Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 3 (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chương 3 (Có hướng dẫn)

1. CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Đ1. PHƯƠNG TRèNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Vectơ phỏp tuyến và phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng : ur r a. Định nghĩa : Cho đường thẳng D . Vectơ n ạ 0 gọi là vectơ phỏp tuyến ur (VTPT) của D nếu giỏ của n vuụng gúc với D . Nhận xột : ur ur - Nếu n là VTPT của D thỡ kn (k ạ 0) cũng là VTPT của D . b. Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng ur Cho đường thẳng D đi qua M 0(x0;y0) và cú VTPT n = (a;b) . Khi đú uuuuur ur uuuuur ur M (x;y) ẻ D Û MM 0 ^ n Û MM 0.n = 0 Û a(x - x0) + b(y - y0) = 0 Û ax + by + c = 0 (c = - ax0 - by0) (1) (1) gọi là phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D . Chỳ ý : ur - Nếu đường thẳng D :ax + by + c = 0 thỡ n = (a;b) là VTPT của D . c) Cỏc dạng đặc biệt của phương trỡnh tổng quỏt • D song song hoặc trựng với trục Ox Û D : by + c = 0 • D song song hoặc trựng với trục Oy Û D : ax + c = 0 • D đi qua gốc tọa độ Û D : ax + by = 0 x y • D đi qua hai điểm A(a;0), B (0;b) Û D : + = 1 với a b (ab ạ 0) • Phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc k là y = kx + m với k = tan a , a là gúc hợp bởi tia Mt của D ở phớa trờn trục Ox và tia Mx 2. Vị trớ tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2y + c2 = 0 a1 b1 • d1 cắt d2 khi và chỉ khi ạ 0 a2 b2 1
2. a1 b1 b1 c1 • d1 / / d2 khi và chỉ khi = 0 và ạ 0, hoặc a2 b2 b2 c2 a b c a 1 1 = 0 và 1 1 ạ 0 a2 b2 c2 a2 a1 b1 b1 c1 c1 a1 • d1 º d2 khi và chỉ khi = = = 0 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Chỳ ý: Với trường hợp a2.b2.c2 ạ 0 khi đú a a + Nếu 1 ạ 2 thỡ hai đường thẳng cắt nhau. b1 b2 a a c + Nếu 1 = 2 ạ 1 thỡ hai đường thẳng song song nhau. b1 b2 c2 a a c + Nếu 1 = 2 = 1 thỡ hai đường thẳng trựng nhau. b1 b2 c2 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: • Để viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D ta cần xỏc định - Điểm A(x ;y ) ẻ D 0 0 ur - Một vectơ phỏp tuyến n (a;b) của D Khi đú phương trỡnh tổng quỏt của D là a(x - x0 ) + b(y - y0 ) = 0 Chỳ ý: Đường thẳng D cú phương trỡnh tổng quỏt là o ur ax + by + c = 0, a2 + b2 ạ 0 nhận n (a;b) làm vectơ phỏp tuyến. o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thỡ VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. o Phương trỡnh đường thẳng D qua điểm M (x0;y0 ) cú dạng 2 2 D : a(x - x0 ) + b(y - y0 ) = 0 với a + b ạ 0 hoặc ta chia làm hai trường hợp + x = x0 : nếu đường thẳng song song với trục Oy + y - y0 = k (x - x0 ) : nếu đường thẳng cắt trục Oy 2
3. o Phương trỡnh đường thẳng đi qua A(a;0),B (0;b) với ab ạ 0 cú x y dạng + = 1 a b Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC biết A(2;0), B (0;4), C(1;3) . Viết phương trỡnh tổng quỏt của a) Đường cao AH b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Đường thẳng AB . d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . Lời giải uuur a) Vỡ AH ^ BC nờn BC là vectơ phỏp tuyến của AH uuur uuur Ta cú BC (1;- 1) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ phỏp tuyến cú phương trỡnh tổng quỏt là 1.(x - 2)- 1.(y - 0) = 0 hay x - y - 2 = 0 . b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận uuur vectơ BC làm vectơ phỏp tuyến. Gọi I là trung điểm BC khi đú x + x 1 y + y 7 ổ1 7ử x = B C = , y = B C = ị I ỗ ; ữ I 2 2 I 2 2 ốỗ2 2ứữ Suy ra phương trỡnh tổng quỏt của đường trung trực BC là ổ 1ử ổ 7ử 1.ỗx - ữ- 1.ỗy - ữ= 0 hay x - y + 3 = 0 ốỗ 2ứữ ốỗ 2ứữ x y c) Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng AB cú dạng + = 1 hay 2 4 2x + y - 4 = 0 . ur d) Cỏch 1: Đường thẳng AB cú VTPT là n (2;1) do đú vỡ đường thẳng cần ur tỡm song song với đường thẳng AB nờn nhận n (2;1) làm VTPT do đú cú phương trỡnh tổng quỏt là 2.(x - 1) + 1.(y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0. Cỏch 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB cú dạng 2x + y + c = 0. Điểm C thuộc D suy ra 2.1 + 3 + c = 0 ị c = - 5. Vậy đường thẳng cần tỡm cú phương trỡnh tổng quỏt là 2x + y - 5 = 0. 3
4. Vớ dụ 2: Cho đường thẳng d : x - 2y + 3 = 0 và điểm M (- 1;2). Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và cú hệ số gúc k = 3 b) D đi qua M và vuụng gúc với đường thẳng d c) D đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải: a) Đường thẳng D cú hệ số gúc k = 3 cú phương trỡnh dạng y = 3x + m . Mặt khỏc M ẻ D ị 2 = 3.(- 1) + m ị m = 5 Suy ra phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là y = 3x + 5 hay 3x - y + 5 = 0 . 1 3 b) Ta cú x - 2y + 3 = 0 Û y = x + do đú hệ số gúc của đường thẳng 2 2 1 d là k = . d 2 Vỡ D ^ d nờn hệ số gúc của D là kD thỡ kd .kD = - 1 ị kD = - 2 Do đú D : y = - 2x + m , M ẻ D ị 2 = - 2.(- 1) + m ị m = - 2 Suy ra phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là y = - 2x - 2 hay 2x + y + 2 = 0. c) Cỏch 1: Ta cú - 1- 2.2 + 3 ạ 0 do đú M ẽ d vỡ vậy đường thẳng D đối xứng với đường thẳng d qua M sẽ song song với đường thẳng d suy ra ur đường thẳng D cú VTPT là n (1;- 2). Ta cú A(1;2) ẻ d , gọi A ' đối xứng với A qua M khi đú A ' ẻ D Ta cú M là trung điểm của AA ' . ùỡ x + x ù x = A A ' ỡ ù M ù xA ' = 2xM - xA = 2.(- 1)- 1 = - 3 ị ớù 2 ị ớù ị A '(- 3;2) ù y + y ù y = 2y - y = 2.2 - 2 = 2 ù y = A A ' ợù A ' M A ợù M 2 Vậy phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là 1.(x + 3)- 2(y - 2) = 0 hay x - 2y + 7 = 0 . Cỏch 2: Gọi A(x0;y0 ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d , A '(x;y ) là điểm đối xứng với A qua M . 4
5. Khi đú M là trung điểm của AA ' suy ra ùỡ x + x ùỡ x + x ù x = 0 ù - 1 = 0 ỡ ù M ù ù x0 = - 2 - x ớù 2 Û ớù 2 Û ớù ù y + y ù y + y ù y = 4 - y ù y = 0 ù 2 = 0 ợù 0 ợù M 2 ợù 2 Ta cú A ẻ d ị x0 - 2y0 + 3 = 0 suy ra (- 2 - x )- 2.(4 - y ) + 3 = 0 Û x - 2y + 7 = 0 Vậy phương trỡnh tổng quỏt của D đối xứng với đường thẳng d qua M là x - 2y + 7 = 0 . Vớ dụ 3: Biết hai cạnh của một hỡnh bỡnh hành cú phương trỡnh x - y = 0 và x + 3y - 8 = 0, tọa độ một đỉnh của hỡnh bỡnh hành là (- 2;2). Viết phương trỡnh cỏc cạnh cũn lại của hỡnh bỡnh hành. Lời giải Đặt tờn hỡnh bỡnh hành là ABCD với A(- 2;2), do tọa độ điểm A khụng là nghiệm của hai phương trỡnh đường thẳng trờn nờn ta giả sử BC : x - y = 0 , CD : x + 3y - 8 = 0 uuur Vỡ AB / /CD nờn cạnh AB nhận nCD (1;3) làm VTPT do đú cú phương trỡnh là 1.(x + 2) + 3.(y - 2) = 0 hay x + 3y - 4 = 0 uuur Tương tự cạnh AD nhận nBC (1;- 1) làm VTPT do đú cú phương trỡnh là 1.(x + 2)- 1.(y - 2) = 0 hay x - y + 4 = 0 Vớ dụ 4: Cho điểm M (1;4). Viết phương trỡnh đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A và B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch nhỏ nhất . Lời giải: Giả sử A(a;0), B (0;b) với a > 0, b > 0. Khi đú đường thẳng đi qua A, B x y 1 4 cú dạng + = 1. Do M ẻ AB nờn + = 1 a b a b 1 1 Mặt khỏc S = OA.OB = ab . OAB 2 2 1 4 4 Áp dụng BĐT Cụsi ta cú 1 = + ³ 2 ị ab ³ 16 ị S ³ 8 a b ab OAB 1 4 1 4 Suy ra S nhỏ nhất khi = và + = 1 do đú a = 2;b = 8 OAB a b a b 5
6. x y Vậy phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là + = 1 hay 4x + y - 8 = 0 2 8 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.1: Cho điểm A(1;- 3). Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D đi qua A và a) Vuụng gúc với trục tung b) song song với đường thẳng d : x + 2y + 3 = 0 Bài 3.2: Cho tam giỏc ABC biết A(2;1), B (- 1;0), C(0;3) . a) Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường cao AH b) Viết phương trỡnh tổng quỏt đường trung trực của đoạn thẳng AB . c) Viết phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng BC . d) Viết phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC . Bài 3.3: Viết phương trỡnh tổng quỏtcủa đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua điểm M (2;5) và song song với đường thẳng d : 4x - 7y + 3 = 0 b) đi qua P (2;- 5) và cú hệ số gúc k = 11. Bài 3.4: Cho M (8;6). Viết phương trỡnh đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B sao cho OA + OB đạt giỏ trị nhỏ nhất.  DẠNG 2: Xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: Để xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2y + c2 = 0. ỡ ù a1x + b1y + c1 = 0 Ta xột hệ ớù (I) ù a x + b y + c = 0 ợù 2 2 2 + Hệ (I) vụ nghiệm suy ra d1 / / d2 . + Hệ (I) vụ số nghiệm suy ra d1 º d2 + Hệ (I) cú nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chỳ ý: Với trường hợp a2.b2.c2 ạ 0 khi đú a b + Nếu 1 ạ 1 thỡ hai đường thẳng cắt nhau. a2 b2 6
7. a b c + Nếu 1 = 1 ạ 1 thỡ hai đường thẳng song song nhau. a2 b2 c2 a b c + Nếu 1 = 1 = 1 thỡ hai đường thẳng trựng nhau. a2 b2 c2 2. Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Xột vị trớ tương đối cỏc cặp đường thẳng sau a) D 1 : x + y - 2 = 0; D 2 : 2x + y - 3 = 0 b) D 1 : - x - 2y + 5 = 0; D 2 : 2x + 4y - 10 = 0 c) D 1 : 2x - 3y + 5 = 0; D 2 : x - 5 = 0 d) D 1 : 2x + 3y + 4 = 0; D 2 : - 4x - 6y = 0 Lời giải: 1 1 a) Ta cú ạ suy ra D cắt D 2 1 1 2 - 1 - 2 5 b) Ta cú = = suy ra D trựng D 2 4 - 10 1 2 1 0 c) Ta cú ạ suy ra D cắt D 2 - 3 1 2 - 4 - 6 0 d) Ta cú = ạ suy ra D / / D 2 3 4 1 2 Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh cỏc đường thẳng AB,BC,CA là AB : 2x - y + 2 = 0 ; BC : 3x + 2y + 1 = 0 ; CA : 3x + y + 3 = 0. Xỏc định vị trớ tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng D : 3x - y - 2 = 0 Lời giải Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ùỡ 2x - y + 2 = 0 ùỡ x = - 1 ớù Û ớù ị A(- 1;0) ù 3x + y + 3 = 0 ù y = 0 ợù ợù Ta xỏc định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là M (- 1;1), N (1;- 2) 7
8. uuuur Đường cao kẻ từ đỉnh A vuụng gúc với BC nờn nhận vectơ MN (2;- 3) làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh là 2(x + 1)- 3y = 0 hay 2x - 3y + 2 = 0 3 - 1 Ta cú ạ suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 2 - 3 2 Vớ dụ 3: Cho hai đường thẳng D 1 : (m - 3)x + 2y + m - 1 = 0 và 2 D 2 : - x + my + (m - 1) = 0. a) Xỏc định vị trớ tương đối và xỏc định giao điểm (nếu cú) của D 1 và D 2 trong cỏc trường hợp m = 0, m = 1 b) Tỡm m để hai đường thẳng song song với nhau. Lời giải: ùỡ - 3x + 2y - 1 = 0 ùỡ x = 1 a) Với m = 0 xột hệ ớù Û ớù suy ra D cắt D tại ù - x + 1 = 0 ù y = 2 1 2 ợù ợù điểm cú tọa độ (1;2) ùỡ - 2x + 2y = 0 ùỡ x = 0 Với m = 1 xột hệ ớù Û ớù suy ra D cắt D tại gốc ù - x + y = 0 ù y = 0 1 2 ợù ợù tọa độ b) Với m = 0 hoặc m = 1 theo cõu a hai đường thẳng cắt nhau nờn khụng thỏa món Với m ạ 0 và m ạ 1 hai đường thẳng song song khi và chỉ khi m - 3 2 m2 - 1 = ạ Û m = 2 2 - 1 m (m - 1) Vậy với m = 2 thỡ hai đường thẳng song song với nhau. Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ABC , tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc trong trường hợp sau a) Biết A(2;2) và hai đường cao cú phương trỡnh d1 : x + y - 2 = 0 ; d2 : 9x - 3y + 4 = 0 . b) Biết A(4;- 1) , phương trỡnh đường cao kẻ từ B là D : 2x - 3y = 0; phương trỡnh trung tuyến đi qua đỉnh C là D ' : 2x + 3y = 0. Lời giải a) Tọa độ điểm A khụng là nghiệm của phương trỡnh d1,d2 suy ra A ẽ d1, A ẽ d2 nờn ta cú thể giả sử B ẻ d1, C ẻ d2 8
9. r Ta cú AB đi qua A và vuụng gúc với d2 nờn nhận u (3;9) làm VTPT nờn cú phương trỡnh là 3(x - 2) + 9(y - 2) = 0 hay 3x + 9y - 24 = 0; AC đi qua A và vuụng r gúc với d1 nờn nhận v(- 1;1) làm VTPT nờn cú phương trỡnh là - 1.(x - 2) + 1.(y - 2) = 0 hay x - y = 0 B là giao điểm của d1 và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ ùỡ x + y - 2 = 0 ùỡ x = - 1 ớù Û ớù ị B (- 1;3) ù 3x + 9y - 24 = 0 ù y = 3 ợù ợù Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ ùỡ 2 ỡ ù x = - ù 9x - 3y + 4 = 0 ù ổ 2 2ử ớ Û ớ 3 ị C ỗ- ;- ữ ù x - y = 0 ù 2 ốỗ 3 3ứữ ợù ù y = - ợù 3 ổ 2 2ử Vậy A(2;2), B (- 1;3) và C ỗ- ;- ữ ốỗ 3 3ứữ r b) Ta cú AC đi qua A(4;- 1) và vuụng gúc với D nờn nhận u (3;2) làm VTPT nờn cú phương trỡnh là 3(x - 4) + 2(y + 1) = 0 hay 3x + 2y - 10 = 0 Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ ùỡ 3x + 2y - 10 = 0 ùỡ x = 6 ớù Û ớù ị C (6;- 4) ù 2x + 3y = 0 ù y = - 4 ợù ợù ổx + 4 y - 1ử Giả sử B (x ;y ) suy ra trung điểm I ỗ B ; B ữ của AB thuộc B B ốỗ 2 2 ứữ đường thẳng D ' do đú x + 4 y - 1 2. B + 3. B = 0 hay 2x + 3y + 5 = 0 (1) 2 2 B B Mặt khỏc B ẻ D suy ra 2xB - 3yB = 0 (2) ổ 5 5ử Từ (1) và (2) suy ra B ỗ- ;- ữ ốỗ 4 6ứữ ổ 5 5ử Vậy A(4;- 1) , B ỗ- ;- ữ và C (6;- 4). ốỗ 4 6ứữ 3. Bài tập luyện tập: 9
10. Bài 3.5: Xột vị trớ tương đối của cỏc cặp đường thẳng sau: a) d1 : x + y - 3 = 0; d2 : 2x + 2y = 0 b) d1 : - 4x + 6y - 2 = 0; d2 : 2x - 3y + 1 = 0 c) d1 : 3x + 2y - 1 = 0; d2 : x + 3y - 4 = 0 Bài 3.6: Cho hai đường thẳng D 1 : 3x - y - 3 = 0, D 2 : x + y + 2 = 0 và điểm M (0;2) a) Tỡm tọa độ giao điểm của D 1 và D 2 . b) Viết phương trỡnh đường thẳng D đi qua M và cắt D 1 và D 2 lần lượt tại A và B sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM Bài 3.7: Cho hai đường thẳng cú phương trỡnh: 2 2 2 2 D 1 : (a - b)x + y = 1; D 2 : (a - b )x + ay = b với a + b ạ 0 a) Tỡm quan hệ giữa a và b để D 1 và D 2 cắt nhau b) Tỡm điều kiện giữa a và b để D 1 và D 2 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành. Bài 3.8: Cho 2 đường thẳng 2 2 D 1 : kx - y + k = 0; D 2 : (1- k )x + 2ky - 1- k = 0 . Chứng minh rằng: a) Đường thẳng D 1 luụn đi qua 1 điểm cố định với mọi k . b) D 1 luụn cắt D 2 . Xỏc định toạ độ giao điểm của chỳng. Bài 3.9: Cho hai đường thẳng D 1 : mx - y + 1- m = 0; D 2 : - x + my + 2 = 0 Biện luận theo m vị trớ tương đối của hai đường thẳng. Bài 3.10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho cỏc điểm A(0;1), B (2;- 1) và cỏc đường thẳng d1 : (m - 1)x + (m - 2)y + 2 - m = 0, d2 : (2 - m)x + (m - 1)y + 3m - 5 = 0 a) Chứng minh d1 và d2 luụn cắt nhau. b) Gọi P là giao điểm của d1 và d2 . Tỡm m sao cho PA + PB lớn nhất. Bài 3.11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng D m : mx + y - m - 1 = 0, D m ' : x - my - 3 - m = 0, (với m là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi m ẻ R thỡ hai đường thẳng đú luụn cắt nhau tại 1 điểm nằm trờn một đường trũn cố định. 10
11. Bài 3.12: Tam giỏc ABC biết AB : 5x - 2y + 6 = 0 và AC : 4x + 7y - 21 = 0 và H(0;0) là trực tõm của tam giỏc. Tỡm tọa độ điểm A, B . Bài 3.13: Cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 3x - y + 3 = 0. Tỡm hỡnh chiếu của A lờn d . Bài 3.14: Cho tam giỏc ABC biết A(- 4;6), B (- 1;2) và đường phõn giỏc trong CK cú phương trỡnh là 3x + 9y - 22 = 0. Tớnh toạ độ đỉnh C của tam giỏc. Đ2. PHƯƠNG TRèNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương và phương trỡnh tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương : r r Cho đường thẳng D . Vectơ u ạ 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giỏ của nú song song hoặc trựng với D . Nhận xột : r r - Nếu u là VTCP của D thỡ ku (k ạ 0) cũng là VTCP của D . r - VTPT và VTCP vuụng gúc với nhau. Do vậy nếu D cú VTCP u = (a;b) ur thỡ n = (- b;a) là một VTPT của D . b. Phương trỡnh tham số của đường thẳng : r Cho đường thẳng D đi qua M 0(x0;y0) và u = (a;b) là VTCP. uuuuur r ỡ ù x = x0 + at Khi đú M (x;y) ẻ D . Û MM = tu Û ớù t ẻ R . (1) 0 ù y = y + bt ợù 0 Hệ (1) gọi là phương trỡnh tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số Nhận xột : Nếu D cú phương trỡnh tham số là (1) khi đú A ẻ D Û A(x0 + at;y0 + bt) 2. Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng. r Cho đường thẳng D đi qua M 0(x0;y0) và u = (a;b) (với a ạ 0, b ạ 0) là x - x y - y vectơ chỉ phương thỡ phương trỡnh 0 = 0 được gọi là phương a b trỡnh chớnh tắc của đường thẳng D . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Viết phương trỡnh tham số và chớnh tắc của đường thẳng. 11
12. 1. Phương phỏp giải: • Để viết phương trỡnh tham số của đường thẳng D ta cần xỏc định - Điểm A(x ;y ) ẻ D 0 0 r - Một vectơ chỉ phương u (a;b) của D ỡ ù x = x0 + at Khi đú phương trỡnh tham số của D là ớù , t ẻ R . ù y = y + bt ợù 0 • Để viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng D ta cần xỏc định - Điểm A(x ;y ) ẻ D 0 0 r - Một vectơ chỉ phương u (a;b), ab ạ 0 của D x - x y - y Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng D là 0 = 0 a b (trường hợp ab = 0 thỡ đường thẳng khụng cú phương trỡnh chớnh tắc) Chỳ ý: o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thỡ chỳng cú cựng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuụng gúc với nhau thỡ VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại r ur o Nếu D cú VTCP u = (a;b) thỡ n = (- b;a) là một VTPT của D . 2. Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Cho điểm A(1;- 3) và B (- 2;3). Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: ur a) D đi qua A và nhận vectơ n (1;2) làm vectơ phỏp tuyến b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB Lời giải: ur a) Vỡ D nhận vectơ n (1;2) làm vectơ phỏp tuyến nờn VTCP của D là r u (- 2;1). ùỡ x = 1- 2t Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D là D : ớù ù y = - 3 + t ợù uuur b) Ta cú AB (- 3;6) mà D song song với đường thẳng AB nờn nhận r u (- 1;2) làm VTCP 12
13. ùỡ x = - t Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D là D : ớù ù y = 2t ợ  c) Vỡ D là đường trung trực của đoạn thẳng AB nờn nhận AB 3;6 làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . 1 Ta cú I ;0 và nhận u 1;2 làm VTCP nờn phương trỡnh tham số 2 ùỡ 1 ù x = - - t của đường thẳng D là D : ớ 2 . ù y = 2t ợù Vớ dụ 2: Viết phương trỡnh tổng quỏt, tham số, chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua điểm A(3;0) và B (1;3) ùỡ x = 1- 3t b) đi qua N (3;4) và vuụng gúc với đường thẳng d ' : ớù . ù y = 4 + 5t ợù Lời giải: uuur a) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nờn nhận AB = (- 2;3) làm vectơ chỉ phương do đú ùỡ x = 3 - 2t phương trỡnh tham số là ớù ; phương trỡnh chớnh tắc là ù y = 3t ợù x - 3 y = ; phương trỡnh tổng quỏt là 3(x - 3) = - 2y hay - 2 3 3x + 2y - 9 = 0 b) D ^ d ' nờn VTCP của d ' cũng là VTPT của D nờn đường thẳng D r r nhận u (- 3;5) làm VTPT và v(- 5;- 3) làm VTCP do đú đú phương trỡnh tổng quỏt là - 3(x - 3) + 5(y - 4) = 0 hay 3x - 5y + 11 = 0; phương ùỡ x = 3 - 5t x - 3 y - 4 trỡnh tham số là ớù ; phương trỡnh chớnh tắc là = ù y = 4 - 3t ợù - 5 - 3 Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC cú A(- 2;1), B (2;3) và C (1;- 5). a) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh BC của tam giỏc. b) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. c) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chõn đường phõn giỏc trong gúc A và G là trọng tõm của DABC . 13
14. Lời giải: uuur a) Ta cú BC (- 1;- 8) suy ra đường thẳng chứa cạnh BC cú phương trỡnh là ùỡ x = 2 - t ớù ù y = 3 - 8t ợù ổ3 ử b) M là trung điểm của BC nờn M ỗ ;- 1ữ do đú đường thẳng chứa đường ốỗ2 ứữ uuuur ổ7 ử trung tuyến AM nhận AM ỗ ;- 2ữ làm VTCP nờn cú phương trỡnh là ốỗ2 ứữ ùỡ 7 ù x = - 2 + t ớ 2 ù y = 1- 2t ợù c) Gọi D(xD ;yD ) là chõn đường phõn giỏc hạ từ A của tam giỏc ABC uuur AB uuur Ta cú BD = DC AC 2 2 MàAB = (- 2 - 2) + (3 - 1) = 2 5 và 2 2 AC = (1 + 2) + (- 5 - 1) = 3 5 suy ra ùỡ 2 ùỡ 8 uuur uuur uuur ù x - 2 = (1- x ) ù x = AB 2 ù D D ù D 8 1 BD = DC = DC Û ớ 3 Û ớ 5 ị D( ;- ) AC 3 ù 2 ù - 1 5 5 ù y - 3 = (- 5 - y ) ù y = ợù D 3 D ợù D 5 ổ1 1ử G ỗ ;- ữ là trọng tõm của tam giỏc ABC ốỗ3 3ứữ uuur ổ 19 2 ử r Ta cú DG ỗ- ;- ữ suy ra đường thẳng DG nhận u (19;2) làm VTCP ốỗ 15 15ữứ ùỡ 1 ù x = + 19t ù nờn cú phương trỡnh là ớ 3 . ù 1 ù y = - + 2t ợù 3 Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ABC biết AB : x + y - 1 = 0, AC : x - y + 3 = 0 và trọng tõm G (1;2). Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh BC. Lời giải: 14
15. Ta cú tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ùỡ x + y - 1 = 0 ùỡ x = - 1 ớù Û ớù ị A(- 1;2) ù x - y + 3 = 0 ù y = 2 ợù ợù Gọi M (x;y ) là trung điểm của BC uuur uuur uuur uuur Vỡ G là trọng tõm nờn AG = 2.GM , AG (2;0), GM (x - 1;y - 2) suy ra ùỡ 2 = 2.(x - 1) ớù ị M (2;2) ù 0 = 2.(y - 2) ợù B (xB ;yB ) ẻ AB ị xB + yB - 1 = 0 ị yB = 1- xB do đú B (xB ;1- xB ) C (xC ;yC ) ẻ AC ị xC - yC + 3 = 0 ị yC = xC + 3 do đú C (xC ;xC + 3) Mà M là trung điểm của BC nờn ta cú ùỡ x + x ù x = B C ỡ ỡ ù M ù xB + xC = 4 ù xB = 2 ớù 2 Û ớù ị ớù ù y + y ù x - x = 0 ù x = 2 ù y = B C ợù C B ợù C ợù M 2 uuur Vậy B (2;- 1), C (2;5) ị BC (0;6) suy ra phương trỡnh đường thẳng BC ùỡ x = 2 là ớù . ù y = - 1 + 6t ợù 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.15. Cho điểm A(2;- 2) và B (0;1). Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: r a) D đi qua A và nhận vectơ u (1;2) làm vectơ chỉ phương ur b) D đi qua A và nhận vectơ n (4;2) làm vectơ phỏp tuyến c) D đi qua C (1;1) và song song với đường thẳng AB d) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB Bài 3.16: Viết phương trỡnh tổng quỏt, tham số, chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua điểm A(3;0) và B (- 1;0) 15
16. b) đi qua M (1;2) và vuụng gúc với đường thẳng d : x - 3y - 1 = 0. ùỡ x = 1 + 3t c) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng D ' : ớù . ù y = 2t ợù Bài 3.17: Cho tam giỏc ABC cú A(2;- 1), B (- 2;- 3) và C (- 1;5). a) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh của tam giỏc. b) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa đường trung tuyến AM . c) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tõm của tam giỏc ABC Bài 3.18. Cho tam giỏc ABC biết A(1;4),B (3;- 1) và C (6;- 2). a) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cỏc cạnh AB. b) Viết phương trỡnh đường cao AH. c) Viết phương trỡnh đường trung tuyến của tam giỏc đú AM. d) Viết phương trỡnh đường trung trực cạnh BC. e) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua trọng tõm của tam giỏc và song song với trục hoành. f) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuụng gúc với trục tung. g) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giỏc cõn đỉnh là gốc tọa độ. h) Đường thẳng qua C và chia tam giỏc thành hai phần , phần chứa điểm A cú diện tớch gấp đối phần chứa điểm B . Bài 3.19. Viết phương trỡnh đường thẳng qua M (3;2)và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho : a) OA + OB = 12 b) Diện tớch tam giỏc OAB bằng 12 Bài 3.20. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú phương trỡnh của AB : 2x - y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tõm hỡnh chữ nhật là I (4;5). Viết phương trỡnh cỏc cạnh cũn lại của hỡnh chữ nhật. Bài 3.21. Cho hỡnh bỡnh hành hai cạnh cú phương trỡnh 3x - y - 2 = 0 và x + y - 2 = 0. Viết phương trỡnh hai cạnh cũn lại biết tõm hỡnh bỡnh hành là I (3;1) . 16
17. Bài 3.22. Cho tam giỏc ABC cú trung điểm của AB là I (1;3), trung điểm AC là J (- 3;1). Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tỡm tọa độ điểm A , phương trỡnh BC và đường cao vẽ từ B . Bài 3.23. Cho tam giỏc ABC biết M (2;1), N (5;3), P (3;- 4) lần lựợt là trung điểm của ba cạnh. Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC.  DẠNG 2. Xỏc định tọa độ điểm thuộc đường thẳng. 1. Phương phỏp giải. Để xỏc định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xột sau: ỡ ù x = x0 + at • Điểm A thuộc đường thẳng D : ớù , t ẻ R ( hoặc ù y = y + bt ợù 0 x - x0 y - y0 D : = ) cú dạng A(x0 + at; y0 + bt ) a b • Điểm A thuộc đường thẳng D : ax + by + c = 0 (ĐK: ổ - at - c ử a2 + b2 ạ 0) cú dạng Aỗt; ữ với b ạ 0 hoặc ốỗ b ứữ ổ- bt - c ử Aỗ ;t ữ với a ạ 0 ốỗ a ứữ 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho đường thẳng D : 3x - 4y - 12 = 0 a) Tỡm tọa độ điểm A thuộc D và cỏch gốc tọa độ một khoảng bằng bốn b) Tỡm điểm B thuộc D và cỏch đều hai điểm E (5;0), F (3;- 2) c) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của điểm M (1;2) lờn đường thẳng D Lời giải: r a) Dễ thấy M (0;- 3) thuộc đường thẳng D và u (4;3) là một vectơ chỉ ùỡ x = 4t phương của D nờn cú phương trỡnh tham số là ớù . ù y = - 3 + 3t ợù Điểm A thuộc D nờn tọa độ của điểm A cú dạng A(4t;- 3 + 3t ) suy ra ộ t = 1 2 2 2 ờ OA = 4 Û (4t ) + (- 3 + 3t ) = 4 Û 25t - 18t - 7 = 0 Û ờ - 7 ờt = ởờ 25 17
18. ổ- 28 - 96ử Vậy ta tỡm được hai điểm là A (4;0) và A ỗ ; ữ 1 2 ốỗ 25 25 ứữ b) Vỡ B ẻ D nờnB (4t;- 3 + 3t ) Điểm B cỏch đều hai điểm E (5;0), F (3;- 2) suy ra 2 2 2 2 6 EB 2 = FB 2 Û (4t - 5) + (3t - 3) = (4t - 3) + (3t - 1) Û t = 7 ổ24 3ử Suy ra B ỗ ;- ữ ốỗ 7 7ứữ c) Gọi H là hỡnh chiếu của M lờn D khi đú H ẻ D nờn H (4t;- 3 + 3t ) r Ta cú u (4;3)là vectơ chỉ phương của D và vuụng gúc với uuuur HM (4t - 1;3t - 5) nờn uuuur r 19 HM .u = 0 Û 4(4t - 1) + 3(3t - 5) = 0 Û t = 25 ổ76 18ử Suy ra H ỗ ;- ữ ốỗ25 25ứữ ùỡ x = - 1- t Vớ dụ 2: Cho hai đường thẳng D : x - 2y + 6 = 0 và D ' : ớù . ù y = t ợù a) Xỏc định tọa độ điểm đối xứng với điểm A(- 1;0) qua đường thẳng D b) Viết phương trỡnh đường thẳng đối xứng với D ' qua D Lời giải: a) Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn D khi đú H (2t - 6;t ) r uuur Ta cú u (2;1)là vectơ chỉ phương của D và vuụng gúc với AH (2t - 5;t ) uuur r nờn AH.u = 0 Û 2(2t - 5) + t = 0 Û t = 2 ị H (- 2;2) A' là điểm đối xứng với A qua D suy ra H là trung điểm của AA' do đú ỡ ỡ ù xA ' = 2xH - xA ù xA ' = - 3 ớù Û ớù ù y = 2y - y ù y = 4 ợù A ' H A ợù A ' Vậy điểm cần tỡm là A '(- 3;4) 18
19. ùỡ x = - 1- t b) Thay ớù vào phương trỡnh D ta được ù y = t ợù 5 - 1- t - 2t + 6 = 0 Û t = suy ra giao điểm của D và D ' là 3 ổ 8 5ử K ỗ- ; ữ ốỗ 3 3ứữ Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ' do đú đường thẳng đối xứng với D ' uuuur ổ1 7ử 1 qua D đi qua điểm A' và điểm K do đú nhận A 'K = ỗ ;- ữ= (1;- 7) ốỗ3 3ứữ 3 ùỡ x = - 3 + t nờn cú phương trỡnh là ớù ù y = 4 - 7t ợù Nhận xột: Để tỡm tọa độ hỡnh chiếu H của A lờn D ta cú thể làm cỏch khỏc r như sau: ta cú đường thẳng AH nhận u (2;1) làm VTPT nờn cú phương trỡnh là 2x + y + 2 = 0 do đú tọa độ H là nghiệm của hệ ùỡ x - 2y + 6 = 0 ớù ị H (- 2;2) ù 2x + y + 2 = 0 ợù Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Biết A(- 1;4), B (1;- 4), đường ổ7 ử thẳng BC đi qua điểm K ỗ ;2ữ. Tỡm toạ độ đỉnh C. ốỗ3 ứữ Lời giải: uuur ổ4 ử r Ta cú BK ỗ ;6ữ suy ra đường thẳng BC nhận u (2;9) làm VTCP nờn cú ốỗ3 ữứ ùỡ x = 1 + 2t phương trỡnh là ớù ù y = - 4 + 9t ợù C ẻ BC ị C (1 + 2t;- 4 + 9t ) uuur uuur Tam giỏc ABC vuụng tại A nờn AB.AC = 0, uuur uuur AB (2;- 8), AC (2 + 2t;- 8 + 9t ) suy ra 2(2 + 2t )- 8(9t - 8) = 0 Û t = 1 Vậy C (3;5) ổ7 5ử Vớ dụ 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Biết I ỗ ; ữ là trung điểm của cạnh ốỗ2 2ứữ 19
20. ổ 3ử ã CD, D ỗ3; ữvà đường phõn giỏc gúc BAC cú phương trỡnh là ốỗ 2ứữ D : x - y + 1 = 0. Xỏc định tọa độ đỉnh B. Lời giải: ùỡ x = 2x - x = 4 ù C I D ổ ử ù ỗ 7ữ Cỏch 1: Điểm I là trung điểm của CD nờn ớ 7 ị C ỗ4; ữ ù ốỗ 2ứữ ù yC = 2xI - yD = ợù 2 Vỡ A ẻ D nờn tọa độ điểm A cú dạng A(a;a + 1) uuur uuur Mặt khỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành tương đương với DA,DC khụng cựng uuur uuur phương và AB = DC ùỡ x - a = 4 - 3 uuur uuur ù B ùỡ x = a + 1 ù B AB = DC Û ớ Û ớù ị B (a + 1;a + 3) ù 7 3 ù y = a + 3 ù yB - a - 1 = - ù B ợù 2 2 ợ 3 a + 1- uuur uuur a - 3 11 DA,DC khụng cựng phương khi và chỉ khi ạ 2 Û a ạ 1 2 2 ã r Đường thẳng D là phõn giỏc gúc BAC nhận vectơ u = (1;1) làm vec tơ chỉ phương nờn uuur r uuur r uuur r uuur r AB.u AC.u cos(AB;u ) = cos(AC;u ) Û uuur r = uuur r (*) AB u AC u uuur uuur ổ 5 ử Cú AB (1;2), AC ỗ4 - a; - aữ nờn ốỗ 2 ứữ 13 - 2a ộ a = 1 3 2 2 ờ (* ) Û = Û 2a - 13a + 11 = 0 Û ờ 11 5 2 ờa = (l) 2 ổ5 ử ờ (4 - a) + ỗ - aữ ở 2 ốỗ2 ứữ Vậy tọa độ điểm B (2;4) ổ 7ử Cỏch 2: Ta cú C ỗ4; ữ. ốỗ 2ứữ r Đường thẳng d đi qua C vuụng gúc với D nhận u (1;1) làm vectơ phỏp tuyến 20
21. ổ 7ử nờn cú phương trỡnh là 1.(x - 4) + 1.ỗy - ữ= 0 hay 2x + 2y - 15 = 0 ốỗ 2ứữ Tọa độ giao điểm H của D và d là nghiệm của hệ: ùỡ 13 ỡ ù x = ù x - y + 1 = 0 ù ổ13 17ử ớ Û ớ 4 ị H ỗ ; ữ ù 2x + 2y - 15 = 0 ù 17 ốỗ 4 4 ứữ ợù ù y = ợù 4 Gọi C' là điểm đối xứng với C qua D thỡ khi đú C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là trung điểm của CC' do đú ỡ ùỡ x = 2x - x ù 5 ổ ử ù C ' H C ù xC ' = 5 ữ ớ Û ớ 2 ị C 'ỗ ;5ữ ù y = 2y - y ù ỗ ữ ợù C ' H C ù y = 5 ố2 ứ ợù C ' uuur Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận DC (1;2) làm vectơ chỉ ùỡ 5 ù x = + t phương nờn cú phương trỡnh là ớ 2 ù y = 5 + 2t ợù Thay x, y từ phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trỡnh đường thẳng D ta được 5 3 + t - 5 - 2t + 1 = 0 Û t = - suy ra A(1;2) 2 2 uuur uuur ỡ ỡ ù xB - 1 = 1 ù xB = 2 ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn AB = DC Û ớù Û ớù ù y - 2 = 2 ù y = 4 ợù B ợù B Suy ra B (2;4) Chỳ ý: Bài toỏn cú liờn quan đến đường phõn giỏc thỡ ta thường sử dụng nhận xột " D là đường phõn giỏc của gúc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau D 1 và D 2 khi đú điểm đối xứng với điểm M ẻ D 1 qua D thuộc D 2 " Vớ dụ 5: Cho đường thẳng d : x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A(0;1) và uuur uuur B (3;4). Tỡm tọa độ điểm M trờn d sao cho MA + 2MB là nhỏ nhất. Lời giải: uuur uuur M ẻ d ị M (2t + 2;t ), MA(- 2t - 2;1- t ), MB (1- 2t;4 - t ) do đú uuur uuur MA + 2MB = (- 6t;- 3t + 9) 21
22. Suy ra uuur uuur 2 2 ổ 3ử 314 314 MA + 2MB = (- 6t ) + (- 3t + 9) = 45ỗt - ữ+ ³ ốỗ 5ứữ 5 5 uuur uuur 3 ổ16 3ử MA + 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi t = do đú M ỗ ; ữ là điểm cần 5 ốỗ 5 5ữứ tỡm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.24: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G (- 2;0), phương trỡnh cỏc cạnh AB: 4x + y + 14 = 0, AC: 2x + 5y - 2 = 0. Tỡm toạ độ cỏc đỉnh A, B, C. Bài 3.25: Cho hai đường thẳng d1 : x - y = 0 và d2 : 2x + y - 1 = 0. Tỡm toạ độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d2 và cỏc đỉnh B, D thuộc trục hoành. Bài 3.26: Cho tam giỏc ABC cú đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B cú phương trỡnh x - 3y - 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C cú phương trỡnh x + y + 1 = 0. Xỏc định toạ độ cỏc đỉnh B và C của tam giỏc. Bài 3.27: Cho điểm A(2;2) và cỏc đường thẳng: d1 : x + y - 2 = 0, d2 : x + y - 8 = 0. Tỡm toạ độ cỏc điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Bài 3.28: Tam giỏc ABC biết A(2;- 1) và phương trỡnh hai đường phõn giỏc trong của gúc B và gúc C lần lượt là D : x - 2y + 1 = 0, D ' : 2x - 3y + 6 = 0. Xỏc định tọa độ B, C . Bài 3.29: Cho điểm A(2;1). Trờn trục Ox , lấy điểm B cú hoành độ xB ³ 0, trờn trục Oy , lấy điểm C cú tung độ yC ³ 0 sao cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tỡm cỏc điểm B, C sao cho diện tớch tam giỏc ABC lớn nhất. Bài 3.30: Cho tam giỏc ABC cõn tại B, vớiA(1;- 1),C(3;5). Điểm B nằm trờn đường thẳngd : 2x - y = 0. Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng AB, BC. Bài 3.31: Cho đường thẳng D : x - 2y + 3 = 0 và hai điểm A(2;5) và B (- 4;5). Tỡm tọa độ điểm M trờn D sao cho a) 2MA2 + MB 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất b) MA + MB đạt giỏ trị nhỏ nhất 22
23. c) MA - MB đạt giỏ trị lớn nhất Bài 3.32: Viết phương trỡnh cạnh BC của tam giỏc ABC biết A(1;1) và phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc trong gúc B, C lần lượt là 2x - y + 2 = 0 và x - 3y + 3 = 0. Bài 3.33: Viết phương trỡnh đường thẳng D ' đối xứng với đường thẳng D qua điểm I biết a) I (- 3;1); D : 2x + y - 3 = 0 b) ùỡ x = 2 - t I (- 1;3); D : ớù ù y = - 1- 2t ợù Bài 3.34: Cho hỡnh vuụng tõm I (2;3) và AB : x - 2y - 1 = 0. Viết phương trỡnh cỏc cạnh cũn lại và cỏc đường chộo . Bài 3.35: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A biết phương trỡnh cạnh BC là: 3x - y - 3 = 0; điểm A, B thuộc trục hoành. Xỏc định toạ độ trọng tõm G của tam giỏc ABC biết bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC bằng 2 Bài 3.36: Cho tam giỏc ABC cú C(- 2,0) , đường phõn giỏc trong gúc A uuur uuur cú phương trỡnh là 5x + y - 3 = 0 và thỏa món AB = 2OM với M (2;3). Tỡm tọa độ điểm A, B Bài 3.37: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của cỏc cạnh AB và AC cú phương trỡnh x + y - 4 = 0. Tỡm toạ độ cỏc đỉnh B và C, biết điểm E (- 1;3) nằm trờn đường cao đi qua đỉnh C của tam giỏc đó cho. Bài 3.38: Cho hỡnh thoi ABCD cú A(1,- 2);B(- 3,3) và giao điểm của hai đường chộo nằm trờn đường thẳng d : x - y + 2 = 0. Tỡm toạ độ C và D. Bài 3.39: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú phương trỡnh đường thẳng AB : x - y + 1 = 0 và phương trỡnh đường thẳng BD : 2x + y - 1 = 0; đường thẳng AC đi qua M (- 1;1). Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD . 3 Bài 3.40: Cho tam giỏc ABC cú diện tớch S = , tọa độ cỏc đỉnh 2 A(2;- 3), B (3;- 2) và trọng tõm G của tam giỏc nằm trờn đường thẳng cú phương trỡnh 3x - y - 8 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh C 23