›
›
›

Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Khoảng cách (Có hướng dẫn)

doc 81 trang xuanthu 200
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Khoảng cách (Có hướng dẫn)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docphuong_phap_giai_cac_chuyen_de_hinh_hoc_lop_11_chu_de_khoang.doc

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Khoảng cách (Có hướng dẫn)

  1. KHOẢNG CÁCH A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. O 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Cho điểm M và một đường thẳng Δ . Trong mp M,Δ gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến Δ . M H d M,Δ MH Nhận xét: OH OM,M Δ 2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. O Cho mặt phẳng α và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng α . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng α . H M d M, α MH α Nhận xét: OH MO,M α 3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng. Cho đường thẳng Δ và mặt phẳng α song song với nhau. Khi M đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên Δ đến mặt phẳng α được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng α . α H d Δ, α d M, α ,M Δ . N 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng. M Cho hai mặt phẳng α và β song song với nhau, khoảng cách α từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng α và β . d α , β d M, β d N, α ,M α ,N β . N' 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng. β M' Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b . Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường M a thẳng a và b . b 5 N
  2. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ . Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau: • Trong mp M,Δ vẽ MH  Δ d M,Δ MH • Dựng mặt phẳng α qua M và vuông góc với Δ tại H d M,Δ MH . Hai công thức sau thường được dùng để tính MH 1 1 1 • ΔMAB vuông tại M và có đường cao AH thì . MH2 MA2 MB2 2S • MH là đường cao của ΔMAB thì MH MAB . AB Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a . Tính khoảng các từ đỉnh D' đến đường chéo AC' . Lời giải. Gọi H là hình chiếu của D' trên AC' . D C C'D'  D'A' Do C'D'  ADD'A' C'D'  DD' A C'D'  D'A . H B Vậy tam giác D'AC' vuông tại D' có đường cao D'H suy ra D' C' 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 D'H a . D'H D'A D'C' a 2 a 2a 2 A' B' 3 Vậy d D',AC' a . 2 Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a . Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB . Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM . Lời giải. Trong ICM kẻ IH  CM thì d I,CM IH . 6
  3. S Gọi N MO  DC,N CD . OH OM I Ta có ΔMHO : ΔMNC CN MC A a B Mà OM CN ,CM BM2 BC2 M O 2 N 2 H a 2 a 5 D C a . 2 2 CN.OM a Suy ra OH , OI là đường trung bình trong tam giác SAC nên MC 2 5 SA a OI . 2 2 OI / /SA Ta có OI  ABCD OI  OH ΔOHI vuông tại O nên SA  ABCD 2 2 2 2 a a 3 a 30 IH OH OI a 2 5 2 10 10 a 30 Vậy d I,CM . 10 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc ·ABC 1200 , SC  ABCD và SC h . Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA theo a và h . Lời giải. Kẻ OH  SA,H SA thì d O,SA OH . S Do ABCD là hình thoi cạnh a và ·ABC 1200 nên a 3 ΔCBD đều cạnh a CO CA 2CO a 3 . 2 H 2 SA CS2 CA2 h2 a 3 3a2 h2 B A Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên a 3 O .h OH OA OA.SC ah 3 OH 2 C SC SA SA 3a2 h2 2 3a2 h2 D 3ah Vậy d O,SA OH . 2 3a2 h2 7
  4. Ví dụ 4. . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA  ABCD , SA a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD .Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE . Lời giải. Trong SBM kẻ SH  BM thì d S,BM SH . Gọi N BM  AD , ta có DN MD S AD P BC 1 DN BC a BC MC AN 2a . Tronh tam giác vuông ABN có 1 1 1 2 2 2 AH AB AN A N D 1 1 5 M a2 2 4a2 H 2a B C 2a 5 AH . 5 SA  ABCD SA  AH ΔASH vuông tại A , do đó 4 3a 5 SH AH2 AS2 a2 a2 . 5 5 3a 5 Vậy d S,BM SH . 5 Bài toán 02: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG. Phương pháp: Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng α thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm M trên α . Để xác định được vị trí hình chiếu này ta có một số lưu ý sau: M • Nếu có d  α thì MH P d (h1). • Chọn β chứa điểm M , rồi xác định giao tuyến Δ α  β . d Trong β dựng MH  Δ MH  α (h2). • Nếu trong α có hai điểm A,B sao cho MA MB thì trong H α α kẻ đường trung trực d của đoạn AB , rồi trong h1 mp M,d dựng MH  d . Khi đó MH  α (h3) β M 8 α H h2
  5. Thật vậy , Gọi I là trung điểm của AB . Do MA MB nên ΔMAB cân tại M MI  AB  α . Lại có AB  d AB  mp M,d AB  MH . M MH  AB Vậy MH  α . MH  d • Nếu trong α có một điểm A và một đường thẳng d B H không đi qua A sao cho MA  d thì trong α kẻ đường d I α A thẳng d' đi qua A và d'  d , rồi trong mp M,d' kẻ h3 MH  d' MH  α .( h4) Thật vậy , do d  d' và d  MA d  mp M,d' d  MH M Lại có MH  d' MH  mp d,d'  α . • Nếu trong α có các điểm A ,A , ,A n 3 mà 1 2 n d MA MA MA hoặc các đường thẳng 1 2 n H d' A MA1 ,MA2 , ,MAn tạo với α các góc bằng nhau thì hình chiếu α của M trên α chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác h4 A1A2 An . • Nếu trong α có các điểm A1 ,A2 , ,An n 3 mà các mặt M N phẳng MA1A2 , MA2A3 , , MAnA1 thì hình chiếu của M là tâm đường tròn nội tiếp đa giác A1A2 An . • Đôi khi, thay vì hình chiếu của điểm M xuống α ta có thể N' dựng hình chiếu một điểm N khác thích hợp hơn sao cho α M' MN P α . Khi đó d M, α d N, α . (h5) h5 • Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một d(M,(α))=d(N,(α)) điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là: A • Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và có 1 1 1 1 đường cao OH thì 2 2 2 2 . OH OA OB OC H O B I C 9
  6. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a , cạnh SA vuông góc với ABC và SA h , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 600 . Tính khoảng cách từ A đến SBC theo a và h . Lời giải. AI  BC Gọi I là trung điểm của BC , ta có SAI  BC SA  BC Vậy ·AIS chính là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ·AIS 600 . S Trong SBC kẻ AH  SI . BC  SAI Ta có AH  BC . AH  SAI H AH  BC Vậy AH  SBC AH  SI C A d A, SBC AH . I a 3 B Tam giác ABC đều cạnh a nên AI 2 Trong tam giác AIS ta có 1 1 1 1 1 4h2 3a2 ah 3 AH . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH AI AS a 3 h 3a h 4h 3a 2 ah 3 Hay d A, SBC . 4h2 3a2 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BA BC a,AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD . Lời giải. Trong ABCD gọi M AB  CD , trong SAM gọi S K AH  SM , kẻ AE  SC tại E và gọi N là trung điểm của AD . F E K N 10 H D A B C M
  7. Dễ thấy ABCN là hình vuông nên NC AB a . Do đó NA NC ND a ΔACD vuông tại C CD  AC , lại có CD  SA CD  SAC SAC  SCD . SAC  SCD SAC  SCD SC Vậy AE  SCD 1 AE  SAC AE  SC Trong AKE kẻ HF P AE,F KE , thì từ (1) suy ra HF  SCD d H, SCD HF . MB BC a 1 Do BC P AD MA 2AB 2a B là trung điểm của MA . MA AD 2a 2 BH BH.BS BA2 a2 1 Lại có 2 2 2 2 . 2 BS BS AB AS a a 2 3 HF KH 1 1 Vậy H là trọng tâm của tam giác SAM , do đó HF AE . AE KA 3 3 Tứ diện ADMS có ba cạnh AD,AM,AS đôi một vuông góc và AE  SMD nên 1 1 1 1 AE2 AD2 AM2 AS2 1 1 1 1 AE a . 4a2 4a2 2a2 a2 1 a Vậy d H, SCD HF AE . 3 3 A Nhận xét: Từ bài trên ta thấy nếu đường thẳng AB B d A, α IA cắt α tại I thì . d B, α IB H I α K Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba kích thức AB a,AD b,AA' c . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng DA'C' . Lời giải. Gọi I là tâm của hình bình hành ADD'A' thì I D' C' là trung điểm của AD' . d A, DA'C' IA Ta có 1 A' ID' B' d D', DA'C' I C D 11 A B
  8. d A, DA'C' d D', DA'C' . Mặt khác ta có tứ diện D'ADC' có các cạnh D'D,D'A',D'C' đôi một vuông góc 1 1 1 1 1 1 1 a2b2 b2c2 c2a2 nên . d2 D', DA'C' D'D2 D'A'2 D'C'2 a2 b2 c2 a2b2c2 1 abc Vây d A, DA'C' . 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a2 b2 c2 Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a , các góc ·BAA' ·BAD ·DAA' 600 . Tính khoảng cách từ A' đến ABCD . Lời giải. Do ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a và ·BAA' ·BAD ·DAA' 600 nên các tam giác ABA',ABD,ADA' đều là các tam giác đếu cạnh a A'A A'B A'D ( A' cách đếu ba đỉnh của ΔABD ) Gọi H là hình chiếu của A' trên ABCD thì các tam giác vuông A'HA,A'HB,A'HD bằng nhau nên HA HB HD suy ra H là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABD . Gọi O giao điểm của AC và BD , ta có D' C' 2 2 a 3 a 3 AH AO . . A' 3 3 2 3 B' 2 a 3 2 2 2 A'H AA' AH a 3 D C 2 a . O 3 H A B 2 Vậy d A', ABCD A'H a . 3 Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , tam giác SAD đều và có cạnh bằng 2a , BC 3a các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD . Lời giải. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên ABCD , Gọi I1 ,I2 ,I3 ,I4 lần lượt là hình ¶ chiếu của I trên các cạnh AB,BC,CD,DA thì các góc IIiS i 1,4 là góc giữa các mặt bên và mặt đáy do đó chúng bằng nhau,suy ra các tam giác vuông SII1 ,SII2 ,SII3 ,SII4 bằng nhau nên II1 II2 II3 II4 I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD . 12
  9. Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB DC AD BC 5a 1 1 Diện tích hình thang ABCD là S AB DC AD .5a.2a 5a2 2 2 Gọi p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp của hình thang ABCD thì S AB DC AD BC 10a p 5a 2 2 S 5a2 S pr r a II r a . p 5a 4 C Tam giác SAD đều và có cạnh 2a nên D I3 I4 I I A 2 I1 B 2a 3 2 2 2 2 SI4 a 3 SI SI4 - II4 3a - a a 2 Vậy d S, ABCD SI a 2 . 2 Bài toán 03: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: • Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó d a,b MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng : Nếu a  b thì ta dựng đoạnvuông góc chung của a và b như sau - Dựng mặt phẳng α chứa b và vuông góc với a . - Tìm giao điểm O a  α . a - Dựng OH  b . Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b . O Nếu a,b không vuông góc với nhau thì có thể dựng đoạn α H b vuông góc chung của a và b theo hai cách sau: Cách 1. - Dựng mặt phẳng α chứa b và song song với a . A N - Dựng hình chiếu A' của một điểm A a trên α . a - Trong α dựng đường thẳng a' đi qua A' và song song với a cắt b tại M , từ M dựng đường thẳng song song với AA' cắt a tại N . Đoạn MN chính là đoạn M A' vuông góc chung của a và b . α a' b Cách 2. 13
  10. - Dựng mặt phẳng α vuông góc với a . - Tìm giao điểm O a  α . - Dựng hình chiếu b' của b trên α b - Trong α dựng OH  b' tại H . A B - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B . b' - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt O H a tại A . α - Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b . • Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm A a đến mặt phẳng α chứa b và α P a . a M • Sử dụng d a,b d α , β d A, β ,A α A • Sử dụng phương pháp vec tơ α a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi   N AM xAB b H   β CN yCD và chỉ khi   MN.AB 0 M B   MN.CD 0 A b) Nếu trong α có hai vec tơ không cùng phương   C OH  u1     u ,u thì OH d O, α OH  u N 1 2 2 O D H α   OH.u1 0   OH.u2 0 . H α H u1 u α 2 Các ví dụ 14
  11. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. a) SB và AD . b) BD và SC . Lời giải. a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB . Ta S AD  AB có AD  SAB AD  AH Vậy AD  SA AH là đoạn vuông góc chung của SB và AD , nên d AD,SB AH . I Tam giác SAB vuông cân tại A có đường H 1 a 2 D cao AH nên AH SB . j 2 2 A K a 2 Vậy d AD,SB AH = . O 2 BD  AC B C b) Ta có BD  SAC . Gọi O là BD  SA tâm của hình vuông ABCD và kẻ OK  SC,K SC thì OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC . 1 Vậy d BD,SC OK AI ( I là trung điểm của SC ) 2 1 1 1 1 1 3 a 6 Ta có AK . AK2 AS2 AC2 a2 2a2 2a2 3 a 6 Vậy d BD,SC . 6 Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a , I là trung điểm của AB . Dựng a 3 IS  ABCD và SI . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,SD,SB . 2 Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau: a) NP và AC . b) MN và AP . Lời giải. a) Trong SAB kẻ PJ P SI , từ J kẻ JE P BD,E AC Từ E kẻ EF P PJ,F PN . S N 15 F P H K A Q D E I J O B M C
  12. PJ P SI Do PJ  ABCD SI  ABCD PJ  AC 1 . PN P BD Lại có PN  AC 2 BD  AC Từ 1 , 2 ta có AC vuông góc với PNJ tại E , mà EF  PNJ AC  EF . Vậy EF là đoạn vuông góc chung của NP và AC . 1 a 3 d AC,PN EF PJ SI . 2 4 b) Gọi Q là trung điểm của AB . Ta có MQ P AB,AB  SAB MQ P SAB . Tương tự NQ P SA,SA  SAB NQ P SAB . MB  AB Vậy MNQ P SAB NM P SAB . Lại có MB  SAB B là hình MB  SI chiếu của M trên SAB . Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AP tại K thì BK là hình chiếu của MN trên SAB . Từ K kẻ đường thẳng song song với MB cắt MN tại H thì KH là đoạn vuông góc chung của MN và AP . a Vậy d MN,AP KH MB . 2 Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và BD . Lời giải. Cách 1. Dựng đường vuông góc chung (theo A' B' cách 1) rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung. I BD P B'D' Do nên AB'D' là mặt D' G AD'  AB'D' H C' phẳng chứa AD' và song song với BD . M Gọi O là tâm của hình vuông ABCD A B Ta dựng hình chiếu của điểm O trên AB'D' . O Do N B'D'  A'C' D C B'D'  CC'A' B'D'  A'C 1 B'D'  CC' 16
  13. Tương tự A'C  AD' 2 . Từ 1 , 2 suy ra A'C  AB'D' . Gọi G A'C  AB'D' . Do ΔAB'D' đều và A'A A'B' A'D' nên G là trọng tâm của tam giác AB'D' . Vậy Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' thì AI là trung tuyến của tam giác AB'D' nên A,G,I thẳng hàng. Trong ACC'A' dựng OH P CA' cắt AI tại H thì H là hình chiếu của O BD trên AB'D' . Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD' tại M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD tại N thì MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD do đó d AD',BD MN . Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN OH . Do OH là đường trung bình 1 trong tam giác ACG OH CG . 2 GC AC 2 2 2 3a Mặt khác 2 CG 2GA' CG CA' a 3 . GA' A'I 3 3 3 1 2 3a a 3 OH . . 2 3 3 a 3 Vậy d AD',BD MN OH . 3 Cách 2. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2) rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung. Chon DCB'A' vuông góc với AD' tại trung A' B' điểm O của AD' . Gọi I là tâm của hình vuông BCC'B' thì BI  CB' và BI  CD nên BI  DCB'A' từ đó DI là hình chiếu của D' C' DB lên DCB'A' . O N I Trong DCB'A' kẻ OH  DI , từ H dựng A B đường thẳng song song với AD' cắt BD tại M , từ M dựng đường thẳng song song với H OH cắt OA tại N thì MN là đoạn vuông M góc chung của của AD' và BD do đó D C d AD',BD MN . 17
  14. Ta có OHMN là hình chữ nhật nên MN OH , mạt khác OH là đường cao trong 1 1 1 1 1 3 a 3 tam giác vuông ODI nên 2 2 2 2 2 2 OH . OH OD OI a 2 a a 3 2 a 3 Vậy d AD',BD MN OH . 3 Cách 3. Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của A' AD' và BD với M AD',N BD . Từ M kẻ B' MP  AD , từ N kẻ NQ  AD . Dễ thấy BD  MNP BD  NP ; C' AD'  MNQ AD'  MQ . D' M Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên A a QD QN QP MP PA B 3 Q P DP 2a a 2 Lại có PN N 2 2 3 2 D Từ đó C 2 2 a a 2 a2 a 3 2 2 2 MN PM PN MN . 3 3 3 3 Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng song song chứa hai đường đó. A' B' AD'  AB'D' Dễ thấy BD  BDC' I AB'D' P BDC' D' C' d AD',BD d AB'D' , BDC' . A Gọi I,J lần lượt là giao điểm của A'C J B với các mặt phẳng AB'D' , BDC' . Theo chứng minh trong cách 1 thì I,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác AB'D' D C và BDC' . Mạt khác dễ dạng chứng minh được A'C  AB'D' ,A'C  BDC' . 1 a 3 suy ra d AD',BD d AB'D' , BDC' IJ A'C . 3 3 18
  15. Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD với M AD',N BD        Đặt AB x,AD y,AA' z x y z a,xy yz zx 0          AD' y z AM kAD' k y z ,DB x y DN m x y .        Ta có MN AN AM AD DN AM mx 1 k m y kz       Vì MN  DB MN.DB 0 mx 1 k m y kz x y 0 2m k 1 0 .   2m k 1 1 Tương tự MN.AD' 0 1 m 2k 0 , từ đó ta có hệ m k . m 2k 1 3     1 1 1 1 2 2 2 a 3 Vậy MN x y z MN MN x y z 3 3 3 9 3 Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA SB SC a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và SA . Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN . Lời giải. Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai C đường thẳng SM và CN ( theo cách 1) rồi tính IK . Gọi E là trung điểm của AM , ta có NE  CNE SM P CNE , do đó CNE là SM P NE B H K mặt phẳng chứa CN và song song với SM . S Trong SAB , kẻ SF  NE thì I F M NE  SF N NE  CSF CSF  CNE Trong E NE  CS CSF kẻ SH  CF SH  CNE vậy H là hình A chiếu của S trên CNE , từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K , từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM tại I thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN . a 2 1 1 1 1 1 9 Ta có SF AM , 2 2 2 2 2 2 4 SH SF SC a 2 a a 4 a SH . 3 19
  16. a Vậy d SM,CN IK SH . 3 Cách 2. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường thẳng SM và CN ( theo cách 2) rồi tính IK . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của C SB và CN , E là giao điểm của NP và H SM . Khi đó NQ P CS,CS  SAB NQ  SAB NQ  SM B F   I Lại có SM NP SM NPQ tại E , P dựng hình bình hành CSEH CH P SE , Q mà SE  NPQ CH  NPQ , vì vậy S K E NH là hình chiếu của NC trên M NPQ .Kẻ EF  NH tại F , từ F kẻ N đường thẳng song song với SM cắt CN tại I , từ I kẻ đường thẳng song song với EF cắt SM tại K thì IK là đoạn vuông góc chung của CN và SM . A Tam giác EHN vuông tại E có đường cao EF 1 1 1 1 1 1 8 9 2 2 2 2 2 2 2 2 . EF EH EN CS AB a a a 4 a a EF . Vậy d CN,SM IK EF . 3 3 Cách 3. Sử dụng phương pháp vec tơ Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SM và CN .        Đặt SA a,SB b,SC c a b c a và ab bc ca 0 . EF là đoạn vuông góc chung của SM và CN   E SM SE xSM   F CN CF yCN   . EF  SM EF.SM 0   EF  CN EF.CN 0          Ta có EF ES SC CF SC CF SE c yCN xSM 20
  17. x  1 1 1  c a b y a c y x a xb 1 y c . 2 2 2 2   4 x EF.SM 0 2x y 0 9 Ta có   x 5y 4 8 EF.CN 0 y 9 Vậy đường vuông góc chung của SM và CN là đường thẳng EF  4   8  với SE SM,CF CN . 9 9  2 2  1 4 2 4  2 4 2 a Lúc đó EF a b c EF a b c . 9 9 9 81 81 81 3 a Vậy d CN,SM EF . 3 Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và BD . Lời giải. Cách 1. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 1) rồi A' B' tính độ dài đoạn vuông góc chung. I BD P B'D' Do nên AB'D' là mặt phẳng chứa D' G AD'  AB'D' H C' AD' và song song với BD . M Gọi O là tâm của hình vuông ABCD A B Ta dựng hình chiếu của điểm O trên AB'D' . O B'D'  A'C' N Do B'D'  CC'A' B'D'  A'C 1 B'D'  CC' D C Tương tự A'C  AD' 2 . Từ 1 , 2 suy ra A'C  AB'D' . Gọi G A'C  AB'D' . Do ΔAB'D' đều và A'A A'B' A'D' nên G là trọng tâm của tam giác AB'D' . Vậy Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' thì AI là trung tuyến của tam giác AB'D' nên A,G,I thẳng hàng. Trong ACC'A' dựng OH P CA' cắt AI tại H thì H là hình chiếu của O BD trên AB'D' . Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD' tại M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD tại N thì MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD do đó d AD',BD MN . 21
  18. Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN OH . Do OH là đường trung bình 1 trong tam giác ACG OH CG . 2 GC AC 2 2 2 3a Mặt khác 2 CG 2GA' CG CA' a 3 . GA' A'I 3 3 3 1 2 3a a 3 OH . . 2 3 3 a 3 Vậy d AD',BD MN OH . 3 Cách 2. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2) rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung. Chon DCB'A' vuông góc với AD' tại trung A' B' điểm O của AD' . Gọi I là tâm của hình vuông BCC'B' thì BI  CB' và BI  CD nên BI  DCB'A' từ đó DI là hình chiếu của D' C' DB lên DCB'A' . O N I Trong DCB'A' kẻ OH  DI , từ H dựng A B đường thẳng song song với AD' cắt BD tại M , từ M dựng đường thẳng song song với H OH cắt OA tại N thì MN là đoạn vuông M góc chung của của AD' và BD do đó D C d AD',BD MN . Ta có OHMN là hình chữ nhật nên MN OH , mạt khác OH là đường cao trong 1 1 1 1 1 3 a 3 tam giác vuông ODI nên 2 2 2 2 2 2 OH . OH OD OI a 2 a a 3 2 a 3 Vậy d AD',BD MN OH . 3 A' B' Cách 3. Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD với M AD',N BD . Từ M kẻ MP  AD , từ N kẻ NQ  AD . D' C' Dễ thấy BD  MNP BD  NP ; M AD'  MNQ AD'  MQ . A B Q P N 22 D C
  19. a Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên QD QN QP MP PA 3 DP 2a a 2 Lại có PN 2 3 2 2 2 2 a a 2 a2 a 3 2 2 2 Từ đó MN PM PN MN . 3 3 3 3 Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng song song chứa hai đường đó. A' B' AD'  AB'D' Dễ thấy BD  BDC' I AB'D' P BDC' D' C' d AD',BD d AB'D' , BDC' . A Gọi I,J lần lượt là giao điểm của A'C J B với các mặt phẳng AB'D' , BDC' . Theo chứng minh trong cách 1 thì I,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác AB'D' D C và BDC' . Mạt khác dễ dạng chứng minh được A'C  AB'D' ,A'C  BDC' . 1 a 3 suy ra d AD',BD d AB'D' , BDC' IJ A'C . 3 3 Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD với M AD',N BD        Đặt AB x,AD y,AA' z x y z a,xy yz zx 0          AD' y z AM kAD' k y z ,DB x y DN m x y .        Ta có MN AN AM AD DN AM mx 1 k m y kz       Vì MN  DB MN.DB 0 mx 1 k m y kz x y 0 2m k 1 0 .   2m k 1 1 Tương tự MN.AD' 0 1 m 2k 0 , từ đó ta có hệ m k . m 2k 1 3     1 1 1 1 2 2 2 a 3 Vậy MN x y z MN MN x y z . 3 3 3 9 3 23
  20. Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a) SB và AD . b) BD và SC . Lời giải. a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB . Ta S AD  AB có AD  SAB AD  AH Vậy AD  SA AH là đoạn vuông góc chung của SB và AD , nên d AD,SB AH . I Tam giác SAB vuông cân tại A có đường H 1 a 2 D cao AH nên AH SB . j 2 2 A K a 2 Vậy d AD,SB AH = . O 2 BD  AC B C b) Ta có BD  SAC . Gọi O là BD  SA tâm của hình vuông ABCD và kẻ OK  SC,K SC thì OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC . 1 Vậy d BD,SC OK AI ( I là trung điểm của SC ) 2 1 1 1 1 1 3 a 6 Ta có AK . AK2 AS2 AC2 a2 2a2 2a2 3 a 6 Vậy d BD,SC . 6 Ví dụ 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a , I là trung điểm của AB . Dựng a 3 IS  ABCD và SI . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,SD,SB . 2 Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau: a) NP và AC . b) MN và AP . Lời giải. a) Trong SAB kẻ PJ P SI , từ J kẻ JE P BD,E AC S Từ E kẻ EF P PJ,F PN . N F 24 P H K A Q D E I J O B M C
  21. PJ P SI Do PJ  ABCD SI  ABCD PJ  AC 1 . PN P BD Lại có PN  AC 2 BD  AC Từ 1 , 2 ta có AC vuông góc với PNJ tại E , mà EF  PNJ AC  EF . Vậy EF là đoạn vuông góc chung của NP và AC . 1 a 3 d AC,PN EF PJ SI . 2 4 b) Gọi Q là trung điểm của AB . Ta có MQ P AB,AB  SAB MQ P SAB . Tương tự NQ P SA,SA  SAB NQ P SAB . MB  AB Vậy MNQ P SAB NM P SAB . Lại có MB  SAB B là hình MB  SI chiếu của M trên SAB . Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AP tại K thì BK là hình chiếu của MN trên SAB . Từ K kẻ đường thẳng song song với MB cắt MN tại H thì KH là đoạn vuông góc chung của MN và AP . a Vậy d MN,AP KH MB . 2 Ví dụ 8. Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA SB SC a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và SA . Dựng đường vuông góc chung SM CN Cho tam giác ABC , dựng và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và  . ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ BC . Lời giải. Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai C đường thẳng SM và CN ( theo cách 1) rồi tính IK . Gọi E là trung điểm của AM , ta có NE  CNE SM P CNE , do đó CNE là SM P NE B H K mặt phẳng chứa CN và song song với SM . S Trong SAB , kẻ SF  NE thì I F M NE  SF N NE  CSF CSF  CNE Trong E NE  CS A 25
  22. CSF kẻ SH  CF SH  CNE vậy H là hình chiếu của S trên CNE , từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K , từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM tại I thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN . a 2 1 1 1 1 1 9 Ta có SF AM , 2 2 2 2 2 2 4 SH SF SC a 2 a a 4 a SH . 3 a Vậy d SM,CN IK SH . 3 Cách 2. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường thẳng SM và CN ( theo cách 2) rồi tính IK . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của C SB và CN , E là giao điểm của NP và H SM . Khi đó NQ P CS,CS  SAB NQ  SAB NQ  SM B F   I Lại có SM NP SM NPQ tại E , P dựng hình bình hành CSEH CH P SE , Q mà SE  NPQ CH  NPQ , vì vậy S K E NH là hình chiếu của NC trên M NPQ .Kẻ EF  NH tại F , từ F kẻ N đường thẳng song song với SM cắt CN tại I , từ I kẻ đường thẳng song song với EF cắt SM tại K thì IK là đoạn vuông góc chung của CN và SM . A Tam giác EHN vuông tại E có đường cao EF 1 1 1 1 1 1 8 9 2 2 2 2 2 2 2 2 . EF EH EN CS AB a a a 4 a a EF . Vậy d CN,SM IK EF . 3 3 26
  23. Bài toán 03: ỨNG DỤNG PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Phương pháp: A Cho hai đường thẳng chéo nhau AB và CD I B Xét mặt phẳng α vuông góc với CD tại điểm O .Gọi IJ J là đoạn vuông góc chung của AB và CD ( I AB,J CD ) D A' Xét phép chiếu vuông góc lên α , Gọi A',B',I' là hình I' B' chiếu của A,B,I thì IJ OI' , từ đó d AB,CD d O,A'B' . α O Vậy để tính IJ ta qui về tính OI' trong mặt phẳng α . C Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và CM . Lời giải. Gọi H là tâm của tam giác đều BCD thì A AH  BCD . Gọi α là mặt phẳng đi qua N A' và song song với AH thì α  BN . Xét phép chiếu vuông góc lên α , gọi M A',B',C',D',H',M',N' lần lượt là ảnh của M' A,B,C,D,H,M,N thì B'  N'  H'  N , C'  C,D'  D . B D Ta có d CM,CD d N,CM' . H 2 2 a 3 a 3 N BH BN , 3 3 2 3 C 2 a 3 2 2 2 2 AH AB BH a a 3 3 1 1 2 a NM' AH a . 2 2 3 6 Tam giác NCM' vuông tại N nên 1 1 1 1 1 10 a 10 2 2 2 2 2 2 d N,CM' . d N,CM' CN NM' a a a 10 2 6 a 10 Vậy d CM,BN d N,CM' . 10 27
  24. Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B'C' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và DM . Lời giải. Gọi E là trung điểm của BC . Dễ thấy ΔADM ΔBAE nên ·AMD ·AEB , mà · · 0 · · 0 AEB BAE 90 AMD BAE 90 A M B DM  AE . Lại có EN  ABCD EN  DM I do đó AEN  DM tại I . E K C Xét phép chiếu vuông góc lên ANE , ta có D AN chính là hình chiếu của nó nên d DM,AN d I,AN A' B' Gọi K là hình chiếu cuả I trên AN thì N d I,AN IK . Ta có ΔAKI : ΔAEN , suy ra D' C' IK AI AI.EN IK 1 EN AN AN 9a2 3a AN2 AE2 EN2 AB2 BE2 EN2 AN . 4 2 1 1 1 1 4 5 a 5 AI . AI2 AD2 AM2 a2 a2 a2 5 2a 5 Thay vào 1 ta được IK . 15 2a 5 Vậy d DM,AN . 15 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 64. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi I là trung điểm của BC . Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các cặp đường thẳng: a) OA và BC b) AI và OC 65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh a 6 SA  ABC và SA . Tính khoảng cách từ A đến SBC . 2 66. Cho tứ diện ABCD có AD  ABC , AC AD 4cm , AB 3cm, BC 5cm . Tính khoảng cách từ A đến BCD . 28