Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Khối đa diện - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Khối đa diện - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng A. 8a3 . B. 2a3 . C. a3 . D. 6a3 . Lời giải Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2 4 A. 4a3 B. a3 C. 2a3 D. a3 3 3 Lời giải 2 Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a nên có diện tích đáy: Sđáy a . Chiều cao h 2a . 1 1 2 Vậy thể tích khối chóp đã cho là V .S .h .a2.2a a3 . 3 đáy 3 3 Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 16 4 A. 4a 3 B. a 3 C. a3 D. 16a3 3 3 Lời giải 2 3 V Sday.h a .4a 4a . Câu 4: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 2 4 A. a3 B. a3 C. 2a3 D. 4a3 3 3 Lời giải 2 3 Ta có: Vlangtru Sday .h a .2a 2a . Câu 5: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tích khối chóp đã cho bằng 4 16 A. a3 . B. a3 . C. 4a3 . D. 16a3 . 3 3 Lời giải 1 1 4 Thể tích khối chóp: V B.h a2.4a a3 . 3 3 3 Câu 6: (Tham khảo 2018) Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là: 1 1 1 A. V Bh B. V Bh C. V Bh D. V Bh 3 6 2 Lời giải 1 Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là: V Bh 3 Câu 7: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S 4 3a2 B. S 3 a 2 C. I 2 3 a 2 D. I 8a2 Lời giải Bát diện đều có 8 mặt bằng nhau, mỗi mặt là một tam giác đều cạnh a
2. a2 3 Vậy S 8. 2 3a2. 4 Câu 8: (Đề tham khảo lần 2 2017) Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V B. V C. V D. V 6 12 2 4 Lời giải h a a3 3 a2 3 V h.S . S 4 4 Câu 9: (Đề tham khảo lần 2 2017) Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt? A. 6 B. 10 C. 12 D. 11 Lời giải Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy. Vậy có 11 mặt. Câu 10: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a 3 . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. 3a 3a 3a A. h B. h C. h D. h 3a 6 2 3 Lời giải 2a 2 3 Do đáy là tam giác đều cạnh 2a nên S a2 3 . ABC 4 3V 3a3 Mà 1 h 3a V S ABC .h 2 3 S ABC 3a Câu 11: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều. C. Hình lập phương. D. Lăng trụ lục giác đều. Lời giải Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục giác đều có tâm đối xứng. Còn tứ diện đều không có tâm đối xứng.
3. Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 4 2a3 8a3 8 2a3 2 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải S A D O B C SO  ABCD Gọi khối chóp tứ giác đều là S.ABCD , tâm O , khi đó . AB SA 2a Ta có: 2 1 S 2a 4a2 , OA 2a 2 a 2 . ABCD 2 2 SO SA2 OA2 2a 2 a 2 a 2 . 1 1 4 2 Vậy V SO.S a 2.4a2 a3 . SABCD 3 ABCD 3 3 Câu 2: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC 13a3 11a3 11a3 11a3 A. V .B. V . C. V . D. V . 12 12 6 4 Lời giải S A C O I B Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao của tam a2 a 3 2 2a 3 a 3 giác đáy. Theo định lý Pitago ta có AI a2 , và AO AI . 4 2 3 3.2 3 a2 11a Trong tam giác SOA vuông tại O ta có SO 4a2 3 3 1 1 a 3 11a 11a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V . a . . 3 2 2 3 12
4. Câu 3: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , B· AC 1200 . Mặt phẳng (AB C ) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a3 9a3 a3 3a3 A. V B. V C. V D. V 8 8 8 4 Lời giải Gọi H là trung điểm của B’C’ , khi đó góc giữa mp AB’C’ và đáy là góc A· HA’ 600 1 a2 3 Ta có S AC.AB.sin1200 ABC 2 4 2S a a 3 B’C’ a 3 A' H ABC AA'= B'C' 2 2 3a3 Vậy V S .AA' ACB 8 Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1 mặt phẳng B. 2 mặt phẳng C. 3 mặt phẳngD. 4 mặt phẳng Lời giải Hình lăng trụ tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh đáy và một mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên. Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA 4 , AB 6 , BC 10 và CA 8 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . A. V 24 B. V 32 C. V 192 D. V 40 Lời giải
5. S C A B 1 Ta có BC 2 AB2 AC 2 suy ra ABC vuông tại A . S 24 , V S .SA 32 ABC 3 ABC Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V B. V C. V D. V a3 6 3 2 Lời giải A' C' a B' a 2 A C B AC Tam giác ABC vuông cân tại B AB BC a . Suy ra: 2 1 1 a3 S a2 V BB .S a2 .a . ABC 2 ABC.A B C ABC 2 2 Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Mặt phẳng AB C chia khối lăng trụ ABC.A B C thành các khối đa diện nào? A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. B. Hai khối chóp tam giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Lời giải
6. Mặt phẳng AB C chia khối lăng trụ ABC.A B C thành hai khối chóp Chóp tam giác: A.A B C và chóp tứ giác: A.BB C C . Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 14a3 14a3 2a3 2a3 A. V B. V C. V D. V 6 2 6 2 Lời giải S A D I B C 2 a 2 a 14 2 2 2 Chiều cao của khối chóp: SI SA AI 4a 2 2 1 1 a 14 14a3 Thể tích khối chóp: V SI.S . a2 3 ABCD 3 2 6 Câu 9: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 mặt phẳng B. 4 mặt phẳng C. 6 mặt phẳng D. 9 mặt phẳng Lời giải
7. M A B Q R U V D N C B' A' P X W T S D' O C' Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A' B'C' D' có ba kích thước đôi một khác nhau. Khi đó có 3 mặt phẳng đối xứng là MNOP ,QRST ,UVWX. . Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 3 0 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 3 3 3 3 2a 2a 6a A. 2a B. C. D. 3 3 3 Lời giải S 300 A D B C 2 +) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: SABCD a · 0 +) Chứng minh được BC  SAB góc giữa SC và (SAB) là CSA 30 . 2 2 · 0 1 BC +) Đặt SA x SB x a . Tam giác SBC vuông tại B nên tanCSA tan 30 3 SB Ta được: SB BC 3 x2 a2 a 3 x a 2 . 1 1 2a3 Vậy V .SA.S .a 2.a2 (Đvtt) SABCD 3 ABCD 3 3 Câu 11: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
8. A. x 6 B. x 3 C. x 2 D. x 4 Lời giải Ta có : h x cm là đường cao hình hộp Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 2x cm 2 2 x 0 x 0 Vậy diện tích đáy hình hộp S 12 2x cm . Ta có: x 0;6 12 2x 0 x 6 Thể tích của hình hộp là: V S.h x. 12 2x 2 Xét hàm số: y x. 12 2x 2 x 0;6 Ta có : y ' 12 2x 2 4x 12 2x 12 2x 12 6x ; y ' 0 12 2x . 12 6x 0 x 2 hoặc x 6 (loại). x 0 2 6 y ' 0 y Suy ra với x 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y 2 128 . Câu 12: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính thể tích V của khối lập phươngABCD.A B C D , biết AC a 3 . 3 6a3 1 A. V a3 B. V C. V 3 3a3 D. V a3 4 3 Lời giải Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x; x 0 Xét tam giác A' B 'C ' vuông cân tại B ' ta có: A'C '2 A' B '2 B 'C '2 x2 x2 2x2 A'C ' x 2 Xét tam giác A' AC ' vuông tại A' ta có AC '2 A' A2 A'C '2 3a2 x2 2x2 x a Thể tích của khối lập phương ABCD.A B C D là V a3 .
9. Câu 13: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD 2a3 2a3 2a3 A. V B. V C. V 2a3 D. V 6 4 3 Lời giải S B A D C Ta có SA  ABCD SA là đường cao của hình chóp 1 1 a3 2 Thể tích khối chóp S.ABCD : V SA.S .a 2.a2 3 ABCD 3 3 Câu 14: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 6a3 6a3 3a3 A. V B. V 3a3 C. V D. V 18 3 3 Lời giải S A B D C Góc giữa SD và mp(SAB) là D¼SA 300 . AD Ta có SA a 3 tan 300 1 a3 3 V a2.a 3 . 3 3 Câu 15: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC 2 2 . Biết AC tạo với mặt phẳng ABC một góc 60 và AC 4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB C .
10. 8 16 8 3 16 3 A. V B. V C. V D. V 3 3 3 3 Lời giải B’ C’ A’ 4 2 3 B C 2 2 600 H A Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB C bằng thể tích khối của lăng trụ ABC.A B C trừ đi thể tích của khối chóp A.A B C . Giả sử đường cao của lăng trụ là C H . Khi đó góc giữa AC mặt phẳng ABC là góc C· AH 60. C H 1 2 Ta có: sin 60 C H 2 3; S 4 ; V C H .S 2 3. . 2 2 8 3 . AC ABC ABC .A B C ABC 2 1 1 8 3 8 3 16 3 V C H.S .V ; V V V 8 3 . A.A B C 3 ABC 3 ABC.A B C 3 ABB C C ABC.A B C A.A B C 3 3 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , B· AD 60 , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng a 21 a 15 a 21 a 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 3 3 Lời giải S S H B B C A C B C A D D A D K K a2 3 Cách 1 Diện tích hình thoi S . 2 a3 3 Thể tích hình chóp S.ABCD : V . 6 Ta có SD a 2 , AC a 3 , SC 2a . 3a a 2 Nửa chu vi SCD là p . SCD 2
11. a2 7 S p p a p 2a p a 2 SCD 4 1 a3 3 3. . 3V a 21 d B, SCD S.BCD 2 6 2 S SCD a 7 7 4 Cách 2 Ta có AB // CD AB // SCD , suy ra d B, SCD d A, SCD . Trong mặt phẳng ABCD , kẻ AK  CD tại K . Trong mặt phẳng SAK , kẻ AH  SK tại H . Suy ra AH  SCD d A, SCD AH . Tam giác SAK vuông tại A , AH là đường cao, suy sa: 1 1 1 4 1 7 a 21 a 3 AH , do AK . AH 2 AK 2 AS 2 3a2 a2 3a2 7 2 a 21 Vậy d B, SCD . 7 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA và BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A tại P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C B tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A MPB NQ bằng 1 1 2 A. 1. B. . C. .D. . 3 2 3 Lời giải A C M B I N P A C B Q Gọi I là trung điểm của CC , h là chiều cao của lăng trụ ABC.A B C 1 1 4 4 Ta có V .h.S .h.4S V . C.C PQ 3 C PQ 3 C A B 3 ABC.A B C 3 1 1 V V . MNI .A B C 2 ABC.A B C 2 1 h 1 1 V . .S V . C.MNI 3 2 MNI 6 ABC.A B C 6 2 Suy ra V V V V . A MPB NQ C.C PQ MNI .A B C C.MNI 3 Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng 7 11 2 5 A. B. C. D. 6 12 3 6
12. Lời giải S F E D A B C Ta có:ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân Dựa vào hình vẽ ta có : VABCDSEF VADF.BCE VS.CDFE VADF.BCE VB.CDFE 2VADF.BCE VBADE 1 1 1 1 1 5 V AB.S ;V AD.S V 2. Dựa vào hình vẽ ta ADF.BCE BCE 2 BADE 3 ABE 6 ABCDSEF 2 6 6 1 5 có V V V V V 2V V 1  ABCDSEF ADF.BCE S.CDFE ADF.BCE B.CDFE ADF.BCE BADE 6 6 Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông a 2 góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng . Tính thể tích của khối chóp 2 đã cho. a3 a3 3a3 A. B. C. a3 D. 2 3 9 Lời giải S H A B D C Ta có BC  AB,BC  SA BC  AH . Kẻ AH  SB AH  SBC . a 2 Suy ra d A; SBC AH . 2 1 1 1 Tam giác SAB vuông tại A có: SA a . AH 2 SA2 AB2
13. 1 a3 Vậy V SA.S . SABCD 3 ABCD 3 Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a ,  AD a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3a3 a3 A. V 3a3 B. V C. V a3 D. V 3 3 Lời giải S A a 60 B a 3 D C 2 Ta có SABCD 3a . SBC  ABCD BC · · ·  Vì BC  SB  SBC SBC , ABCD SBA . Vậy SBA 60 BC  AB  ABCD SA Xét tam giác vuông SAB Aˆ 1v có: tan 60 SA ABtan 60 a 3 AB 1 1 Vậy V S .SA a2 3.a 3 a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 6: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB 6a , AC 7a và AD 4a . Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB . Tính thể tích V của tứ diện AMNP . 7 28 A. V a3 B. V 14a3 C. V a3 D. V 7a3 2 3 Lời giải 1 1 1 Ta có V AB. AD.AC 6a.7a.4a 28a3 ABCD 3 2 6
14. 1 1 1 Ta nhận thấy S S S V V 7a3 MNP 2 MNPD 4 BCD AMNP 4 ABCD Câu 7: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối 4 chóp S.ABCD bằng a3 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD 3 2 4 8 3 A. h a B. h a C. h a D. h a 3 3 3 4 Lời giải Gọi I là trung điểm của AD . Tam giác SAD cân tại S SI  AD SI  AD Ta có SI  ABCD SAD  ABCD SI là đường cao của hình chóp. Theo giả thiết 1 4 1 V .SI.S a3 SI.2a2 SI 2a S.ABCD 3 ABCD 3 3 Vì AB song song với SCD d B, SCD d A, SCD 2d I, SCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD . SI  DC IH  SD Mặt khác IH  DC . Ta có IH  SCD d I, SCD IH ID  DC IH  DC 1 1 1 1 4 2a Xét tam giác SID vuông tại I : IH IH 2 SI 2 ID2 4a2 2a2 3 4 d B, SCD d A, SCD 2d I, SCD a . 3 Câu 8: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V là thể tích của khối đa V diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số . V V 1 V 1 V 2 V 5 A. . B. . C. . D. . V 2 V 4 V 3 V 8 Lời giải
15. A Q P B E F D M N C Cách 1. Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a . Hình đa diện cần tính có được bằng a cách cắt 4 góc của tứ diện, mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng . 2 V V Do đó thể tích phần cắt bỏ là V 4. . 8 2 3 1 1 (Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thì thể tích giảm ) 2 8 V V 1 Vậy V . 2 V 2 Cách 2. Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp 1 1 1 lại. Suy ra: V 2V 4.V 4.V 4. . V V N.MEPF N.MEP P.MNE 2 4 2 (Do chiều cao giảm một nửa, cạnh đáy giảm một nửa nên diện tích giảm 4 ) V ' V V V V V Cách 3. Ta có A.QEP B.QMF C.MNE D.NPF V V VA.QEP VB.QMF V V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C.MNE D.NPF 1 . . . . . . . . . V V V V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp A.GBC A. V 3 B. V 4 C. V 6 D. V 5 Lời giải A B D G C Cách 1:
16. Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp A.GBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có S BGC S BGD S CGD S BCD 3S BGC (xem phần chứng minh). Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: 1  1 V h.S h.S ABCD 3 BCD V BCD S 1 1 ABCD 3 BCD 3 V V .12 4 .  1 A.GBC ABCD 1 VA.GBC S GBC 3 3 V h.S h.S GBC A.GBC 3 GBC  3 Chứng minh: Đặt DN h; BC a . MF CM 1 1 h +) MF // ND MF DN MF . DN CD 2 2 2 GE BG 2 2 2 h h +) GE // MF GE MF . MF BM 3 3 3 2 3 1 1 S DN.BC ha +) BCD 2 2 3 S 3S S 1 1 h BCD GBC GBC GE.BC a 2 2 3 +) Chứng minh tương tự có S BCD 3S GBD 3S GCD S BGC S BGD S CGD Cách 2: d G; ABC GI 1 1 Ta có d G; ABC d D; ABC . d D; ABC DI 3 3 1 1 Nên VG.ABC d G; ABC .S ABC .VDABC 4 3 3
17. D G A C H1 H I B Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ ABC.A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C là trung điểm M của B C và 2 3 A M . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 2 3 A. 2 B. 1 C. 3 D. 3 Lời giải A C2 B2 C' A M M B' A' A' C1 H T H B1 T Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác A B1C1 có các cạnh A B1 1; A C1 3 ; B1C1 2 . Suy ra tam giác A B1C1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1. Gọi giao điểm của AM và A H là T . 2 3 1 Ta có: A M ; A H 1 MH . Suy ra M· A H 30. 3 3 A M 4 Do đó M· A A 60 AA . cos M· A A 3
18. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng thể tích khối lăng trụ A B1C1.AB2C2 và bằng 4 3 V AA .S  2 . A B1C1 3 2 Câu 2: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C ', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB' bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và CC' lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( A ' B 'C ') là trung điểm M của B 'C ' và A'M 2 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 2 3 A. 3 B. 2 C. D. 1 3 Lời giải Gọi A1,A2 lần lượt là hình chiếu của A trên BB', CC'. Theo đề ra AA1 1; AA2 3; A1A2 2. 2 2 2 Do AA1 AA2 A1A2 nên tam giác AA1A2 vuông tại A . A1 A2 Gọi H là trung điểm A1A2 thì AH 1. 2 2 2 Lại có MHPBB' MH (AA1A2) MH  AH suy ra MH AM AH 3 . MH 3 nên cos((ABC),(AA A )) cos(MH, AM) cos HMA . 1 2 AM 2 S AA1A2 Suy ra SABC 1. Thể tích lăng trụ là V AMSABC 2. cos((ABC),(AA1 A2 )) Nhận xét. Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu S ' S cos . Câu 3: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C là trung điểm M của B C và A M 5 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
19. 2 5 2 15 15 A. B. C. 5 D. 3 3 3 Lời giải Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC , H là hình chiếu vuông góc của C lên BB Ta có AJ  BB 1 . AK  CC AK  BB 2 . Từ 1 và 2 suy ra BB  AJK BB  JK JK //CH JK CH 5 . Xét AJK có JK 2 AJ 2 AK 2 5 suy ra AJK vuông tại A . 5 Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có AF JF FK . 2 Gọi N là trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: 5 AF 1 cos N· AF 2 N· AF 60 . ( AN AM 5 vì AN //AM và AN AM ). AN 5 2 1 1 S 1 Vậy ta có S AJ.AK .1.2 1 S S .cos60 S AJK 2 . AJK 2 2 AJK ABC ABC cos60 1 2 15 Xét tam giác AMA vuông tại M ta có M· AA ·AMF 30 hay AM A M.tan30 . 3 15 2 15 Vậy thể tích khối lăng trụ là V AM.S .2 . ABC 3 3 Câu 4: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là 5 , khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A 15 lên mặt phẳng A' B 'C ' là trung điểm M của B 'C ', A'M . Thể tích của khối lăng trụ đã 3 cho bằng 15 2 5 2 15 A. . B. . C. 5 .D. . 3 3 3 Lời giải
20. A B F I E C B' A' K M Kẻ AI  BB ', AK  CC ' ( hình vẽ ). Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 AI 1, AK 2 . 15 15 Gọi F là trung điểm của BC . A'M AF 3 3 AI  BB '  Ta có  BB '  AIK BB '  IK . BB '  AK  Vì CC ' PBB ' d(C, BB ') d(K, BB ') IK 5 AIK vuông tại A . Gọi E là trung điểm của IK EF PBB ' EF  AIK EF  AE . Lại có AM  ABC . Do đó góc giữa hai mặt phẳng ABC và AIK là góc giữa EF và 5 AE 3 AM bằng góc ·AME F· AE . Ta có cos F· AE 2 F· AE 30 . AF 15 2 3 Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng AIK là AIK nên ta có: 3 2 S S cos E· AF 1 S S . AIK ABC ABC 2 3 ABC 15 AF Xét AMF vuông tại A : tan ·AMF AM 3 AM 5 . AM 3 3 2 2 15 Vậy V 5. . ABC.A'B'C ' 3 3 Câu 5: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
21. A. V 144 B. V 576 C. V 576 2 D. V 144 6 Lời giải Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình chóp tứ giác đều lần lượt là x;h (x,h 0) . Ta có đáy x x2 là hình vuông với độ dài nửa đường chéo bằng suy ra độ dài cạnh bên l h2 . 2 2 2 2 x 2 h l Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R 2 9 x2 36h 2h2 . 2h 2h 1 1 Diện tích đáy của hình chóp S x2 nên V h.x2 h 36h 2h2 3 3 3 1 2 1 1 h h 36 2h Ta có h. 36h 2h .h.h 36 2h . 576 V 576 , dấu bằng xảy 3 3 3 3 ra khi h h 36 2h h 12, x 12 vậy Vmax 576 . Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 3 2 1 2 A. cos B. cos C. cos D. cos 3 3 3 2 Lời giải S H A C I B Đặt AB AC x, x 0 . Ta có BC AB2 AC 2 2x Gọi I là trung điểm của AB , hạ AH  SI tại H · Ta có góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là SIA góc nhọn. BC  AI Ta có BC  SAI BC  AH AH  SBC BC  SA Từ đó AH  SBC d A, SBC AH 3 HI 2x Xét tam giác AHI vuông tại H ta có cos HI cos AI 2
22. x2 x2 3 2 2x 3 Ta có AH 2 AI 2 HI 2 9 cos2 x , AI 2 2 sin 2 sin 1 1 1 1 1 sin2 cos2 Xét tam giác SAI vuông tại A ta có AH 2 AI 2 SA2 SA2 9 9 9 3 1 1 3 1 18 9 SA . Vậy VSABC SA.SABC . cos 3 3 cos 2 sin2 cos 1 cos2 1 Đặt cos t,t 0;1 ta có f t t 1 t2 3 3 2 t t t 1 3t ; 3 f t 2 2 f t 0 t t3 t t3 3 t 3 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất khi cos 3 Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x 3 2 B. x 6 C. x 2 3 D. x 14 Lời giải A 2 3 N x 2 3 2 3 B C 2 3 M 2 3 D Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB . CD  MB  CD  MN Ta có  CD  MAB . CD  MA CD  AB Tam giác MAB cân tại M nên MN  AB .
23. 1 1 V AB.CD.d AB,CD .sin AB,CD x.2 3.MN.sin 90 ABCD 6 6 2 x2 36 x2 1 2 x 3 2 3 x.2 3. 3 x. 36 x . 3 3 . 6 2 6 6 2 Dấu " " xảy ra x 36 x2 x 3 2 . Vậy với x 3 2 thì VABCD đạt giá trị lớn nhất bằng 3 3 . Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng ( M N E ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V . Tính V . 13 2a3 7 2a3 2a3 11 2a3 A. B. C. D. 216 216 18 216 Lời giải Tính thể tích T có khối tứ diện ABCD. Gọi F là trung điểm BC và H trọng tâm tam giác BCD . a 3 2 a 2 Ta có BF và BH BF suy ra BH AB2 BH 2 a . 2 3 3 3 1 1 2 a2 3 a3 2 Thể tích tứ diện ABCD là T AH.S a 3 BCD 3 3 4 12 Gọi diện tích một mặt của tứ diện làS. Gọi P là giao điểm của NE và CD , tương tự cho Q . 1 1 Ta thấy P,Q lần lượt là trọng tâm các tam giác BEC và BEA nên PD DC ,QD AD 3 3 Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có: V V 1 B.ACE nên V 2T; E.BMN nên 1 T . 2 B.ACE V E.BMN .2T VB.ACD VE.BAC 4 4 2 T 3 Nên V V V 2T T . E.AMNC E.ABC B.EMN 2 2 V Tương tự: E.DPQ 1 nên 1 . Nên 1 8 V E.DPQ T V ACPQ T T T VE.DCA 9 9 9 9 3 8 11 11a3 2 Suy ra V V V T T T E.AMNC E.ACPQ 2 9 18 216
24. Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . X 125 1 2 B. A. V1 25 5 2 2 . 6 V . 12 125 5 4 2 125 2 2 C. V . D. V . 24 4 Y Lời giải Cách 1 : X Y Khối tròn xoay gồm 3 phần: 2 5 5 125 Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng có thể tích V1 5 2 2 4 5 2 Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 1 5 2 5 2 125 2 V 2 3 2 2 12 Phần 3: khối nón cụt có thể tích là 2 1 5 2 1 5 2 5 2 5 2 5 125 2 2 1 V3 . 3 2 2 2 2 2 24 Vậy thể tích khối tròn xoay là 125 125 2 125 2 2 1 125 5 4 2 V V V V . 1 2 3 4 12 24 24 Cách 2 :
25. 125 Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là : V R 2 h T 4 2 125 2 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là : V R2h 2N 3 6 1 125 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là : V R 2h N 3 24 5 4 2 Thể tích cần tìm V V V V 125 . T 2N N 24 Câu 5. [MH-2020] Cho khối lập phương có cạnh bằng 6 . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng A. 216 . B. 18. C. 36 . D. 72 . Lời giải Chọn A. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 6 là V 63 216 . Câu 26. [MH-2020] Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , BD a 3 và AA 4a (minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 2 3a3 4 3a3 A. 2 3a3 . B. 4 3a3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A.
26. BD a 3 Gọi I AC  BD . Ta có: AC  BD, BI . Xét tam giác vuông BAI vuông tại I : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 3 2 3a a a AI BA BI a a AI AC a. 2 4 4 2 1 1 a 3 a2 3 Diện tích hình bình hành ABCD : S 2S 2. BI.AC 2. .a . ABCD ABC 2 2 2 2 a2 3 Vậy: V S .AA .4a 2 3a3. ABCD.A B C D ABCD 2 Câu 49. [MH-2020] Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a , S· BA S· CA 900 , góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng 600 . Thể tích của khối đã cho bằng a3 a3 a3 A. a3 . B. . C. . D. . 3 2 6 Lời giải Chọn D. S I A C a a 2 B Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau chung cạnh huyền SA . Kẻ BI vuông góc với SA suy ra CI cũng vuông góc với SA và IB IC . SA  IC, SA  IB SA  IBC tại I . 1 1 1 1 V V V S AI S SI S AI SI S SA. S.ABC A.IBC S.IBC 3 IBC 3 IBC 3 IBC 3 IBC SAB , SAC IB, IC IB, IC 600 B· IC 600 hoặc B· IC 1200 .
27. Ta có IC IB AB a mà BC a 2 nên tam giác IBC không thể đều suy ra B· IC 1200 . Trong tam giác IBC đặt IB IC x x 0 có: 2 2 IB2 IC 2 BC 2 1 2x a 2 a 6 a 6 cos1200 x IB IC . 2IB.IC 2 2x2 3 3 2 2 2 2 a 6 a 3 Trong tam giác ABI vuông tại I có: AI AB IB a . 3 3 AB2 a2 Trong tam giác SAB vuông tại B đường cao BI có: AB2 IA.SA SA a 3 . IA a 3 3 2 1 1 1 1 a 6 a3 Vậy V S SA IB.IC.SAsin B· IC a 3 sin1200 . S.ABC IBC 3 3 2 6 3 6