Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 5: Cơ sở của nhiệt động lực học - Chuyên đề 2: Nguyên lý I của nhiệt động lực học - Chu Văn Biên

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 5: Cơ sở của nhiệt động lực học - Chuyên đề 2: Nguyên lý I của nhiệt động lực học - Chu Văn Biên

1. Chuyên đề 2. NGUYÊN LÝ I CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – Nội dung: Độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng đại số nhiệt lượng và công mà hệ trao đổi với bên ngoài. – Biểu thức: U = Q + A U : Độ biến thiên nội năng của hệ. Q: Nhiệt lượng mà hệ nhận được. A: Công mà hệ nhận được. Đối với một quá trình nguyên tố, ta có: dU Q A Hoặc Q dU A Ở đây, dU là vi phân toàn phần (không phụ thuộc vào quá trình diễn biến), còn Q và A là các vi phân không toàn phần (phụ thuộc vào quá trình diễn biến). – Quy ước: + A > 0: hệ nhận công; A 0: hệ nhận nhiệt lượng; Q 0: nội năng của hệ tăng; U: nội năng của hệ giảm. Dạng 1. Nhiệt lượng, công và sự biến đổi nội năng của bài toán cơ. A. Phương pháp giải - Áp dụng nguyên lý I của nhiệt động lực học: U Q A + Q : nhiệt lượng trao đổi giữa hệ và môi trường ngoài: Q > 0 : hệ thu nhiệt Q 0 : hệ sinh công dương (công phát động). A < 0 : hệ sinh công âm (công cản). Trong quá trình biến đổi, nếu hệ chịu tác dụng của lực ngoài nào đó sinh công A’ thì : A = -A’ + U : Độ biến thiên nội năng của hệ (theo nhiệt độ, kích thước hay hình dạng của hệ). U 0 : nội năng tăng U 0 : nội năng giảm - Cần chú ý đổi đơn vị của các đại lượng cho phù hợp. (1cal = 4,186J hay 1J = 0,24cal). B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Viên đạn chì (m = 50g, c = 0,12kJ/kg.độ) bay với vận tốc v0 = 360km/h. Sau khi xuyên qua một tấm thép, vận tốc viên đạn giảm còn 330
2. 72km/h. a) Tính lượng nội năng tăng thêm của đạn và thép. b) 60% lượng nội năng trên biến thành nhiệt làm nóng viên đạn. Tính độ tăng nhiệt độ của đạn. Hướng dẫn a) Lượng nội năng tăng thêm của đạn và thép: Xét hệ gồm đạn và tấm thép: Khi viên đạn xuyên qua tấm thép thì tấm thép tác dụng vào viên đạn một lực F, lực này sinh công làm giảm động năng của viên đạn. Về độ lớn, công của lực F bằng độ giảm động năng của đạn. Ta có: 1 2 1 2 1 2 2 A = W0đ – Wđ = mv – mv = m(v – v ) 2 0 2 2 0 Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A 1 1 Vì Q = 0 nên U = A = m(v2 – v2 ) = 0,05(1002 – 202) = 240J. 2 0 2 Vì U = 240 J > 0, nên nội năng của hệ (gồm đạn và tấm thép) tăng thêm một lượng là 240J. b) Độ tăng nhiệt độ của đạn 0,6 U Ta có: Q/ = 0,6 U = cm. t t = cm 0,6.240 t = = 240C 0,12.50 Vậy: Độ tăng nhiệt độ của đạn là 24oC. Ví dụ 2. Một quả bóng có khối lượng 0,1kg rơi từ độ cao 1,5m xuống đất và nảy lên đến độ cao 1,2m. Tại sao bóng không nảy lên đến độ cao ban đầu ? Tính độ tăng nội năng của bóng, đất và không khí. Cho g = 10m/s2. Hướng dẫn Xét hệ gồm quả bóng, đất và không khí. - Gọi E1 và E2 lần lượt là cơ năng của bóng khi bắt đầu rơi (ở độ cao h1 ) và khi đã nảy lên độ cao nhất có thể (ở độ cao h2 ): E1 mgh1 (do v1, v2 đều bằng 0). E2 mgh2 - Khi bóng rơi chạm đất và nảy lên thì một phần cơ năng của bóng đã chuyển thành nội năng của hệ nên : E1 E2 mgh1 mgh2 h1 h2 Vì vậy, bóng không nảy lên đến độ cao ban đầu. Công của ngoại lực (trọng lực P) tác dụng lên quả bóng là: A' E2 E1 mg h2 h1 Công do hệ thực hiện: A A' mg h1 h2 331
3. Theo nguyên lí thứ I của nhiệt động lực học: U Q A Vì Q 0 U A A' mg h1 h2 0,1.10 1,5 1,2 0,3J 0 nội năng của hệ tăng làm tăng nhiệt độ của hệ và có thể làm biến dạng quả bóng và đất. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Búa máy 10 tấn rơi từ độ cao 2,3m xuống một cọc sắt (c = 0,46kJ/kg.độ, m = 200kg). Biết 40% động năng của búa biến thành nhiệt làm nóng cọc sắt. Hỏi búa rơi bao nhiêu lần thì cọc tăng nhiệt độ thêm 20 0C. Cho rằng cọc không tỏa nhiệt cho môi trường. Bài 2. Quả cầu có nhiệt dung riêng c = 460J/kg.độ được l treo bởi sợi dây có chiều dài l = 46cm. Quả cầu được B nâng lên đến B rồi thả rơi. Sau khi chạm tường, nó bật α lên đến C ( = 600). Biết rằng 60% độ giảm thế năng C biến thành nhiệt làm nóng quả cầu. Tính độ tăng nhiệt độ của quả cầu. Lấy g = 10m/s2. A Bài 3. Một quả bóng khối lượng m = 300g có dung tích V = 8 lít được bơm không khí đến áp suất p = 1,2atm. Quả bóng được ném lên cao 20m và rơi xuống đất rắn rồi lại nảy lên gần như tới vị trí cũ. Tính nhiệt độ cực đại của không khí trong quả bóng vào lúc va chạm với đất rắn. Coi thể tích bóng thay đổi không đáng kể khi va chạm. Nhiệt độ môi trường là T = 300K, nhiệt dung riêng đẳng tích của không khí là cv = 19,5J/kg.độ. D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Gọi M là khối lượng của búa. Ta có: – Động năng của búa ngay trước va chạm: W0đ = Mgh. – Nhiệt lượng cọc thu được sau mỗi lần búa rơi: Q0 = 0,4W0đ = 0,4Mgh. – Nhiệt lượng cọc thu được sau n lần búa rơi: Q = nQ0 = cm. t. cm. t 0,46.103.200.20 Suy ra: n = = = 20 4 Q0 0,4.10 .10.2,3 Vậy: Số lần búa rơi là 20. Bài 2. Độ giảm thế năng của con lắc: Wt = WtB – WtC W t = mg – mg (1 – cos ) = mg cos . Phần thế năng biến thành nhiệt làm nóng quả cầu: Q = 0,6. Wt = 0,6 mg cosα (1) Mặt khác, ta có: Q = cm. t (2) 332
4. 0,6gcosα 0,6.10.0,46.cos600 Từ (1) và (2) suy ra: t = = = 0,0030C. c 460 Vậy: Độ tăng nhiệt độ của quả cầu là 0,003oC. Bài 3. pV Số mol không khí trong quả bóng là: n = . RT Vì thời gian va chạm rất ngắn nên coi như không khí trong quả bóng bị nén đẳng tích và đoạn nhiệt nên công biến hoàn toàn thành nội năng: A = ΔU = ncv ΔT = mgh mgh mghRT 0,3.10.20.0,082.300 ΔT = = = = 8K ncv pVcv 1,2.8.19,5 T max = T + ΔT = 300 + 8 = 308K Vậy: Nhiệt độ cực đại của không khí trong quả bóng vào lúc va chạm với đất rắn là 308K. 333
5. Dạng 2. ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ I CHO KHÍ LÝ TƯỞNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Nội năng và công của khí lí tưởng a. Nội năng của khí lý tưởng: 3 + Khí đơn nguyên tử: U = nRT . 2 5 + Khí lưỡng nguyên tử: U = nRT . 2 + Tổng quát: U = ncvT. 3 (n là số mol khí; cv là nhiệt dung riêng đẳng tích: cv = R (khí đơn nguyên 2 5 tử), cv = R (khí lưỡng nguyên tử)). 2 b.Công thức tính công của khí lý tưởng: Công A’ mà hệ sinh ra trong quá trình đẳng áp: A' p(V2 V1) Công A’ mà hệ sinh ra trong một quá trình cân bằng bất kì: V2 A’ = ΔA = p ΔV . Hoặc A' pdV i i i V1 Có thể xác định A’ bằng đồ thị (p, V). Công mà hệ nhận được: A A' 2. Áp dụng nguyên lý I cho các quá trình của khí lí tưởng a. Quá trình đẳng tích Quá trình đẳng tích là quá trình biến đổi của p hệ diễn ra khi thể tích của hệ không đổi: V = 2 const. Trên đồ thị p – V, quá trình đẳng tích biểu 1 diễn bởi một đoạn thẳng song song với trục áp suất (hình 1). Biểu thức của nguyên lý I O V V có dạng: 0 Hình 1 dU Q 1 vì A p.dV 0 do dV = 0. Từ (1) ta thấy độ biến thiên nội năng trong quá trình đẳng tích bằng và cùng dấu với nhiệt lượng trao đổi. Mặt khác, nhiệt dung mol đẳng tích của quá trình được 334
6. Q dU tính theo công thức: C 2 với n là số mol khí. V ndT dT m Suy ra: dU nC dT C dT 3 V  V Lấy tích phân (3), ta thu được biểu thức của nội năng: m U C .T U  V 0 Nội năng của hệ được xác định sai khác một hằng số cộng U 0, chọn U0 = 0 (khi T = 0), ta được: m U C .T 4  V Vậy: Với quá trình đẳng tích, nhiệt lượng khí nhận được chỉ làm tăng nội năng của khí. b. Quá trình đẳng áp Quá trình đẳng áp là quá trình trong đó áp p suất của hệ không đổi: p = const. Trên đồ thị p – V, quá trình đẳng áp được biểu diễn bởi một đoạn thẳng song song 1 2 P0 với trục thể tích OV (hình 2). Vì p0 = const nên công của quá trình được O tính: V1 V V V2 Hình 2 A p dV p V V 0 0 2 1 2 V1 Biểu thức của nguyên lý I cho quá trình đẳng áp có dạng: dU Q p0dV 5 Nhiệt dung mol đẳng áp của quá trình là: Q dU p dV C 0 6 p dT dT dT 335
7. m Suy ra: Q C dT C dT 7 p  p Đối với một quá trình đẳng áp hữu hạn 1 – 2 thì từ (7) ta có: m Q C T T  p 2 1 So sánh (6) và (2) và giả sử dU trong hai quá trình đó bằng nhau thì p0dV Cp > CV và: C C 8 p v ndT Mặt khác, lấy vi phân phương trình trạng thái với p = p0 không đổi, ta được: p0dV nRdT , thay vào (8) thu được: Cp CV R 9 Hệ thức (9) gọi là hệ thức Mayer. Cp Đặt  và áp dụng hệ thức Mayer, suy ra: Cv R R C và C 10 v  1 p  1 Vậy: Với quá trình đẳng áp, nhiệt lượng khí nhận được một phần làm tăng nội năng của khí, phần còn lại biến thành công do khí thực hiện. c. Quá trình đẳng nhiệt Quá trình đẳng nhiệt là quá trình diễn ra khi nhiệt p độ của hệ không đổi: T = const. Với khí lý tưởng, quá trình này được mô tả bằng định luật Bôilơ – 1 Mariôt và được diễn tả trên đồ thị p – V bằng một P1 nhánh hypebol (hình 3). 2 Nguyên lý I viết cho quá trình đẳng nhiệt: P2 dU Q A O Q dU A nCvdT A V1 V2 V Vì dT = 0 nên Q A Hình 3 Với cả quá trình thì Q = - A, nghĩa là nhiệt lượng truyền cho hệ bằng 336
8. công mà hệ thực hiện lên môi trường (A’ = - A). V2 Vì A pdV nên A pdV V1 m m RT Từ phương trình trạng thái pV RT , ta suy ra p , thay vào   V cho p dưới dấu tích phân, ta được: V2 m dV m V2 dV A RT RT  V  V V1 V1 m V Hay A RT ln 2 11  V1 V2 p1 Do quá trình là đẳng nhiệt có p1V1 p2V2 nên , do đó còn có: V1 p2 m p A RT ln 1 12  p 2 Vậy: Với quá trình đẳng nhiệt, nhiệt lượng mà khí nhận được biến hoàn toàn thành công do khí thực hiện. d. Quá trình đoạn nhiệt ➢ Các phương trình đoạn nhiệt Quá trình đoạn nhiệt là quá trình diễn ra khi hệ không trao đổi nhiệt với môi trường ngoài: Q 0 . Nguyên lý I áp dụng cho quá trình đoạn nhiệt có dạng: U A 13 Từ (13), ta thấy: Nếu dU > 0 thì A 0, nghĩa là nội năng tăng do hệ nhận công từ bên ngoài. Nếu dU < 0 thì A 0 , nghĩa là hệ sinh công do nội năng giảm. m pdV Kết hợp (13) và (3), ta có: C dT pdV dT * v m  C  v m Lấy vi phân hai vế của phương trình trạng thái pV RT , ta có:  337
9. m pdV Vdp RdT  Thay (*) vào ( ), được: m pdV R pdV Vdp R = pdV m  Cv Cv  Thay R Cp Cv , ta được: Cp Cv pdV Vdp pdV  1 pdV Cv Hay V dp pdV , chia hai vế cho pV và chuyển về một vế: dV dp  0 V p Tích phân hai vế, cuối cùng ta được:  pV const 14 ;  được gọi là chỉ p số đoạn nhiệt. pV const (14) là một phương trình đoạn nhiệt, pV const cho biết mối liên hệ giữa hai đại lượng p và V, gọi là phương trình Poatxông. Trong hệ O tọa độ p – V, (14) được biểu diễn bằng một V đường cong, tương tự đường cong của Hình 4 phương trình đẳng nhiệt pV = const, nhưng nó dốc hơn (hình 4). Viết (14) cho hai trạng thái 1 và 2 của quá trình đoạn nhiệt:  p V 1 2 15 p2 V1 338
10. m m RT m RT Từ phương trình trạng thái pV RT p hoặc V   V  p + Thế biểu thức của p vào (14), ta được: m V RT const TV 1 const 16  V  1  1 Viết (16) cho hai trạng thái 1 và 2: T1V1 T2V2 17 + Thế biểu thức của V vào (14), ta được:   m T T  1  p R const  1 const T p const 18  p p 1  1  Viết (18) cho hai trạng thái 1 và 2: T1p1 T2p2 19 (16) và (17) cho ta mối liên hệ giữa nhiệt độ T và thể tích V; (18) và (19) cho ta mối liên hệ giữa nhiệt độ T và áp suất p, chúng đều là các phương trình đoạn nhiệt. ➢ Công trong quá trình đoạn nhiệt Từ công thức A pdV với p được rút ra từ (15) p V dV p 1 1 A p V V 1 1 V Lấy tích phân: V2 dV V2 p V A p V p V V dV 1 1 V1  V1  1 1 V 1 1 1  2 1 V1 V1 1  Đưa V1 ra làm thừa số chung, ta được: 1   1 p V V p V V A 1 1 2 1 = 1 1 1 1 20 1  V  1 V 1 2 Kết hợp thêm với các công thức (15) và (17), ta tìm được các công thức 339
11. khác của A:  1 p V p  A 1 1 2 1 21  1 p1 p1V1 T2 m 1 T2 m R A 1 RT1 1 T2 T1 22  1 T1   1 T1   1 1 Hoặc A p V p V  23  1 2 2 1 1 3. Chu trình: Trạng thái cuối và đầu trùng nhau nên U = 0 Q = –A = A Vậy: Với chu trình biến đổi, nhiệt lượng mà khí nhận được biến hoàn toàn thành công do khí thực hiện. II. CÁC DẠNG TOÁN Loại 1. Tìm độ biến thiên nội năng, công mà khí sinh ra và nhiệt dung mol của khí khi biết quy luật biến đổi trạng thái A. Phương pháp giải Với dạng bài này, quy luật biến đổi của một lượng khí xác định thường được diễn tả bằng phương trình toán học, bằng lời hoặc bằng đồ thị. Trước khi tiến hành giải toán, cần đọc kỹ để, phân tích để nắm bắt đầy đủ các đặc điểm của quá trình biến đổi trạng thái. Vận dụng nguyên lý I, ta phải kết hợp với các kiến thức khác như phương trình trạng thái, nhiệt dung mol, B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Khối khí có p = 1atm, V 1 = 10 lít được dãn nở đẳng áp, thể tích tăng gấp hai lần. Tìm công do khí thực hiện. Hướng dẫn Công do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp: / A = p. V = p(V2 – V1) = p(2V1 – V1) = pV1 4 2 2 3 Thay số: p = 1atm = 9,81.10 N/m ; V1 = 10 lít = 10 m , ta được: A/ = 9,81.104. 10 2 = 981J Vậy: Công do khí thực hiện là 981J. Ví dụ 2. Một khối khí có V = 7,5 lít, p = 2.105N/m2, t = 270C, bị nén đẳng áp và nhận một công 50J. Tính nhiệt độ của khí sau khi nén. Hướng dẫn 340
12. Công do khí nhận được: A = – A = – p(V2 – V1) A 3 50 3 3 V 2 = V1 – = 7,5.10 – = 7,25. 10 m p 2.105 V V 1 2 V2 Áp dụng định luật Gay–Luytxắc: = T2 = T1 T T 1 2 V1 3 7,25.10 0 Thay số: T2 = 300. = 290K hay t2 = 17 C. 7,5.10 3 Vậy: Nhiệt độ của khí sau khi nén là 17oC. Ví dụ 3. Một khối khí có V = 3 lít, p = 2.105N/m2, t = 270C được đun nóng đẳng tích rồi cho dãn nở đẳng áp. Khi dãn nở nhiệt độ tăng thêm 30 0C. Tính công khí đã thực hiện. Hướng dẫn Gọi p1, V1 và T1 là áp suất, thể tích và nhiệt độ sau khi đun nóng đẳng tích, ta có p1 p T1 V1 = V và: = p1 = p (1) T1 T T V2 V1 Gọi V2 và T2 là thể tích và áp suất sau khi dãn nở đẳng áp, ta có: = T2 T1 T T2 2 V2 = V1 = V (2) T T1 1 Công khí đã thực hiện: A = A1 + A 2 , với A1 = 0 (đẳng tích). Suy ra: A = A 2 = p1(V2 – V1) = p1(V2 – V) (3) T T pV Thay (1), (2) vào (3), ta được: A = p1 2 = (T – T ) V V 2 1 T T1 T 2.105.3.10 3 A = .30 = 60J 300 Vậy: Công khí đã thực hiện là A = 60J. Ví dụ 4. Một khối lượng m của một chất khí có nhiệt độ T được làm lạnh đẳng tích, áp suất giảm đi n lần. Sau đó khí dãn nở đẳng áp đến khi nhiệt độ bằng lúc ban đầu. Tính công khí đã thực hiện. Biết phân tử gam của khí là μ . Hướng dẫn Gọi p1, V1 và T1 là áp suất, thể tích và nhiệt độ sau khi làm lạnh đẳng tích, ta có: p p1 p p1 T V1 = V; p1 = . = T1 = T = (1) n T1 T p n Gọi V2 và T2 là thể tích và áp suất sau khi dãn nở đẳng áp, ta có: T2 = T và: 341
13. V V 2 1 T2 T = V2 = V1 = V (2) T T T 2 1 T1 1 Thay (1) vào (2) ta được: V2 = nV (3) Công khí đã thực hiện: A = A1 + A 2 , với A1 = 0 (đẳng tích). p Suy ra: A = A = p1(V2 – V1) = (V2 – V) (4) 2 n p pV mRT Thay (3) vào (4) ta được: A = ( nV – V) = ( n – 1) = (n – 1) . n n nμ mRT Vậy: Công khí đã thực hiện là A = (n – 1) . nμ Ví dụ 5. 12g hiđrô dãn nở đẳng áp (c p = 14,6kJ/kg.độ) thể tích tăng gấp ba lần và thực hiện công A = 29916J. Tính: a) nhiệt độ ban đầu của khí. b) nhiệt lượng truyền cho khí. c) độ biến thiên nội năng của khí. Hướng dẫn a) Nhiệt độ ban đầu của khí m Công do khí thực hiện: A = p(V2 – V1) = R(T2 – T1) (1) μ V V 1 2 V2 Quá trình đẳng áp (1)–(2): = T2 = T1 = 3T1 (2) T T 1 2 V1 m μA Thay (2) vào (1) ta được: A = R.2T1 T1 = μ 2mR 2.29916 0 Thay số: T1 = = 300K hay t1 = 27 C. 2.12.8,31 Vậy: Nhiệt độ ban đầu của khí là 27oC. b) Nhiệt lượng truyền cho khí (đẳng áp) 0 Nhiệt độ sau của khí: T2 = 3T1 = 3.300 = 900K hay t2 = 627 C. 3 Nhiệt lượng truyền cho khí: Q = cpm t = 14,3.10 .12.(627 – 27) = 102960J. Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí là 102960J. c) Độ biến thiên nội năng của khí Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A U = 102960 – 29916 = 73044J Vì U > 0 nên nội năng của khí tăng. Ví dụ 6. Bình kín không dãn nở, thể tích 6 lít, chứa 12g nitơ ở 27 0C. Sau khi đun nóng, áp suất trong bình là 4,2 at. Tìm nhiệt lượng truyền cho khí và độ biến thiên nội năng của khí. Hướng dẫn 0 Ở điều kiện chuẩn, 1mol khí N2 ở nhiệt độ t0 = 0 C (273K), 342
14. 5 Áp suất p0 = 1,013.10 Pa, chiếm thể tích V0 = 22,4 lít. 12 0 Suy ra: 12g (= mol) khí N2 ở nhiệt độ t0 = 0 C (273K), 28 5 / 12 12 Áp suất p0 = 1,013.10 Pa, chiếm thể tích: V = V0 = .22,4 = 9,6 lít. 0 28 28 Gọi V1, p1 và T1 là thể tích, áp suất và nhiệt độ ban đầu của 12g khí nitơ. Theo p V/ p V phương trình trạng thái của khí lí tưởng: 0 0 = 1 1 . T0 T1 V/ T 0 1 9,6 (27 273) 5 4 2 p 1 = . p0 = . .1,013.10 = 17,8.10 N/m V1 T0 6 273 p1 p2 p2 Áp dụng định luật Sác–lơ: = T2 = T1 (1) T1 T2 p1 Độ biến thiên nội năng của khí: U = Q = cvm(T2 – T1) (2) p c mT Thay (1) vào (2) ta được: U = Q = c m2 T T = v 1 (p – p ) v 1 1 2 1 p1 p1 0,74.103.12.10 3(27 273) U = Q = (4,2.9,81.104 – 17,8.104) = 3502J 17,8.104 Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí và độ biến thiên nội năng của khí là 3502J. Ví dụ 7. Trong xilanh có một lượng khí. Pittông và khí quyển gây ra áp suất bằng 2.105 N/m2 lên lượng khí ấy. Do nhận được nhiệt lượng 2,8kcal, khí dãn nở đẳng áp. Cho biết cp = 7 kcal/kmol.độ. Tính: a) độ biến thiên nội năng của khí. b) độ tăng thể tích của khí (Cho 1cal = 4,19J). Hướng dẫn a) Độ biến thiên nội năng của khí m Công do khí thực hiện: A = pΔV = RΔT (1) μ m Nhiệt lượng do khí nhận được: Q = .c ΔT (2) μ p QR Từ (1) và (2) suy ra: A = , với Q = 2,8kcal = 11732J; R = 8,31J/mol.độ; cp cp = 7kcal/kmol.độ = 29,33J/mol.độ: 11732.8,31 A = = 3324J 29,33 Từ nguyên lí I của Nhiệt động lực học suy ra: ΔU = Q – A = 11732–3324 = 8408J. Vậy: Độ biến thiên nội năng của khí là 8408J. 343
15. b) Độ tăng thể tích của khí A 3324 Từ (1) suy ra: ΔV = = = 0,01662m3 = 16,62 lít. p 2.105 Vậy: Độ tăng thể tích của khí là 16,62 lít. Ví dụ 8. Khí hêli đựng trong bình kín thể tích là 2 lít ở 27 0C, áp suất 105N/m2. Tính: a) vận tốc trung bình của nguyên tử ở trạng thái đầu và trạng thái cuối. b) nhiệt lượng cung cấp để tăng nhiệt độ khí lên 1270C. c) nội năng của khí ở đầu, cuối quá trình. Hướng dẫn a) Vận tốc trung bình của nguyên tử ở trạng thái đầu và trạng thái cuối 3RT1 3.8,31(27 273) Trạng thái đầu: v1 = = = 1367 m/s. μ 4.10 3 3RT2 3.8,31(127 273) Trạng thái cuối: v2 = = = 1579 m/s. μ 4.10 3 b) Nội năng của khí ở đầu và cuối quá trình: 3 Vì khí hêli là đơn nguyên tử nên cv = R . 2 m 3 Nội năng của khí ở trạng thái đầu: U1 = ncvT1 = . RT1 (1) μ 2 m m p1V1 + Từ phương trình trạng thái: p1V1 = RT1 = (2) μ μ RT1 + Thay (2) vào (1) ta được: p V 1 1 3 3 3 5 3 U1 = . RT1 = p1V1 U1 = .10 .2.10 = 300J RT1 2 2 2 3 3 Nội năng của khí ở trạng thái cuối: U2 = p2V2 = p2V1 (3) 2 2 (Đẳng tích nên V2 = V1) p1 p2 T2 + Theo định luật Sác–lơ: = p2 = p1 (4) T1 T2 T1 + Thay (4) vào (3) ta được: T 3 2 3 (127 273) 5 3 U2 = p1V1 U2 = .10 .2.10 = 400J 2 T1 2 (27 273) Vậy: Nội năng của khí ở đầu và cuối quá trình là 300J và 400J. c) Nhiệt lượng cung cấp để tăng nhiệt độ khí lên 127 0C: Vì nung nóng khí trong bình kín (đẳng tích) nên công A/ do khí thực hiện bằng 0. Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A/ = Q Q = U = U2 – U1 = 400 – 300 = 100J 344
16. Ví dụ 9. Một khối khí He chứa trong bình có thể tích 5 lít, áp suất 1,5.10 5N/m2, nhiệt độ 270C. a) Tính động năng trung bình của phân tử và mật độ phân tử. b) Nén đẳng áp khối khí để mật độ phân tử tăng gấp hai lần. Tính nhiệt độ và thể tích khí sau khi nén. c) Tính nhiệt lượng khí truyền cho bên ngoài. Hướng dẫn a) Động năng trung bình của các phân tử và mật độ phân tử khí 3 3 Động năng trung bình: W = kT = .1,38.10 23 (27 + 273) = 6,21.10 21 J. đ 2 2 Mật độ phân tử: 5 p 1,5.10 25 3 p = n0kT n0 = n0 = = 3,6.10 m . kT 1,38.10 23.300 Vậy: Động năng trung bình của các phân tử khí là 6,21.10 21 J và mật độ phân tử khí là 3,6.1025 m 3 . b) Nhiệt độ và thể tích khí sau khi nén đẳng áp / / / Ta có: p = n0kT = n0 kT = 2n0kT / T 300 0 T = = = 150K hay t2 = 150 – 273 = –123 C. 2 2 V V/ T/ 150 Ta có: = V/ = V = 5. = 2,5 lít. T T/ T 300 Vậy: Nhiệt độ và thể tích khí sau khi nén đẳng áp là –123oC và 2,5 lít. c) Nhiệt lượng truyền cho bên ngoài Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A Q = U – A (1) với: A là công khí nhận được; Q là nhiệt lượng khí nhận được; U là độ biến thiên nội năng của khí. Ta có: A = –A/ = –p(V/ – V) = –1,5.105(2,5 – 5).10 3 = 375J 3 3 m với: U = nR T = . R(T/ – T) (2) 2 2 μ m m pV Theo phương trình trạng thái: pV = RT = (3) μ μ RT 3 pV 3 pV Thay (2) vào (3) ta được: U = . R(T/ – T) = . (T/ – T) 2 RT 2 T 3 1,5.105.5.10 3 U = . (150 – 300) = –562,5J 2 300 Thay giá trị của A và U vào (1), ta được: Q = U – A = –562,5 – 375 = –937,5J. Vậy: Nhiệt lượng khí truyền ra bên ngoài là –973,5J. 345
17. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. 20g khí oxi ở áp suất 2.10 5N/m2, nhiệt độ 31 0C, được đun nóng đẳng áp và dãn nở đến thể tích 25 lít. Tính công của khí. 0 Bài 2. Một khối khí có p1 = 1atm, V1 = 12 lít, t1 = 27 C được đun nóng đẳng áp đến 0 nhiệt độ t2 = 77 C. Tính công của khí. Bài 3. 8 gam hiđrô ở 270C, dãn nở đẳng áp thể tích tăng gấp 2 lần. Tính công của khí. 0 Bài 4. 2,2kg khí CO2 dãn nở đẳng áp, tăng nhiệt độ thêm t = 200 C. Tính: a) công khí đã thực hiện. b) nhiệt lượng truyền cho khí. c) độ biến thiên nội năng của khí. 0 5 2 Bài 5. 10g ôxi ở 15 C và 2,77.10 N/m dãn nở đẳng áp (c p = 0,9kJ/kg.độ) đến thể tích 6 lít. Tính: a) Công khí thực hiện và nhiệt lượng truyền cho khí. b) Độ biến thiên nội năng của khí. 0 Bài 6. 160g ôxi được đun nóng đẳng tích (cv = 0,65kJ/kg.độ) tăng nhiệt độ từ 50 C đến 600C. Tìm nhiệt lượng truyền cho khí và độ biến thiên nội năng của khí. 0 Bài 7. Bình kín không dãn nở, chứa 14g nitơ ở 1atm và 27 C, được đun nóng (cv = 0,74kJ/kg.độ), áp suất tăng lên đến 5atm. Hỏi độ biến thiên nội năng của khí. –3 Bài 8. Bình thể tích 10 lít chứa khí đơn nguyên tử có mật độ n 0 = 3.10m . Động năng trung bình của nguyên tử là 5.10–21J. Tính nội năng của khí trong bình. Bài 9. Khối lượng m = 8g hêli chứa trong xilanh, đậy bởi pittông nặng. Khí được 0 0 đun nóng đẳng áp từ nhiệt độ t 1 = 27 C đến 127 C. Tìm nhiệt lượng truyền cho khí. Bài 10. Khối m = 40g khí nêon (μ = 20) ở 270C, thể tích ban đầu 6 lít. a) Nén đẳng nhiệt, công lực ngoài là 6750J, thể tích giảm 4 lần. Tính nhiệt lượng khí tỏa ra. b) Hơ nóng đẳng áp thể tích khí tăng lên như cũ. Tính nhiệt lượng khí hấp thụ. c) Vẽ đồ thị biến đổi trạng thái trong hệ (V, T), (p, T), (p, V). Bài 11. Để đốt nóng 1kg một chất khí chưa biết, ở áp suất không đổi, tăng thêm 1K thì cần 912J; còn để đốt nóng khối khí đó ở thể tích không đổi tăng thêm 1K thì cần 649J. Đó là chất khí gì? Bài 12. Một khối khí chưa biết có khối lượng m=1kg. Để làm nóng khối khí đẳng áp tăng thêm T1 10K thì cần truyền cho khí nhiệt lượng 9,12kJ. Còn để làm nóng đẳng tích tăng thêm T2 20K thì truyền cho khí nhiệt lượng 12,98kJ. Đó là chất khí gì? Cho R 8,31J / kg.mol. Bài 13. Một bình cách nhiệt A được nối với một bình cách nhiệt B. Bình B có thể tích lớn hơn rất nhiều so với bình A. Lúc đầu van đóng, trong hai bình đựng cùng loại khí lý tưởng lưỡng nguyên tử và ở cùng nhiệt độ là 30 0C. Áp suất khí trong bình B gấp hai lần áp suất khí trong bình A. Mở van cho khí ở bình B qua bình A một cách từ từ, đến khi áp suất khí hai bình cân bằng thì đóng van lại. Giả thiết rằng trong suốt quá trình đóng và mở van chất khí trong A và trong B không có sự 346
18. trao đổi nhiệt và áp suất khí trong bình A sau khi cân bằng bằng áp suất khí ban đầu trong bình B. Hãy tính nhiệt độ của khí trong bình A sau khi nhiệt độ cân bằng. Bài 14. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện quá trình biến đổi từ trạng thái 1( p1 2atm,V1 1l ) sang trạng thái 2 ( p2 1atm,V2 3l ). Đường biểu diễn sự thay đổi của áp suất theo thể tích của quá trình đó trong hệ tọa độ (p,V) là một đoạn thẳng. Tính công mà chất khí thực hiện trong quá trình chất khí nhận nhiệt ? Bài 15. Một lượng khí lý tưởng gồm 3 p mol, biến theo quá trình cân bằng từ 4 5 A trạng thái có áp suất p 2.10 pa 0 P0 và thể tích V0 = 8 lít đến trạng thái có 5 B áp suất p1 10 pa và thể tích V 1 = P1 20 lít. Trong hệ tọa độ p – V, quá trình được biểu diễn bằng đoạn thẳng AB O (hình vẽ). V0 V1 V a. Tính nhiệt độ T0 của trạng thái đầu (A) và T1 của trạng thái cuối (B). b. Tính công mà khí sinh ra và nhiệt lượng mà khí nhận trong cả quá trình. Bài 16. Một khối khí lí tưởng biến 5 đổi từ trạng thái (1) sang trạng p(10 Pa) thái (2) theo quy luật biểu diễn 5 như hình vẽ. Biết rằng ở trạng thái -3 (1) nhiệt độ T 1=300K, V1=20.10 (2) m3. a) Tìm biểu thức liên hệ giữa (1) áp suất p và thể tích V của 3 3 chất khí. V(10 m ) b) Xác định nhiệt độ cao O 10 20 25 nhất của quá trình. 347
19. D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. m RT1 Thể tích của khí trước khi đun nóng: V1 = . . μ p Công do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp: m RT A = p. V = p(V – V ) = p V . 1 2 1 2  p 3 20 8,31.(31 273) A = 2.10 5 25.10 . = 3421,1J 32 2.105 Vậy: Công của khí là A’ = 3421,1J. Bài 2. Áp dụng định luật Gay–Luytxắc cho quá trình đẳng áp, ta được: V V 2 1 T2 = V2 = V1 T T 2 1 T1 Công do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp: T 2 T2 A = p. V = p(V2 – V1) = p V V = pV1 1 1 T 1 1 T1 3 77 273 A = 1,013.10 5.12.10 1 = 202,6J 27 273 Vậy: Công của khí là A = 202,6J. Bài 3. Công do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp: m A = p. V = p(V2 – V1) = p(2V1 – V1) = pV1 = RT1 μ 8 Thay số: A = .8,31(27 + 273) = 9972J. 2 Vậy: Công của khí là A = 9972J. Bài 4. a) Công khí đã thực hiện m m Ta có: A = p(V2 – V1) = pV2 – pV1 = R(T2 – T1) = R t μ μ 2,2.103 A = .8,31.200 = 83100J = 83,1kJ 44 Vậy: Công khí đã thực hiện là 83,1kJ. b) Nhiệt lượng truyền cho khí (đẳng áp) Ta có: Q = cpm t = 0,75.2,2.200 = 330kJ. Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí là 330kJ. c) Độ biến thiên nội năng của khí 348
20. Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A với: U là độ tăng nội năng của khí; Q là nhiệt lượng khí nhận được; A là công do khí nhận được; A/ là công do khí thực hiện. Thay số: U = 330 – 83,1 = 246,9kJ Vì U > 0 nên nội năng của khí tăng một lượng bằng 246,9kJ. Bài 5. a) Công khí đã thực hiện và nhiệt lượng truyền cho khí 0 Ở điều kiện chuẩn: 1mol khí O2 ở nhiệt độ t0 = 0 C (273K), 5 áp suất p0 = 1,013.10 Pa, chiếm thể tích V0 = 22,4 lít. 10 0 Suy ra: 10 g (= mol) khí O2 ở nhiệt độ t0 = 0 C (273K), 32 5 / 10 10 Áp suất p0 = 1,013.10 Pa, chiếm thể tích là: V = V0 = .22,4 = 7 lít. 0 32 32 Gọi V1, p1, và T1 là thể tích, áp suất và nhiệt độ ban đầu của 10g khí ôxi. Theo p V/ p V phương trình trạng thái của khí lí tưởng: 0 0 = 1 1 T0 T1 p T 1,013.105 (15 273) V = 0 1 V/ = . .7 = 2,7 lít 1 0 5 p1 T0 2,77.10 273 / 5 3 Công khí đã thực hiện: A = p1(V2 – V1) = 2,77.10 (6 – 2,7).10 = 914,1J. Nhiệt lượng truyền cho khí: Q = cpm(T2 – T1) (1) V V 1 2 V2 Quá trình đẳng áp (1)–(2): = T2 = T1 (2) T T 1 2 V1 V V V Thay (2) vào (1) ta được: Q = c mT 2 T = c mT 2 1 p 1 1 p 1 V1 V1 6 2,7 Q = 0,9.103.10.10 3(15 273) = 3168J 2,7 Vậy: Công khí đã thực hiện là 914,1J và nhiệt lượng truyền cho khí là 3168J. c) Độ biến thiên nội năng của khí Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A U = 3168 – 914,1 = 2253,9J Vì U > 0 nên nội năng của khí tăng. Bài 6. 3 –3 Nhiệt lượng truyền cho khí: Q = cvm(t2 – t1) = 0,65.10 .160.10 .(60 – 50) = 1040J. Độ biến thiên nội năng của khí: Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A với: A/ = 0 (đẳng tích) nên U = Q = 1040J. Vì U > 0 nên nội năng của khí tăng. Bài 7. Độ biến thiên nội năng của khí: U = Q = cvm T (1) Áp dụng định luật Sác–lơ cho quá trình đẳng tích (1)–(2): 349
21. p1 p2 p2 = T2 = T1 = 5T1 T1 T2 p1 T = T2 – T1 = 4T1 (2) Thay (2) vào (1) ta được: U = Q = cvm.4T1 U = 0,74.103.14.10 3 .4.(27 + 273) = 12432J Vậy: Độ biến thiên nội năng của khí là 12432J. Bài 8. 3 3 Nội năng của khí đơn nguyên tử: U = nRT = pV (1) 2 2 3 Động năng trung bình của các phân tử khí: W = kT (2) đ 2 Áp suất của khí: p = n0kT (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: U = n V = 3.1024.5.10 21 .10.10 3 = 150J. 0 Wđ Vậy: Nội năng của khí trong bình là 150J. Bài 9. Áp dụng nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A/ Q = U + A/ (1) / m với:A = p(V2 – V1) = R T (2) μ 3 3 m U = nR T = . R T (3) 2 2 μ 3 m 5 m Thay (2) và (3) vào (1) ta được: Q = (1 + ) R T = . R T . 2 μ 2 μ 5 8 Q = . .8,31.100 = 4155J 2 4 Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí là 4155J. Bài 10. a) Nhiệt lượng khí tỏa ra trong quá trình nén đẳng nhiệt: Vì nén đẳng nhiệt nên U = 0. Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = 0 Q = –A. Nhiệt lượng khí tỏa ra: Q/ = –Q = A = –6750J. Vậy: Nhiệt lượng khí tỏa ra là –6750J. b) Nhiệt lượng khí hấp thụ trong quá trình hơ nóng đẳng áp 0 Ở điều kiện chuẩn, 1 mol khí nêon ở nhiệt độ t0 = 0 C (273K), 5 Áp suất p0 = 1,013.10 Pa, chiếm thể tích V0 = 22,4 lít. 40 0 Suy ra: 2 mol (= ) khí nêon ở nhiệt độ t0 = 0 C (273K), 20 5 / Áp suất p0 = 1,013.10 Pa, chiếm thể tích: V0 = 2V0 = 2.22,4 = 44,8 lít. 350
22. Gọi p1, V1 và T1 là áp suất, thể tích, và nhiệt độ ban đầu của 40 g khí nêon. Theo p V/ p V phương trình trạng thái của khí lí tưởng: 0 0 = 1 1 . T0 T1 V/ T 0 1 44,8 300 5 5 p 1 = . .p0 = . .1,013.10 = 8,31.10 Pa V1 T0 6 273 Gọi p2, V2 và T2 = T1 là áp suất, thể tích và nhiệt độ cuối quá trình nén đẳng nhiệt của 40g khí nêon. Áp dụng định luật Bôi–Mariốt: V1 5 5 p1V1 = p2V2 p2 = p1 p2 = 8,31.10 .4 = 33,24.10 Pa V2 Gọi p3 = p2, V3 = V1 và T3 là áp suất, thể tích và nhiệt độ cuối quá trình hơ nóng đẳng áp của 40g khí nêon. Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: U = Q + A = Q – A/. Q = U + A/ (1) 3 3 m 3 3 với: U = nR T = . R T = p2 V = p2(V3 – V2) 2 2 μ 2 2 3 U = p2(V1 – V2) (2) 2 / và A = p2(V3 – V2) = p2(V1 – V2) (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta được: 3 5 Q = p2(V1 – V2) + p2(V1 – V2) = p2(V1 – V2) 2 2 5 Q = .33,24.105.(6 – 1,5).10 3 = 37395J 2 Vậy: Nhiệt lượng khí hấp thụ trong quá trình hơ nóng đẳng áp là 37395J. c) Vẽ đồ thị biến đổi trạng thái khí trong hệ (V, T); (p, T); (p, V) 5 + Trạng thái 1: p1 = 8,31.10 Pa; V1 = 6 lít; T1 = 300K. 5 + Trạng thái 2: p2 = 4p1 = 33,24.10 Pa; V2 = 1,5 lít; T2 = T1 = 300K. 5 + Trạng thái 3: p3 = p2 = 4p1 = 33,24.10 Pa; V3 = V1 = 6 lít; T3 = ? V V Áp dụng định luật Gay–Luytxắc cho quá trình đẳng áp 2 3: 2 = 3 . T2 T3 V3 T3 = T2 = 4T2 = 4.300 = 1200K V2 V Ta có: 1 3 + Quá trình 1 2 là 6 đẳng nhiệt: Áp suất tăng, thể tích giảm. + Quá trình 2 3 là đẳng áp: Thể tích tăng, nhiệt độ tăng. 2 1,5 351 O 300 1200 T(K)