Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng (Có hướng dẫn)

1. CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc 0 0 M(x;y) a (0 £ a £ 180 ), ta xác định điểm M trên Q trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho · a = xOM . Giả sử điểm M có tọa độ (x;y ). x Khi đó: O P y x sina = y; cosa = x;tana = (a ¹ 900); cota = (a ¹ 00,a ¹ 1800) x y Hình 2.1 Các số sin a,cosa, tan a,cot b được gọi là giá trị lượng giác của góc a . Chú ý: Từ định nghĩa ta có: • Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M (OP;OQ ). • Với 00 £ a £ 1800 ta có 0 £ sin a £ 1; - 1 £ cosa £ 1 • Dấu của giá trị lượng giác: Góc a 00 900 1800 sin a + + cosa + - tan a + - cot a + - 2. Tính chất • Góc phụ nhau• Góc bù nhau sin(900 - a) = cosa sin(1800 - a) = sin a cos(900 - a) = sin a cos(1800 - a) = - cosa tan(900 - a) = cot a tan(1800 - a) = - tan a cot(900 - a) = tan a cot(1800 - a) = - cot a 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Góca 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 1
2. sin a 1 2 3 3 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 cosa 3 2 1 1 2 3 1 0 - - - –1 2 2 2 2 2 2 tan a 3 3 0 1 3  - 3 - 1 - 0 3 3 cot a 3 3  3 1 0 - - 1 - 3  3 3 4. Các hệ thức lượng giác cơ bản sin a 1) tan a = (a ¹ 900) ; cosa cosa 2) cot a = (a ¹ 00; 1800) sin a 3) tan a.cot a = 1 (a ¹ 00; 900; 1800) 4) sin2 a + cos2 a = 1 1 5) 1 + tan2 a = (a ¹ 900) cos2 a 1 6) 1 + cot 2 a = (a ¹ 00; 1800) sin2 a Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa. - Ta có sin a = OQ, cosa = OP 2 2 Suy ra sin2 a + cos2 a = OQ + OP = OQ2 + OP 2 + Nếu a = 00, a = 900 hoặc a = 1800 thì dễ dàng thấy sin2 a + cos2 a = 1 + Nếu a ¹ 00, a ¹ 900 và a ¹ 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có sin2 a + cos2 a = OQ2 + OP 2 = OQ2 + QM 2 = OM 2 = 1 Vậy ta có sin2 a + cos2 a = 1 sin2 a cos2 a + sin2 a 1 Mặt khác 1 + tan2 a = 1 + = = suy ra cos2 a cos2 a cos2 a được 5) 2
3. cos2 a sin2 a + cos2 a 1 Tương tự 1 + cot 2 a = 1 + = = suy ra sin2 a sin2 a sin2 a được 6) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt. 1. Phương pháp giải. • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = a2 sin 900 + b2 cos900 + c2 cos1800 b) B = 3 - sin2 900 + 2cos2 600 - 3tan2 450 c) C = sin2 450 - 2sin2 500 + 3cos2 450 - 2sin2 400 + 4tan 550.tan 350 Lời giải a) A = a2.1 + b2.0 + c2.(- 1) = a2 - c2 2 2 2 æ1ö æ 2 ö ç ÷ ç ÷ b) B = 3 - (1) + 2ç ÷ - 3ç ÷ = 1 èç2ø÷ èç 2 ÷ø c) C = sin2 450 + 3cos2 450 - 2(sin2 500 + sin2 400 ) + 4tan 550.cot 550 2 2 æ 2 ö æ 2 ö 1 3 ç ÷ ç ÷ 2 0 2 0 C = ç ÷ + 3ç ÷ - 2(sin 50 + cos 40 ) + 4 = + - 2 + 4 = 4 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 2 2 Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870 b) B = cos00 + cos200 + cos400 + + cos1600 + cos1800 c) C = tan 50 tan100 tan150 tan 800 tan 850 Lời giải a) A = (sin2 30 + sin2 870 ) + (sin2 150 + sin2 750 ) = (sin2 30 + cos2 30 ) + (sin2 150 + cos2 150 ) = 1 + 1 = 2 b) B = (cos00 + cos1800 )+ (cos200 + cos1600 )+ + (cos800 + cos1000 ) = (cos00 - cos00 ) + (cos200 - cos200 ) + + (cos800 - cos800 ) = 0 c) C = (tan 50 tan 850 )(tan150 tan 750 ) (tan 450 tan 450 ) 3
4. = tan 50 cot 50 tan150 cot 50 tan 450 cot 50 ( )( ) ( ) = 1 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = sin 450 + 2cos600 - tan 300 + 5cot 1200 + 4sin1350 b) B = 4a2 sin2 450 - 3(a tan 450)2 + (2a cos450)2 c) C = sin2 350 - 5sin2 730 + cos2 350 - 5cos2 730 12 d) D = - 5tan 850 cot 950 + 12sin2 1040 1 + tan2 760 e) E = sin2 10 + sin2 20 + + sin2 890 + sin2 900 f) F = cos3 10 + cos3 20 + cos3 30 + + cos3 1790 + cos3 1800 Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 8tan2 (30 - x ) P = 4tan(x + 40 ).sin x.cot (4x + 260 ) + + 8cos2 (x - 30 ) 1 + tan2 (5x + 30 ) khi x = 300  DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức. 1. Phương pháp giải. • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản • Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác • Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ . 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x.cos2 x 1 + cot x tan x + 1 b) = 1- cot x tan x - 1 cosx + sin x c) = tan3 x + tan2 x + tan x + 1 cos3 x Lời giải a) sin4 x + cos4 x = sin4 x + cos4 x + 2sin2 x cos2 x - 2sin2 x cos2 x 2 = sin2 x + cos2 x - 2sin2 x cos2 x ( ) = 1- 2sin2 x cos2 x 4
5. 1 tan x + 1 1 + 1 + cot x tan x + 1 b) = t anx = t anx = 1- cot x 1 tan x - 1 tan x - 1 1- tan x tan x cosx + sin x 1 sin x c) = + = tan2 x + 1 + tan x (tan2 x + 1) cos3 x cos2 x cos3 x = tan3 x + tan2 x + tan x + 1 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 3 B 3 B sin cos cos(A + C ) 2 + 2 - .tan B = 2 æA + C ö æA + C ö sin B cosç ÷ sinç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ Lời giải Vì A + B + C = 1800 nên 3 B 3 B sin cos cos(1800 - B ) VT = 2 + 2 - .tan B æ1800 - B ö æ1800 - B ö sin B cosç ÷ sinç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ÷ø B B sin3 cos3 - cosB B B = 2 + 2 - .tan B = sin2 + cos2 + 1 = 2 = VP B B sin B 2 2 sin cos 2 2 Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) A = sin(900 - x) + cos(1800 - x) + sin2 x(1 + tan2 x) - tan2 x 1 1 1 b) B = . + - 2 sin x 1 + cosx 1- cosx Lời giải 1 a) A = cosx - cosx + sin2 x. - tan2 x = 0 cos2 x 1 1- cosx + 1 + cosx b) B = . - 2 sin x (1- cosx )(1 + cosx ) 5
6. 1 2 1 2 = . - 2 = . - 2 2 2 sin x 1- cos x sin x sin x æ 1 ö = 2ç - 1÷= 2 cot 2 x èçsin2 x ø÷ Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x. P = sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x Lời giải 2 2 P = (1- cos2 x ) + 6cos2 x + 3cos4 x + (1- sin2 x ) + 6sin2 x + 3sin4 x = 4cos4 x + 4cos2 x + 1 + 4sin4 x + 4sin2 x + 1 2 2 = (2cos2 x + 1) + (2sin2 x + 1) = 2cos2 x + 1 + 2sin2 x + 1 = 3 Vậy P không phụ thuộc vào x . 3. Bài tập luyên tập. Bài 2.3. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) tan2 x - sin2 x = tan2 x.sin2 x b) sin6 x + cos6 x = 1- 3sin2 x.cos2 x tan3 x 1 cot 3 x c) - + = tan3 x + cot 3 x sin2 x sin x cosx cos2 x d) sin2 x - tan2 x = tan6 x(cos2 x - cot 2 x) tan2 a - tan2 b sin2 a - sin2 b e) = tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b Bài 2.4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) 1 a) A = - tan2 (1800 - x )- cos2 (1800 - x ) cos2 x cos2 x - sin2 x b) B = - cos2 x cot 2 x - tan2 x sin3 a + cos3 a c) C = cos2 a + sina(sina - cosa) 1 + sina 1- sina d) D = + 1- sina 1 + sina Bài 2.5. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a . (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) 6
7. a) (tan a + cot a)2 - (tan a - cot a)2 b) 2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a) 3 c) cot2 300(sin8 a - cos8 a) + 4cos600(cos6 a - sin6 a) - sin6(900 - a)(tan2 a - 1) d) (sin4 x + cos4 x - 1)(tan2 x + cot2 x + 2) sin4 x + 3cos4 x - 1 e) sin6 x + cos6 x + 3cos4 x - 1 Bài 2.6: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn B A + C B A + C a) A = cos2 + cos2 + tan tan 2 2 2 2 B B sin cos cos(A + C ) b) B = 2 - 2 - .tan B A + C A + C sin B cos sin 2 2  DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện. 1. Phương pháp giải. • Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản • Dựa vào dấu của giá trị lượng giác • Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ 2. Các ví dụ. 1 Ví dụ 1: a) Cho sin a = với 900 < a < 1800 . Tính cosa và tan a 3 2 b) Cho cosa = - . Tính sin a và cot a 3 c) Cho tan g = - 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải a) Vì 900 < a < 1800 nên cosa < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra 1 2 2 cosa = - 1- sin2 a = - 1- = - 9 3 1 sin a 1 Do đó tan a = = 3 = - cosa 2 2 2 2 - 3 7
8. 4 5 b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a = 1- cos2 a = 1- = và 9 3 2 - cosa 2 cot a = = 3 = - sin a 5 5 3 1 c) Vì tan g = - 2 2 < 0 Þ cosa < 0 mặt khác tan2 a + 1 = nên cos2 a 1 1 1 cosa = - = - = - tan2+ 1 8 + 1 3 sin a æ 1ö 2 2 Ta có tan a = Þ sin a = tan a.cosa = - 2 2.ç- ÷= cosa èç 3÷ø 3 1 - cosa 1 Þ cot a = = 3 = - sin a 2 2 2 2 3 3 tan a + 3cot a Ví dụ 2: a) Cho cosa = với 00 < a < 900 . Tính A = . 4 tan a + cot a sin a - cosa b) Cho tan a = 2 . Tính B = sin3 a + 3cos3 a + 2sin a Lời giải 1 1 tan a + 3 + 2 tan2 a + 3 2 a) Ta có A = tan a = = cos a = 1 + 2cos2 a 1 tan2 a + 1 1 tan a + tan a cos2 a 9 17 Suy ra A = 1 + 2. = 16 8 sin a cosa - 2 2 3 3 tan a (tan a + 1)- (tan a + 1) b) B = cos a cos a = sin3 a 3cos3 a 2sin a tan3 a + 3 + 2tan a tan2 a + 1 + + ( ) cos3 a cos3 a cos3 a 2(2 + 1)- (2 + 1) 3( 2 - 1) Suy ra B = = 2 2 + 3 + 2 2(2 + 1) 3 + 8 2 Ví dụ 3: Biết sin x + cosx = m 8
9. a) Tìm sin x cosx và sin4 x - cos4 x b) Chứng minh rằng m £ 2 Lời giải 2 a) Ta có (sinx + cosx) = sin2 x + 2sinx cosx + cos2 x = 1+ 2sinx cosx (*) Mặt khác sin x + cosx = m nên m2 = 1 + 2sin a cosa hay m2 - 1 sin a cosa = 2 Đặt A = sin4 x - cos4 x . Ta có A = (sin2 x + cos2 x )(sin2 x - cos2 x ) = (sin x + cosx )(sin x - cosx ) 2 2 Þ A2 = (sin x + cosx ) (sin x - cosx ) = (1 + 2sin x cosx )(1- 2sin x cosx ) æ m2 - 1öæ m2 - 1ö 3 + 2m2 - m4 Þ A2 = ç1 + ÷ç1- ÷= èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 4 3 + 2m2 - m4 Vậy A = 2 b) Ta có 2sin x cosx £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra 2 (sin x + cosx ) £ 2 Þ sin x + cosx £ 2 Vậy m £ 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.7: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết 3 1 a) sin a = với 00 < a < 900 b) cosb = 5 5 1 c) cot g = - 2 d) tan a + cot a < 0 và sin a = . 5 2 cot a + 3tana Bài 2.8. a) Cho cosa = . Tính A = 3 2cot a + tana 1 3cot a + 2tana + 1 b) Cho sina = với 900 < a < 1800 . Tính B = 3 cot a + tana 9
10. 2sina + 3cosa c) Cho tana = 2. Tính C = ; sina + cosa d) Cho cot a = 5. Tính D = 2cos2 a + 5sina cosa + 1 Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m . tan6x + cot 6x a) Tìm tan2x + cot 2x b) c) Chứng minh m ³ 2 tan4x + cot 4x 12 Bài 2.10: Cho sin a cosa = . Tính sin3 a + cos3 a 25 Bài 2.11: Cho tana - cot a = 3. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = tan2 a + cot 2 a b) B = tana + cot a c) C = tan4 a - cot 4 a 3 Bài 2.12: a) Cho 3sin4 x + cos4 x = . Tính A = sin4 x + 3cos4 x . 4 1 b) Cho 3sin4 x - cos4 x = . Tính B = sin4 x + 3cos4 x . 2 7 c) Cho 4sin4 x + 3cos4 x = . Tính C = 3sin4 x + 4cos4 x . 4 §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: a) Góc giữa hai vectơ. r r r Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ uuur r uuur r OA = a và OB = b . Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ r r a và b . r r r r r r + Quy ước : Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00 đến 1800 ). r r + Kí hiệu: (a;b) b) Tích vô hướng của hai vectơ. r r Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: r r r r r r a.b = a b .cos(a,b) . 10
11. r r r 2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a,b,c và mọi số thực k ta luôn có: r r r r 1) a.b = b.a r r r r r r r 2) a(b ± c) = a.b ± a.c r r r r r r 3) (ka)b = k(a.b) = a(kb) r 2 r 2 r r 4) a ³ 0, a = 0 Û a = 0 Chú ý: Ta có kết quả sau: r r r r r r r + Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a ^ b Û a.b = 0 r r r 2 r 2 r + a.a = a = a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a . r r r 2 r r r 2 r r r r r 2 r 2 + (a ± b)2 = a ± 2a.b + b , (a + b)(a - b) = a - b 3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu. uuur uuur Cho hai vectơ AB, CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường uuur uuur uuuur uuur thẳng CD khi đó ta có AB.CD = A 'B '.CD b) phương tích của một điểm với đường tròn. Cho đường tròn (O;R ) và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn uuur uuur tại hai điểm A và B. Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O;R ). Kí hiệu là PM /(O ). uuur uuur 2 2 2 Chú ý: Ta có PM /(O ) = MA.MB = MO - R = MT với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng r r Cho hai vectơ a = (x ;y ) và b = (x ;y ) . Khi đó r r 1 1 2 2 1) a.b = x x + y y r 1 2 r1 2 2) a = (x;y) Þ | a |= x 2 + y2 r r r r a.b x x + y y 3) cos(a,b) = r r = 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 + y1 x2 + y2 Hệ quả: r r + a ^ b Û x1x2 + y1y2 = 0 2 2 + Nếu A(xA ;yA ) và B(xB ;yB ) thì AB = (xB - xA ) + (yB - yA ) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 11
12.  DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ. 1. Phương pháp giải. r r r r r r • Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos(a;b) • Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A cóAB = a, BC = 2a và G là trọng tâm. uuur uuur uuur uur a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.CA uuur uuur uuur uur uur uuur b) Tính giá trị của biểu thứcAB.BC + BC.CA + CA.AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) Tính giá trị của biểu thứcGA.GB + GB.GC + GC.GA Lời giải (hình 2.2) a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BA.BC = BA . BC cos(BA,BC ) = 2a2cos(BA,BC ). uuur uuur · a 1 Mặt khác cos BA,BC = cosABC = = M ( ) 2a 2 N uuur uuur Nên BA.BC = a2 G uuur uur uuur uur uuur uur · * Ta có BC.CA = - CB.CA = - CB . CA cosACB A P B 2 Theo định lý Pitago ta có CA = (2a) - a2 = a 3 Hình 2.2 uuur uur a 3 Suy ra BC.CA = - a 3.2a. = - 3a2 2a uur uuur b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên CA.AB = 0 và từ câu a ta có uuur uuur uuur uur AB.BC = - a2, BC.CA = - 3a2 . Suy ra uuur uuur uuur uur uur uuur AB.BC + BC.CA + CA.AB = - 4a2 uuur uuur uur r Cách 2: Từ AB + BC + CA = 0 và hằng đẳng thức uuur uuur uur 2 uuur uuur uuur uur uur uuur (AB + BC + CA ) = AB 2 + BC 2 + CA2 + 2(AB.BC + BC.CA + CA.AB ) uuur uuur uuur uur uur uuur 1 Ta có AB.BC + BC.CA + CA.AB = - (AB 2 + BC 2 + CA2 ) = - 4a2 2 uuur uuur uuur r c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA + GB + GC = 0 nên 12
13. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 GA.GB + GB.GC + GC.GA = - (GA2 + GB 2 + GC 2 ) 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB 2 æ2 ö 4a2 Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA2 = ç AM ÷ = èç3 ø÷ 9 Theo định lý Pitago ta có: 4 4 4æ 3a2 ö 7a2 GB 2 = BN 2 = (AB 2 + AN 2 ) = ça2 + ÷= 9 9 9èç 4 ø÷ 9 4 4 4æ a2 ö 13a2 GC 2 = CP 2 = (AC 2 + AP 2 ) = ç3a2 + ÷= 9 9 9èç 4 ø÷ 9 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1æ4a2 7a2 13a2 ö 4a2 Suy ra GA.GB + GB.GC + GC.GA = - ç + + ÷= - 2èç 9 9 9 ø÷ 3 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau: uuur uuur uuur uuur uuur uur uuuur a) (AB + AD)(BD + BC) b) CG.(CA + DM ) Lời giải (hình 2.3) uuur uuur uuur a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do đó (AB + AD)(BD + BC) = AC.BD + AC.BC M uur uuur uur uuur A B · = CA.CB = CA . CB cosACB uuur uuur uuur uuur G (AC.BD = 0vì AC ^ BD ) · Mặt khác ACB = 450 và theo định lý Pitago ta có : AC = a2 + a2 = a 2 D C uuur uuur uuur uuur Suy ra (AB + AD)(BD + BC) = a.a 2 cos450 = a2 Hình 2.3 uuur uuur uur uuur b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có uur uuur uuur CA = - (AB + AD ) và uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur 1 1 é ù 1 CM = CB + CA = êCB - AB + AD ú= - AB + 2AD 2( ) 2 ë ( )û 2( ) uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur æ5 uuur uuur ö Suy ra CG = - AB - AB + AD - AB + 2AD = - ç AB + 2AD ÷ ( ) 2( ) èç2 ÷ø 13
14. uur uuuur uuur uuur uuuur uuur æ1 uuur uuur ö Ta lại có CA + DM = - AB + AD + AM - AD = - ç AB + 2AD ÷ ( ) èç2 ø÷ uuur uur uuuur æ5 uuur uuur öæ1 uuur uuur ö Nên CG. CA + DM = ç AB + 2AD ÷ç AB + 2AD ÷ ( ) èç2 ø÷èç2 ø÷ 5 21a2 = AB 2 + 4AD 2 = 4 4 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A. uuur uuur a) Tính AB.AC , rồi suy ra cosA . uuuur 2 uuur 2 b) TínhAM và AD Lời giải (hình 2.3) a) Ta có A uuur uuur 1 éuuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 ù AB.AC = êAB + AC - (AB - AC ) ú 2 ëê ûú 1 1 = éAB 2 + AC 2 - CB 2 ù= (c2 + b2 - a2 ) 2 ë û 2 uuur uuur B C Mặt khác AB.AC = AB.AC cosA = cbcosA D M 1 Suy ra (c2 + b2 - a2 )= cbcosA hay Hình 2.3 2 c2 + b2 - a2 cosA = 2bc uuuur 1 uuur uuur b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM = AB + AC 2( ) uuuur 2 1 uuur uuur 2 1æuuur 2 uuur uuur uuur 2 ö Suy ra AM = AB + AC = çAB + 2ABAC + AC ÷ 4( ) 4èç ø÷ uuur uuur 1 Theo câu a) ta có AB.AC = (c2 + b2 - a2 ) nên 2 uuuur 2 1æ 1 ö 2(b2 + c2 )- a2 AM = çc2 + 2. (c2 + b2 - a2 ) + b2 ÷= 4èç 2 ÷ø 4 BD AB c * Theo tính chất đường phân giác thì = = DC AC b uuur BD uuur b uuur Suy ra BD = DC = DC (*) DC c uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác BD = AD - AB và DC = AC - AD thay vào (*) ta được 14
15. uuur uuur b uuur uuur uuur uuur uuur AD - AB = AC - AD Û (b + c)AD = bAB + cAC c( ) uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2 Û (b + c)2 AD = (bAB ) + 2bcABAC + (cAC ) uuur 2 1 Û (b + c)2 AD = b2c2 + 2bc. (c2 + b2 - a2 )+ c2b2 2 uuur 2 bc Û AD = (b + c - a )(b + c + a ) (b + c)2 uuur 2 4bc Hay AD = p(p - a ) (b + c)2 Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là 2 bc l = p(p - a ) a b + c 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.13. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB.AC b) AC.CB c) AB.BC Bài 2.14 .Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8 . uuur uuur a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A. uuur uuur b) Tính AC.BC . uuur uuur c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB . r r Bài 2.15. Cho các véctơ a,b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện r r r r 2a - 3b = 7 . Tính cos(a,b). r r Bài 2.16. Cho các véctơ a,b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng r r r r r r r r 600 . Xác định cosin góc giữa hai vectơ u và v với u = a + 2b , v = a - b Bài 2.17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 1, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho DN = 1 và P là trung · điểm BC. Tính cosMNP . Bài 2.18. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 . M là điểm được xác định uuuur uuur uuur uuur bởi AM = 3MB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính MB.GC Bài 2.19. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biếtAB = CD = 2a, MN = a 3. 15
16. Bài 2.20: Cho tứ giác ABCD có AB = BC = 2 5, CD = BD = 5 2,BD = 3 10, AC = 10. Tìm góc giữa uuur uuur hai vectơ AC ,DB . Bài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB. a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D. Tính diện tích tam giác đó. b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M. Tính diện tích tam giác đó. c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD  DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng. 1. Phương pháp giải. • Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta uuur 2 chuyển về vectơ nhờ đẳng thức AB 2 = AB • Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ • Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. uuur uuur Chứng minh rằng : MA.MB = IM 2 - IA2 Lời giải: uuur uuur uuur 2 uur 2 Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB = IM - IA uuur uur Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur ta được VT = (MI + IA ).(MI + IB ) = (MI + IA ).(MI - IA ) uuur 2 uur 2 = IM - IA = VP (đpcm) Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uur uuur uuur DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 (*). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Lời giải: uuur uuur uuur uur uuur uuur Ta có: DA.BC + DB.CA + DC.AB 16
17. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = DA. DC - DB + DB. DA - DC + DC. DB - DA uuur u(uur uuur uu)ur uuur(uuur uuur )uuur uu(ur uuur uu)ur uuur = DA.DC - DA.DB + DB.DA - DB.DC + DC.DB - DC.DA = 0 (đpcm) Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B. uuur uuur uuur uuur Khi đó ta có HA.BC = 0, HC.AB = 0 (1) Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được uuur uuur uuur uur uuur uuur HA.BC + HB.CA + HC.AB = 0 (2) uuur uur Từ (1) (2) ta có HB.CA = 0 suy ra BH vuông góc với AC Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm). Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng : uuur uuur uuur uuur AE.AC + BE.BD = AB 2 Lời giải (hình 2.4) uuur uuur uuur uuur uuur uuur D C Ta có VT = AE.(AB + BC ) + BE.(BA + AD ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AE.AB + AE.BC + BE.BA + BE.AD E Vì AB là đường kính nên A·DB = 900, A·CB = 900 A B uuur uuur uuur uuur Hình 2.4 Suy ra AE.BC = 0, BE.AD = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 Do đó VT = AE.AB + BE.BA = AB (AE + EB ) = AB = VP (đpcm). Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b,AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng aIA2 + bIB 2 + cIC 2 = abc Lời giải: uur uur uur r uur uur uur 2 Ta có: aIA + bIB + cIC = 0 Þ (aIA + bIB + cIC ) = 0 uur uur uur uur uur uur Þ a2IA2 + b2IB 2 + c2IC 2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC.IA = 0 Þ a2IA2 + b2IB 2 + c2IC 2 + ab(IA2 + IB 2 - AB 2 ) + + bc(IB 2 + IC 2 - BC 2 ) + ca(IA2 + IC 2 - CA2 ) = 0 Þ (a2 + ab + ca)IA2 + (b2 + ba + bc)IB 2 + + (c2 + ca + cb)IC 2 - (abc2 + ab2c + a2bc) = 0 Þ (a + b + c)(a2IA2 + b2IB 2 + c2IC 2 ) = (a + b + c)abc Þ a2IA2 + b2IB 2 + c2IC 2 = abc (đpcm) 17
18. 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.22. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. uuur uuur uur uuur uuur uuur Chứng minh rằng: BC.AD + CA.BE + AB.CF = 0. Bài 2.23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur a) MA.MC = MB.MD uuur uuur uuur uuur b) MA2 + MB.MD = 2MA.MO Bài 2.24: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. uuuur uuur 1 Chứng minh rằng MH.MA = BC 2 . 4 Bài 2.25: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và BC = a, CA = b, AB = c . 1 Chứng minh rằng: GA2 + GB 2 + GC 2 = (a2 + b2 + c2 ) 3 uuur uuur Bài 2.26: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn AC.DB = 0. Chứng minh rằng AB 2 + CD 2 = BC 2 + DA2 Bài 2.27: Cho tam giác ABC có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng uuuur uuur uuuur uur uuuur uuur A 'M .BC + B 'N .CA + C 'P.AB = 0 Bài 2.28.Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Chứng minh rằng: MA.MC - MB.MD = BA.BC Bài 2.29: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur a) Chứng minh: AM .AI = AB.AI , BN.BI = BA.BI . uuuur uur uuur uur b) Tính AM .AI + BN.BI theo R. Bài 2.30. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và C. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AM 2 = b2BM 2 + c2CM 2 + (b2 + c2 - a2 )BM .CM Bài 2.31. Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB 2 + EF 2 = CD 2 . Bài 2.32. Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn (O). Chứng minh rằng MA2 + MB 2 + MC 2 = 2a2 Bài 2.33. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O, R). MN là một đường kính bất kỳ của đường tròn (O;R) 18
19. a) Chứng minh rằng MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 8R2 b) Chứng minh rằng MA4 + MB 4 + MC 4 + MD 4 = NA4 + NB 4 + NC 4 + ND 4 . Bài 2.34 : Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AB.AD + BA.BC + CB.CD + DC.DA = 0 khi và chỉ khi tứ giácABCD là hình bình hành. Bài 2.35: Cho lục giác đều A1A2A3A4A5A6 tâm I và đường tròn (O;R) bất kỳ chứa I. Các tia IAi , i = 1,6 cắt (O) tại Bi (i 1,6 ). Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 IB1 + IB2 + IB3 + IB4 + IB5 + IB6 = 6R Bài 2.36. Tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng a) MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 với M là điểm bất kỳ b) a2 + b2 + c2 £ 9R2 · Bài 2.37: Cho tam giác ABC có BAC < 900 , BC = a, CA = b, AB = c . M là điểm nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường trên đường tròn đường kính BC. Gọi x, y, z theo thứ tự là diện tích của các tam giác MBC , MCA, MAB . Chứng minh rằng æ 2yz ö (x - y + z)c2 + (x - z + y )b2 = çx + y + z + ÷a2 èç x ø÷  DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài. 1. Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động uuuur • Nếu AM = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = k . uuur uuur • Nếu MA.MB = 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB uuur r r r • Nếu MA.a = 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là r đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ a 2. Các ví dụ. r r Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho 19
20. uuur uuur 3a2 a) MA.MB = 4 uuur uuur b) MA.MB = MA2 Lời giải: a) Gọi I là trung điểm của AB ta có uuur uuur 3a2 uuur uur uuur uur 3a2 MA.MB = Û MI + IA MI + IB = 4 ( )( ) 4 3a2 uur uur Û MI 2 - IA2 = (Do IB = - IA ) 4 a2 3a2 Û MI 2 = + 4 4 Û MI = a Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = a uuur uuur uuur uuur uuur 2 b) Ta có MA.MB = MA2 Û MA.MB = MA uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û MA.(MA - MB ) = 0 Û MA.BA = 0 Û MA ^ BA Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho uuur uuur uuur uuur (MA + 2MB + 3CB )BC = 0 Lời giải (hình 2.4) A uur uur r Gọi I là điểm xác định bởi IA + 2IB = 0 M I uuur uuur uuur uuur Khi đó (MA + 2MB + 3CB )BC = 0 uuur uur uuur uur uuur é ù 2 Û ê MI + IA + 2 MI + IB ú.BC = 3BC B C ëu(uur uuur ) ( )û M' I' Û MI .BC = BC 2 Hình 2.4 Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC uuur uuur uuuuur uuur Theo công thức hình chiếu ta có MI .BC = M 'I '.BC do đó uuuuur uuur M 'I '.BC = BC 2 uuuuur uuur Vì BC 2 > 0 nên M 'I ', BC cùng hướng suy ra uuuuur uuur M 'I '.BC = BC 2 Û M 'I '.BC = BC 2 Û M 'I ' = BC Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC. Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước. uuur uuur uuur uuur Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC + MB.MD = k 20
21. Lời giải (hình 2.5) Gọi I là tâm của hình vuông ABCD A B uuur uuur uuur uur uuur uur Ta có :MA.MC = (MI + IA )(MI + IC ) uuur uur uur uur uur = MI 2 + MI IC + IA + IA.IC I uur u(ur ) = MI 2 + IA.IC uuur uuur uur uur D C Tương tự MB.MD = MI 2 + IB.ID uuur uuur uuur uuur uur uur uur uur Hình 2.5 Nên MA.MC + MB.MD = k Û 2MI 2 + IB.ID + IA.IC = k k Û 2MI 2 - IB 2 - IA2 = k Û MI 2 = + IA2 2 k Û MI 2 = + a2 2 k k + a2 Û MI = + IA2 = 2 2 Nếu k - a2 thì MI = 2 k + a2 suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.38: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp sau: uuur uuur a) 2MA2 = MA.MB b) MA2 + 2MB 2 = k với k là số thực dương cho trước. uuuur r c) AM .a = k với k là số thực cho trước. Bài 2.39: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) (MA - MB )(2MB - MC ) = 0 uuur uuur uuur uuur b) (MA + 2MB )(MB + 2MC ) = 0 uuur uuur uuur uuur c) 2MA2 + MA.MB = MA.MC Bài 2.40: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) 2MA2 + MB 2 = MC 2 + MD 2 21
22. uuur uuur uuur uuur uuur b) (MA + MB + MC )(MC - MB ) = 3a2 Bài 2.41. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm uuur uuur uuur uuur 1 tập hợp điểm M sao cho: MA.MB + MC.MD = IJ 2 . 2 Bài 2.42 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 sao cho :MA.MB + MB.MC + MC.MA = 4 Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M di động trong góc BAC sao cho : AB.AH + AC.AK = AI 2 trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC Bài 2.44 : Cho tam giác ABC và k là số thực cho trước. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 - MB 2 = k . Bài 2.45 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M sao cho aMA2 + bMB 2 + gMC 2 = k với k là số cố định cho trước khi : a) a + b + g = 0 b) a + b + g ¹ 0  DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. 1. Phương pháp giải. r r • Cho a = (x ;y ), b = (x ;y ) . Khi đó 1 1 r r 2 2 + Tích vô hướng hai vectơ là a.b = x1x2 + y1y2 + Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức r r r r a.b x x + y y cos(a,b) = r r = 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 + y1 x2 + y2 r r r r Chú ý: a ^ b Û a.b = 0 Û x1x2 + y1y2 = 0 • Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức r r + Nếu a = (x;y) thì a = x 2 + y2 2 2 + Nếu A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) thì AB = (xB - xA ) + (yB - yA ) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1;2), B (- 2;6), C (9;8). a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tính góc B của tam giác ABC c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC Lời giải: uuur uuur uuur uuur a) Ta có AB (- 3;4), AC (8;6)Þ AB.AC = - 3.8 + 4.6 = 0 22
23. uuur uuur Do đó AB ^ AC hay tam giác ABC vuông tại A. uuur uuur b) Ta có BC (11;2), BA(3;- 4) uuur uuur 11.3 + 2.(- 4) 1 Suy ra cosB = cos(BC , BA )= = 112 + 22 32 + (- 4)2 5 c) Gọi H (x;y ) là hình chiếu của A lên BC. uuur uuur uuur Ta có AH (x - 1;y - 2), BH (x + 2;y - 6), BC (11;2) uuur uuur AH ^ BC Û AH .BC = 0 Û 11(x - 1)+ 2(y - 2)= 0 Hay 11x + 2y - 15 = 0 (1) uuur uuur x + 2 y - 6 Mặt khác BH ,BC cùng phương nên = Û 2x - 11y + 70= 0 (2) 11 2 1 32 Từ (1) và (2) suy ra x = , y = 5 5 æ1 32ö Vậy hình chiếu của A lên BC là H ç ; ÷ èç5 5 ÷ø Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I (1;1), đỉnh A(3;2) và đỉnh B nằm trên trục hoành. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi. Lời giải: Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B (0;y ) Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD Suy ra C = (2xI - xA ;2yI - yA ) = (- 1;0), D = (2xI - xB ;2yI - yB ) = (2;2 - y ) 2 Do đó AB = AD Û AB 2 = AD 2 Û 9 + (y - 2) = 1 + y2 Û y = 3 Vậy B (0;3), C (- 1;0), D (2;- 1) Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3;4), B(2;1) và C(- 1;- 2) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc A·MB = 450 Lời giải: uuur uuur uuur Giả sử M (x;y ) suy ra MA(3- x;4- y ), MB (2- x;1- y ), BC (- 3;- 3) uuur uuur Vì A·MB = 450 suy ra cosA·MB = cos(MA;BC ) uuur uuur MA.BC 2 - 3(3- x )- 3(4- y ) Û cos450 = uuur uuur Û = MA . BC 2 (3- x )2 + (4- y )2 9 + 9 Û (3- x )2 + (4- y )2 = x + y - 7 (*) 23