uuur HA + HB + HC = 2HO uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û (HO + OA ) + (HO + OB ) + (HO + OC ) = 2HO uuur uuur uuur uuur Û OA + OB + OC = OH đpcm uuur uuur uuur uuur c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA + OB + OC = 3OG uuur uuur uuur uuur Mặt khác theo câu b) ta có OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r Suy ra OH = 3OG Û (OG + GH )- 3OG = 0 Û GH + 2GO = 0 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và có trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA, AB . uuur uuur uuur r Chứng minh rằng a2.GD + b2.GE + c2.GF = 0 Lời giải (hình 1.18) Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành GPRN uuur uuur uuur r A P Ta có a2.GD + b2.GE + c2.GF = 0 Q uuur uuur uuur r E Û a.GD.GN + b.GE.GP + c.GF.GQ = 0 (*) F Ta có a.GD 2S , b.GE 2S , c.GF 2S , G GBC GCA GAB C mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên B D R S S S suy ra a.GD b.GE c.GF GBC GCuAuur GAuBuur uuur r Vậy (*) Û GN + GP + GQ = 0 · · Ta có AC GP b, PR BC a và ACB GPR N (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau) Hình 1.18 Suy ra DACB = DGPR(c.g.c)
  20. · · Þ GR = AB = c và PGR = BAC · · · · Ta có QGP + BAC = 1800 Þ QGP + GPR = 1800 Þ Q, G, R thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur r GN + GP + GQ = GR + GQ = 0 uuur uuur uuur r Vậy a2.GD + b2.GE + c2.GF = 0. Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng uur uur uur r aIA + bIB + cIC = 0 Lời giải Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có DB c uuur c uuur = Þ BD = DC A DC b b uur uur c uur uur Û ID - IB = (IC - ID ) uur b uur uur Û (b + c)ID = bIB + cIC (1) I Do I là chân đường phân giác nên ta có : B C ID BD CD BD + CD a D = = = = Hình 1.19 IA BA uur CA uuBr A + CA b + c Þ (b + c)ID = - aIA (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’ uur uuur uuur Ta có IC = IA ' + IB ' (*) A Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có : B' IB BA c uuur b uur = 1 = Þ IB ' = - IB (1) IB ' CA b c I 1 C uuur a uur B Tương tự : IA ' = - IA (2) c C' Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có : Hình 1.20 uur a uur b uur uur uur uur r IC = - IA - IB Û aIA + bIB + cIC = 0 c c 3. Bài tập luyện tập. 20
  21. Bài 1.28: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Chứng minh rằng uuuur uuur uuur r a) AM + BN + CP = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kỳ. Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chứng minh rằng uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur a)AH = AC - AB , CH = - AB - AC 3 3 3 3 uuuur 1 uuur 5 uuur b) MH = AC - AB với M là trung điểm của BC 6 6 Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng uuuur MC uuur MB uuur AM = AB + AC BC BC Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C 'D ' có chung đỉnh A. uuuur uuur uuuur r Chứng minh rằng B 'B + CC ' + D 'D = 0 Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur 3 uuur MD + ME + MF = MO 2 Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng D là đường thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm ABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C,  G lên đường thẳng V . Chứng minh rằng : AA' BB ' CC ' 3GG ' Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n - 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ không. Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: æ B C öuur æ C A öuur æ A B öuur r a) çcot + cot ÷IA + çcot + cot ÷IB + çcot + cot ÷IC = 0 èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ÷ø A uuur B uur C uur r b) cot IM + cot IN + cot IP = 0 2 2 2 uuur uur uur r c) (b + c - a)IM + (a + c - b)IN + (a + b - c)IP = 0 uuur uuur uuur r d) aAD + bBE + cCF = 0
  22. Bài 1.36: Cho tam giác ABC . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. uuur uuur uuur r Chứng minh rằng : S MA + S .MB + S MC =0 MBC MCA urMAB Bài 1.37: Cho đa giác lồi A A A (n ³ 3 ); ei ,1£ i £ n là vectơ đơn vị uuuuur 1 2 n vuông góc với Ai Ai + 1 (xem An+ 1 º A1 ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng ur ur ur r A1A2e1 + A2A3e2 + + AnA1en = 0 (định lý con nhím) Bài 1.38: Cho đa giác lồi A A A (n ³ 3 ) với I là tâm đường tròn tiếp xúc ur1 2 n các cạnh của đa giác; gọi ei ,1£ i £ n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc uur A ur A ur A ur r tơ IA . Chứng minh rằng cos 1 e + cos 2 e + + cos n e = 0 i 2 1 2 2 2 n Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao uur uur uur r AH. Chứng minh rằng : a2IA + b2IB + c2IC = 0.  DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước 1. Phương pháp giải. uuuur r r • Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM = a trong đó điểm A và a uuuur r đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AM = a , để dựng r điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M. • Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết uuur uuur r 2MA - 3MB = 0 Lời giải (hình 1.21) uuur uuur r Ta có 2MA - 3MB = 0 uuur uuur uuur r A B M Û 2MA - 3 MA + AB = 0 ( ) Hình 1.21 uuuur uuur Û AM = 3AB M nằm trên tia AB và AM = 3AB Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm K B M , N, P sao cho A uuur uuur uuur r a) 2MA + MB + MC = 0 M uuur uuur uuur uuur r P b) NA + NB + NC + ND = 0 uuur uuur uuur uuur r N I G c) 3PA + PB + PC + PD = 0 D 22 H C Hình 1.22