Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 1: Các định luật bảo toàn - Chuyên đề 4: Va chạm giữa các vật - Chu Văn Biên
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 1: Các định luật bảo toàn - Chuyên đề 4: Va chạm giữa các vật - Chu Văn Biên", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- tai_lieu_boi_duong_hoc_sinh_gioi_vat_li_lop_10_tap_2_phan_1.doc
Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 1: Các định luật bảo toàn - Chuyên đề 4: Va chạm giữa các vật - Chu Văn Biên
- Chuyên đề 4. VA CHẠM GIỮA CÁC VẬT I. TÓM TẮT KIẾN THỨC Nội dung của bài toán va chạm là như sau : biết khối lượng và vận tốc của các vật trước va chạm, ta cần tìm vận tốc của các vật sau va chạm. Xét hai vật có khối lượng m 1 và m2 chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang (mặt phẳng xOy) và ngược chiều nhau đến va chạm trực diện với nhau. Vận tốc ban đầu của các vật lần lượt là v1 và v2 . Trong mặt phẳng nằm ngang chúng ta có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng của các vật tham gia va chạm, tức là : m v m v m v' m v' (1) 1 1 2 2 1 1 2 2 trong đó v'1 và v'2 là vận tốc của các vật sau va chạm. 1. Va chạm hoàn toàn đàn hồi Va chạm giữa hai vật là hoàn toàn đàn hồi nếu trong quá trình va chạm không có hiện tượng chuyển một phần động năng của các vật trước va chạm thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Nói cách khác, sau va chạm đàn hồi các quả cầu vẫn có hình dạng như cũ và không hề bị nóng lên. Lưu ý rằng va chạm xảy ra trong mặt phẳng nằm ngang tức là độ cao so với mặt đất của các quả cầu không thay đổi nên thế năng của chúng không thay đổi trong khi va chạm, vì vậy bảo toàn cơ năng trong trường hợp này chỉ là bảo toàn động năng. Do vậy, ta có phương trình : 1 1 1 1 m v2 m v2 m v'2 m v'2 (2) 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 Để giải hệ phương trình (1) và (2) ta làm như sau : Vì các vectơ v1,v2 ,v'1,v'2 có cùng phương nên ta chuyển phương trình vectơ (1) thành phương trình vô hướng : m1v1 m2v2 m1v'1 m2v'2 ) và biến đổi phương trình này thành : m1(v1 v'1 ) m2 (v'2 v2 ) (1’) Biến đổi (2) thành : 2 2 2 2 m1(v1 v'1 ) m2 (v'2 v2 ) (2’) Chia (2’) cho (1’) ta có : (v1 v'1) (v'2 v2 ) Nhân hai vế của phương trình này với m1 ta có : m1(v1 v'1) m1(v'2 v2 ) (3) Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm : 113
- 2m1v1 (m1 m2 )v2 v'2 (4) m1 m2 Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m1 và m2 hoàn toàn tương đương nhau nên trong công thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận tốc của quả cầu thứ nhất sau va chạm: 2m2v2 (m2 m1)v1 v'1 (5) m1 m2 Ta xét một trường hợp riêng của biểu thức (4) và (5) : Giả sử hai quả cầu hoàn toàn giống nhau , tức là m1 = m2. Từ (4) và (5) ta có : v'2 v1 v'1 v2 Nghĩa là hai quả cầu sau va chạm trao đổi vận tốc cho nhau : quả cầu thứ nhất có vận tốc của quả cầu thứ hai trước khi có va chạm và ngược lại. 2) Va chạm mềm: Va chạm giữa các vật là va chạm mềm nếu sau va chạm hai vật dính liền với nhau thành một vật. Trong va chạm mềm một phần động năng của các quả cầu đã chuyển thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Dĩ nhiên trong va chạm mềm ta không có sự bảo toàn cơ năng của các vật. Định luật bảo toàn động lượng dẫn đến phương trình : m v m v (m m )v 1 1 2 2 1 2 trong đó v là vận tốc của vật sau va chạm. Từ đó, ta tính được vận tốc của các vật sau va chạm : m1v1 m2v2 v (6) m1 m2 Phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm : Động năng của hai vật trước va chạm : 1 1 K m v2 m v2 0 2 1 1 2 2 2 Động năng của chúng sau va chạm : 2 1 2 (m1v1 m2v2 ) K (m1 m2 )v 2 2(m1 m2 ) Phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm là : 1 m1m2 2 K K0 K (v1 v2 ) 0 (7) 2 m1 m2 Biểu thức trên chứng tỏ rằng động năng của các quả cầu luôn luôn bị tiêu hao 114
- thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Muốn đập vỡ một viên gạch, tức là muốn chuyển động năng của búa thành năng lượng biến dạng làm vỡ viên gạch thì theo (7) ta cần tăng vận tốc v 1 của búa trước khi va chạm, tức là phải đập búa nhanh. Ngược lại, khi đóng đinh ta phải làm giảm phần động năng tiêu hao vì ta muốn chuyển động năng của búa thành động năng của đinh ấn sâu vào gỗ. Muốn vậy, phải tăng khối lượng m 1 của búa để đạt được động năng của búa vẫn lớn khi mà vận tốc v 10 của búa không lớn , nhờ vậy mà giảm được phần động năng tiêu hao thành nhiệt. 3/ Va chạm thật giữa các vật: Thực tế, va chạm giữa các vật không hoàn toàn đàn hồi cũng như không phải là va chạm mềm mà là trường hợp trung gian giữa hai trường hợp trên. Trong quá trình va chạm, một phần động năng của các vật đã chuyển thành nhiệt và công biến dạng mặc dù sau va chạm hai vật không dính liền nhau mà chuyển động với những vận tốc khác nhau. Từ thời Niutơn, bằng thực nghiệm người ta đã xác định được rằng trong va chạm thật giữa các vật thì tỉ số e của vận tốc tương đối ( tức là hiệu của hai vận tốc ) sau va chạm (v'1 v'2 ) và vận tốc tương đối trước va chạm (v1 v2 ) chỉ phụ thuộc vào bản chất của các vật va chạm : v v e 1 2 v10 v20 Tỉ số e gọi là hệ số đàn hồi. Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi , từ biểu thức (3) ta suy ra : v'1 v'2 (v1 v2 ) Như vậy, đối với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì e = 1. Trong va chạm mềm thì vì sau va chạm hai vật cùng chuyển động cùng với vận tốc v như nhau nên vận tốc tương đối của chúng sau va chạm bằng không, do đó e = 0.Đối với va chạm của các vật thật thì e có gia trị giữa 0 và 1 Biết hệ số đàn hồi e , ta có thể xác định được vận tốc sau va chạm của các vật và phần động năng tiêu hao trong va chạm . Thật vậy , từ định nghĩa của hệ số đàn hồi e ở trên và định luật bảo toàn động lượng ta có hệ phương trình : v'1 v'2 e(v1 v2 ) m1v'1 m2v'2 m1v1 m2v2 Muốn giải hệ phương trình này, chúng ta nhân hai vế của phương trình đầu với m2 rồi cộng phương trình thu được với phương trình thứ hai của hệ ta được : (m1 m2 )v'1 (m1 m2 )v1 m2 (e 1)(v1 v2 ) Từ đó tính được : m2 (e 1)(v1 v2 ) v'1 v1 m1 m2 115
- Tương tự , ta tìm được : m1(e 1)(v2 v1) v'2 v2 m1 m2 Phần động năng tiêu hao trong va chạm là : 1 1 1 1 K K K m v2 m v2 m v'2 m v'2 0 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 K m (v2 v'2 ) m (v2 v'2 ) 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 K m (v v' )(v v' ) m (v v' )(v v' ) 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Từ các biểu thức của v1 và v2 mà ta tìm được ở trên ta có đẳng thức sau : m1m2 m1(v1 v'1) m2 (v2 v'2 ) (e 1)(v1 v2 ) m1 m2 Vậy : 1 m1m2 K (e 1)(v1 v2 )(v1 v'1) (v2 v'2 ) 2 m1 m2 Mặt khác : (v1 v'1) (v2 v'2 ) (v1 v2 )(1 e) 1 m1m2 2 2 Cuối cùng: K (1 e )(v1 v2 ) 2 m1 m2 Từ biểu thức trên , ta thấy trong va chạm hoàn toàn đàn hồi (e = 1) thì K = 0, tức là không có sự tổn hao động năng của các quả cầu sau va chạm. Trong va chạm mềm (e = 0) thì biểu thức trên hoàn toàn trùng với biểu thức (7) mà ta đã tính được trước đây. II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Va chạm hoàn toàn đàn hồi A. Phương pháp giải Lập phương trình bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng. Áp dụng các công thức vận tốc của các vật sau va chạm. Lưu ý: Khi giải các bài toán va chạm, điều quan trọng nhất là phải nhận biết được quá trình va chạm và các quá trình không va chạm. Trong các quá trình không va chạm (quá trình trước va chạm và sau va chạm) ta áp dụng các định lí đã thiết lập cho quá trình động lực không va chạm, còn trong các quá trình va chạm chúng ta sử dụng các công thức nêu ra ở trên. Nói cách khác, việc giải bài toán va chạm bao giờ cũng kèm theo giải các bài toán không va chạm. B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Quả cầu I chuyển động trên mặt phẳng ngang trơn, với vận tốc không đổi đến đập vào quả cầu II đang đứng yên. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Sau va 116
- chạm vận tốc hai quả cầu ngược nhau, cùng độ lớn. Tính tỉ số các khối lượng của hai quả cầu. Hướng dẫn Gọi m1 và m2 lần lượt là khối lượng quả cầu I và II; v 0 là vận tốc của quả cầu I trước va chạm; v1 và v2 lần lượt là vận tốc của quả cầu I và II sau va chạm. – Hai quả cầu đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn nên không có lực ma sát, mặt khác trọng lực P và phản lực Q cân bằng nhau nên hệ hai quả cầu là hệ kín khi va chạm. – Theo định luật bảo toàn động lượng (theo phương ngang), ta có: m1v0 = m1v1 + m2v2 (1) – Sau va chạm vận tốc hai quả cầu ngược chiều nhau, cùng độ lớn nên: v2 = – v1 (2) – Thay (2) vào (1) ta được: m1v0 = m1v1 – m2v1 = (m1 – m2)v1 m1v0 v 1 = (3) m1 m2 – Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên động năng bảo toàn: v2 v2 v2 m 0 = m 1 + m 2 (4) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 v0 v1 v1 v1 – Thay (2) vào (4) ta được: m = m + m = (m1 + m2) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 m1v0 v1 = (5) m1 m2 2 m v m v2 m 1 – Từ (3) và (5) suy ra: 1 0 = 1 0 = 1 m m m m 2 m m 1 2 1 2 (m1 m2 ) 1 2 m 2(m2 – 3m1) = 0 m1 1 Vì m2 0 m2 – 3m1 = 0 m2 3 m 1 Vậy: Tỉ số các khối lượng của hai quả cầu là 1 . m2 3 Ví dụ 2. Quả cầu khối lượng M = 1kg treo ở đầu một dây mảnh nhẹ chiều dài = 1,5m. Một quả cầu m = 20g bay ngang đến đập vào M với v = 50 m/s. Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm. Tính góc lệch cực đại của dây treo M. Hướng dẫn Gọi v và v lần lượt là vận tốc của quả cầu m và M ngay sau va chạm. 1 2 – Chọn chiều dương theo chiều của vận tốc v . Theo phương ngang, động lượng được bảo toàn nên: mv = mv1 + Mv2 (1) 117
- – Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn: v2 v2 v2 m = m 1 + M 2 (2) 2 2 2 O M – Từ (1) suy ra: v – v1 = v2 (3) m M B – Từ (2) suy ra: v2 – v2 = v2 (4) 1 m 2 – Chia theo vế (4) cho (3), ta được: M h v + v1 = v2 (5) m – Giải hệ (3) và (5) ta được: v v (m M)v 2mv A 0 v1 = ; v2 = (6) m M m M – Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật M tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng A): v2 M 2 = Mgh = Mg (1 – cosα ) 2 2 v2 1 2mv cosα = 1 – 2 = 1 – . (7) 2g 2g m M 2 1 2.0,02.50 0 cosα = 1 – . = 0,87 α = 29,5 . 2.10.1,5 0,02 1 Vậy: Góc lệch cực đại của dây treo là α = 29,50. Ví dụ 3. Ba vật khối lượng m 1, m2, m3 có thể trượt không ma sát theo một trục m1 m3 m2 nằm ngang (hình vẽ) và m1, m3 ? m2. Ban đầu m1, m3 đứng yên còn m2 có vận tốc v. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Tìm vận tốc cực đại của m1, m3 sau đó. Hướng dẫn Giả sử m2 va chạm vào m3 trước (hình vẽ). Va chạm giữa m2 với m1 và m3 m1 m m3 2 xảy ra liên tiếp nhiều lần làm cho vận v tốc của m1 và m3 tăng dần (m1 dịch chuyển sang trái và m dịch chuyển 3 Trước va chạm sang phải), ngược lại vận tốc của m 2 giảm dần. Quá trình va chạm sẽ kết thúc khi vận m1 m2 m3 tốc cuối cùng v 2 của m2 bắt đầu nhỏ v1 v3 hơn vận tốc của m1 hoặc m3. Khi đó Sau va chạm 118
- vận tốc của m1 và m3 đạt cực đại. Gọi các vận tốc cực đại này là v và v . 1 3 – Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (chiều dương theo chiều của v ): m2v = – m1v1 + m3v3 + m2 v 2 (1) – Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên cơ năng bảo toàn: 1 2 1 2 1 2 1 /2 m2 v = m1 v + m3 v + m2 v (2) 2 2 1 2 3 2 2 / / – Vì m1, m3 ? m2 và v < v1; v3 nên động lượng cuối cùng m2 của m2 và động 2 v2 1 /2 năng cuối cùng m2 v của m2 là rất nhỏ, có thể bỏ qua so với động năng ban 2 2 đầu của m2, động lượng và động năng cuối cùng của m1 và m3. Suy ra: 1 2 m2 v = 0; m2 v = 0 (3) 2 2 2 m2 m1 v – v1 v3 m m – Thay (3) vào (1) và (2) ta được: 3 3 m m 2 v2 1 v2 v2 1 3 m3 m3 m m – Đặt a = 1 ;b = 2 = 1 (4) m3 m3 bv – av1 v3 (5) v 2 2 2 2 bv av1 v3 (6) – Từ (5) suy ra: v3 = bv + av1 (7) 2 2 2 – Thay (7) vào (6) ta được: bv = av1 + (bv + av1) 2 2 2 2 a(a + 1)v1 + 2abvv1 – bv + b v = 0 m Vì b = 2 = 1 nên b2 0 b2v2 0 m3 2 2 a(a + 1)v1 + 2abvv1 – bv = 0 (8) – Giải phương trình bậc hai (8) đối với v1, ta được: / = (abv)2 + ab(a + 1)v2 = ab(a + 1)v2; vì (abv)2 0 abv v ab(a 1) bv v ab(a 1) v 1 = = + a(a 1) (a 1) a(a 1) m bv Vì b = 2 = 1 nên 0 m3 (a 1) 119
- v ab(a 1) ab(a 1) b v 1 = v = v (9) a(a 1) a2 (a 1)2 a(a 1) (Loại nghiệm v2 < 0) m m – Thay (4) vào (9) ta được: v v2 3 (10) 1 2 m1m3 m1 m m – Thay (4) và (10) vào (7) ta được: v v1 2 . 3 2 m1m3 m3 Vậy: Vận tốc cực đại của m1, m3 sau đó là m m m m v v2 3 và v v1 2 . 1 2 3 2 m1m3 m1 m1m3 m3 * Chú ý : Nếu m2 va chạm vào m1 trước thì ta vẫn có kết quả như trên. Ví dụ 4. Cho hệ như hình vẽ. Hai vật cùng khối lượng m đặt trên sàn nhẵn nằm ngang và nối với nhau bằng lò xo độ cứng k. Vật thứ ba cùng khối lượng m đến đập vào một trong hai vật với vận tốc v dọc theo phương song song với trục lò xo. Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi. m k m m a) Chứng minh rằng hai vật nối bằng lò xo luôn v chuyển động cùng hướng. b) Tính vận tốc mỗi vật khi lò xo dãn tối đa. Hướng dẫn a) Chứng tỏ hai vật nối bằng lò xo luôn chuyển động cùng hướng. Gọi v và v lần lượt là vận tốc của vật 1 và vật 3 ngay sau va chạm. Chọn chiều 1 3 dương hướng sang phải theo chiều của v (hình vẽ). Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ hai quả cầu 1 và 3, ta có: mv mv3 mv1 v v3 v1 m m k m m 2 m 2 m 2 2 2 2 v v v v v v v 2 2 3 2 1 3 1 v v v 3 1 2 3 1 v1 v 2 2 2 v 0 v v3 v1 3 – Ngay sau va chạm, vật 3 đứng yên và vật 1 chuyển động sang phải với vận tốc bằng v. Lúc này lò xo chưa kịp biến dạng. Gọi u1 và u2 là vận tốc của vật 1 và vật 2 tại thời điểm bất kì sau va chạm của vật 3 vào vật 1, và x là độ biến dạng của lò xo khi đó. – Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng cho hệ hai vật 1, 2 và lò xo ta được: 120
- mv mu mu v u u (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 mv mu mu kx v u u kx (2) 2 2 1 2 2 2 1 2 m v2 u2 u2 2u u 1 2 1 2 kx2 1 u1u2 = (3) v2 u2 u2 kx2 2m 1 2 m kx2 – Vì 0 nên u1 và u2 luôn cùng dấu, nghĩa là sau va chạm hai vật 1 và 2 2m luôn chuyển động cùng hướng, tức là về cùng một phía. b) Vận tốc của mỗi vật khi lò xo dãn tối đa kx2 Vì u1 + u2 = v không đổi nên theo bất đẳng thức Cô–si thì u 1u2 = đạt cực 2m đại khi: v u1 = u2 = (4) 2 2 2 v kxmax m – Khi đó (3) trở thành: = xmax = v . 4 2m 2k v Vậy: Vận tốc mỗi vật khi lò xo dãn tối đa là u1 = u2 = . 2 * Chú ý: Có thể giải câu b theo cách khác như sau: Gọi G là khối tâm của hệ hai vật 1 và 2; vG là vận tốc của khối tâm G. – Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm vật 1 và vật 2 sau khi vật 3 va chạm vào vật 2, ta có: mv v m1v1 = mGvG hay mv = 2mvG v G 2m 2 v Như vậy, khối tâm G chuyển động sang phải với vận tốc vG = . 2 – Khi lò xo dãn tối đa thì hai vật đứng yên trong hệ quy chiếu khối tâm, tức là đứng yên so với khối tâm G. Suy ra vận tốc của hai vật (đối với mặt đất) bằng nhau và bằng vận tốc của khối tâm. Ta có: v u1 = u2 = (4 ) 2 / m – Thay (4 ) vào (3) ta cũng được: xmax = v . 2k 121
- Ví dụ 5. Hòn bi sắt treo vào dây chiều dài = 1,2m được kéo cho dây nằm ngang rồi thả rơi. Khi dây hợp góc = 30 0 với đường thẳng đứng, bi va chạm đàn hồi với bề mặt thẳng đứng của một tấm sắt lớn cố định (hình vẽ). Hỏi bi sẽ nảy lên đến độ cao bao nhiêu? Hướng dẫn – Hòn bi bắt đầu chuyển động không vận tốc đầu từ A, va chạm đàn hồi với mặt thẳng đứng của tấm sắt tại B, sau đó O nẩy lên và đạt độ cao cực đại tại C A (hình vẽ). Gọi v1 là vận tốc của vật ngay trước va chạm với tấm sắt tại C h B. / v2t – Áp dụng định luật bảo toàn cơ h B năng cho giai đoạn AB với gốc 2 thế năng trọng lực tại B: 1 W = W mgh = m v2 A B 1 v 2 v 1 2 2 v1 = 2gh = 2g cos (1) v2n – Vectơ v1 có phương tiếp tuyến với quỹ đạo tròn tại B, tức là vuông góc với bán kính OB và có chiều như hình vẽ. Gọi v2 là vận tốc của vật ngay sau va chạm với tấm sắt tại B. Vì va chạm là đàn hồi với tường phẳng nên v2 đối xứng với v1 qua mặt tường thẳng đứng. Về độ lớn thì v = v . 2 1 + Thành phần pháp tuyến v2n của v2 có phương vuông góc quỹ đạo tròn nên không ảnh hưởng đến chuyển động tròn đi lên của vật. Thành phần v2n chỉ có tác dụng kéo dãn dây treo vật và làm một phần động năng của vật biến thành nhiệt. + Thành phần tiếp tuyến với quỹ đạo v2t của v2 có tác dụng nâng vật lên cao đến C. v2t = v2cos2 = v1cos2 (2) – Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho giai đoạn BC với gốc thế năng trọng 1 2 / lực tại B: WB = WC mv = mgh 2 2t 122
- v2 h / = 2t (3) 2g 2 2 v1cos2 2gcos .cos 2 – Thay (1) và (2) vào (3) ta được: h/ = = 2g 2g 2 3 1 h / = cos .cos22 = .cos300.cos2600 = 1,2. . = 0,26m. 2 2 Vậy: Sau khi va chạm với tấm sắt, hòn bi nảy lên được đến độ cao cực đại là h / = 0,26m. 3 * Nhận xét: Vì h = cos = cos300 = > h/ nên sau va chạm thì cơ năng 2 của vật đã giảm một lượng nào đó. Ở đây, cơ năng (động năng) mất mát không phải do vật va chạm (đàn hồi) với tấm sắt mà do dây treo bị dãn đột ngột ngay sau va chạm. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Hai quả cầu m 1 = 200g, m2 = 100g treo cạnh nhau bởi hai dây song song bằng nhau như hình vẽ. Nâng quả cầu I lên độ cao h = 4,5cm rồi buông tay. Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nâng lên độ cao bao nhiêu, nếu va chạm là hoàn toàn đàn hồi? h Bài 2. Hai quả cầu khối lượng m và km treo cạnh nhau trên hai dây song song chiều dài 1 và 2 . Kéo dây treo m lệch góc α rồi buông tay. 1 Tìm góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I. 2 Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi và bỏ qua ma sát. m km Bài 3. Ba quả cầu khối lượng m1, m2, m3 đặt thẳng hàng trên sàn trơn. Quả cầu I chuyển động đến I II III quả cầu II với vận tốc nào đó còn quả cầu II và III đang đứng yên (hình vẽ). Tính m 2 theo m1, m3 để sau va chạm (tuyệt đối đàn hồi), quả cầu III có vận tốc lớn nhất. Bài 4. Vật nhỏ trượt không ma sát với v0 = 0 từ đỉnh bán cầu bán kính R đặt cố định trên sàn ngang. Đến một nơi nào đó trên bán cầu, vật rời bán cầu, R rơi xuống sàn và nẩy lên (hình vẽ). 123
- Biết va chạm của vật với sàn là hoàn toàn đàn hồi. Tìm độ cao H mà vật đạt tới sau va chạm. Bài 5. Quả cầu khối lượng m rơi từ độ cao h m xuống, đập vào mặt nghiêng của một cái nêm khối lượng M đứng yên trên sàn nhẵn. h Sau va chạm (tuyệt đối đàn hồi) đạn nảy ra v1 theo phương ngang còn nêm chuyển động với vận tốc v (hình vẽ). Tính v. M v Bài 6. Một chiếc xe lăn nhỏ đang nằm yên trên mặt phẳng ngang không ma sát; hai sợi dây mảnh cùng chiều dài 0,8m, một dây buộc vào giá đỡ C, một dây treo vào chiếc xe lăn, đầu dưới của hai sợi dây có mang những quả cầu nhỏ, A’ M = có khối lượng lần lượt là mA = 0,6kg 0,4kg và mB = 0,2kg. Khi cân bằng thì 2 quả cầu tiếp xúc nhau. C Bây giờ người ta kéo quả cầu A lên để dây treo của nó có phương nằm ngang (vị trí A’) sau đó thả nhẹ ra. Sau khi 2 quả cầu đã va chạm nhau, quả cầu A bật lên độ cao 0,2m so với vị trí ban đầu của hai quả cầu. Hỏi: a. Sau va chạm quả cầu B sẽ lên đến độ cao nào? b. Khi quả cầu B từ vị trí bên phải rơi xuống tới vị trí thấp nhất thì tốc độ của nó là bao nhiêu? A B Bài 7. Trong một mặt phẳng thẳng đứng, một máng nghiêng được nối với một máng tròn ở điểm tiếp xúc A của máng tròn với mặt phẳng nằm ngang như hình vẽ. Ở độ cao h trên máng nghiêng có vật 1 (khối lượng m1 = 2m); ở điểm A có vật 2 ( khối lượng m2 = m). Các vật có thể trượt không ma sát trên máng. Thả nhẹ nhàng cho vật 1 trượt đến va chạm vào vật 2. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. R a. Với h < (R là bán kính của máng tròn), hai vật chuyển động như thế 2 nào sau va chạm ? Tính các độ cao cực đại h1 và h2 mà chúng đạt tới sau va chạm. b. Tính giá trị cực tiểu hmin của h để sau va chạm vật 2 có thể đi hết máng mà vẫn bám không tách rời máng. 124
- B O 1 2 h A Bài 8. Một vật có khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v 0 đến va chạm tuyệt đối đàn hồi với vật m2 đang đứng yên. Xác định tỉ lệ khối lượng giữa hai vật khi: a) Va chạm xuyên tâm và sau va cham hai vật chuyển động ngược chiều nhau với cùng vận tốc. b) Va chạm không xuyên tâm và sau va chạm hai vật chuyển động theo hai hướng đều lệch với phương ban đầu một góc 300. Bài 9. Hai vật nhỏ khối lượng m1 = 400 g m3 m1 m2 và m2 = 200 g được nối với nhau bằng một v0 lò xo lí tưởng có độ cứng k = 80/3 N/m, chiều dài tự nhiên l0 = 20 cm. Tất cả được đặt trên mặt sàn nằm ngang không ma sát. Cho vật m3 =200 g chuyển động dọc theo trục lò xo với vận tốc v0 = 3 m/s tới va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1. a. Tính vận tốc hai vật m1, m3 ngay sau va chạm; vận tốc khối tâm của hệ m1 và m2. b. Tìm chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo khi hệ m1, m2 chuyển động. c. Tìm vận tốc lớn nhất của m2 trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm. D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Gọi v0 là vận tốc của vật m1 ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m tại 2 vị 1 trí A và B (gốc thế năng v trọng lực tại vị trí cân 0 bằng): 1 2 2 m1gh = m v v = 2 1 0 0 2gh (1) 125
- Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vật m1 và vật m2 ngay sau va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ trước và sau va chạm, với chiều dương theo chiều của v0 : m1v0 = m1v1 + m2v2 (2) – Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn: v2 v2 v2 m 0 = m 1 + m 2 (3) O 1 2 1 2 2 2 (m1 m2 )v0 – Giải hệ (2) và (3) ta được: v1= (4) m1 m2 m1 A 2m1v0 và:v2 = (5) h m1 m2 – Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật: m2 2 B 1 2 v1 * Vật m1: m1gh1 = mh v 1 = (6) 2 1 1 2g Thay (4) vào (6) và chú ý đến (1) ta được: (m m )2 v2 (m m )2 (0,2 0,1)2 h = 1 2 0 = 1 2 .h h = .4,5 = 0,5cm. 1 2 2 1 2 (m1 m2 ) .2g (m1 m2 ) (0,2 0,1) 2 1 2 v2 * Vật m2: m2gh2 = m v h2 = (7) 2 2 2 2g Thay (5) vào (7) và chú ý đến (1) ta được: 4m2v2 4m2v2 4.0,22 h = 1 0 = 1 0 .h h = .4,5 = 8cm 2 2 2 2 2 (m1 m2 ) .2g (m1 m2 ) (0,2 0,1) Vậy: Sau va chạm hai vật lên được độ cao cực đại lần lượt là h 1 = 0,5cm và h2 = 8cm. Bài 2. Gọi v0 là vận tốc của vật m ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng): 1 mg (1 – cosα ) = mv2 1 2 0 2 v0 = 2g1 (1 – cosα ) (1) Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vật m và vật km ngay sau va chạm. Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm, nên ta có: (m km)v0 (1 k)v0 v1 = = (3) m km 1 k m 1 1262 km
- 2mv0 2v0 v2 = = (4) m km 1 k Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật: 1 2 * Vật m: mv = mg (1 – cos 1) 2 1 1 2 2 v1 1 (1 k)v0 cos 1 = 1 – = 1 – . (5) 2g1 2g1 1 k 2 1 1 k Thay (1) vào (5) ta được: cos 1 = 1 – . .2g1 (1 – cos ) 2g1 1 k 2 1 k cos 1 = 1 – .(1 – cos ) 1 k 2 1 k 1 = arccos[1 – .(1 – cos )]. 1 k 1 2 * Vật M = km: kmv = kmg (1 – cos 2) 2 2 2 2 2 v2 1 2v0 cos 2 = 1 – = 1 – . (6) 2g 2 2g 2 1 k 2 1 2 Thay (1) vào (6) ta được: cosα2 = 1 – . .2g1 (1 – cos ) 2g 2 1 k 4 4 cos = 1 – 1 .(1 – cos ) = arccos[1 – 1 .(1 – cos )]. 2 2 2 2 2 (1 k) 2 (1 k) Vậy: Góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I là 2 1 k 41 α1 = arccos[1 – .(1 – cosα )] và α2 = arccos[1 – .(1 – cosα )]. 2 1 k 2 (1 k) Bài 3. Gọi v0 là vận tốc ban đầu của vật I; v2 là vận tốc của vật II sau khi vật I va chạm với vật II; v3 là vận tốc của vật III sau khi vật II va chạm với vật III (hình vẽ). – Tương tự ví dụ 2, ta có: 2m1v0 v2 = (1) I II III m1 m2 2m2v2 v3 = (2) m2 m3 127
- 2m2 2m1v0 4m1m2v0 – Thay (1) vào (2) ta được: v3 = . = m2 m3 m1 m2 (m1 m2 ).(m2 m3 ) 4m1m2v0 4v0 4v0 v3 = = = (3) m m m2 m m m m m m m 1 a 1 2 2 1 3 2 3 1 2 3 3 m1 m2 m1 Suy ra: v3 = v3max khi a = amin. – Áp dụng bất đẳng thức Cô–si, ta có: m m 2 3 (4) m1 m2 m2 m3 m3 m2 m3 a = amin khi = = (5) m m m 1 2 1 m1 m1 m m 3 3 (6) m2 m1 – Từ (4) suy ra: m2 m1m3 (7) – Từ (5) suy ra: m2 = m3 (8) – Từ (6) suy ra: m1 = m2 (9) – Từ (8) và (9) ta có: m1 = m2 = m3. Đây là trường hợp đặc biệt của (7). Vậy: Điều kiện tổng quát để quả cầu III có vận tốc lớn nhất là: m2 m1m3 . Bài 4. Vật bắt đầu chuyển động không vận tốc đầu từ A, rời bán cầu tại B, va chạm với sàn tại C và lên đến độ cao cực đại tại D (hình vẽ). Gọi v là vận tốc của vật khi rời bán cầu. v2 v2 – Tại B, phản lực Q = 0 nên: mgcos = m cos = (1) R gR – Trong giai đoạn AB, vào vật có phản lực Q tác A Q B dụng không phải là lực thế nhưng vì v D Q vuông góc với R P v2 phương chuyển H động nên không O sinh công. C Vì vậy cơ năng vẫn bảo toàn. Chọn gốc thế v1 128
- năng trọng lực tại sàn, ta có: v2 v2 mgR = mgRcos + m gR = gRcos + (2) 2 2 2gR – Từ (1) và (2) ta được: v2 = (3) 3 2 – Thay (3) vào (1) ta được: cos = (4) 3 – Tại C, trước va chạm vật có vận tốc v1 , sau khi va chạm đàn hồi với sàn vật nảy lên có vận tốc v2 đối xứng với v1 qua mặt sàn. Vectơ v2 hợp với sàn một góc . – Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho giai đoạn AC (gốc thế năng trọng lực tại sàn): 1 mgR = mv2 v2 = 2gR (5) 2 1 1 – Kể từ B thì ngoại lực tác dụng theo phương ngang bằng 0 nên thành phần vận tốc theo phương ngang không đổi. Suy ra: v2 vcos = v cos cos2 = cos2 (6) 2 2 v1 4 – Thay (3), (4) và (5) vào (6) ta được: cos2 = (7) 27 – Sau khi va chạm với sàn, vật chuyển động như vật bị ném xiên góc với vận tốc đầu v2 = v1 và đạt độ cao cực đại H tại D. – Theo kết quả bài toán chuyển động của vật bị ném xiên, ta có: v2 sin2 v2 (1 cos2) H = 2 = 1 (8) 2g 2g 23R – Thay (5) và (7) vào (8) ta được: H = . 27 23R Vậy: Độ cao cực đại mà vật đạt tới sau va chạm với sàn là H = . 27 Bài 5. Gọi v0 là vận tốc của quả cầu ngay trước va chạm. Ta có: v0 = 2gh (1) – Trong va chạm giữa quả cầu m và nêm M thì ngoại lực (P + N ) tác dụng vào M không cân bằng và cũng không thể bỏ qua so với nội lực nên động lượng toàn phần không bảo toàn. Tuy nhiên theo phương ngang thì ngoại lực bằng không nên thành phần động lượng theo phương ngang bảo toàn. 129
- Gọi v1 và v lần lượt là vận tốc của quả cầu m và nêm M ngay sau va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (theo phương ngang): Mv 0 = mv1 + Mv v1 = – (2) m Vì va chạm là tuyệt đối đàn hồi nên động năng bảo toàn: 1 1 1 mv2 = mv2 + Mv2 (3) 2 0 2 1 2 m 2 2 Mv 2 – Thay (2) vào (3) ta được: mv0 = m + M v h m v1 m2v2 mv v 2 = 0 = 0 (4) M(m M) M(m M) M v 2gh – Thay (1) vào (4) suy ra: v = m . M(m M) 2gh Vậy: Vận tốc của nêm sau va chạm là v = m . M(m M) Bài 6. a) * Chọn: - Gốc thế năng: vị trí ban đầu của quả cầu B. - Chiều (+): từ trái qua phải. *áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu A: 1 m gh m v2 ngay trước khi va chạm: A 2 A A vA 2gh 2.10.0,8 4m / s 1 m gh' m v '2 ngay sau khi va chạm: A 2 A A v 'A 2gh' 2.10.0,2 2m / s *áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hai quả cầu trong khi va chạm: mA vA mA v 'A mB v 'B - Theo chiều dương đã chọn: mAvA mAv 'A mBv 'B mAvA mAv 'A mBv 'B mA (vA v 'A ) 0,4(4 2) v 'B 4m / s mB 0,2 *sau khi nhận được vận tốc do va chạm, quả cầu B chuyển động và kéo xe lăn chuyển động theo, quả cầu B và xe lăn hợp thành một hệ kín. 130
- Chuyển động của quả cầu B là chậm dần trong khi chuyển động của xe lăn là nhanh dần. Quả cầu B sẽ không tiếp tục qua phải, nghĩa là không tiếp tục lên cao khi quả cầu B và xe có chung vận tốc là v ''B - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ quả cầu B và xe lăn: mB v 'B (mB mX )v ''B - Theo chiều dương đã chọn: mBv 'B (mB mX ) v''B mBv 'B 0,2.0,4 v ''B 1m / s (mB mX ) 0,2 0,6 *gọi h’’ là độ cao lên được tối đa của quả cầu B. - áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ của quả cầu B và xe lăn: 1 1 m v '2 (m m )v ''2 m gh'' h'' 0,6m 2 B B 2 B X B B Kết luận: vậy quả cầu B lên đến độ cao h’’=6m so với vị trí ban đầu. b) * gọi vB là vận tốc của quả cầu B khi xuống trở lại điểm thấp nhất và vX là vận tốc của xe lăn lúc đó. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: mB v ''B mB vB mX vX mBv ''B mBvB mX vX - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng 1 1 1 m v ''2 m v2 m v2 2 B B 2 B B 2 X X - Giải hệ: mBv ''B mBvB mX vX 4 vB vX vB 4 1 1 1 3 2 2 2 v 2 mBv ''B mBvB mX vX 2 B 2 2 2 vB 2vB 8 0 Loại vB 4 vB 2m / s ( vì B đi sang trái ) và vX 2m / s Bài 7. a. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ; khi vừa tới A vật 1 có vận tốc 1 2mv2 = 2mgh v = 2gh , va chạm đàn hồi vào vật 2 2 - Gọi v1, v2 lần lượt là vận tốc của vật 1 và vật 2 ngay sau va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn cơ năng ta có 131
- 2mv = 2mv1 + mv2 1 2 1 2 1 2 2mv = 2mv1 + mv2 2 2 2 v 4 v1 = và v2 = v 3 3 Ta thấy v1, v2 cùng dấu v nên sau va chạm 2 vật tiếp tục chuyển động theo chiều ban đầu của vật 1. - Định luật bảo toàn cơ năng cho các vật có B 2 v1 h 2m 2mgh h1 = 2 1 9 Q O 1 2 16 mv2 = mgh2 h2 = h P 2 9 R 1 8 Vì h < nên h1 < R (<R) và h2 < R 2 18 9 A (<R). Nghĩa là 2 vật vẫn còn bám máng. b.Phương trình động lực học cho vật 2 tại vị trí góc (hình vẽ) mv 2 mv 2 mgcos + Q = Q mg cos R R + Vật 2 còn bám máng nếu Q 0 . + Vật 2 càng lên cao thì v càng giảm, đồng thời mgcos tăng ( giảm) do đó Q giảm dần và có giá trị cực tiểu khi =0 (tại B). mv 2 Khi đó Q = B mg R + Nếu QB 0 thì vật 2 còn bám ở B và nó sẽ bám máng ở các điểm khác của 2 máng vB Rg . 132
- 2 2 2 + Bảo toàn cơ năng : v 2 = v B 2g2R v2 5gR 16 16 32 Theo câu a ta có: v 2 = v 2 v 2 v 2 gh 5gR . 2 9 2 9 9 45 hmin = .R . 32 Bài 8. a) sau va chạm hai vật chuyển động với cùng vận tốc ngược chiều nhau: Theo định luật bảo toàn động lượng: m1v0 m1v m1v (m2 m1)v (1) 1 1 1 Theo định luật bảo toàn động năng: m v2 m v2 m v2 (2) 2 1 0 2 1 2 2 m 1 Từ (1) và (2) ta được: 1 m2 3 b) va chạm không xuyên tâm và sau va chạm hai vật chuyển động theo hai hướng đều lệch với phương ban đầu một góc 300 : Theo định luật bảo toàn động lượng: m1v0 m1v1cos m2v2cos (3) Và m1v1 sin m2v2 sin m1v1 m2v2 (4) 1 1 1 Theo định luật vảo toàn động năng: m v2 m v2 m v2 (5) 2 1 0 2 1 1 2 2 2 m 1 Từ (3), (4), (5) ta được: 1 m2 2 Bài 9. a. Chọn trục x'x trùng với v0. Vận tốc hai vật ngay sau va chạm: ' (m1 m3)v1 2m3v0 v1 2(m / s). m1 m3) ' (m3 m1)v3 2m1v1 v3 1(m / s) m1 m3) ' Vận tốc khối tâm G: Từ m1v1 = (m1 + m2)vG vG = 4/3 (m/s). b. Phần động năng có thể chuyển hóa thành thế năng đàn hồi của lò xo: 133
- 1 m1m2 2 4 Wđ(G) (v1' v2 ') J. 2 m1 m2 15 Định luật bảo toàn cơ năng: 1 4 4 W kx2 J x 0,02 0,14(m). đ(G) 2 max 15 max 15.k Vậy chiều dài lớn nhất, nhỏ nhất của lò xo: lmax = l0 + xmax = 34 cm; lmin = l0 - xmax = 6 cm. c. m2 dao động quanh khối tâm G, cách G một khoảng 2l/3 (với l là chiều dài của lò xo). Trong HQC khối tâm có thể coi như m2 được gắn với một lò xo với điểm gắn tại G, độ cứng k2 = 3k/2 = 40 N/m, độ nén, dãn cực đại là x2(max) = 2. 0,02 /3 (m) = 0,094 m . Vận tốc cực đại của m2 được tính từ định luật bảo toàn cơ năng cho hệ lò xo k2 và m2: 1 1 4 k x2 m v2 v (m /s). 2 2 2(max) 2 2 2(max) 2(max) 3 Vậy: vận tốc lớn nhất của m2 trong HQC phòng TN là vG + v2max =8/3 (m/s). 134