Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 2: Cơ học vật rắn - Chu Văn Biên

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 2: Cơ học vật rắn - Chu Văn Biên

1. Phần CƠ HỌC VẬT RẮN Dạng 1. TÍNH MÔMEN QUÁN TÍNH – XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Mô men quán tính - là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay , tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng. - Với một khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính được tính bằng: I = m r2 -Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mô men quán tính của hệ bằng 2 tổng của mô men quán tính từng khối lượng: I  miri -Với vật thể rắn đặc, chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục, phép tổng được thay bằng tích phân toàn bộ thể tích vật thể: I r 2dm -Với dm là phần tử khối lượng trong vật và r là khoảng cách từ dm đến tâm quay. Nếu khối lượng riêng của vật là ρ thì: dm = ρ dV Với dV là phần tử thể tích. Định lí trục song song (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). Xét với trục quay song song với trục quay G qua khối tâm G của vật rắn, chúng cách nhau một khoảng d. Khối lượng vật rắn là M, mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay là I được xác định qua mô men quán tính I G đối với trục quay G 2 I = IG + Md (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). IG -là mô men quán tính của vật đối với trục quay qua khối tâm m -là khối lượng của vật d -là khoảng cách giữa 2 trục quay 2. Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm M i có khối lượng mi, gọi O là một điểm tùy ý, ta có 162
2.    miri  miri OG rG với ri OM i  mi M  Nếu ta chọn O ở G thì rG 0 b) Đối với vật rắn: rdm rdm r G dm M B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Cho một khối trụ đồng chất khối lượng m C phân bố đều, có tiết diện là hình vành khăn, r R bán kính ngoài là r, bán kính trong là . 2 Khối trụ này lăn không trượt, không vận tốc O đầu từ đỉnh của một bán trụ cố định bán kính R. Gọi I là momen quán tính của khối trụ đối với trục của nó. Hãy tính I theo m và r. Hướng dẫn m 4m Khối lượng riêng của khối trụ rỗng: D 2 2 2 r 3..π.r  π r 4 r2 4 Khối lượng của khối trụ đặc bán kính r: m m m 1 2 2 r 3 r 4 4 1 Khối lượng của khối trụ đặc bán kính r/2: m m m m 2 3 3 1 1 r2 5 Momen quán tính của khối trụ rỗng: I I I m r2 m mr2 (1) 1 2 2 1 2 2 4 8 Ví dụ 2. O v . 0 163
3. Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O(hình vẽ). Chứng minh rằng khối tâm G của bán cầu cách tâm O của nó một đoạn là d = 3R/8. Hướng dẫn Do đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox. Chia bán cầu thành nhiều lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ). x Một lớp ở điểm có toạ độ x= R sin , dày dx= Rcos .d . 2 3 dx có khối lượng dm = (Rcos )2dx với m R nên: 3 x O m / 2 O xdm R 4 cos3 sin d x 0 0 G m m 4 4 R / 2 R 3R d = x cos4 ( đpcm) G 4m 0 4m 8 Ví dụ 3. Xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng chất có khối lượng là trên một đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng như sau a. Đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc . Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn bán kính R. b. Bản phẳng hình quạt bán kính R, góc ở tâm . Áp dụng cho bản bán nguyệt bán kính R. Hướng dẫn a) Tọa độ trọng tâm của cung tròn + Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Ox d + Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé α có độ dài và khối lượng tương ứng là O RR x dl R.d α dm .R.d ( Vì khối lượng phân bố theo chiều dài) +Tọa độ khối tâm G 164
4. 2 2 2 2Rsin 1 1 R x dm.R cos .R2cos .d cos .d 2 G m m 2 2 2 ( với m . .R ) 2R + Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn x G b) Tọa độ trọng tâm của hình quạt. + Biện luận như câu a. Trọng tâm nằm trên trục Ox + Xét phần tử vi phân diện tích dS dr dφ r giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và (r + dr) có góc ở tâm là d có O khối lượng tương ứng là dm với C x dS dl.dr r.d .dr dm .dS r.d .dr ( Vì khối lượng phân bố theo diện tích) + Tọa độ khối tâm G R 2 4.Rsin 1 1 x .r 2dr. cos .d 2 (với m R2 ) G m 3 2 0 2 4R + Áp dụng cho hình bán nguyệt x G 3 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 165
5. Bài 1. Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau chuyển động trên mặt 1 2 phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau. Các đĩa này quay cùng chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm của chúng với các tốc độ góc tương ứng là 1 và 2. Tác dụng của lực ma sát giữa các đĩa và mặt bàn không đáng kể, còn tác dụng của lực ma sát xuất hiện ở điểm tiếp xúc hai đĩa với nhau thì đáng kể. Biết các đĩa có khối lượng m, có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét một lỗ thủng hình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2. Tính mômen quán tính đối với trục quay nói trên của mỗi đĩa. Bài 2. Một vật hình cầu bán kính R đang đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD. Mật độ khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm của nó theo quy luật: 3m r 3 1 , m 7 R R m R là một hằng số dương. O Tấm gỗ Mặt bàn Tấm gỗ được kéo C D trên mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (xem hình vẽ). Kết quả là vật lăn không trượt về phía D được đoạn  và rơi xuống mặt bàn. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốc trọng trường là g. Tính khối lượng và mô men quán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó. Bài 3. Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang rồi va vào một bức tường thẳng đứng cố định (trục của khối trụ luôn song song với mặt sàn và tường). Biết hệ số ma sát giữa 0 khối trụ và bức tường là ; vận tốc của trục khối R v0 trụ trước lúc va chạm là v 0; sau va chạm thành 166
6. phần vận tốc theo phương ngang của trục giảm đi một nửa về độ lớn; mômen quán 2 tính đối với trục của khối trụ là I mR 2 (hình vẽ). Bỏ qua tác dụng của trọng 5 lực trong lúc va chạm và bỏ qua ma sát lăn. Biết mật độ khối lượng tại một điểm của khối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đó đến trục của nó theo quy luật r2 m A(1 ) . Tìm hệ số A. R 2 R 2h Bài 4. Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng, mảnh, nhẹ. Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định (trùng với trục ∆) đi qua điểm O. Trên hình vẽ, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng. Tìm vị trí khối tâm G của vật 1. D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. R m (R 2 r 2 ) 5mR 2 Mô men: I = ( )2 r 3dr ; r = R/2, I = m = 2 2 1 1 r (R r ) 2 8 Bài 2. R Khối lượng của vật: dV m 0 2 2 3m Mô men quán tính: dI dm.r2 .4 r2.r2.dr 0 3 3 7 R 3 167
7. R 44 I RdI mR 2 0 0 0 105 Bài 3. Sử dụng hệ toạ độ trụ: R mA R r2 2 I r2dm 2 h r3dr 2 h (1 )r3dr mR 2 R 2h R 2 5 0 0 12 A 25 Bài 4. Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy (xem hình vẽ) nên chỉ cần tính tọa độ 2m yG = OG của vật. Mật độ khối lượng : ρ = R Xét phần tử dài d  , có khối lượng dm = ρ.d  = 2m 2m d  = .dα R 1 4 2m 2 2R Theo công thức tính tọa độ khối tâm : y = R cos d = . m 4 2 2R Vậy OG = 168
8. Dạng 2. ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LỰC HỌC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Các chú ý về động học và động lực học vật rắn: Các đại lượng , 0, ,  là đại lượng đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn. Trong một hệ quy chiếu,  có giá trị như nhau với các trục quay bất kì song song với nhau. Các đại lượng at ;an ;a;v chỉ đặc trưng cho một điểm trên vật rắn. Giữa chuyển động quay của vật rắn và chuyển động tịnh tiến có các đại lượng vật lí tương đương nhau: Các đại lượng liên quan đến chuyển động của một chất điểm (hay chuyển động tịnh tiến của vật rắn) được gọi là những đại lượng dài. Các đại lượng liên quan đến chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục được gọi là những đại lượng góc. Các đại lượng dài: Các đại lượng góc: - Gia tốc. - Gia tốc góc. - Vận tốc. - Vận tốc góc. - Lực. - Momen lực. - Động lượng. - Momen động lượng. Nếu đại lượng dài là đại lượng vectơ thì các đại lượng góc tương ứng cũng là đại lượng vectơ. Định lý phân bố vận tốc: Xét vật rắn P dịch chuyển trong hệ quy chiếu (HQC) O. Xét hai điểm bất kì trên vật rắn là A và B. Gọi  là vận tốc góc quay của vật rắn trong hệ quy chiếu O. Hệ thức quan trọng giữa các vận tốc của A và B của vật rắn tại một thời điểm cho trước là: vB v A   AB (1) 2. Đặc điểm của lực tác dụng lên vật rắn - Lực tác dụng lên vật rắn thì điểm đặt là tùy ý trên giá. - Hệ lực tác dụng lên vật rắn ( F1 , F 2 , F 3 ) có thể tìm được hợp lực hoặc không tìm được hợp lực. Cần phân biệt hợp lực và tổng véc tơ các lực. Lý thuyết và thực nghiệm cho thấy, có thể xảy ra một trong ba trường hợp (TH) 169
9. dưới đây: TH1: Vật chỉ chuyển động tịnh tiến giống như một chất điểm. Trong trường hợp này hệ lực tương đương với một lực duy nhất đặt tại khối tâm và tổng các lực cũng là hợp lực. TH2: Vật chỉ quay quanh một trục đi qua khối tâm. Trong trường hợp này hệ lực tương đương với một ngẫu lực mà như ta đã biết không thể tìm được hợp lực của nó. Vì hệ lực không có hợp lực nên ta phải nói là tổng các lực tác dụng vào vật bằng 0, còn tổng các momen lực đối với một trục đi qua khối tâm thì khác không và do đó vật chỉ quay quanh khối tâm đứng yên (nếu lúc đầu vật đứng yên). TH3: Vật vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh khối tâm. Trong trường hợp này, hệ lực tương đương với một lực đặt tại khối tâm và một ngẫu lực. Do đó, lực tương đương đặt ở khối tâm không phải là hợp lực mà chỉ là tổng các lực. 3. Cách xác định tổng các lực: a. Phương pháp hình học: Giả sử vật rắn chịu ba lực đồng thời tác dụng là F1 , F 2 và F 3 (Hình a). Lấy một điểm P bất kì trong không gian làm điểm đặt của lực, ta vẽ các lực F'1 , F'2 và F'3 song song, cùng chiều và cùng độ lớn với các lực F1 , F 2 và F 3 (Hình b). Dùng quy tắc hình bình hành ta tìm được hợp lực của hệ lực đồng quy F'1 , F'2 và F'3 . Hợp lực này là tổng các lực của hệ lực F1 , F 2 và F 3 . b. Phương pháp đại số: Chọn một hệ trục toạ độ Đề-các (Ox, Oy) nằm trong mặt phẳng của vật rồi chiếu các lực F1 , F 2 , F 3 lên các trục toạ độ. Tổng của các lực là một lực F , có hình chiếu lên các trục toạ độ bằng tổng đại số của hình chiếu của các lực F1 , F 2 và F 3 lên các trục đó: Fx = F1x + F2x + F3x = Fix. Fy = F1y + F2y + F3y = Fiy. Tóm lại, tổng các lực là một lực chỉ tương đương với hệ lực về tác dụng gây ra chuyển động tịnh tiến cho vật rắn mà thôi. 4. Biểu thức véctơ mômen lực đối với một trục quay. Biểu thức của momen lực đối với trục quay được viết dưới dạng vectơ như sau: M r  F t , trong đó, F t là thành phần 170
10. tiếp tuyến của lực F với quỹ đạo chuyển động của điểm đặt M của vectơ lực, còn r = OM là vectơ bán kính của điểm đặt M. Theo tính chất của tích có hướng của hai vectơ thì ba vectơ r , F t và M tạo thành một tam diện thuận. Theo đó, vectơ momen M có phương vuông góc với mặt phẳng chứa r và F t , tức là có phương của trục quay . Vì thế momen lực là một đại lượng góc và được biểu diễn bằng một vectơ nằm dọc theo trục quay (vectơ trục). Nếu chọn chiều dương cho trục quay (phù hợp với chiều dương của chuyển động quay) thì momen lực là đại lượng đại số. Momen lực có giá trị dương nếu vectơ M cùng chiều với chiều dương của trục quay và ngược lại. 5. Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Trong trường hợp tổng quát, khi chịu các lực tác dụng, vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm. Để tìm gia tốc a của chuyển động tịnh tiến (cũng là gia tốc a của khối tâm), ta áp dụng phương trình:  F = m a , (1) hay:F x = max và Fy = may (1.b) Để tìm gia tốc góc của chuyển động quay quanh một trục đi qua khối tâm, ta áp dụng phương trình:  M = IG  , (2) hay:M = I G (dạng đại số). Điều kiện cân bằng tổng quát chỉ là trường hợp riêng của hai phương trình (1) và (2) khi a = 0 và  = 0 . Nếu ban đầu vật đứng yên thì vật tiếp tục đứng yên. Ta có trạng thái cân bằng tĩnh. Cần chú ý là, khi vật ở trạng thái cân bằng tĩnh thì  M = 0 không chỉ đối với trục đi qua khối tâm, mà đối với cả một trục bất kỳ. Đối với một vật rắn quay quanh một trục cố định thì chuyển động tịnh tiến của vật bị khử bởi phản lực của trục quay. 171
11. B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Một thanh cứng AB có chiều dài L tựa trên hai mặt phẳng P1 v0 P1 và P2 (Hình vẽ). Người ta kéo A đầu A của thanh lên trên dọc theo mặt phẳng P1 với vận tốc v 0  không đổi. Biết thanh AB và véctơ B P2 v0 luôn nằm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của P1 và P2; trong quá trình chuyển động các điểm A, B luôn tiếp xúc với hai mặt phẳng; góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng là  = 120 0. Hãy tính vận tốc, gia tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh theo v 0, L, ( là góc hợp bởi thanh và mặt phẳng P2). Hướng dẫn Các thành phần vận tốc của A và B dọc theo thanh bằng nhau nên: 0 1 3 vB = vAcos(60 - )/cos = v ( tg ) 0 2 2 Chọn trục Oy như hình vẽ, A có toạ độ: 0 y = Lsin y’= Lcos . ’ = v0cos30 . Vận tốc góc của thanh: v cos300 v 3  = ’ = 0 = 0 . Lcos 2Lcos dv 3 3v 2 Gia tốc của B: a = B = v ' 0 dt 0 2cos2 4Lcos3 Ví dụ 2. Một vật hình cầu m R bán kính R đang đứng O Tấm gỗ yên trên tấm gỗ mỏng CD. Mặt bàn C D 172
12. Tấm gỗ được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (hình vẽ). Kết quả là vật lăn không trượt về phía D được đoạn  và rơi xuống mặt bàn. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k , gia tốc trọng trường là g. Biết khối lượng và mô men quán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó lần 44 lượt là m và I mR 2 0 105 1. Hãy xác định thời gian vật lăn trên tấm gỗ và gia tốc tâm O của vật đối với mặt bàn. 2. Tại thời điểm vật rơi khỏi tấm gỗ vận tốc góc của vật bằng bao nhiêu? 3. Chứng minh rằng trong suốt quá trình chuyển động trên mặt bàn vật luôn luôn lăn có trượt. 4. Vật chuyển động được một quãng đường s bằng bao nhiêu trên mặt bàn? Hướng dẫn Cách 1: Xét hệ quy chiếu gắn với tấm gỗ. Vật chịu tác dụng của lực quán tính hướng về phía D: F ma và có độ lớn F = ma. Xét trục quay tức thời đi qua B. Chọn các chiều chuyển động là dương. + 149 F I I mR 2 mR 2 (1) O + B 0 105 B D F R ma I  (2) fms qt B Fms 105a 105a 44 Giải hệ:  ; a R ; a a 149R 12 149 1 149 Cách 2: Viết phương trình chuyển động quay với trục quay qua tâm O: Gọi F là lực ma sát nghỉ giữa quả cầu và tấm ván, a 1 là gia tốc của quả cầu đối với đất: FR = I0γ (1) F = ma1 (2) 173
13. a = a1 + γR (3) 105a 105a 44 Giải hệ:  ; a R ; a a 149R 12 149 1 149 (γR là gia tốc tiếp tuyến đối với tâm quay B, a 12 là gia tốc tâm O của vật đối với tấm gỗ). 1. Thời gian để vật chuyển động trên tấm gỗ cho đến lúc rời xe: 2 298  t = = 1,7 a12 105a a 2 2 210a a 2.  t  1,2 0 R R 149R 2 R 3. Vận tốc theo phương ngang của vật khi chạm mặt bàn bằng vận tốc theo phương 44a 298 ngang của nó khi rời khỏi tấm gỗ: v0 = a1t = 0,5 a . 149 105a Chọn thời điểm vật chạm  mặt bàn là thời điểm ban + 0 đầu.Các chiều dương như v O 0 Mặt bàn hình vẽ. Chúng ta có nhận F xét là ngay từ thời điểm ms này vật đã lăn có trượt, vì v0 R0 . Trước khi đổi chiều quay thì vật luôn lăn có trượt. Muốn vật lăn không trượt, điều kiện cần là vật phải đổi chiều quay. Giả sử đến thời điểm  nào đó vật chuyển động tịnh tiến với vận tốc v’ và quay với vận tốc góc ω’. Sử dụng các định lí biến thiên động lượng và mômen động lượng :   F dt = m(v’ – v ) => F Rdt = I (’ – ) => I (’ – ) = mR(v’ – v ) (*) ms 0 ms 0 0 0 0 0 0 0 2 Thay biểu thức của I 0 và 0 vào (*), ta thu được: I0' mR v' . Điều đó có nghĩa khi quả cầu đổi chiều quay (’=0) thì v’=0 vật dừng lại. Vậy vật lăn có trượt trên suốt quá trình chuyển động trên mặt bàn cho tới khi dừng lại. 174
14. v kg v2 442 a a 0 2 0 4. t = ; s = v0t - t = = 0,124 kg 2 2kg 149.105.kg kg Ví dụ 3. Một quả cầu đặc đồng chất có tâm C bán kính R và khối lượng m 1=1kg, được đặt trên mặt nghiêng AB của một nêm ABD có góc nghiêng là α = 45 0, A khối lượng của nêm là m2 = 2kg. Bỏ C qua ma sát trượt giữa nêm và mặt sàn F 2 nằm ngang, lấy g = 10m/s (hình vẽ). B D Hãy xác định lực F theo phương ngang cần tác dụng lên thành AB của nêm để: a. Quả cầu C vẫn đứng yên trên mặt nêm. b. Quả cầu C lăn không trượt đi lên đỉnh A với gia tốc a = 2m/s2. Hướng dẫn a. Do quả cầu đứng yên trên nêm, nêm x y F gia tốc của hệ là a (1) A N m1 m2 C Fqt O + Xét quả cầu m 1, Chọn hệ quy chiếu F P1 Fms gắn với nêm có các trục tọa độ như B n D hình vẽ Trên phương Ox: Fqt cos m1 g sin Fmsn 0 m1acos m1g sin Fmsn 0 (2) Phương trình chuyển động quay quanh tâm C là: Fmsn .R I 0 (3) + Từ (1), (2) và (3) Ta có F (m1 m2 )g tan = 30(N) b. Phương trình động lực học của nêm trên phương chuyển động, chọn chiều dương là chiều chuyển động có F Qsin Fmsn cos m2 a0 với Q = N (4) 175
15. + Các phương trình động lực học của quả cầu đối với nêm, chọn chiều chuyển động là chiều dương Trên trục Ox: m1a0 cos m1g sin Fmsn m1a (5) Trên trục Oy: N m1a0 sin m1 g cos 0 (6) Phương trình động lực học quay quanh tâm C là: 2 a 2 F R I m R 2 F m a (7) msn. 5 1 R msn 5 1 +Từ (4), (5), (6) và (7) ta tìm được 5(m m )g sin 7a(m sin 2 m ) 2m a cos 2 F 1 2 1 2 1 40,6(N) 5cos Ví dụ 4. Một khối trụ đặc, đồng chất, khối lượng M, bán kính R, được đặt trên mặt phẳng nghiêng cố định, nghiêng góc α = 30 0 so với mặt phẳng ngang. Giữa chiều dài khối trụ có một khe hẹp trong đó có lõi có bán kính R/2. Một dây nhẹ, không giãn được quấn nhiều vòng vào lõi rồi vắt qua ròng rọc B (khối lượng không đáng kể, bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc). Đầu còn lại của dây mang một vật nặng C khối lượng m = M/5. Phần dây AB song song với mặt phẳng nghiêng. Hệ số ma sát nghỉ và hệ số ma sát trượt giữa khối trụ và mặt phẳng nghiêng: µ n = µt = µ. Thả hệ từ trạng thái nghỉ: a. Tìm điều kiện về µ để khối trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Tính gia tốc a 0 của trục khối trụ và gia tốc a của m khi đó. b. Giả sử µ không thỏa mãn điều kiện ở câu a. Tìm gia tốc a 0 của trục khối trụ và gia tốc a của m. Hướng dẫn - Chọn chiều dương như hình vẽ. Giả sử chiều của lực ma sát như hình. - Phương trình ĐL II Niu-tơn cho khối tâm khối trụ A và vật C: PA Fms N T ma0 T ' PC ma 176
16. - Phương trình cho chuyển động quay quanh trục đối xứng qua khối tâm G: R F .R T. I  ms 2 G  R - Khối trụ không trượt trên dây nên: a a 0 2 Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và ma sát ở trục ròng rọc nên: T = T’. a, Khối trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng nên: a0  R Psin Fms T Ma0 (1) R R2 R F .R T. I  M  M a (2) ms 2 G 2 2 0 Từ đó ta có hệ: P M M T a a (3) 5 5 10 0 a0  R 2a (4) P M M Từ (3) T a (a /2 g) (5) 5 5 5 0 T a M M 9a Từ (5),(2) F I  /R M 0 (a /2 g) ( 0 g) (6) ms G 2 2 10 0 10 2 Thay (5),(6) vào (1): Mg M 9a M 8 ( 0 g) (a 2g) Ma a g 0 (7) 2 10 2 10 0 0 0 31 M 9a 1 F ( 0 g) Mg 0 ms 10 2 62 Thay a0 vào (6),(4) suy ra: 4 a g 0 31 Vậy khối trụ A đi xuống, vật C đi lên và lực ma sát có chiều như hình vẽ. 1 3 3 Điều kiện: F F N Mg Mg  ms msn 62 2 93 b, Khi xảy ra sự lăn có trượt của khối trụ trên 3 mặt phẳng nghiêng: F F N Mg ms mst 2 177
17. Psin Fmst T Ma0 (8) R R2 F .R T. I  M  (9) mst G 2 2 Ta có hệ phương trình: P M T a (10) 5 5  R a a (11) 0 2 Từ (9) T MR Mg 3 (12) MR Mg 3 Mg / 5 Thay T vào (10) a 5R 5g 3 g M / 5  R 11 R Thay a vào (11) a 5R 5g 3 g 5g 3 g 0 2 2 3 11 3 g Thay a0 , T vào (8)  ; 13 R 10 2 9 7 a g 3 g; a g 3 g 13 13 0 26 26 3 Với  thì a > 0, a0 > 0 khối trụ và vật chuyển 93 động cùng chiều dương. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vòng tròn C bán kính R M A C tiếp xúc với mặt phẳng ngang. Một v chiếc vòng M có bán kính R lăn O1 O2 không trượt trên mặt phẳng ngang tiến về phía vòng tròn C. Vận tốc của tâm O1 của vòng M là v. Mặt phẳng của M nằm sát mặt phẳng P. Gọi A là một giao điểm của hai vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là d < 2R. Tìm: a) Vận tốc và gia tốc của A. b) Bán kính quỹ đạo và vận tốc của điểm nằm trên vòng M tại A. 178
18. Bài 2.Một đĩa nặng bán kính R có 2 dây không dãn quấn vào. Các đầu tự do của dây gắn chặt (hình vẽ). Khi khối đĩa chuyển động thì dây luôn căng. Ở một thời điểm vận tốc góc của đĩa bằng  và góc giữa các dây là . Tìm vận α  tốc của tâm đĩa ở thời điểm này. O Bài 3. Một vành tròn mảnh bán kính R khối R lượng M phân bố đều. Trên vành ở mặt trong có gắn một vật nhỏ khối lượng m (hình vẽ). Kéo cho vành lăn không trượt trên mặt ngang sao cho tâm của vành có vận tốc v0. Hỏi v0 phải thoả mãn điều kiện gì để vành không nảy lên? Lực tác dụng lên vành để kéo vành chuyển động với vận tốc không đổi (như giả thiết) không có thành phần thẳng đứng? Bài 4. Một hình trụ có khối M được bó trí thành cơ hệ như hình vẽ, hệ số ma sát của hình trụ với mặt phẳng ngang là  1, với mặt phẳng ngang là  2. mặt phẳng ngang chuyển động đều về phía trái, cần phải tác động vào mặt phẳng ngang một lực F nhỏ nhất là bao nhiêu để xảy ra điều trên. Bài 5. Có hai ròng rọc là hai đĩa tròn gắn đồng trục . Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bán kính R1 = 10cm. Ròng rọc nhỏ có khối lượng m’ = 100g, bán kính R 2 = 5cm. Trên rãnh hai ròng rọc có hai dây chỉ quấn ngược chiều nhau để khi m 1 đi xuống m2 đi lên hoặc ngược lại. Đầu dây của ròng rọc lớn mang khối lượng m 1 = 300g, đầu dây của ròng rọc nhỏ mang khối lượng m 2 = 250g. Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên Lấy g = 10m/s2. a. Tính gia tốc của các vật m1 và m2. b. Tính lực căng của mỗi dây treo. Bài 6. Cho cơ hệ như hình vẽ . Ròng rọc cố định và con lăn cùng khối lượng M,R M, bán kính R. Sợi dây quấn quanh con lăn rồi vắt qua ròng rọc. Một vật khối lượng m được buộc vào đầu tự do của M,R m m dây. Thả cho con lăn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng cố định. Biết 179
19. dây không trượt trên ròng rọc và trên con lăn. Tính gia tốc của vật m. Bài 7. Cho hệ như hình vẽ. Đĩa đồng chất có khối lượng m, bán kính R. Xe đẩy có khối lượng M = 2m chiều dài L = 1m. Xe đẩy có thể chuyển động dễ dàng. Trên đĩa gắn một vành rất nhẹ R bán kính r , trên vành quấn 2 một sợi dây nhẹ không dãn, đầu kia của dây được nối với vật m qua một ròng rọc nhẹ. Ban đầu đĩa nằm giữa xe đẩy, dây được giữ căng. Sau đó người ta thả nhẹ cho hệ chuyển động. Biết rằng đĩa lăn không trượt trên xe. Cho g = 10m/s 2. Xác định thời gian đĩa lăn trên xe và quãng đường vật m rơi xuống tương ứng. Bài 8.Trên mặt phẳng nghiêng góc có một hình hộp nhỏ và một hình trụ rỗng. Trụ rỗng có khối lượng m bán kính r, có momen quán tính là I = mr 2. Cả hai bắt đầu chuyển động xuống dưới, hộp trượt với hệ số ma sát  , trụ lăn không trượt. a) Tính để hai vật chuyển động luôn cách nhau khoảng không đổi. b) Nếu  ' là hệ số ma sát giữa trụ và mặt phẳng nghiêng. Tìm điều kiện của  ' để có chuyển động trên? D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. v A A α M vx C α aht v O1 a O2 180
20. a) Giao điểm A dịch chuyển trên đường tròn C với vận tốc vA tiếp tuyến với C, R2 d2 / 4 hình chiếu lên phương ngang là vx = v/2 = vAcosα = vA . Vậy: R v vA . d2 2 1 4R2 Vì thành phần vận tốc của vA theo phương ngang không đổi nên gia tốc của A hướng thẳng đứng và thành phần của gia tốc này lên phương bán kính O2A là gia tốc hướng tâm: 2 2 2 2 vA vA v v aht a.cos a = R Rcos 4.R.cos3 4R(1 d2 / 4R2 )3/2 b) Trong khoảng thời gian rất ngắn quỹ đạo cong của điểm A1 (tại A) trên vòng có thể coi là một cung tròn. Vòng lăn A1 không trượt nên có thể xem như nó đang M a1 v1 quay quanh điểm tiếp xúc với vận tốc O1 β góc  = v/R. β Ta có: IA1 = 2R.cos, với  = α/2. I 1 d2 → cos = 1 1 2 2 4R d2 Do đó v = .IA = v 2 1 1 . 1 1 2 4R 2 Gia tốc của A1 hướng về tâm O1 và có độ lớn là a1 = v /R. Gia tốc hướng tâm 2 2 v1 d của A1 lại là: aht1 = a1.cos = . Vậy: R1 = 2R 2 1 1 R 2 1 4R 181
21. Bài 2. Gọi v0 là vận tốc của tâm O của đĩa. Tại các điểm tiếp xúc C và D của dây và đĩa vận tốc là: vC v0 vC0 (1) vD v0 vD0 trong đó vD0 và vC0 là các vận tốc của C và D trong chuyển động quay quanh O: v = v = R α C0 D0 vC vD  Do dây không giãn nên hình chiếu của vC 0 0 D O và vD lên phương của các dây tương ứng phải C bằng không. Chọn hệ quy chiếu gắn với tâm O v0 của đĩa và hai trục song song với hai dây, như y x vậy góc giữa hai trục này bằng . Chiếu vC và vD cho bởi hệ các phương trình (1) lên hai trục ta được: vCx = v0x - R = 0 vDy = v0y - R = 0 Có nghĩa là v0 hướng theo phân giác của góc giữa hai dây, và có độ lớn là: R v = cos( / 2) Bài 3. Q + Khi m ở vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P và F lực mà vành tác dụng vào m. Có thể phân tích lực F thành hai phần: N có phương trùng với bán kính vành tròn, chiều P N hướng tâm, Q có phương tiếp tuyến với vòng (hình vẽ). Định luật II: m a P Q N (1) 182
22. Q Psin Chiếu (1) theo Q và theo N 2 mv0 P cos N R +Thành phần lực F tác dụng vào m theo phương thẳng đứng: F y = Qsin - N cos (3) . Từ (2) và (3) ta có: mv 2 mv 2 F Psin 2 0 P cos cos P 0 cos . y R R 2 mv0 (Fy)max khi = 0 vật ở vị trí cao nhất, Fy hướng xuống với (Fy)max = P - . R Theo định luật III lực tác dụng từ m vào vành M có phương ngược với F y, (Fy’ hướng xuống): 2 mv0 (Fy)’max = - (Fy)max = -P . Vành không nẩy lên khi: R 2 ' mv0 m (Fy ) max Mg P Mg v0 1 gR R M Bài 4. Hình trụ có hai khả năng quay hay không quay. Giả sử trụ quay: Khi mặt phẳng ngang chuyển động đều thì trụ quay đều và gia tốc của khối trụ bằng không anpha N2 F2 Mg F1 N1 F Ta có: + Tổng các Moment lực đối với trục quay qua khối tâm bằng 0: F1 = F2 = F 183
23. + Theo phương ngang: Nsin - F2 cos -F1 = 0 (1) + Theo phương thẳng đứng: N1 – Mg – N2cos - F2sin = 0 (2) sin F N2 Rút gọn biểu thức ta thu được: 1 cos (3) N1 Mg N2 Nhận xét F, N1, N2 phụ thuộc vào 1, 2, và có hai trường hợp có thể xảy ra: • Trường hợp 1. 1 N1 > 2 N2, hình trụ quay, F = 2N2 sin Khi dó từ (3): N  N 2 1 cos 2 2 sin 1.a/ > 2 => N2 = 0, F = 0 với điều kiện  1N1 > 2N2 với mọi giá trị 1 cos của 1, 2. sin 1.b/ 2N2 xảy ra với 1 cos 1 > 2. • Trường hợp 2. 1 N1 2N2 khi 1 < 2. 1 1 cos sin 2.b/  , khi đó F = 1N1 = 1 ( N2 + Mg). 1 1 cos 184
24.  Mg Hay: F = 1 1 cos 1  1 sin Điều kiện  1N1 1 ( N2 + Mg) Đánh giá: Biểu diễn kết quả qua đồ thị, đồ thị biểu diễn mặt phẳng  1,  2 chia làm 3 miền - Miền 1: ứng với trường hợp (1.a) - Miền 2: ứng với trường hợp (1.b ) và (2.a) hình trụ bị kẹt nên F = - Miền 3: ứng với trường hợp (2.b),  Mg F = 1 1 cos 1  1 sin Bài 5. P1 = m1g > P2 = m2g, nên m1 đi xuống, m2 đi lên. Phương trình chuyển động của m1 và m2:       P T m a ;P T m a (1) 1 1 1 1 2 2 2 2 r2 o r1 Chiếu (1) theo chiều (+) là chiều chuyển động của m1 và m2: m1 g T1 m1a1 (2) T2 m2 g m2 a2 T Với ròng rọc T1R1 - T2R2 = I (3). T m1 m2 P P 185
25. 1 2 1 2 a1 a2 I = mR1 mR2 ; ;a1 2a2 . 2 2 R1 R2 + Nhân (2a) với R1, (2b) với R2, rồi cộng hai vế (2) và (3): m1gR1 - m2gR2 = m1a1R1 + m2a2R2 + I = a2 I (m1R1 m2 R2 )g 2m R m R a thay số ta được: a2 = 1,842 1 1 2 2 2 I R2 2m1R1 m2 R2 R2 2 2 (m/s ); a1 = 2a2 = 3,68 (m/s ) + Thay a1, a2 vào (2) ta được T1 = 1,986 (N); T2 = 2,961 (N) Bài 6. Vật m: Định luật II Niutơn B -mg + T1 = ma (1) T2 Ròng rọc B: Cân bằng trục quay qua tâm: T 1 1 2 a -T1R + T2R = I = MR . T2 ' 2 R m T1 ' A F Ma ms  -T1 + T2 = (2) 2 K Con lăn A: Cân bằng trục quay P qua K: m IK = PM 1 3 MR 2 + MR2 = MR 2 2 2 3 2 a' MgRsin – T2.2R = I  ' = MR . (3) K 2 R Ta có: a = 2a’ (4) 2g(Mg sin 2m) Từ (1); (2); (3); (4) tìm được a = 5M 4m Biện luận: 2m Nếu sin thì a>0: vật m đi lên, con lăn lăn xuống và cuốn dây. M 2m Nếu sin thì a<0: vật m đi xuống, con lăn lăn lên và nhả dây. M 2m Nếu sin thì a = 0: hệ đứng yên. M 186
26. Bài 7. Gọi a : Gia tốc khối tâm đĩa 1 T a2: Gia tốc vật m với đất a3: Gia tốc M với đất Xét chuyển động của đĩa: 3 Fms + Với trục quay đia qua điểm tiếp xúc: T R = 2 I Với I = 1/2mR2 + mR2 = 3/2mR2 3 3 TR mR 2 2 2 T = mR (1) + Giả sử Fms tác dụng lên đĩa hướng như hình vẽ: T - Fms = ma1 (2) (1)(2) Fms = T - ma1 = m(R - a1) (3) Với trường hợp này M nếu chuyển động thì sẽ chuyển động cùng chiều với đĩa a1 R. Kết hợp với (3) Fms = 0 + Giả sử Fms hướng ngược lại: T + Fms = ma1 (2’) (1)(2) Fms = ma1 – T = m(a1 - R) (3’) Với trường hợp này M nếu chuyển động thì sẽ chuyển động ngược chiều với đĩa a1 ≤ R. Kết hợp với (3’) Fms = 0 Vậy Fms=0 M không chuyển động. Khi đó a1 = R 3 Xét m: mg – T = ma2 = m. R. (4) 2 Thay (1) vào (4) mg - mR = 3/2.mR 2g  5R 2g 2 a1 = R = = 4m/s 5 2s s = L/2 = 0,5m t 0,5s a 3 2 a2 = R. = 6m/s 2 2 m đi xuống một đoạn: h = 1/2a2t = 0,75m Bài 8. - Gia tốc của khối hộp: a1 = g(sin -  cos ) (1) - Gọi gia tốc khối trụ là a2 Phương trình chuyển động tịnh tiến: mgsin - Fms = ma2 (2) Phương trình chuyển động quay: Fms.r = I. (3) 187