Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Khối tròn xoay - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Khối tròn xoay - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Thể tích khối cầu bán kính a bằng 4 a3 a3 A. . B. 4 a3 . C. . D. 2 a3 . 3 3 Lời giải Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng: 4 A. R2 B. 2 R2 C. 4 R2 D. R2 3 Lời giải Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h bằng 1 4 A. r 2 h B. 2 rh C. r 2h D. r 2 h 3 3 Lời giải 2 Vtru r h . Câu 4: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l bằng 4 A. rl B. 4 rl C. 2 rl D. rl 3 Lời giải Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: Sxq 2 rl . Câu 5: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Thể tích của khối cầu bán kính R bằng 4 3 A. R3 . B. 4 R3 . C. 2 R3 . D. R3 . 3 4 Lời giải Câu 6: (Tham khảo 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a2 và có bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: 3a A. 2 2a B. 3a C. 2a D. 2 Lời giải 2 Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl với r a .a.l 3 a l 3a . Câu 7: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tại A , AB a và AC a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB . A. l a B. l a 2 C. l a 3 D. l 2a Lời giải
2. B A C Xét tam giác ABC vuông tại A ta có BC 2 AC 2 AB2 4a2 BC 2a Đường sinh của hình nón cũng chính là cạnh huyền của tam giác l BC 2a Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng 3 a3 3 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Lời giải 2 2 l 2a Ta có chiều cao của khối nón bằng h l r với . Suy ra h a 3 . r a 1 1 a3 3 Vậy thể tích khối nón là V r 2h a2a 3 . 3 3 3 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1 , H2 xếp chồng lên 1 nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r , h , r , h thỏa mãn r r , 1 1 2 2 2 2 1 3 h2 2h1 . Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30 (cm ) , thể tích khối trụ H1 bằng A. 24 cm3 . B. 15 cm3 .C. 20 cm3 . D. 10 cm3 . Lời giải 2 Thể tích của khối trụ H1 là V1 r1 h1 2 2 1 1 Thể tích của khối trụ H2 là V2 r2 h2 , suy ra V2 r1 .2h1 V1 2 2 3 3 Theo bài ra ta có có V1 V2 30 cm 3V2 30 cm 3 3 Do đó ta có thể tích hai khối trụ lần lượt là V1 20 cm , V2 10 cm Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính đáy 1 mm. Giả định 1 m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá 8a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
3. A. 9,7a (đồng)B. 97,03a (đồng)C. 90,7a (đồng)D. 9,07a (đồng) Lời giải 2 3 Diện tích của khối lăng trụ lục giác đều là 3 ( m2 ) S 6. 3.10 . 4 2 3 Thể tích của chiếc bút chì là: 3 3 7 ( m3 ). V S.h 6. 3.10 . .200.10 27 3.10 4 2 3 2 3 7 3 Thể tích của phần lõi bút chì là V1 r h . 10 .200.10 2 .10 ( m ). 7 3 Suy ra thể tích phần thân bút chì là V2 V V1 27 3 2 .10 ( m ). Giá nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên là: 6 6 7 6 7 6 V2.a.10 V1.8a.10 27 3 2 .10 .a.10 2 .10 .8a.10 2,7 3 1,4 a ; 9,07a (đồng). Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3 mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 mm. Giả định 1m 3 gỗ có giá a (triệu đồng). 1m 3 than chì có giá 9a(triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 97,03a đồngB. 10,33a đồngC. 9, 7 a đồngD. 103,3a đồng Lời giải 3mm 0, 003m; 200mm 0, 2m;1mm 0, 001m 2 6 2 Diện tích đáy của phần than chì: S1 r .10 (m ) 32 3 27 3 S 6S S 6. .10 6 .10 6(m2) Diện tích đáy phần bút bằng gỗ: 2 OAB 1 4 2 2 6 3 Thể tích than chì cần dùng: V1 S1.h r 0,2 0,2 .10 (m ) 27 3 V S .h .0,2.10 6(m3) Thể tích gỗ làm bút chì: 2 2 2 Tiền làm một cây bút: 27 3 V .9a V .a 9V V a 9.0,2 .10 6 .0,2.10 6 a 9,7a (đồng) 1 2 1 2 2 Câu 5: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm . Giã định 1 m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá 7a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 85,5.a (đồng)B. 9,07.a (đồng)C. 8,45.a (đồng)D. 90,07.a (đồng) Lời giải 2 7 3 Thể tích phần lõi than chì: V1 .0,001 .0,2 2 .10 m . 7 6 Số tiền làm lõi than chì T1 (2 .10 )7a.10 1,4 a (đồng). Thể tích phần thân bằng gỗ của bút
4. (0,003)2 3 V 6. .0,2 2 .10 7 3.27.10 7 2 .10 7 m3 . 2 4 Số tiền làm phần thân bằng gỗ của bút T 27 3.10 7 .2.10 7 a.106 2,7 3 .0,2 a (đồng). 2 Vậy giá vật liệu làm bút chì là: T T1 T2 8,45.a (đồng). Câu 6: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình nón có bán kính đáy r 3 và độ dài đường sinh l 4 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. A. Sxq 12 B. Sxq 4 3 C. Sxq 39 D. Sxq 8 3 Lời giải Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq rl 4 3 . Câu 7: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 3a , BC 4a , SA 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 5a 17a 13a A. R B. R C. R D. R 6a 2 2 2 Lời giải S 12a I A D 3a O B 4a C Ta có: AC AB2 BC 2 5a Vì SA  AC nên SC SA2 AC 2 13a BC  AB Nhận thấy: BC  SB .Tương tự:CD  SD BC  SA Do các điểm A, B, D đều nhìn đoạn thẳng SC dưới một góc vuông nên gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SC thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . SC 13a Vậy R . 2 2 Câu 8: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho mặt cầu S tâm O , bán kính R 3. Mặt phẳng P cách O một khoảng bằng 1 và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C có tâm H . Gọi T là giao điểm của tia HO với S , tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn C . 32 16 A. V B. V 16 C. V D. V 32 3 3 Lời giải
5. T R=3 O 1 H (C) Gọi r là bán kính đường tròn C thì r là bán kính đáy của hình nón a có: r 2 R2 OH 2 8 . HT HO OT 1 3 4 h là chiều cao của hình nón 1 1 32 Suy ra: V .h.S .4. .8 no´n 3 C 3 3 Câu 9: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD , AB 5a , BC 3a và CD 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R B. R C. R D. R 3 3 2 2 Lời giải Tam giác BCD vuông tại C nên áp dụng định lí Pitago, ta được BD 5a . Tam giác ABD vuông tại B nên áp dụng định lí Pitago, ta được AD 5a 2. Vì B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là AD 5a 2 trung điểm I của AD . Bán kính mặt cầu này là: R . 2 2 Câu 10: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy. 5 2 5 2 A. r B. r 5 C. r D. r 5 2 2 Lời giải
6. Diện tích xung quanh của hình trụ: 2 rl ( l : độ dài đường sinh) Có l 2r 5 2 S 2 rl 2 rl 50 2 r2r 50 r xq 2 Câu 11: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và · o ACB 30 . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC . 3 a3 3 a3 A. V a3 B. V 3 a3 C. V D. V 9 3 Lời giải 1 a3 3 Ta có AC AB.cot 30o a 3 . Vậy thể tích khối nón là : V a2 .a 3 . 3 3 Câu 12: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h 4 . Tính thể tích V của khối nón: 16 3 A. V 16 3 B. V C. V 12 D. V 4 3 Lời giải 1 2 Ta có V 3 .4 4 . 3 Câu 13: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 3R 3R A. a B. a 2R C. a 2 3R D. a 3 3 Lời giải A' B' D' C' O A B D C
7. Nối AC  A C O . Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương do đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính mặt cầu: AC AA 2 AD2 AB2 a 3 2R 2 3R R OA a 2 2 2 3 3 Câu 14: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD , AB 5a , BC 3a và CD 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R B. R C. R D. R 3 3 2 2 Lời giải Tam giác BCD vuông tại C nên áp dụng định lí Pitago, ta được BD 5a . Tam giác ABD vuông tại B nên áp dụng định lí Pitago, ta được AD 5a 2. Vì B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là AD 5a 2 trung điểm I của AD . Bán kính mặt cầu này là: R . 2 2 Câu 15: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Hình nón N có đỉnh A có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính diện tích xung quanh Sxq của N 2 2 2 2 A. Sxq 3 3 a B. Sxq 6 3 a C. Sxq 12 a D. Sxq 6 a Lời giải A B O M D C Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . 3a 3 2 2 3a 3 Ta có BM ; r BM . a 3 . 2 3 3 2
8. 2 Sxq rl r.AB a 3.3a 3 3. a . Câu 16: Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2 a. A. 100 B. R 2 3a C. R 3a D. R a Lời giải AC Đường chéo của hình lập phương: AC 2 3a. Bán kính R a 3 . 2 Câu 17: Tính thể tích V của khối trụ có bán kính r 4 và chiều cao h 4 2 . A. V 32 B. V 64 2 C. V 128 D. V 32 2 Lời giải V r2h 16.4 2 64 2 Câu 18: Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó cạnh đều bằng a 2. Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD 2 a3 a3 a3 2 a3 A. V B. V C. V D. V 2 2 6 6 Lời giải AC 2 2 Gọi O AC  BD SO  ABCD . Lại có OC a SO SA OC a . 2 2 AB a 1 a a3 Bán kính r . Suy thể tích khối nón là: V .a . 2 2 3 2 6 Câu 19: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 và AD 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
9. A. Stp 4 B. Stp 2 C. Stp 6 D. Stp 10 Lời giải AD Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN nên hình trụ có bán kính r AM 1 2 2 Vậy diện tích toàn phần của hình trụ Stp 2 r.AB 2 r 2 2 4 Câu 20: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a2 và bán kính đáy bằng a . Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho. 5a 3a A. l . B. l 2 2a . C. l .D. l 3a . 2 2 Lời giải 2 Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq rl al 3 a l 3a . Câu 21: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a . a3 a3 a3 A. V B. V a3 C. V D. V 4 6 2 Lời giải AC a 2 Bán kính đường tròn đáy là R ; chiều cao h a . 2 2 a2 a3 Vậy thể tích khối trụ là: V R2h . .a . 2 2 Câu 22: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho khối N có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính thể tích V của khối nón N A. V 12 . B. V 20 . C. V 36 . D. V 60 . Lời giải Ta có Sxq 15 rl 15 l 5 h 4. 1 Vậy V r 2 h 12 . 3
10. Câu 23: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD 2a và AA 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C . 3a 3a A. R 3a B. R C. R D. R 2a 4 2 Lời giải A' D' B' C' 2a A 2a D a B C Ta có ·AB C ·ABC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C có đường kính AC . Do đó 1 2 2 3a bán kính là R a 2 2a 2a . 2 2 Câu 1: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm . Giả định 1 m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng. Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 84,5.a đồng. B. 78,2.a đồng. C. 8,45.a đồng.D. 7,82.a đồng. Lời giải a 1 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy ra 1 mm3 gỗ có giá đồng. 1000
11. 6a 1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1 mm3 than chì có giá đồng. 1000 2 3 Phần chì của cái bút có thể tích bằng V1 200. .1 200 mm . 2 3 3 3 Phần gỗ của của bút chì có thể tích bằng V2 200.6. 200 2700 3 200 mm . 4 6a.V a.V Số tiền làm một chiếc bút chì là 1 2 7,82a đồng. 1000 Câu 2: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có tâm I 1;2;1 và đi qua điểm A 1;0; 1 . Xét các điểm B,C, D thuộc S sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng 64 32 A. . B. 32 . C. 64 .D. 3 3 Lời giải D N I A C M B Mặt cầu S có bán kính r IA 4 4 4 2 3. Đặt AB a; AC b; AD c a2 b2 c2 Ta có IA2 4 a2 b2 c2 Do đó 12 4 a2 b2 c2 33 a2b2c2 Theo BĐT Cô-si ta có: 4 4 1 1 32 Do đó V abc 163 . 6 6 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . 16 2 16 3 A. S B. S 8 2 C. S D. S 8 3 xq 3 xq xq 3 xq
12. Lời giải Bán kính đường tròn đáy hình trụ bằng một phần ba đường cao tam giác BCD nên 1 4 3 2 3 r . 3 2 3 2 2 4 3 16.3 4 2 Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình chóp: 2 h 4 . 16 3 2 9 3 2 3 4 2 16 2 S 2 rh 2 . . xq 3 3 3 Câu 4: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AD 8, CD 6 , AC 12. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và A B C D . A. Stp 576 . B. Stp 10 2 11 5 . B. Stp 26 . D. Stp 5 4 11 4 . Lời giải A¢ B¢ D¢ C¢ 8 12 6 A B D C Ta có: A C AD2 CD2 10 , AA AC 2 A C 2 2 11. 1 Hình trụ có : bán kính đáy R A C 5 , đường sinh, chiều cao l h A A 2 11 . 2 2 Stp 2 Rl 2 R 10 2 11 5 . Câu 5: (Đề minh họa lần 1 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):. Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệuV1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò V được theo cách 2. Tính tỉ số 1 . V2
13. V 1 V V V A. 1 B. 1 1 C. 1 2 D. 1 4 V2 2 V2 V2 V2 Lời giải R Ban đầu bán kính đáy là R , sau khi cắt tấm tôn bán kính đáy là 2 Đường cao của các khối trụ là không đổi 2 2 2 R R V1 Ta có V1 h R , V2 2.h h . Vậy tỉ số 2 2 2 V2 Câu 6: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15 5 15 4 3 5 A. V B. V C. V D. V 18 54 27 3 Lời giải Gọi H là trung điểm của AB Vì SAB đều nên SH  AB Mà SAB  ABC SH  ABC SH là đường cao của hình chóp S.ABC Gọi G là trọng tâm của ABC G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH d  ABC Gọi K là trung điểm của SC , vì SHC vuông cân tại H SH HC HK là đường trung trực ứng với SC . IA IB IC Gọi I d  HK ta có IA IB IC IS IS IC
14. I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Xét hai tam giác đều ABC SAB có độ dài các cạnh bằng 1. 2 3 G là trọng tâm ABC CG CH . 3 3 3 15 Xét HIG vuông tại G ta có IG HG IC 6 6 3 4 3 4 15 5 15 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp V IC . 3 3 6 54 Cách 2: 3 R ,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ABC R R b d b d 3 GT 2 15 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là R R2 R2 R b d 4 6 4 5 15 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp V R3 . 3 54 Câu 7: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a, cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 25a A. R 3a . B. R 2a .C. R . D. R 2a . 8 Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD , G là trung điểm SD , GI  SD, I SO . Ta có cạnh đáy bằng 3 2a nên BD 3 2a. 2 6a , OD 3a . Xét SOD vuông tại O ta có: SO SD2 OD2 4a SO SD 1 2 25a Ta có SOD : SGI (g-g), suy ra 4a.R 5a R SG SI 2 8 Câu 8: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. 2 2 a h a h 2 2 A. V .B. V . C. V 3 a h . D. V a h . 9 3 Lời giải
15. Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ. 3a Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . 3 2 3a a 2 h Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là V h.S h. . (đvtt). 3 3 Câu 1: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hình nón N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng qua trục của N cắt N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 . Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi N . A. V 3 3 B. V 9 3 C. V 3 D. V 9 Lời giải · Hình nón N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 nên SAH 60 ¶ Ta có SAB cân tại S có A 60 nên SAB đều. Do đó tâm I của đường tròn nội tiếp SAB cũng là trọng tâm của SAB . AB 3 Suy ra SH 3IH 3.Mặt khác SH AB 2 3 R 3 S R2 3 . 2 Đáy 1 1 Do đó V SH.S 3.3 3 . 3 Đáy 3 Câu 2: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho mặt cầu S có bán kính bằng 4 , hình trụ H có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên S . Gọi V1 là thể tích của khối trụ H và V2 là thể V tích của khối cầu S . Tính tỉ số 1 V2
16. V 3 V 9 V 2 V 1 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 16 V2 16 V2 3 V2 3 Lời giải 2 2 2 Ta có r 4 2 2 3 . Thể tích của khối trụ H là V1 r h .12.4 48 . 4 3 4 3 256 V1 9 Thể tích của khối cầu S là V2 R .4 . Vậy . 3 3 3 V2 16 Câu 3: Cho một hình nón có chiều cao h a và bán kính đáy r 2a . Mặt phẳng ( P ) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3a. Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến ( P ) . 2a 3a 5a A. d B. d a C. d D. d 2 2 5 Lời giải Có P  SAB . Ta có SO a h,OA OB r 2a, AB 2a 3 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là trung điểm AB , gọi H là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; SAB OH . Ta tính được OM OA2 MA2 a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra H là SM a 2 trung điểm của SM nên OH 2 2 Câu 4: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho mặt cầu tâm O bán kính R . Xét mặt phẳng P thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn C . Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn C và có chiều cao h h R . Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi N có giá trị lớn nhất.
17. 4R 3R A. h 3R B. h 2R C. h D. h 3 2 Lời giải Cách 1: Gọi I là tâm mặt cầu và H , r là tâm và bán kính của C . Ta có IH h R và r 2 R2 IH 2 R2 h R 2 2Rh h2. 1 Thể tích khối nón V h r 2 h 2Rh h2 . 3 3 3 3 3 h h 4R 2h 4R 2 1 4R Ta có hh 4R 2h h 2R h . 3 3 2 3 4R Do đó V lớn nhất khi h 4R 2h h . 3 Cách 2: Gọi I là tâm mặt cầu và H , r là tâm và bán kính của C . Ta có IH h R và r 2 R2 IH 2 R2 h R 2 2Rh h2. 1 Thể tích khối nón V h r 2 h 2Rh h2 . 2h2 R h3 3 3 3 Xét hàm f h h3 2h2 R, h R,2R , có f h 3h2 4hR . 4R f h 0 3h2 4hR 0 h 0 hoặc h . 3 Bảng biến thiên
18. 32 4R max f h R3 , tại h . Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi N có giá trị lớn nhất 27 3 1 32 32 4R là V R3 R3 khi h . 3 27 81 3 Câu 3. [MH-2020] Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng 1 A. 4 rl . B. 2 rl . C. rl . D. rl . 3 Lời giải Chọn C. Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón. Câu 22. [MH-2020] Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 18 . B. 36 . C. 54 . D. 27 . Lời giải Chọn B. Giả sử thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABCD . Theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ r 3 h AD DC 2r 6 l . Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 rl 2 .3.6 36 . Câu 40. [MH-2020] Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9 3 . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng 32 5 A. . B. 32 . C. 32 5 . D. 96 . 3 Lời giải Chọn A.
19. Theo giả thiết tam giác SAB đều, S SAB 9 3 và SO 2 5 . AB2 3 S 9 3 9 3 AB 6 . SAB 4 SAB đều SA AB 6 . 2 Xét SOA vuông tại O , theo định lý Pytago ta có: OA SA2 SO2 62 2 5 4 . 1 1 1 32 5 Thể tích hình nón bằng V r 2h .OA2.SO 42.2 5 . 3 3 3 3