Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song (Có hướng dẫn)

1. CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Các tính chất thừa nhận. • Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. • Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. • Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. • Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. • Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng . • Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 2. Cách xác định mặt phẳng. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết: - Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. - Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó. 5
2. - Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Các kí hiệu: - ABC là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A,B,C ( h1) - M,d là kí hiệu mặt phẳng đi qua d và điểm M d (h2) - d1 ,d2 là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d1 ,d2 (h3) M d2 C A d d1 α B α α (h1) (h2) (h3) 3. Hình chóp và hình tứ diện. 3.1. Hình chóp. Trong mặt phẳng α cho đa giác lồi A1A2 An . Lấy điểm S nằm ngoài α . Lần lượt nối S với các đỉnh A1 ,A2 , ,An ta được n tam giác SA1A2 ,SA2A3 , ,SAnA1 . Hình gồm đa giác A1A2 An và n tam giác SA1A2 ,SA2A3 , ,SAnA1 được gọi là hình chóp , kí hiệu là S.A1A2 An . Ta gọi S là đỉnh, đa giác A1A2 An là đáy , các đoạn SA1 ,SA2 , ,SAn là các cạnh bên, A1A2 ,A2A3 , ,AnA1 là các cạnh đáy, các tam giác SA1A2 ,SA2A3 , ,SAnA1 là các mặt bên 3.2. Hình Tứ diện Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC,ABD, ACD và BCD được gọi là tứ diện ABCD . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG. Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến. Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng α và β thường được tìm như sau : Tìm hai đường thẳng a,b lần lượt thuộc α và β , đồng γ thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng γ nào đó; giao β b điểm M a  b chính là điểm chung của α và β . A a α Các ví dụ 6
3. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) SAC và SBD b) SAC và MBD c) MBC và SAD d) SAB và SCD Lời giải.  a) Gọi O AC BD S O AC  SAC O BD  SBD Lại có M O SAC  SBD S SAC  SBD SO SAC  SBD . A b) O AC  BD D F O O AC  SAC C O BD  MBD B O SAC  MBD . E Và M SAC  MBD OM SAC  MBD . F BC  MBC c) Trong ABCD gọi F BC  AD F MBC  SAD F AD  SAD Và M MBC  SAD FM MBC  SAD d) Trong ABCD gọi E AB  CD , ta có SE SAB  SCD . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC , ABD . b) Gọi I,J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD . Lời giải. a) Trong BCD gọi N DO  BC , trong ADN gọi P DM  CDM P DM  AN P AN  ABC P CDM  ABC 7
4. A R Lại có G C CDM  ABC PC CDM  ABC . P M D Tương tự, trong BCD gọi Q CO  BD , trong Q ACQ gọi R CM  AQ J O E B K R CM  CDM R CDM  ABD I N R AQ  ABD C D là điểm chung thứ hai của MCD và ABD nên DR CDM  ABD . F b) Trong BCD gọi E BO  CD,F IJ  CD , K BE  IJ ; trong ABE gọi G KM  AE . F IJ  IJM G KM  IJM Có F IJM  ACD , F CD  ACD G AE  ACD G IJM  ACD . Vậy FG IJM  ACD . Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: - Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng. - Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC . Trên SA,SB và SC lấy các điểm D,E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K . Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng. Lời giải. Ta có I DE  AB,DE  DEF I DEF ; AB  ABC I ABC 1 . S Tương tự J EF  BC J EF DEF D 2 F J BC  ABC K DF  AC K A E C B 8 I J
5. K DF  DEF 3 Từ (1),(2) và (3) ta có I,J,K là điểm chung của hai mặt K AC  ABC phẳng ABC và DEF nên chúng thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC có D,E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng α đi qua AC cắt SE,SB lần lượt tại M,N . Một mặt phẳng β đi qua BC cắt SD,SA tương ứng tại P và Q . a) Gọi I AM  DN,J BP  EQ . Chứng minh S,I,J,G thẳng hàng. b) Giả sử K AN  DM,L BQ  EP . Chứng minh S,K,L thẳng hàng. Lời giải. L a) Ta có S SAE  SBD , (1) S G AE  SAE G AE  BD G BD  SBD Q K G SAE N 2 P G SBD J M I A I DN  SBD I AM  DN D  C I AM SAE G E I SBD B 3 I SAE J BP  SBD J SBD J BP  EQ 4 J EQ  SAE J SAE Từ (1),(2),(3) và (4) ta có S,I,J,G là điểm chung của hai mặt phẳng SBD và SAE nên chúng thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng α cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD tưng ứng tại các điểm M,N,P,Q . Chứng minh các đường thẳng MP,NQ,SO đồng qui. Lời giải. S Trong mặt phẳng MNPQ gọi I MP  NQ . Ta sẽ chứng minh I SO . Dễ thấy SO SAC  SBD . Q I MP  SAC M I P I NQ  SBD N D A 9 O B C
6. I SAC I SO I SBD Vậy MP,NQ,SO đồng qui tại I . Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a . Trong P lấy hai điểm A,B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc P . Các đường thẳng SA,SB cắt Q tương ứng tại các điểm C,D . Gọi E là giao điểm của AB và a .Chứng minh AB,CD và a đồng qui. Lời giải. Trước tiên ta có S AB vì ngược lại thì S AB  P S P (mâu thuẫn giả thiết) do đó S,A,B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng SAB . C SA  SAB Q Do C SA  Q C C Q D C SAB a 1 C Q E B A Tương tự P D SB  SAB D SB  Q D Q D SAB 2 S D Q Từ (1) và (2) suy ra CD SAB  Q . E AB  SAB E SAB Mà E AB  a E a  Q E Q E CD . Vậy AB,CD và a đồng qui đồng qui tại E . Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P ta cần lưu ý một số trường hợp sau: 10
7. Trường hợp 1. Nếu trong P có sẵn một đường thẳng d' cắt d tại M , khi đó M d M d M d  P P M d'  P M P d Trường hợp 2. Nếu trong P chưa có sẵn d' cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn một mặt phẳng Q chứa d d' M Bước 2: Tìm giao tuyến Δ P  Q Q Bước 3: Trong Q gọi M d  Δ thì M chính là giao điểm của d  P . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA . a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD . b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD . Lời giải. S a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi E AB  CD . Trong SAB gọi N SB  EM . Ta có N EM  MCD N MCD và N SB nên N SB  MCD . M b) Trong ABCD gọi I AC  BD . N K A Trong SAC gọi K MC  SI . I D Ta có K SI  SBD và K MC nên B C K MC  SBD . E Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN . Lời giải. S Trong mặt phẳng ABCD gọi O AC  BD,J AN  BD . Trong SAC gọi I SO  AM và K IJ  SD . K Ta có I AM  AMN ,J AN  AMN I A M B J N 11 O D C
8. IJ  AMN . Do đó K IJ  AMN K AMN . Vậy K SD  AMN Bài toán 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP. Phương pháp: Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1A2 An cắt bởi mặt phẳng α , ta tìm giao điểm của mặt phẳng α với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của α với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp) Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD . a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) . b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP . Lời giải. a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi E AB  CD . S Trong mặt phẳng SCD gọi Q SC  EP . Ta có E AB nên EP  ABP Q ABP , do P đó Q SC  ABP . Q Thiết diện là tứ giác ABQP . A b)Trong mặt phẳng ABCD gọi F,G lần lượt B D là các giao điểm của MN với AD và CD C Trong mặt phẳng SAD gọi H SA  FP E Trong mặt phẳng SCD gọi K SC  PG . S Ta có F MN F MNP , P FP  MNP H MNP H F A D K 12 M B N C G
9. H SA Vậy H SA  MNP Tương tự K SC  MNP . H MNP Thiết diện là ngũ giác MNKPH . Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi M,N,P là ba điểm trên các cạnh AD,CD,SO . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) . Lời giải. S Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E,K,F lần lượt là giao điểm của MN với DA,DB,DC . H Trong mặt phẳng SDB gọi H KP  SB R T P Trong mặt phẳng SAB gọi T EH  SA F N Trong mặt phẳng SBC gọi R FH  SC . D C K E MN M O Ta có EH  MNP , E A H KP B T SA  T SA MNP . d T EH  MNP O Lí luận tương tự ta có R SC  MNP . Thiết diện là ngũ giác MNRHT . d2 d1 13
10. Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Phương pháp: Để dựng đường thẳng d đi qua O và cắt d1 ,d2 ta dựng giao tuyến của hai mặt phẳng mp O,d1 và mp O,d2 , khi đó d mp O,d1  mp O,d2 . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD , O là điểm huộc miền trong tam giác BCD , M là một điểm trên cạnh AB . a) Dựng đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD . b) Gọi N là mộtđiểm trên cạnh BC sao cho ON không song song với BD . Dựng đường thẳng đi qua N cắt AO và DM . Lời giải. a) Trong BCD gọi P BO  CD A Trong ABN gọi I PM  AO Đường thẳng MP chính là đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD . M B I D O P C b) Trong mặt phẳng BCD gọi E NO  BD Trong ABD gọi G MD  AE , trong NAE gọi F AO  NG , thì NG chính là đường thẳng đi qua A N cắt cả AO và DM . M G F B E D O N C 14
11. Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH. Phương pháp: Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a,b ta chọn hai mặt phẳng cố định α và β cắt nhau lần lượt chứa a,b , khi đó β a I a  α I a  b I b  β d I d α  β I Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt b phẳng α và β . α Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau - Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng δ và γ - Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng δ và γ , khi đó d đi qua điểm cố định J . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB . Một mặt phẳng P quay quanh AB cắt các cạnh SC,SD tại các điểm tương ứng E,F . a) Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE . b) Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF . Lời giải. a) Phần thuận: I AF AF  SAD Ta có I AF  BE , I BE BE  SBC S F SAD  SBC . H AD I Trong ABCD gọi H AD  BC F H BC E J H SAD A . B H SBC O D C SH SAD  SBC I SH . H 15
12. Giới hạn: Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H . Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S . Phần đảo: Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH , trong SAH gọi F SD  AI , trong SBH gọi E SH  BI khi đó ABEF là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC,SD tại E,F và I là giao điểm của AF và BE . Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH . J AE J SAC b) Ta có J AE  BF J SAC  SBD Nhưng J BF J SBD SO SAC  SBD nên J SO . Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O . Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S . Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABDC . Hai điểm M,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC AM AN sao cho . Một mặt phẳng P thay đổi luôn chứa MN , cắt các cạnh CD AB AC và BD lần lượt tại E và F . a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF . c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE . Lời giải. K MN K MNP a) Trong ABC gọi K MN  BC thì K cố định và K BC K BCD Lại có EF P  BCD K EF Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định A M F D B I O N E C 16 K J
13. b) Phần thuận: I ME  MCD Trong P gọi I ME  NF I NF  NBD I MCD  NBD . Gọi O CM  BN OD MCD  NBD I OD Giới hạn: Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D Phần đảo: Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD , trong MCD gọi E MI  CD , trong NBD gọi F NI  BD suy ra MNEF là mặt phẳng quay quanh MN căt các cạnh DB,DC tại các điểm E,F và I ME  NF . Vậy tập hợp điểm I là đoạn OD . J MF  ADB c) Gọi J MF  NE J ADB  ACD . J NE  ACD Mà AD ADC  ADB . Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và NAD b) Gọi E,F là các điểm lần lượt trên các cạnh AB và AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và DEF . 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác ABCD , AB cắt CD tại E , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại F . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) SAB và SCD ; SAC và SBD . b) SEF với các mặt phẳng SAD và SBC . 3. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABD , N một điểm thuộc miền trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : 17
14. a) BCD và AMN . b) ABC và DMN . 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP 3PD . a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng MNP . b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABD và MNP . 5. Cho hình chóp S.ABCD , M và N là các điểm lần lượt trên các cạnh SC,BC . a) Tìm giao điểm của AM với SBD . b) Tìm giao điểm của SD với SMN . 6. Trong mặt phẳng α cho hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại O , A,B là hai điểm nằm ngoài α sao cho AB cắt α với α . Một mặt phẳng β quay quanh AB cắt d và d' lần lượt tại M,N . a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi I AM  BN , chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định. c) Gọi J AN  BM , chứng minh J thuộc một đường thẳng cố định. d) Chứng minh IJ đi qua một điểm cố định. 7. Cho tứ diện ABCD . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2KD . a) Xác định giao điểm E của đường thẳng CD với IJK và chứng minh DE DC . b) Xác định giao điểm F của đương thẳng AD với IJK và chứng minh FA 2FD . c) Chứng minh FK P AB . 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC . EM a) Tìm giao điểm E của AM với SBD . Tính . EA b) Tìm giao điểm F của SD với MAB và chứng minh F là trung điểm của SD . 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD . a) Tìm giao điểm I của GM với ABCD . Chứng minh I,C,D thảng hàng và IC 2ID . JD b) Tìm giao điểm J của AD với MOG . Tính . JA KS c) Tìm giao điểm K của SA với MOG . Tính . KA 18
15. 10. Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng a,b cắt nhau ở O và c là đường thẳng cắt α tại I I O . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và mp O,c b) Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I . Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng M,a và M,b và chứng minh Δ luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c . 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SC . a) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với AMN b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng AMN . 12. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I,J lần lượt là các điểm cố định trên các cạnh SA và SC ( IJ không song song với AC ). Một mặt phẳng α quay quanh IJ cắt SB tại M và cắt SD tại N . a) Chứng minh các đường thẳng MN,IJ,SO đồng qui b) Giả sử AD  BC E,IN  JM F . Chứng minh S,E,F thẳng hàng. c) Gọi P IN  AD,Q JM  BC . Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi α di động. 13. Cho hình chóp S.ABC . Trên các cạnh AB,BC,CS lấy các điểm M,N,P sao cho MN và AC không song song với nhau. a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP . b) Gỉa sử I MP  NQ , chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi P chạy trên cạnh SC . 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là một điểm trên 1 cạnh SD sao cho SM SD . 3 a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với SAC . b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC . Xác định giao tuyến d của SBC và AMN . Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định. c) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp với MNG . 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng α căt các cạnh bên SA,SB,SC tương ứng tại các điểm A',B',C' . Gọi O là giao điểm của AC và BD . a) Tìm giao điểm D' của α với SD . SA SC SB SD b) Chứng minh . SA' SC' SB' SD' 19
16. 16. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I,J là hai điểm trên các cạnh AD và SB . a) Tìm giao các điểm K,L của các đường thẳng IJ và DJ với SAC . b) Giả sử O AD  BC,M OJ  SC . Chứng minh A,K,L,M thẳng hàng. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD , AB 2CD . Gọi I là trung điểm của SA , J là một điểm trên cạnh SC với JS JC . Gọi α là mặt phẳng quay quanh IJ , cắt các cạnh SD,SB tại M,N . Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN . 18. Cho tứ diện ADCD thỏa mãn điều kiện AB.CD AC.BD AD.CB . Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng qui tại một điểm. 20
17. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b : Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau: - a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a  b M . - a và b song song với nhau, ta kí hiệu a P b . - a và b trùng nhau, ta kí hiệu a  b . Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng chéo nhau. 2. Các định lí và tính chất. • Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a . • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. • Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song. β α β β Δ c γ b c γ a b A b a 21 a α α
18. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Phương pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng α và β có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d' thì giao tuyến của α và β là đường thẳng đi qua M song song với d và d' . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD Lời giải. S d AB  SAB CD  SCD Ta có AB P CD S SAB  SCD A B SAB  SCD d P AB P CD,S d . D C Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và IJG . b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IJG và hình chóp là một hình bình hành. Lời giải. a) Ta có ABCD là hình thang và I,J là trung điểm của AD,BC nên IJ / /AB . G SAB  IJG S AB  SAB Vậy IJ  IJG AB P IJ SAB  IJG MN P IJ P AB với M G N M SA,N SB . A B b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI . E 22 I J D C
19. MN SG 2 Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN P AB nên AB SE 3 ( E là trung điểm của AB ). 2 MN AB . 3 1 Lại có IJ AB CD . Vì MN P IJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình 2 bình hành khi MN IJ 2 1 AB AB CD AB 3CD . 3 2 Vậy thết diện là hình bình hành khi AB 3CD . Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau: - Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng. - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba. - Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. - Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SB . a) Chứng minh MN song song với CD . b) Gọi P là giao điểm của SC và ADN , I là giao điểm của AN và DP . Chứng minh SI song song với CD . Lời giải. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN P AB . Lại có ABCD là hình thang AB / /CD . MN P AB Vậy MN P CD . S I CD P AB b) Trong ABCD gọi E AD  BC , trong N SCD gọi P SC  EN . M Ta có E AD  ADN A B P EN  AND P ADN . C D 23 E
20. Vậy P SC  ADN . I AN I SAB Do I AN  DP SI SAB  SCD . I DP I SCD AB  SAB CD  SCD Ta có SI P CD . AB P CD SAB  SCD SI Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC . Biết AD a,BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB,SC lần lượt tại M,N . Mặt phẳng BCI cắt SA,SD tại P,Q . a) Chứng minh MN song sonng với PQ . b) Giải sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại F . Chứng minh EF song song với MN và PQ . Tính EF theo a,b . Lời giải. a) Ta có I SAD I SAD  IBC . AD  SAD BC  IBC S Vậy AD P BC SAD  IBC PQ PQ P AD P BC 1 P I Tương tự Q J SBC J SBC  ADJ A  K AD ADJ E D M BC  SBC J N F Vậy AD P BC B SBC  ADJ MN C MN P AD P BC 2 Từ 1 và 2 suy ra MN P PQ . E AMND F AMND b) Ta có E AM  BP ; F DN  CQ E PBCQ F PBCQ AD P BC Do đó EF AMND  PBCQ . Mà EF P AD P BC P MN P PQ . MN P PQ 24
21. Tính EF : Gọi K CP  EF EF EK KF EK PE PE PM Ta có EK P BC 1 , PM P AB BC PB EB AB PM SP 2 PE 2 Mà . AB SA 3 EB 3 EK PE PE 1 2 2 2 Từ 1 suy ra EK BC b BC PB PE EB EB 5 5 5 1 PE 2 2 Tương tự KF a . Vậy EF EK KF a b . 5 5 Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a,b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a,b song song hoặc cắt nhau, khi đó A,B,C,D thuôc mp a,b . Để chứng minh ba đường thẳng a,b,c đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh a,b,c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng α , β , δ trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được a,b,c đồng qui. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M,N,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA,SB,SC và SD . a) Chứng minh ME,NF,SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ). b) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. Lời giải. a) Trong SAC gọi I ME  SO , dễ thấy I là trung điểm của SO , suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD . S Vậy FI / /OD . Tương tự ta có NI P OB nên N,I,F thẳng hàng hay I NF . M F Vậy minh ME,NF,SO đồng qui . I b) Do ME  NF I nên ME và NF xác định một mặt N E phẳng. Suy ra M,N,E,F đồng phẳng. D A O B C 25
22. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M,N,E,F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SBC,SCD và SDA . Chứng minh: a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. b) Ba đường thẳng ME,NF,SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ). Lời giải. a) Gọi M',N',E',F' lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD và DA . SM 2 SN 2 SM SN Ta có , S SM' 3 SN' 3 SM' SN' MN P M'N' 1 . SE SF Tương tự EF P E'F' 2 SE' SF' F M'N' P AC I E Lại có M'N' P E'F' 3 M E'F' P AC A D N F' Từ 1 , 2 và 3 suy ra MN P EF . Vậy bốn điểm M' M,N,E,F đồng phẳng. O E' b) Dễ thấy M'N'E'F' cũng là hình bình hành và B C O M'E' N'F' . N' Xét ba mặt phẳng M'SE' , N'SF' và MNEF ta có : M'SE'  N'SF' SO M'SE'  MNEF ME N'SF'  MNEF NF ME  NF I . Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME,NF,SO đồng qui. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng DMN và BCD . 20. Cho hình chóp S.ABC . Gọi G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB . a) Chứng minh G1G2 P AC . b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng BG1G2 và ABC . 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD . b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC . Xác định giao điểm N của SD với ABM . Tứ giác ABMN là hình gì? 26
23. c) Giả sử I AN  BM . Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh SC . 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,SC,SD . a) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành. b) Gọi I là một điểm trên cạnh BC . Xác định thiết diện của hình chóp với IMN . 23. Cho tứ diện ABCD . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và BD , E là một điểm thuộc cạnh AD ( E khác A và D ). a) Xác định thiết diện của tứ diện với IJE . b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình thoi. 24. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và AB . a) Hãy xác định các điểm I AC và J DN sao cho IJ P BM . b) Tính IJ theo a . 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang.Một mặt phẳng α cắt các cạnh SA,SB,SC và SD lần lượt tại các điểm M,N,P,Q . a) Giả sử MN  PQ I , AB  CD E . Chứng minh I,E,S thẳng hàng. b) Giả sử Δ IBC  IAD và Δ  α . Chứng minh MQ P NP P AB P CD . 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD P BC . M là một điểm di động trong tứ giác ABCD . Qua M vẽ các đường thẳng song song với SA,SB cắt các mặt SBC và SAD lần lượt tại N,P . a) Nêu cách dựng các điểm N,P . b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MN.MP lớn nhất. 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD a và BC b . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD và SB . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADP và SBC . b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của ADP và SMN nằm bên trong hình chóp. 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAD , M là điểm trên cạnh SA sao cho MA 2MS . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MIJ . 29. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và song song SA,SB và SC cắt các mặt SBC , SCA , SAB lần lượt tại các điểm A',B',C' . a) Nêu cách dựng các điểm A',B',C' . 27
24. MA' MB' MC' b) Chứng minh có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác SA SB SC ABC . c) Xác định vị trí của điểm M để tích MA'.MB'.MC' lớn nhất. 30. Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng α cắt bốn canh AB,BC,CD,DA Lần lượt tại các điểm M,N,P,Q . AB.BC.CD.AD Chứng minh : MA.NB.PC.QD . Khi đẳng thức xảy ra thì MNPQ là 16 hình gì? 28
25. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng d và mặt phẳng α , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là: • d và α cắt nhau tại điểm M , kí hiêu M d  α hoặc để đơn giản ta kí hiệu M d  α (h1) • d song song với α , kí hiệu d P α hoặc α P d ( h2) • d nằm trong α , kí hiệu d  α (h3) d d d M α α α h1 h2 h3 2. Các định lí và tính chất. • Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng α và d song song với đường thẳng d' nằn trong α thì d song song với α . d  α d Vậy d P d' d P α d'  α d' α h3 • Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng α . Nếu mặt phẳng β đi qua d và cắt α theo giao tuyến d' thì d' P d . 29