Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 4: Nhiệt học - Chuyên đề 3: Phương trình cơ bản của khí lí tưởng - Chu Văn Biên

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 4: Nhiệt học - Chuyên đề 3: Phương trình cơ bản của khí lí tưởng - Chu Văn Biên

1. Chuyên đề 3. Phương trình cơ bản của khí lí tưởng I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 2 – Phương trình cơ bản của khí lí tưởng: p = n mv2 = n W . 3 0 3 0 d 2 (n0 là mật độ phân tử khí, m là khối lượng phân tử khí, p là áp suất khí, v là 1 trung bình của bình phương vận tốc các phân tử khí, W = mv2 là động d 2 năng trung bình của các phân tử khí). 3 – Hệ thức giữa nhiệt độ và động năng trung bình của phân tử khí: W = kT . d 2 R (k = = 1,38.10–34J/độ là hằng số Bôn–zơ–man). NA 2 3RT Suy ra: v = v = ; p = n0kT. μ II. GIẢI TOÁN A. Phương pháp giải – Áp dụng phương trình cơ bản của khí lý tưởng. – Áp dụng hệ thức liên hệ giữa nhiệt độ và động năng trung bình của phân tử khí. * Khi áp dụng phương trình cơ bản của khí lí tưởng cần kết hợp với các công thức khác như: số phân tử khí trong bình:N = n 0V = nNA. m μ ρ khối lượng một phân tử khí: m0 = = = . N NA n0 với n là số mol khí, NA là số Avôgađrô, ρ là khối lượng riêng của khí). Chú ý: Các đơn vị áp suất: + Trong hệ SI: N/m2 hay Pa. + Trong hệ hỗn hợp: at (atmotphe kĩ thuật); atm (atmotphe vật lí). + Ngoài ra: cmHg, mmHg, torr. 1Pa = 1N/m2; 1atm = 1,013.105 Pa; 1at = 9,81.104 Pa; 1mmHg = 133,3 Pa = 1 torr; 1atm = 760 mmHg; 1at = 736 mmHg. B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Một bình dung tích 7,5 lít chứa 24g khí ôxi ở áp suất 2,5.10 5N/m2. Tính động năng trung bình của các phân tử khí ôxi. Hướng dẫn 315
2. 2 3p Ta có: p = n0W W = (1) 3 đ đ 2n0 m NA N μ mNA với:n 0 = = = (2) V V μV (n0 là mật độ phân tử khí, N là số phân tử khí trong bình) 3pμV Thay (2) vào (1) ta được: Wđ = 2mNA 5 3 3.2,5.10 .32.7,5.10 21 Wđ = = 6,23.10 J 2.24.6,023.1023 21 Vậy: Động năng trung bình của các phân tử khí ôxi là Wđ = 6,23.10 J. Ví dụ 2. Bình có dung tích 2 lít chứa 10g khí ở áp suất 680mmHg. Tính vận tốc trung bình của khí. Hướng dẫn 1 2 2 3p Ta có: p = n0m0 v v = (1) 3 n0m0 N m với:n 0 = (2); m0 = (3) V N (n0 là mật độ phân tử khí, m0 là khối lượng của một phân tử khí, N là số phân tử khí trong bình) 2 3p 3pV Thay (2) và (3) vào (1) ta được: v = = N m m . V N 3pV Vận tốc trung bình của khí là: v = v2 = m 680 3. .1,013.105.2.10 3 v = 760 = 233 m/s 10.10 3 Vậy: Vận tốc trung bình của khí là v = 233 m/s. Ví dụ 3. Bình có dung tích 2 lít chứa một loại khí ở nhiệt độ 270C và áp suất 10– 6 mmHg. Tính mật độ phân tử và tổng số phân tử khí trong bình. Hướng dẫn p Ta có: p = n0kT n0 = kT 316
3. 10 6 .1,013.105 760 16 3 n 0 = = 3,2.10 m 1,38.10 23.300 16 3 13 Số phân tử khí trong bình: N = n0V = 3,2. 10 .2.10 = 6,4.10 . 16 3 Vậy: Mật độ phân tử và tổng số phân tử khí trong bình là n 0 = 3,2.10 m và N = 6,4.1013. –24 23 Ví dụ 4. Khối lượng phân tử H 2 là 3,3.10 g. Biết rằng trong 1 giây, có 10 2 phân tử H2 với vận tốc 1000m/s đập vào 1cm thành bình theo phương nghiêng 300 với thành bình. Tìm áp suất khí lên thành bình. Hướng dẫn – Với 1 phân tử khí H2, ta có: + Hệ thức giữa độ biến thiên động lượng và xung của lực: Δp = p' - p = f1.Δt v 30o o mv 2mv.sin30 = f1.Δt mv = f1.Δt f1 = Δt f1 mv + Áp suất tác dụng lên thành bình: p1 = = . S S.Δt – Áp suất do khí H2 tác dụng lên thành bình là: p = np1. nmv 1023.3,3.10 27.103 p = = = 3,3.103 N/m2 S.Δt 10 4.1 Vậy: Áp suất khí lên thành bình là 3,3.103 N/m2. Ví dụ 5. Một vệ tinh có thể tích V = 100m3, chứa không khí ở điều kiện thường. Thiên thạch đã làm thủng một lỗ nhỏ có diện tích S = 1cm 2 trên vỏ vệ tinh. Tính khoảng thời gian để áp suất bên trong vệ tinh giảm đi 1%. Nhiệt độ khí không đổi và phân tử gam của không khí là 29g/mol. Hướng dẫn – Các phân tử khí chuyển động hỗn loạn với những vận tốc có hướng và độ lớn rất khác nhau nhưng trong nhiều tính toán (ví dụ như khi tính áp suất của khí tác dụng lên thành bình), ta có thể coi trong bình có ba nhóm phân tử bằng nhau chuyển động theo ba phương vuông góc nhau S (theo ba trục Đê–các vuông góc), trong đó có một phương vuông góc với lỗ thủng. Theo mỗi phương lại có  v. hai chiều ngược nhau tương đương nhau, tức là gồm có 6 nhóm phân tử bằng nhau chuyển động theo 6 hướng khác nhau. – Gọi n là mật độ phân tử khí, S là diện tích lỗ thủng,  là khoảng thời gian cần tìm, v là vận tốc trung bình của phân tử khí; N 1 là số phân tử khí có trong hình hộp có đáy là S và chiều cao là  v. (hình vẽ). 317
4. Ta có: N1 = nS = nS v – Số phân tử khí N đi qua lỗ thủng trong khoảng thời gian  là: 1 1 N = N1 = nSv (1) 6 6 Gọi V là thể tích của bình chứa khí thì độ giảm mật độ phân tử khí trong khoảng N nSv thời gian  là: n = = V 6V n V  = 6 . (2) n Sv – Theo phương trình cơ bản của thuyết động học chất khí, ta có: 2 p = nW = nkT 3 đ – Vì nhiệt độ khí không đổi nên p tỉ lệ với n, suy ra: n p = = 0,01 (3) n p 3RT – Mặt khác, ta có: v = (4) μ – Thay (3) và (4) vào (2), ta được: p V p V μ  = 6. . = 6. . . p 3RT p S 3RT S μ 100 29.10 3  = 6.0.01. . 123,8 s 2 phút 10 4 3.8,31.273 Vậy: Khoảng thời gian để áp suất bên trong vệ tinh giảm đi 1% là 2 phút. * Ghi chú: Đối với loại bài này cần phải thỏa mãn điều kiện là kích thước của lỗ và bề dày của lỗ là nhỏ so với quãng đường tự do trung bình để khi đi qua lỗ các phân tử khí không va chạm nhau. 318
5. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Tính vận tốc trung bình của khí có khối lượng riêng 2kg/m 3 ở áp suất 760 mmHg. Bài 2. Tính động năng trung bình và vận tốc trung bình của phân tử khí hêli ở nhiệt độ 00C. Bài 3. Một chất khí mà các phân tử có vận tốc trung bình là 1760m/s ở 0 0C. Tính vận tốc trung bình của các phân tử khí này ở nhiệt độ 10000C. Bài 4. Ở nhiệt độ nào vận tốc trung bình của các phân tử khí ôxi đạt vận tốc vũ trụ cấp I (7,9km/s)? Bài 5. Ở nhiệt độ nào vận tốc trung bình của phân tử CO2 là 720km/h? 2 Bài 6. Lượng khí hiđrô có T 1 = 200K, p1 = 400N/m được nung nóng đến T 2 = 10000K, khi đó các phân tử hiđrô bị phân li hoàn toàn thành nguyên tử hiđrô. Coi thể tích, khối lượng khí không đổi. Tìm áp suất p2 của khí hiđrô. Bài 7. Một bình đựng khí loãng được chia thành 2 phần bằng một vách mỏng có lỗ thủng. Kích thước lỗ khá nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của phân tử khí trong bình. Tìm tỉ số áp suất của khí trong mỗi phần của bình nếu chúng được giữ ở những nhiệt độ khác nhau T1 và T2. Bài 8. Một bình thông với không gian xung quanh qua một lỗ nhỏ. Không gian bên ngoài có nhiệt độ T, áp suất p. Khí trong và ngoài bình là khá loãng sao cho các phân tử khi chuyển động trong bình và từ bình qua lỗ đều không va chạm với nhau. Khí trong bình được duy trì ở nhiệt độ 4T. Tìm áp suất khí trong bình. Bài 9. Một cái hốc cách nhiệt được nối với hai thể tích chứa khí hêli bằng các lỗ thủng nhỏ giống nhau (hình vẽ). Các thể tích khí hêli được giữ ở He He áp suất p, nhiệt độ T và 2T không đổi. p, T p, 2T Tính áp suất và nhiệt độ của khí trong hốc. D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Công thức liên hệ giữa áp suất và vận tốc trung bình của khí: 1 2 2 3p p = n0m0 v v = (1) 3 n0m0 (n0 là mật độ phân tử khí và m0 là khối lượng của một phân tử khí) Gọi là khối lượng riêng của khí trong bình, ta có: = n0m0 (2) 3p Thay (2) vào (1) ta được: v2 = (p = 760mmHg = 1,013.105 N/m2) 319
6. 3p 3.1,013.105 Suy ra: v = v2 = = = 390 m/s 2 Vậy: Vận tốc trung bình của khí trên là 390m/s. Bài 2. – Động năng trung bình của phân tử khí: 3 3 W = kT = .1,38.10 23 .273 = 5,65.10 21 J đ 2 2 – Vận tốc trung bình của phân tử khí: 3RT 3.8,31.273 v = = = 1304 m/s μ 4.10 3 Bài 3. 3RT 3RT – Ta có: v = 1 ; v = 2 . 1 μ 2 μ v2 T2 T2 1273 Suy ra: = v2 = v1 = 1760 = 3800m/s v1 T1 T1 273 Vậy: Vận tốc trung bình của các phân tử khí này ở nhiệt độ 10000C là 3800m/s. Bài 4. 3RT μv2 32.10 3.(7,9.103 )2 Ta có: v = T = = = 8.104K μ 3R 3.8,31 Vậy: Ở nhiệt độ 8.10 4K thì vận tốc trung bình của các phân tử khí ôxi đạt vận tốc vũ trụ cấp I. Bài 5. Ta có: 720 km/h = 200 m/s 3RT μv2 44.10 3.2002 Từ công thức: v = T = = = 70,6K μ 3R 3.8,31 Vậy: Ở nhiệt độ 70,6K thì vận tốc trung bình của phân tử CO2 là 720km/h. Bài 6. – Gọi n01 và n02 lần lượt là mật độ phân khí hiđrô và mật độ nguyên khí hiđrô, ta có: p1 = n01kT1; p2 = n02kT2 n – Vì thể tích và khối lượng khí không đổi nên: 02 = 2 n01 p n T T Suy ra: 2 = 02 .2 = 2 2 p1 n01 T1 T1 320
7. T2 10000 4 2 p 2 = 2p1 = 2.400. = 4.10 N/m 200 T1 Vậy: Áp suất của khí hiđrô khi bị phân li hoàn toàn thành nguyên tử là 4 2 p2 = 4.10 N/m . Bài 7. –Ở trạng thái dừng (cân bằng động) thì số phân tử khí ở mỗi nửa bình không thay đổi theo thời gian, nghĩa là trong cùng một khoảng thời gian số phân tử N 1 từ phần bên trái bay qua lỗ sang bên phải bằng số phân tử N 2 từ phần bên phải bay qua lỗ sang bên trái (hình vẽ). Ta có: N1 = N2 (1) – Mặt khác, tương tự bài 6, ta có: 1 1 N1 = n1Sv  ; N2 = n2Sv  (2) 6 1 6 2 (n1 và n2 là mật độ phân tử khí trong hai bình). – Từ (1) và (2) suy ra: n = n (3) 1 v1 2 v2 – Sử dụng các công thức về chất khí ta có: p1 p2 n1 = ; n2 = (4) kT1 kT2 3RT 3RT v = 1 ; v = 2 (5) 1 μ 2 μ p 3RT p 3RT p T – Thay (4) và (5) vào (3) ta được: 1 .1 = 2 . 2 = 1 1 kT1 μ kT2 μ p2 T2 p T Vậy: Tỉ số áp suất của khí trong mỗi phần lúc này là 1 = 1 . p2 T2 * Ghi chú: Đối với loại bài này cần phải thỏa mãn điều kiện là kích thước của lỗ và bề dày của lỗ là nhỏ so với quãng đường tự do trung bình để khi đi qua lỗ, các phân tử khí không va chạm nhau. Bài 8. Gọi p1 và T1 là áp suất và nhiệt độ của khí trong bình. p1 T1 Tương tự bài 7, ta có: = = 2 p1 = 2p p T Vậy: Áp suất khí trong bình lúc này là p1 = 2p. Bài 9. 321
8. – Khi đã có trạng thái dừng (cân bằng động) thì số phân tử trong hốc không đổi (hình vẽ). – Lập luận tương tự như bài 7 ta thấy số phân tử hêli từ bên trái vào hốc tỉ lệ với p , ta có thể viết: He He T p1, T1 p N1 = a (a là hệ số tỉ lệ) (1) p, T p, 2T T p – Tương tự như vậy, số phân tử hêli từ bên phải vào hốc tỉ lệ với , ta có thể 2T viết: p N2 = a (a là hệ số tỉ lệ) (2) 2T Gọi p1 và T1 là áp suất và nhiệt độ của khí trong hốc khi đã có trạng thái dừng. Số phân tử hêli rời hốc để đi sang hai bên là: p N = 2a1 (3) T1 – Phương trình cân bằng: N = N1 + N2 (4) 2p p p – Thay (1), (2) và (3) vào (4) ta được: 1 = + (5) T1 T 2T –Mặt khác, ở trạng thái dừng thì nhiệt độ của khí trong hốc không đổi, tức là động năng các phân tử khí hêli trong hốc không đổi. Suy ra động năng do N1 và N2 phân tử khí mang đến hốc bằng động năng do N phân tử khí mang đi khỏi hốc. 3 – Từ công thức: W = kT, ta có: đ 2 + Động năng trung bình của N1 phân tử hêli từ bên trái vào hốc: 3 p 3 3 W1đ = N1 kT = a . kT = bpT (b = ka là hệ số tỉ lệ) 2 T 2 2 + Động năng trung bình của N2 phân tử hêli từ bên phải vào hốc: 3 p 3 W2đ = N2 k.2T = a . k.2T = bp 2T 2 2T 2 + Động năng trung bình của N phân tử hêli từ hốc đi sang hai bên: 3 p1 3 W = N k.T1 = 2a . k.T1 = 2bp1 T đ 2 2 1 T1 + Cân bằng động năng đến và rời khỏi hốc: 322
9. W = W + W 2p = pT + p2T (6) đ 1đ 2đ 1 T1 + Nhân theo vế (5) với (6), ta được: 2p p p 1 .2p = . p T p 2T 1 T1 T1 T 2T 2 42 = (3 + 2 )p2 = p2 2 p1 2 1 2 1 2 p 1 = p (7) 24 2 – Từ (7) và (6) suy ra: T1 = T2 . 1 2 Vậy: Áp suất và nhiệt độ của khí trong hốc là p1 = p và T1 = T2 . 24 2 323