›
›
›

Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Phép biến hình (Có hướng dẫn)

doc 62 trang xuanthu 240
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Phép biến hình (Có hướng dẫn)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docphuong_phap_giai_cac_chuyen_de_hinh_hoc_lop_11_chu_de_phep_b.doc

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Phép biến hình (Có hướng dẫn)

  1. CHỦ ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F M M' hay M' F M , khi đó M' được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F . Nếu H là một hình nào đó thì hình H' M'|M' F M ,M H được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F , ta viết H' F H . Vậy H' F H M H M' F M H' Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. PHÉP TỊNH TIẾN A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa.  Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .  Phép tịnh tiến theo vectơ v được kí hiệu là T . v   v Vậy thì T M M' MM' v v Nhận xét: T M M 0 2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. M Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x; y và M’  v a; b . 5
  2.   x' x a x' x a Gọi M' x'; y' T M MM' v * v y' y b y' y b Hệ * được gọi là biểu thức tọa độ của T . v 3. Tính chất của phép tịnh tiến. • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì • Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ BC . Lời giải. Ta có T B C . BC A D Để tìm ảnh của điểm A  ta dựng hình bình hành ABCD . Do AD BC nên T A D , BC gọi E là điểm đối xứng với B qua C , khi đó B E   C CE BC Suy ra T C E . Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE . BC  Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v 2; 3 . Hãy tìm ảnh của các điểm  A 1; 1 ,B 4; 3 qua phép tịnh tiến theo vectơ v . Lời giải. x' x a Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến . y' y b x' 1 ( 2) x' 1 Gọi A' x'; y' T A A' 1; 2 v y' 1 3 y' 2 Tương tự ta có ảnh của B là điểm B' 2;6 . 6
  3.  Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v 1; 3 và đường thẳng d có phương trình 2x 3y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến T . v Lời giải. Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Lấy điểm M x; y tùy ý thuộc d , ta có 2x 3y 5 0 * x' x 1 x x' 1 Gọi M' x'; y' T M v y' y 3 y y' 3 Thay vào (*) ta được phương trình 2 x' 1 3 y' 3 5 0 2x' 3y' 6 0 . Vậy ảnh của d là đường thẳng d' : 2x 3y 6 0 . Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến Do d' T d nên d' song song hoặc trùng với d , vì vậy phương trình đường thẳng v d' có dạng 2x 3y c 0 .( ) Lấy điểm M 1;1 d . Khi đó M' T M 1 1;1 3 0; 2 . v Do M' d' 2.0 3. 2 c 0 c 6 Vậy ảnh của d là đường thẳng d' : 2x 3y 6 0 . Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d , tìm tọa độ các ảnh M',N' tương ứng của chúng qua T . Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N' . v Cụ thể: Lấy M 1;1 ,N 2; 3 thuộc d , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M' 0; 2 ,N' 3;0 . Do d' đi qua hai điểm M',N' nên có phương trình x 0 y 2 2x 3y 6 0 . 3 2 Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C có phương trình  x2 y2 2x 4y 4 0 . Tìm ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v 2; 3 . Lời giải. Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ. Lấy điểm M x; y tùy ý thuộc đường tròn C , ta có x2 y2 2x 4y 4 0 * x' x 2 x x' 2 Gọi M' x'; y' T M v y' y 3 y y' 3 2 2 x' 2 y' 3 2 x' 2 4 y' 3 4 0 Thay vào phương trình (*) ta được . x'2 y'2 2x' 2y' 7 0 Vậy ảnh của C là đường tròn C' : x2 y2 2x 2y 7 0 . Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến 7
  4. Dễ thấy C có tâm I 1; 2 và bán kính r 3 . Gọi C' T C và I' x'; y' ;r' là v tâm và bán kính của (C') . x' 1 2 1 Ta có I' 1; 1 và r' r 3 nên phương trình của đường tròn C' y' 2 3 1 2 2 là x 1 y 1 9 . Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH. Phương pháp:   Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của v . Để tìm tọa độ của v ta có thể giả sử v a; b , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn a,b và giải hệ tìm a,b . Các ví dụ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng d : 3x y 9 0 . Tìm phép  tịnh tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d' đi qua điểm A 1;1 . Lời giải.  v có giá song song với Oy nên v 0; k k 0 x' x Lấy M x; y d 3x y 9 0 * . Gọi M' x'; y' T M thay vào v y' y k * 3x' y' k 9 0 Hay T d d' : 3x y k 9 0 , mà d đi qua A 1;1 k 5 .  v Vậy v 0; 5 . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 2x 3y 3 0 và  d' : 2x 3y 5 0 . Tìm tọa độ v có phương vuông góc với d để T d d' . v Lời giải . Đặt v a; b , lấy điểm M x; y tùy ý thuộc d , ta có d : 2x 3y 3 0 * x' x a x x' a Gọi sử M' x'; y' T M .Ta có , thay vào (*) ta được v y' y b y y' b phương trình 2x' 3y' 2a 3b 3 0 . Từ giả thiết suy ra 2a 3b 3 5 2a  3b 8 .  Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng d là n 2; 3 suy ra VTCP u 3; 2 .     Do v  u v.u 3a 2b 0 . 8
  5. 16 a 2a 3b 8 13 Ta có hệ phương trình . 3a 2b 0 24 b 13  16 24 Vậy v ; . 13 13 Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến. Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu T N M và N H thì M H' trong đó v H' T H và kết hợp với M thuộc hình K v (trong giả thiết) suy ra M H'  K . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm O , bán kính R và hai điểm phân biệt C,D nằm ngoài O . Hãy dựng dây cung AB của đường tròn O sao cho ABCD là hình bình hành. Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung AB thỏa mãn yêu cầu bài toán Do ABCD là hình bình hành nên AB DC T A B . D C CD Nhưng A O B O' T O . Vậy B vừa DC thuộc O và O' nên B chính là giao điểm của A B O 0' O và O' . Cách dựng: - Dựng đường tròn O' là ảnh của đường tròn O qua T DC - Dựng giao điểm B của O và O' - Dựng đường thẳng qua B và song song với CD cắt O tại A . Dây cung AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.   Chứng minh: Từ cách dựng ta có T A B AB DC ABCD là hình bình hành. DC Biện luận: - Nếu CD 2R thì bài toán vô nghiệm . 9
  6. - Nếu CD 2R thì có một nghiệm . - Nếu CD 2R thì có hai nghiệm. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh AB,AC lần lượt tại M,N sao cho AM CN . Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d A thỏa mãn bài toán. Từ M dựng đường thẳng song song với AC cắt BC tại P , khi đó MNCP là hình M N bình hành nên CN PM . Lại có AM CN suy ra MP MA , từ đó ta có AP là phân giác trong của B góc A . P Cách dựng: C - Dựng phân giác trong AP của góc A - Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC cắt AB tại M - Dựng ảnh N T C . PM Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán. Chứng minh: Từ cách dựng ta có MNCP là hình bình hành suy ra MN P BC và CN PM , ta có M· AP= C· AP A· PM ΔMAP cân tại M AM MP . Vậy AM CN Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình Ví dụ 3. Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A,B . Dựng đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai M,N sao cho MN 2l cho trước. Lời giải. Giả sử đã dựng được đường thẳng d đi qua A và cắt A M H I N các đường tròn O1 , O2 tương ứng tại các điểm I' M,N sao cho MN 2l . O1 O2 Kẻ O1H  MN và O2I  MN . B 1 Xét T I I' O I' HI MN l . HO 1 1 2 2 2 Do tam giác I'O1O2 vuông tại I' nên O2I' O1O2 l . Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM. Phương pháp: Nếu T M M' và đểm M di động trên hình H thì điểm M' thuộc hình H' , v trong đó H' là ảnh của hình H qua T . v 10
  7. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt B,C cố định trên đường tròn O tâm O . Điểm A di động trên O . Chứng minh khi A di động trên O thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. Lời giải. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC . Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D . Vì B· CD 900 , nên DC P AH . Tương tự    AD P CH , do đó ADCH là hình bình hành.Suy ra AH DC 2OM không đổi T  A H , vì vậy khi A di động trên dường tròn O thì H di động trên 2OM đường tròn O' T  O . 2OM   Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B· AC α không đổi và BC v không đổi. Tìm tập hợp các điểm B,C . Lời giải. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó theo định lí sin ta có BC 2R không đổi sinα  ( do BC v không đổi). BC Vậy OA R , nên O di động trên đường tròn tâm A bán kính 2sinα BC AO . Ta có OB OC R không đổi và B· OC 2α không đổi suy ra 2sinα 1800 2α    O· BC O· CB không đổi. Mặt khác BC có phương không đổi nên OB,OC 2 cũng có phương  không đổi.   Đặt OB v1 ,OC v2 không đổi , thì T O B,T O C . v1 v2 BC BC Vậy tập hợp điểm B là đường tròn A ; ảnh của A, qua T , và 1 v 2sinα 2sinα 1 BC BC tập hợp điểm C là đường tròn A ; ảnh của A, qua T . 2 v 2sinα 2sinα 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hai đường thẳng d : 2x 3y 2 0 ,  d1 : 2x 3y 5 0 và vec tơ v 2; 1 . a) Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua T . v 11
  8.  b) Tìm vec tơ u có giá vuông góc với đường thẳng d để d là ảnh của d qua T . 1 u 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 3x 5y 3 0 và   d' : 3x 5y 24 0 . Tìm tọa độ v , biết v 13 và T d d' . v 2 2 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường tròn C : x 1 y 2 9 và  v 3; 4 . Tìm ảnh của C qua T . v 4. Cho đường tròn O với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM,AN cắt tiếp tuyến tại B tại P và Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ . 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O;R , trong đó AD R . Dựng các hình bình hành DABM và DACN . Chứng minh tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm trên O;R . 6. Cho tam giác ABC cố định có trực tâm H . Vẽ hình thoi BCDE . Từ D và E vẽ các đường vuông góc với AB và AC , các đường thẳng này cắt nhau tại M . Tìm tập hợp điểm M . 7. Cho hai đường thẳng d1 ,d2 cắt nhau và A,B là hai điểm không thuộc hai đường thẳng đó sao cho AB không song song hoặc trùng với d1 ( hay d2 ). Tìm trên d1 điểm M và trên d2 điểm N sao cho AMBN là hình bình hành. 8. Cho hai đường tròn bằng nhau O ;R và O ;R cắt nhau tại A,B . Một đường 1 2   thẳng d vuông góc với AB cắt O1 tại C,D và cắt O2 tại E,F sao cho CD và EF cùng hướng. a) Chứng minh C· AE không phụ thuộc vào vị trí của d . b) Tính độ dài CE theo R và AB a . 12
  9. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: Cho đường thẳng d . Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d , hay còn gọi là phép đối xứng trục d . M Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng d được kí hiệu là Ð . Như vậy  d  Ðd M M' IM IM' với I là hình chiếu vuông góc của M trên d . d I Nếu Ðd H H thì d được gọi là trục đối xứng của hình H . M' 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng Oxy , với mỗi điểm M x; y , gọi M' x'; y' Ðd M . x' x Nếu chọn d là trục Ox , thì y' y x' x Nếu chọn d là trục Oy , thì . y' y 3. Tính chất phép đối xứng trục: • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. • Biến một đường thẳng thành đường thẳng. • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC. Phương pháp: 13
  10. Để xác định ảnh H' của hình H qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau: • Dùng định nghĩa phép đối xứng trục • Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ. • Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1; 5 , đường thẳng d : x 2y 4 0 và đường tròn C : x2 y2 2x 4y 4 0 . a) Tìm ảnh của M,d và C qua phép đối xứng trục Ox . b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d . Lời giải. a) Gọi M',d', C' theo thứ tự là ảnh của M,d, C qua Ðox , khi đó M' 1; 5 . - Tìm ảnh của d . Lấy M x; y d x 2y 4 0 (1) Gọi N x'; y' là ảnh của M qua phép đối xứng Ðox . x' x x x' Ta có . Thay vào 1 ta được y' y y y' x' 2y' 4 0 . Vậy d' : x 2y 4 0 . - Tìm ảnh của C . Cách 1: Ta thấy C có tâm I 1; 2 và bán kính R 3 . Gọi I',R' là tâm và bán kính của C' thì I' 1; 2 và R' R 3 , do đó 2 2 C' : x 1 y 2 9 . Cách 2: Lấy P x; y C x2 y2 2x 4y 4 0 2 . Gọi Q x'; y' là ảnh của P qua phép đối xứng Ðox . Ta có x' x x x' thay vào 2 ta được x'2 y'2 2x' 4y' 4 0 , hay y' y y y' C' : x2 y2 2x 4y 4 0 . b) Đường thẳng d1 đi qua M vuông góc với d có phương trình 2x y 3 0 . Gọi I d  d1 thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ x 2y 4 0 x 2 I 2; 1 . 2x y 3 0 y 1 Gọi M' đối xứng với M qua d thì I là trung điểm của MM' . 14
  11. x x M M' xI 2 xM' 2xI xM 5 Ta có M' 5; 7 . y y y 2y y 7 y M M' M' I M I 2 Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d : x y 2 0 , d1 : x 2y 3 0 và đường tròn 2 2 C : x 1 y 1 4 . Tìm ảnh của d1 , C qua phép đối xứng trục d . Lời giải. - Tìm ảnh của d1 . Ta có d1  d I 1;1 nên Ðd I I . Lấy M 3;0 d1 . Đường thẳng d2 đi qua M vuông góc với d có phương trình x y 3 0 . Gọi M0 d  d2 , thì tọa độ của M0 là nghiệm của hệ 5 x x y 2 0 2 5 1 M0 ; . x y 3 0 1 2 2 y 2 Gọi M' là ảnh của M qua Ðd thì M0 là trung điểm của MM' nên M' 2; 1 . Gọi d1 ' Ðd d1 thì d1 ' đi qua I và M' nên có phương trình x 1 y 1 2x y 3 0 . Vậy d ' : 2x y 3 0 . 1 2 1 - Tìm ảnh của C . Đường tròn C có tâm J 1; 1 và bán kính R 2 . Đường thẳng d3 đi qua J và vuông góc với d có phương trình x y 2 0 . Gọi J0 d3  d thì tọa độ của điểm J0 là nghiệm của hệ x y 2 0 x 2 J0 2;0 . x y 2 0 y 0 Gọi J' Ðd J thì J0 là trung điểm của JJ' nên J' 3;1 Gọi C' Ðd C thì J' là tâm của C' và bán kính của C' là R' R 2 . Vậy 2 2 C' : x 3 y 1 4 . Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: 15
  12. Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem M như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục. Các ví dụ Ví dụ 1. Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đường thẳng d1 và hai đỉnh B,D lần lượt thuộc hai đường thẳng d2 ,d3 . Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD , thỏa các điều kiện của bài toán. Do A,C d2 và AC là trục đối xứng d2 của hình vuông ABCD . Mặt khác B B d2 nên D d2 ' d3 D d2 ' d3 . Hai điểm B,D đối xứng qua đường C A O thẳng d1 . d Nên Ð B D' , lại có 1 d2' d1 D d D d  d ' . D 3 3 2 h1 Cách dựng: - Dựng d ' Ð d , gọi D d  d ' 2 d1 2 2 2 - Dựng đường thẳng qua D vuông góc với d1 tại O và cắt d2 tại B - Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt d1 tại A,C . (Kí hiệu các điểm A,C theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD ) Chứng minh: Từ cách dựng suy ra ABCD là hình vuông. Biện luận: Trường hợp 1. d2 cắt d3 khi đó. Nếu d2 ' d3 thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình. Nếu d2 ' P d3 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình. Trường hợp 2. d2 P d3 , khi đó Nếu d1 song song và cách đều d2 và d3 thì có vô số nghiệm hình ( h2 ) Nếu d1 hợp với d2 ,d3 một góc 45 thì có một nghiệm hình ( h3 ) Nếu d1 song song và không cách đều d2 ,d3 hoặc d1 không hợp d2 ,d3 một góc 45 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình. B d2 D C 16 A d1 O C d3 A B D h2 h3
  13. Ví dụ 2. Cho hai đường tròn C , C' có bán kính khác nhau và đường thẳng d . Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A,C lần lượt nằm trên C , C' và hai đỉnh còn lại nằm trên d . Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông d ABCD thỏa mãn đề bài. Ta thấy hai (C1) đỉnh B,D d nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết C . Ta có A,C đối xứng qua d nên C thuộc đường D tròn C , ảnh của đường tròn C 1 C qua Ð . Mặt khác d I (C') C C' C C  C' . Từ đó suy ra cách dựng A B Cách dựng: (C) - Dựng đường tròn C1 là ảnh của C qua Ðd . - Từ điểm C thuộc C1  C' dựng điểm A đối xứng với C qua d . Gọi I AC  d - Lấy trên d hai điểm BD sao cho IB ID IA . Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng. Chứng minh: Dễ thấy ABCD là hình vuông có B,D d , C C' . Mặt khác A,C đối xứng qua d mà C C' A Ðd C' C hay A thuộc C . Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của C1 và C' . Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM. 17
  14. Phương pháp: Sử dụng tính chất : Nếu N Ðd M với M di động trên hình H thì N di động trên hình H' - ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d . Các ví dụ Ví dụ 1. Trên đường tròn O,R cho hai điểm cố định A,B . Đường tròn O';R' tiếp xúc ngoài với O tại A . Một điểm M di động trên O . MA cắt O' tại điểm thứ hai A' . Qua A' kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại B' . Tìm quỹ tích điểm B' Lời giải. Gọi C A'B' O' . Vẽ tiếp B' tuyến chung của O và O' C A' O'' tại điểm A . Ta có A· 'CA x·AM O' x' A· BM B·B'A' do đó ABB'C A là hình thang cân. Gọi d là trục B đối xứng của hình thang này thì x Ð C B' mà C di động trên d O đường tròn O' nên B' di động trên đường tròn O'' ảnh của M d O' qua Ðd . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I , P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi A',B',C' là các điểm đối xứng với P lần lượt đối xứng qua IA,IB,IC . Chứng minh các đường thẳng AA',BB',CC' đồng quy. Lời giải. Giả sử điểm P nằm trong tam giác IAB . Gọi P1 ,P2 ,P3 lần lượt đối xứng với P qua các cạnh BC,CA,AB . Ta sẽ chứng minh A P2 AA',BB',CC' đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P1P2P3 . P3 Hiển nhiên ta có AP2 AP3 vậy để chứng minh AA' là trung P · · A' trực của P2P3 ta cần chứng minh P2AA' P3AA' . I Ta có P· AA' P· AP P· AA' 2α 2β 3 3 C · · · · · Tương tự P2AA' P2AC CAA' CAP CAA' 2α 2β . Vậy · · B P2AA' P3AA' nên AA' là trung trực của P2P3 . P 18 1
  15. Tương tự BB',CC' lần lượt là trung trực của P1P3 và P1P2 nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P1P2P3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 5 0 . Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục có trục là a) Ox b) Oy 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 3 0 và đường tròn 2 2 C : x 2 y 3 4 . a) Tìm ảnh của d, C qua phép đối xúng trục Ox . b) Viết phương trình đường tròn C' , ảnh của C qua phép đối xứng qua đường thẳng d . 11. a) Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm về một phía của d . Xác định điểm M trên d sao cho MA MB nhỏ nhất. b) Cho x 2y 2 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 T x 3 y 5 x 5 y 7 . 12. Cho A 2;1 . Tìm điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 13. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE và ACFG . a) Gọi K là trung điểm của EG . Chứng minh K nằm trên đường thẳng AH . b) Gọi P là giao điểm của DE và FG . Chứng minh P nằm trên đường thẳng AH . c) Chứng minh các đường thẳng AH,CD,EF đồng qui. 14. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết cạnh AB nằm trên đường thẳng d1 , canh BC nằm trên đường thẳng d2 , cạnh AC đi qua M . Hãy xác định các đỉnh của tam giác ABC . 15. Cho một điểm A và một đường thẳng d không đi qua A . Trên d đặt một đoạn BC a ( a 0 cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để tổng AB AC nhỏ nhất. 16. Cho hai đường thẳng song song Δ1 ,Δ2 và điểm M nằm ở miền giữa của hai đường thẳng đó ( M và Δ1 cùng phía đối với Δ2 , M và Δ2 cùng phía đối với Δ1 ). Trên Δ1 lấy đoạn AB a trên Δ2 lấy đoạn CD b ( a,b là các độ dài cho trước). Tìm vị trí của các đoạn AB và CD sao cho tổng MA MB MC MD nhỏ nhất. 19
  16. 17. Cho hai hình vuông ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A và có cạnh đều bằng a . Hãy chỉ ra một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành hình vuông AB'C'D' . 18. Gọi dA là đường phân giác ngoài tại A của tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi điểm M trên dA , chu vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC . 19. Cho tam giác ABC cân tại A . Với mỗi điểm M trên cạnh BC , ta dựng hình bình hành APMQ ( P thuộc cạnh AB và Q thuộc cạnh AC ). Tìm tập hợp ảnh của điểm M trong phép đối xứng qua đường thẳng PQ . 20. Cho tam giác nhọn ABC a) Gọi D là một điểm cố định trên cạnh BC . Xác định các điểm E,F trên AB và AC sao cho chu vi tam giác DEF nhỏ nhất. b) Cho D thay đổi trên cạnh BC . Dựng tam giác DEF có chu vi nhỏ nhất với E,F lần lượt thuộc các cạnh AB,AC . Chứng minh khi chu vi tam giác DEF nhỏ nhất thì D,E,F là chân các đường cao của tam giác ABC . Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác DEF theo BC a,CA b,AB c . PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM' được gọi là phép đối xứng tâm I . Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là Ð .   I Vậy ÐI M M' IM IM' 0 Nếu ÐI H H thì I được gọi là tâm đối xứng của hình H . 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy cho I a; b , M x; y , gọi M' x'; y' là ảnh của M qua phép x' 2a x đối xứng tâm I thì y' 2b y 3. Tính chất phép đối xứng tâm. • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. • Biến một đường thẳng thành đường thẳng. • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 20
  17. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM. Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho điểm I 1;1 và đường thẳng d : x 2y 3 0 . Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I . Lời giải. Cách 1. Lấy điểm M x; y d x 2y 3 0 * x' 2 x x 2 x' Gọi M' x'; y' ÐI M thì . y' 2 y y 2 y' Thay vào * ta được 2 x' 2 2 y' 3 0 x' 2y' 9 0 Vậy ảnh của d là đường thẳng d' : x 2y 3 0 . Cách 2. Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I , thì d' song song hoặc trùng với d nên phương trình d' có dạng x 2y c 0 . Lấy N 3;0 d , gọi N' ÐI N thì N' 5; 2 . Lại có N' d' 5 2.2 c 0 c 9 . Vậy d' : x 2y 3 0 . Bài toán 02: XÁC ĐỊNH TÂM ĐỐI XỨNG KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : x 2y 6 0 và d' : x 2y 10 0 . Tìm phép đối xứng tâm I biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó. Lời giải. Tọa độ giao điểm của d,d' với Ox lần lượt là A 6;0 và B 10;0 . Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến giao điểm A của d với Ox thành giao điểm A' của d' với Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của AA' . Vậy tâm đỗi xứng là I 2;0 . Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đường cong C có phương trình y x3 3x2 3 . Lời giải. Lấy điểm M x; y C y x3 3x2 2 * 21
  18. Gọi I a; b là tâm đối xứng của C và M' x'; y' là ảnh của M qua phép đối xứng x' 2a x x 2a x' tâm I . Ta có y' 2b y y 2b y' 3 2 Thay vào * ta được 2b y' 2a x' 3 2a x' 3 y' x'3 3x'2 3 (6 6a)x'2 12a2 12a x' 8a3 12a2 2b 6 * Mặt khác M' C nên y' x'3 3x'2 3 do đó * (6 6a)x'2 12a2 12a x' 8a3 12a2 2b 6 0,x' 6 6a 0 a 1 12a2 12a 0 . 3 2 b 1 8a 12a 2b 6 0 Vậy I 1;1 là tâm đối xứng của C . Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình hành. Lời giải. Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng A là I . Vì qua phép biến hình đỉnh của B một đa giác cũng được biến thành đỉnh của đa giác nên đỉnh A có thể được biến thành A,B,C hay D . I - Nếu đỉnh A được biến thành chính nó thì IA IA 0 I  A vô lí D C - Nếu A biến thành B (hoặc D ) thì I là trung điểm của AB ( hoăc I là trung điểm của AD ) cũng vô lí. Vậy A được biến thành C , lí luận tương tự thì B chỉ được biến thành D , vì vậy I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành. Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay ÐI nào đó. Các ví dụ 22
  19. Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng d1 ,d2 và hai điểm A,G không thuộc d1 ,d2 . Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B,C lần lượt thuộc d1 và d2 . Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dượng được tam giác ABC thỏa mãn yêu A d' cầu bài toán 2 d1 d2 Gọi I là trung điểm của BC thì ÐI C B mà C d nên B d ' với d ' là ảnh của d qua phép 2 2 2 G đối xứng tâm I . Lại có B d1 B d1  d2 ' . Cách dựng: C  3  B I - Dựng điểm I sao cho AI AG 2 - Dựng đường thẳng d2 ' ảnh của d2 qua ÐI - Gọi B d1  d2 ' - Dựng điểm C ÐI B Tam giác ABC là tam giác phải dựng. Chứng minh:  3  Dựa vào cách dựng ta có I là trung điểm của BC và AI AG nên G là trọng tâm 2 của tam giác ABC . Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của d1 và d2 ' . Ví dụ 2. Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại hai điểm A,B vá số a 0 . Dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng a . Lời giải. Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d cắt O và O' tại M,M' sao cho AM AM' a ( giả sử AM AM' ). Xét phép đối xứng ÐA Gọi N ÐA M , O1 ÐA O , H,K lần lượt là trung điểm của AN và AM , khi đó HO1  AM và OK  AM . Gọi I là hình chiếu của O trên O1H , ta có OI P KH , mặt khác KH KA HA 23
  20. AM AN AM AM' a a nên OI . Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm O bán 2 2 2 2 a kính r . 2 Mặt khác I thuộc đường tròn đường kính OO1 nên I là giao điểm của đường O1 tròn đường kính OO1 với đường tròn a A M' O; do đó I xác định và d là đường K N H 2 M thẳng đi qua A và song song với OI . Cách dựng: O' I - Dựng O1 ảnh của O qua ÐA . O - Dựng đường tròn đường kính OO1 . B a - Dựng đường tròn O; , và dựng 2 a giao điểm I của đường tròn đường kính OO1 với đường tròn O; . 2 - Từ A dựng đường thẳng d P OI cắt O tại M và cắt O' tại M' thì d là đường thẳng cần dựng. Chứng minh: a Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AN,AM ta có KH OI 2 AM AN AM AM' Mà KH AK AH AM AM' a . 2 2 2 a Biện luân : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn O; và đường tròn 2 đường kính OO1 . Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và đường tròn O . Trên AB lấy điểm E sao cho BE 2AE , F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF . Với mỗi điểm P trên đường tròn O , ta dựng điểm Q sao cho     PA 2PB 3PC 6IQ . Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi trên O 24
  21. Lời giải. Gọi K là điểm xác định bởi KA 2KB 3KC 0 . A Khi đó P    E KA 2 KA AB F   3 KA AC 0 O I  1  1  B AK AB AC C 3 2 O' Mặt khác AEIF là hình bình hành nên Q    1  1  AI AE AF AB AC nên 3 2 K  I .          Từ giả thiết suy ra 6PK KA 2KB 3KC 6IQ PK IQ , hay PI IQ . Vậy ÐI P Q mà P di động trên đường tròn O nên Q di động trên đường tròn O' , ảnh của đường tròn O qua phép đối xứng tâm I . Ví dụ 2. Cho đường tròn O và dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên O , M không trùng với A,B . Hai đường tròn O1 , O2 cùng đi qua M và tiếp xúc với AB tại A và B . Gọi N là giao điểm thứ hai của O1 và O2 . Tìm tập hợp điểm N khi M di động. Lời giải. Gọi I MN  AB , ta có IA2 IM.IN 1 2 Tương tự IB IM.IN 2 . M Từ 1 và 2 suy ra IA IB nên I là trung điểm của O2 O1 AB . O Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với đường tròn N O . A I B 2 Dễ thấy PI/ O IM.IP IA.IB IA P Do đó IM.IN IM.IP IN IP vậy I là trung O' điểm của NP do đó ÐI P N , mà P di động trên đường tròn O nên N di động trên đường tròn O' ảnh của đường tròn O qua phép đối xứng tâm I . 25