Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian (Có hướng dẫn)

1. CHỦ ĐỀ: VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Các khái niện và các phép toán của vec tơ trong B C không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như a trong mặt phẳng.Ngoài ra ta cần nhớ thêm: A b D 1. Qui tắc hình hộp : Nếu  A BCD.A 'B 'C' D' là hình hộp thì AC' AB AD AA' a b c . c B' 2. Qui tắc trọng tâm tứ diện. C' G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một A' D' trong hai điều  kiện sau xảy ra: • GA GB GC GD 0  • MA MB MC MD 4MG,M  3. Ba véc tơ a,b,c đồng phẳng nếu giá của chúng song song với một mặt phẳng.  Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ a,b,c đồng phẳng là có các số m,n,p không đồng  thời bằng 0 sao cho ma nb pc 0 .  Cho hai vec tơ không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơ a,b,c  đồng phẳng là có các số m,n sao cho c ma nb . 5
2.   Nếu ba véc tơ a,b,c không đồng phẳng thì mỗi vec tơ d đều có thể phân tích một   cách duy nhất dưới dạng d ma nb pc . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Phương pháp: Sử dụng qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Chứng minh rằng  2  2  2  2 SA SC SB SD . Lời giải. Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD     Ta có OA OB OC OD . S  2   2  2  2   SA SO OA SO OA 2SO.OA (1)  2   2  2  2   SC SO OC SO OC 2SO.OC (2) Từ 1 và 2 suy ra  2  2  2  2  2    SA SC 2SO OA OC 2SO OA OC D C  2  2  2   2SO OA OC ( vì OA OC 0 ).  2  2  2  2  2 O Tương tự SB SD 2SO OB OD . A  2  2  2  2 D Từ đó suy ra SA SC SB SD . Ví dụ 2. Cho tứ  diện AB CD, M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và CD sao cho MA 2MB,ND 2NC ; các điểm I,J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC       sao cho IA kID,JM kJN,KB kKC .  1  2  Chứng minh với mọi điểm O ta có OJ OI OK . 3 3 Lời giải.       Vì MA 2MB nên với điểm O bất kì ta có OA OM 2 OB OM    OA 2OB OM . A 3 Tương tự ta có : M I B 6 D J K N C
3.          OD 2OC  OA kOD  OB kOC  OM kON ON , OI , OK , OJ . 3 1 k 1 k 1 k  1 1     Từ đó ta có OJ . OA 2OB kOD 2kOC 1 k 3 1 1   1   . [ 1 k OI 2 1 k OK] OI 2OK 1 k 3 3  1  2  Vậy OJ OI OK . 3 3 Bài toán 02: CHỨNG MINH BA VEC TƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG. Phương pháp:  Để chứng minh ba vec tơ a,b,c đồng phẳng ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:  • Chứng minh giá của ba vec tơ a,b,c cùng song song với một mặt phẳng.   • Phân tích c ma nb trong đó a,b là hai vec tơ không cùng phương. Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta có thể chứng minh ba vec tơ    AB,AC,AD đồng phẳng. Ngoài ra có thể sử dụng kết quả quen thuộc sau: Điều kiện cần và đủ để điểm D ABC là với mọi điểm O bất kì ta có     OD xOA yOB zOC trong đó x y z 1 . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD , các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Gọi     P,Q lần lượt là các điểm thỏa mãn PA kPD, QB kQC k 1 . Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng. Lời giải.       Ta có PA kPD MA MP k MD MP A    MA kMD MP . 1 k   M P    MA kMC Tương tự QB kQC MQ 1 k     B   MA kMD MB kMC D Suy ra MP MQ 1 k k     Q N MC MD ( Do MA MB 0 ) k 1 C 7
4.      2k  Mặt khác N là trung điểm của CD nên MC MD 2MN MP MQ MN    k 1 suy ra ba vec tơ MP,MQ,MN đồng phẳng, hay bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng.     Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , các điểm M,N xác định bởi MA xMC,NB yND    x,y 1 . Tìm điều kiện giữa x và y để ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng. Lời giải .     Đặt DA a,DB b,DC c thì a,b,c không đồng phẳng.       MA xMC DA DM x DC DM A    DA xDC a xc DM 1 . 1 x 1 x    1  1  Lại có NB yND DN DB b 2 1 y 1 y B N Từ 1 và 2 suy ra M D    1 1  x MN DN DM a b c . 1 x 1 y 1 x        Ta có AB DB DA b a,CD c ; AB và CD là C    hai vec tơ không cùng phương nên AB,CD,MN    đồng phẳng khi và chỉ khi MN mAB nCD , tức là 1 1  x  a b c m b a nc 1 x 1 y 1 x 1 m 1 x 1 1  x 1 m a m b n c 0 m x y 1 x 1 y 1 x 1 y x n 1 x    Vậy ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng khi và chỉ khi x y . Lưu ý : Ta có thể sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vec tơ để xét vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng:    Cho ba đường thẳng d1 ,d2 ,d3 lần lượt chứa ba vec tơ u1 ,u2 , u3 trong đó d1 ,d2 cắt nhau và d3  mp d1 ,d2 . u Khi đó : 3    d • d P d ,d u ,u ,u là ba vec tơ đồng phẳng. 3 3 1 2 1 2 3   • d3  mp d1 ,d2 M u1 ,u2 ,u3 là ba vec tơ không đồng phẳng d1 u A 2 8 d2 u1
5.  1  Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' , M,N là các điểm thỏa MA MD , 4  2  NA' NC . Chứng minh MN P BC'D . 3 Lời giải .     Đặt BA a,BB' b,BC c thì a,b,c là ba vec tơ không đông phẳng và      M BD B A AD B A  BC a c A D BC' b c,BA' a b . Ta có B C  1    1   MA MD BA BM BD BM N 4 4 A' 5   1  D' BM BA BD 4 4   B' C'  4BA BD 4a a c 5a c BM . 5 5 5   3a 3b 2c Tương tự BN , 5     2a 3b c 2 3  2  3  MN BN BM a c (b c) BD BC'    5 5 5 5 5 Suy ra MN,DB,BC' đồng phẳng mà N BC'D MN P BC'D . Nhận xét: Có thể sử dụng phương pháp trên để chứng minh hai mặt phẳng song song. Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA',CC' và G là trọng tâm của tam giác A'B'C' . Chứng minh MGC' P AB'N . Lời giải.     C Đặt AA' a,AB b,AC c A Vì M,N lần lượt là trung điểm của AA',CC' nên B  1  1  1   1  N AM AA' a , AN AC AC' a b M 2 2 2 2 Vì G là trọng tamm của tam giác A'B'C' nên C'  1    1  1 AG AA' AB' AC' a b c A' 3 3 3 G I Ta có B' 9
6.    1 1  1  1  1     MG AG AM a b c MG AB' AN suy ra MG,AB',AN đòng 2 3 3 2 3 phẳng, Mắt khác G AB'N MG P AB'N 1    1  1    Tương tự MC' AC' AM a c u u k AN MC' P AB'N 2 . 2 2 MG / /(AB'N) Từ 1 và 2 suy ra MGC' P AB'N . MC' AB'N Bài toán 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG. Phương pháp: Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở 2 2 2 a a a a . Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:  • Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng  có thể tính được. • Phân tích MN ma nb pc   2  2 • Khi đó MN MN MN ma nb pc 2  2 2   m2 a n2 b p2 c 2mncos a,b 2npcos b,c 2mpcos c,a . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a và các góc ·BAA' ·BAD ·DAA' 600 .Tính độ dài đường chéo AC' . Lời giải .    Đặt AB a,AD b,AA' c thì A D    a b c a, a,b b,c c,a 600 .   B Ta có AC' a b c . C  2 2  2 2   AC' a b c 2ab 2bc 2ca   A' 3a2 2 a b cos600 2 b c cos600 2 c a cos600 6a2 D' AC' a 6 . B' C' Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông canh a . Lấy M thuộc đoạn A'D , N thuộc đoạn BD với AM DN x 0 x a 2 . Tính MN theo a và x . Lời giải. 10
7.     Đặt AB a,AD b,AA' c    Ta có a b c a, a,b b,c c,a 900 D' C'  DN  x   x  DN .DB AB AD a b A' DB a 2 a 2 B'  AM  x   x  AM .AD' AD AA' b c M D AD' a 2 a 2 N C Suy ra        x x A MN MA AD DN a b b b c B a 2 a 2 x x  x a 1 b c . a 2 a 2 a 2 2 2 x x  x x2 2 x  2 x2 2 2 MN a 1 b c 2 a 1 b 2 c a 2 a 2 a 2 2a a 2 2a 2x x2 3x2 x2 1 a2 2ax a2 2 a 2a 2 3x2 MN 2ax a2 . 2 Bài toán 04: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN. Phương pháp: Sử dụng các kết quả    • A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng DA mDB nDC • A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có     OD xOA yOB zOC trong đó x y z 1 . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành . Gọi B',D' lần lượt là trungđiểm của các cạnh SB,SD . Mặt phẳng AB'D' cắt SC tại C' . Tính SC' . SC Lời giải.     SC' Đặt a SA,b SA,c SD và m S SC  1   1 Ta có SB' b,SD' c và 2 2      C' D' SC' mSC m SB BC m b a c . B' D C 11 B A
8.     SC' 2mSB' mSA 2mSD' 1 Do A,B',C',D' đồng phẳng nên 2m m 2m 1 m 3 SC' 1 Vậy . SC 3 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N . SB SD Chứng minh 3 . SM SN Lời giải.     SB SD Đặt a SA,b SA,c SD và m, n . SM SN  SM  1   SN  1  Ta có SM SB SB;SN SD SD S SB m SD n  1  1   SK SC SD DC 2 2 K 1   1    SD AB SD SB SA 2 2 N n  m  1  SN SM SA . 2 2 2 C D Mặt ta có A,M,K,N đồng phẳng nên M m n 1 1 m n 3 . 2 2 2 A B SB SD Vậy 3 . SM SN Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh AB,AC,AD lấy các điểm K,E,F . Các mặt phẳng BCF , CDK , BDE cắt nhau tại M . Đường thẳng AM cắt KEF tại N và NP MP cắt mặt phẳng BCD tại P . Chứng minh 3 . NA MA Lời giải. - Chỉ ra sự tồn tại của điểm M . A Gọi I CF  BK CI BCF  CDK Gọi J DE  CF BCF  BDE BJ  Khi đó M CI BJ chính là giao điểm của ba mặt phẳng F BCF , CDK , BDE . K N NP MP - Chứng minh 3 . M NA MA E D B P 12 C
9.       Giả sử AB αAK,AC βAE,AD γAF    Do M,N thuộc đoạn AP nên tồn tại các số m,n 1 sao cho AP mAM nAN . Ta có B,C,D,P đồng phẳng nên tồn tại x,y,z với x y z 1 1 sao cho     AP xAB yAC zAD     αx  βy  γz  αxAK βyAE γzAF AN AK AE AF n n n αx βy γz Mặt khác N KEF nên 1 αx βy γz n 2 . n n n Làm tương tự ta có M BCE x y γz m 3 M CDK x βy γz m 4 M BDE αx y z m 5 Từ 3 , 4 , 5 suy ra 2 x y z αx βy γz 3m AP AP NP MP Kết hợp với 1 , 2 ta được 2 n 3m 2 3 3 3 1 AN AM NA MA NP MP 3 .( đpcm) NA MA Ví dụ 4. Cho đa giác lồi A1A2 An n 2 nằm trong P và S là một điểm nằm ngoài P . Một mặt phẳng α cắt các cạnh SA1 ,SA2 , ,SAn của hình chóp SA1 SB2 SAn S.A1A2 An tại các điểm B1 ,B2 , ,Bn sao cho a ( a 0 cho SB1 SB2 SBn trước) Chứng minh α luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. SAi Trên các canh SAi lấy các điểm Xi i 1,2, n sao cho SXi     a Gọi I là điểm xác định bởi SI SX1 SX2 SXn thì I là điểm cố định ( do các điểm S và X1 ,X2 , ,Xn ccos định)        SX1 SX2 SXn Ta có SI SX1 SX2 SXn SB1 SB2 SBn SB1 SB2 SBn SX1 SX2 SXn SA1 SA2 SAn Do 1 nên các điểm I,B1 ,B2 , ,Bn đồng SB1 SB2 SBn aSB1 aSB2 aSBn phẳng suy ra mặt phẳng α đi qua điểm I cố định. 13
10. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP     1. Cho tứ diện ABCD . Gọi E,F là các điểm thỏa nãm EA kEB,FD kFC còn       P,Q,R là các điểm xác định bởi PA lPD,QE lQF,RB lRC . Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng. 2. Cho tứ diện ABCD . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .    a) Chứng minh 2IJ AC BD     b) GA GB GC GD 0     c) Xác định vị trí của M để MA MB MC MD nhỏ nhất. 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC MN và DC' sao cho MN P BD' . Tính tỉ số . BD' 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc ·B'A'D' 600 ,·B'A'A ·D'A'A 1200 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D ; AC' với B'D . b) Tính diện tích các tứ giác A'B'CD và ACC'A' . c) Tính góc giữa đường thẳng AC' với các đường thẳng AB,AD,AA' . 5. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC được tính theo công thức 1   2 S AB2AC2 AB.AC . 2 6. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao  1   2   1    cho AM AB,BN BC,AQ AD,DP kDC . 3 3 2 Hãy xác định k để M,N,P,Q đồng phẳng. 7. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ·ASB ·BSC ·CSA α . Gọi β là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB,SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng β . 8. Cho hình chóp S.ABC , mặt phẳng α cắt các tia SA,SB,SC,SG ( G là trọng tâm tam giác ABC ) lần lượt tại các điểm A',B',C',G' . SA SB SC SG Chứng minh 3 . SA' SB' SC' SG' 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Một mặt phẳng α cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D' . SA SC SB SD Chứng minh . SA' SC' SB' SD' 14
11. 10. Cho hình chóp S.ABC có SA a,SB b,SC c . Một mặt phẳng α luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC , cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C' . Tìm giá 1 1 1 trị nhỏ nhất của . SA'2 SB'2 SC'2 11. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM,BM,CM,DM cắt các mặt BCD , CDA , DAB , ABC lần lượt tại A',B',C',D' . Mặt phẳng α đi qua M và song song với BCD lần lượt cắt A'B',A'C',A'D' tại các điểm B1 ,C1 ,D1 .Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B1C1D1 . 12. Cho tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b,AB DC c Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt) . Chứng minh rằng 1 1 1 9 . a2b2 b2c2 c2a2 S2 13. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M,N,P xác định bởi       MA kMB' k 0 ,NB xNC',PC yPD' . Hãy tính x,y theo k để ba điểm M,N,P thẳng hàng. 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Một đường thẳng Δ cắt các đường thẳng   MA AA',BC,C'D' lần lượt tại M,N,P sao cho NM 2NP . Tính . MA' 15. Giả sử M,N,P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA,SB,SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng ANP , BPM , CMN . MS NS PS JS Chứng minh S,I,J thẳng hàng và 1 . MA NB PC JI 15
12. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm d1 trên một trong hai đường thẳng). d'1 ' ' Từ O dựng các đường thẳng d1 ,d2 lần lượt song O song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai d'2 đường thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường d ' ' 2 thẳng d1 ,d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 . Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác b2 c2 a2 cosA . 2bc   Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1 ,u2 của hai đường thẳng d1 ,d2   u1.u2 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 xác định bởi cos d1 ,d2   . u1 u2      Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng mà có thể   tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u ,u qua các vec tơ  1 2 a,b,c rồi thực hiện các tính toán. 16
13. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD , biết a 3 AB CD a,MN . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . 2 Lời giải. Cách 1. A Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM P AB · · AB,CD = IM,IN IN P CD N Đặt ·MIN α I B Xét tam giác IMN có AB a CD a a 3 D IM ,IN ,MN Theo định lí M 2 2 2 2 2 côsin, ta có C 2 2 2 a a a 3 2 2 2 IM IN MN 2 2 2 1 cosα 0 2IM.IN a a 2 2. . 2 2 0 · 0 ·MIN 120 suy ra AB,CD =06 .   · · IM.IN Cách 2. cos AB,CD cos IM,IN =   IM IN     2   2   MN IN IM MN IN IM IM2 IN2 2IN.IM   IM2 IN2 MN2 a2 IN.IM 2 8   · · IM.IN 1 cos AB,CD cos IM,IN =   IM IN 2 · 0 Vậy AB,CD =60 . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính góc gữa đường thẳng MN với các đường thẳng AB,BC và CD . Lời giải .    Đặt AD a,AB b,AC c . 17
14.    Khi đó, ta có a b c m và a,b b,c c,a 600 .   m Ta có a.b b.c c.a . A 2 Vì M,N là trung điểm của AB và CD nên  1   1  M MN AD BC a c b 2 2 2  2 2   2 2 1 m MN a b c 2ac 2ab 2b.c 4 2 B D m 2 MN . 2 N        1 1 2 - MNAB a c b b ab bc b 0 C 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 900 .      1 1 2 2 - MNCD a c b a c a ac ab ac c bc 0 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 900 .   m2     2 1 m · MNBC 2 - MNBC a c b b c cos MN,BC   2 . 2 2 MN BC m 2 2 m. 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 450 . Bài toán 02: DÙNG TÍCH VÔ HƯỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. Phương pháp: Để chứng minh d  d ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau: 1 2     • Chứng minh d1  d2 ta chứng minh u1 u2 0 trong đó u1 ,u2 lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d1 và d2 . b P c • Sử dụng tính chất a  b . a  c • Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d1 ,d2 và tính trực tiếp góc đó . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn noại tiếp tam giác BCD . Chứng minh AO  CD . Lời giải.    A Ta có CD OD OC , ta lưu ý trong tam giác   AB2 AC2 BC2 ABC thì ABAC 2 B 18 D O C
15. suy ra          AOCD AO OD OC OAOD OAOC 2 OA2 OD2 CD OA2 OC2 AC2 0 2 2 ( Vì AC AD a,OD OC R ) Vậy AO  CD . 4 Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có CD AB . Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của 3 5 BC,AC,BD . Cho biết JK AB . Tính góc giữa đường thẳng CD với các đường 6 thẳng IJ và AB . Lời giải. 1 1 2 A Ta có IJ AB , IK CD AB 2 2 3 1 4 25 IJ2 IK2 AB2 AB2 AB2 1 4 9 36 5 25 Mà JK AB JK2 AB2 2 6 36 J Từ 1 và 2 suy ra B 2 2 2 IJ IK JK JI  IK . K D Mặt khác ta có IJ P AB,IK P CD AB  CD . I IJ P AB Tương tự IJ  CD . AB  CD C Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD . Gọi O là điểm thỏa mãn OA OB OC OD và G là trọng tâm của tam giác ACD , gọi E là trung điểm của BG và F là trung điểm của AE . Chứng minh OF vuông góc với BG khi và chỉ khi OD vuông góc với AC . Lời giải. Đặt OA OB OC OD R 1 và A       OA a,OB b,OC c,OD d . Ta có AB AC AD nên ΔAOB ΔAOC ΔAOD c c c suy ra F ·AOB ·AOC ·AOD 2 , từ 1 và 2 suy ra O   a.b a.c a.d 3 . B G E D M 19 C
16. Gọi M là trung điểm của C D và do AG 2GM nên 3BG BA 2BM B A B C BD   OA OB OC OB OD OB a c d 3b 4 Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AE,BG ta có          12OF 6 OA OE 6OA 3 OB OG 6OA 3OB 3OG           6OA 3OB OA 2OM 7OA 3OB OC OD 7a 3b c d 5 Từ 4 và 5       ta có 36BG.OF 7a 3b c d a 3b c d 2  2 2  2    =7a 9b c d 18ab 8ac 8ad 2cd .          Theo (3) ta có 36BG.OF 2d c a 2OD.AC suy ra BG.OF 0 OD.AC 0 hay OF  BG OD  AC . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 16. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều a) Chứng minh AB  CD . b) Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC,BC,BD,DA . Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật. 17. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD NB x 0 x a . Chứng minh a) AC'  B'D' b) AC'  MN . 18. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a và BC a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA AB và SA  BC . a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . b) Gọi I,J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ P BD . Chứng minh góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J . 20. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. a) Chứng minh AD  BC . b) Gọi M,N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho     MA kMB,ND kNB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . 21. Cho hình hộp thoi ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a và ·ABC ·B'BA ·B'BC 600 . Chứng minh AC  B'D' . 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết AB CD 2a và MN a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . 20
17. 23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N,P,Q,R lần lượt là trung điểm của AB,CD,AD,BC và AC . a) Chứng minh MN  RP,MN  RQ . b) Chứng minh AB  CD . 24. Cho tứ diện ABCD có AB CD a,AC BD b,AD BC c . a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD . 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB a,AD 2a . Tam giác SAB vuông can tại A , M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng α đi qua M và song sog với SAB cắt BC,SC,SD lần lượt tại N,P,Q . a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM x . Tính diện tích của MNPQ theo a và ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng α nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm tromg α . Vậy d  α d  a,a  α . 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định lí: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm tromg α d  a d  b a  α . a  α ,b  α a  b M d 3. Tính chất. a M α b 21
18. • Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. • Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 4. Sự liên quan giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc. a b a P b 1. α  b ( h1) 2. a  α a P b ( h2) α  a b  α α β α P β 3. a  β (h3) 4. α  a α P β ( h4) a  α β  a a  α a P α 5. b  a (h5) 6. a  b a P α (h6) b  α α  b a b a b a β α α (h1) α (h2) (h3) a a b β βb α a (h5) b' α α (h4) 22
19. 5. Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc. 5.1. Định nghĩa : Cho đường thẳng d  α . d M Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng α được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng α . M' 5.2. Định lí ba đường vuông góc. α Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng α và b là đường thẳng không thuộc α đồng thời không vuông góc với α . Gọi b' là hình chiếu của b trên α . Khi đó a  b a  b' . 5.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng d và mặt phẳng α . • Nếu d vuông góc với và mặt phẳng α thì ta nói góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α bẳng 900 . • Nếu d không vuông góc với và mặt phẳng α thì góc giữa d với hình chiếu d' của nó trên α được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. Phương pháp: Muốn chứng minh đương thẳng d  α ta có thể dùng môt trong hai cách sau. Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a,b cắt nhau trong α . d  a d  b a  α a  α ,b  α a  b I Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với α . d P a d  α . α  a 23
20. Các ví dụ Ví dụ 1. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có SA  ABCD . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB,SC và SD . a) Chứng minh BC  SAB ,CD  SAD ,BD  SAC . b) Chứng minh SC  AHK và điểm I thuộc mặt phẳng AHK . c) Chứng minh HK  SAC và HK  AI . Lời giải. a) Vì ABCD là hình vuông nên BC  AB ,   lại có SA ABCD SA BC . S BC  AB Vậy BC  SAB . BC  SA CD  AD I K Tương tự CD  SAD . CD  SA Ta có đáy ABCD là hình vuông nên H    D BD AC , BD SA BD SAC . A BC  SAB b) Ta có BC  AH . O AH  SAB B C AH  BC Vậy AH  SBC AH  SC . AH  SB AK  SD Tương tự AK  SCD AK  SC . AK  CD SC  AH Vậy SC  AHK . SC  AK A AHK AI  SC AI  AHK . SC  AHK SA  AB c) SA  ABCD . SA  AD Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau ( do có SA chung và AB AD ) suy ra SH SK SB SD,SH SK HK P BD SB SD Mặt khác BD  AC HK  AC . 24
21. HK  SC Vậy HK  SAC . HK  AC AI  SAC HK  AI . HK  SAC Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng ABC . Chứng minh: a) BC  OAH b) H là trực tâm của ΔABC 1 1 1 1 c) . OH2 OA2 OB2 OC2 Lời giải. a) Ta có A OA  OB OA  OBC OA  BC 1 OA  OC OH  ABC Lại có OH  BC 2 BC  ABC H Từ 1 và 2 suy ra BC  OAH . b) Do OH  ABC OH  AC 3 O C OB  OA I OB  OAC OB  AC 4 Từ OB  OC B 3 và 4 suy ra AC  OBH AC  BH 5 Lại có BC  OAH AH  BC 6 . Từ 5 , 6 suy ra H là trực tâm của tam giác ABC . OI  OAH c) Gọi I AH  BC , do BC  OI BC  OAH 1 1 1 Ta giác OAI vuông tại O có đường cao OH nên ta có * . OH2 OA2 OI2 1 1 1 Tương tự cho tam giác OBC ta có thay vào (*) thư được OI2 OB2 OC2 1 1 1 1 . OH2 OA2 OB2 OC2 25
22. Ví dụ 3. Cho đường tròn C đường kính AB trong mặt phẳng α , một đường thẳng d vuông góc với α tại A ; trên d lấy điểm S A và trên C lấy điểm M ( M khác A,B ). a) Chứng minh MB  SAM . b) Dựng AH vuông góc với SB tại H ; AK vuông góc với SM tại K . Chứng minh AK  SBM ,SB  AHM c) Gọi I là giao điểm của HK và MB . Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn C . Lời giải. SA  α a) Ta có SA  MB 1 MB  α Lại có MB  MA 2 ( t/c góc chắn nửa đường tròn) Từ 1 , 2 suy ra MB  SAM . b) Ta có AK  SM , S    MB SAM ,AK SAM MB AK . I Suy ra AK  SBM . K H M AK  SBM Tương tự AK  SB , SB  SBM A B lại có AH  SB suy ra SB  AHK . AI  AHK c) Ta có AI  SB 3 SB  AHK AI  α AI  SA 4 . Từ 3 , 4 suy ra AI  SAB AI  AB hay AI là tiếp SA  α tuyến của đường tròn C . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có góc A 1200 , cạnh BC a 3 . Lấy điểm S ABC sao cho SA a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC . Chứng minh AO  SBC . Lời giải. Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta chứng minh một kết quả sau: 26
23. Trong không gian tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó. ( đường thẳng này được gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó). Chứng minh: Gọi M là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC và O là hình chiếu của trên của M trên ABC . Các tam giác vuông MOA,MOB,MOC có MO chung. Δ Vậy MA MB MC OA OB OC O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . M Vậy tập hợp các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác là đường thẳng vuông góc với mạt phẳng ABC tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C A Quay lại bài toán O Gọi M là trung điểm của BC , ta có ΔABC cân tại A AM  BC . S B a 3 BM AB 2 a . Mặt khác AC a sin600 3 2 suy ra AS AB AC a , điểm A cách đều ba O đỉnh S,B,C của ΔSBC , do đó gọi O là tâm A đường tròn ngoại tiếp ΔSBC thì AO là trục C đường tròn ngoại tiếp ΔSBC suy ra AO  SBC . M B Bài toán 02: THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Để xác định thiết diện của mặt phẳng α đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với d , khi đó α sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở ( dạng 2, §2 chương II). Cách 2. Ta dựng mặt phẳng α như sau: d b O 27 I α a