Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Quan hệ vuông góc - Năm học 2018-2019 (Có lời giải)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Quan hệ vuông góc - Năm học 2018-2019 (Có lời giải)

1. Câu 1: (Tham khảo 2018) Cho lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ bên ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C bằng 3a A. 3a B. a C. D. 2a 2 Lời giải Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và A C bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song ABCD và A B C D thứ tự chứa BD và A C . Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C bằng a . Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 60 B. 90 C. 30 D. 45 Lời giải S D A B C Do SA  ABCD nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc S· BA. AB 1 Ta có cos S· BA S· BA 60 . SB 2 Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60 . Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. B. C. D. 5 3 3 5 Lời giải
2. S 2a H A C a B BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Kẻ AH  SB . Khi đó AH  BC AH  SBC AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . 1 1 1 1 1 5 4a2 2 5a Ta có AH 2 AH . AH 2 SA2 AB2 4a2 a2 4a2 5 5 Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C , AC a, BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 60 B. 90 C. 30 D. 45 Lời giải Có SA  ABC nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABC . S·B, ABC S·B, AB S· BA . Mặt khác có ABC vuông tại C nên AB AC2 BC2 a 3 . SA 1 Khi đó tan S· BA nên S·B, ABC 30 . AB 3 Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 5a 3a 6a 3a A. B. C. D. 3 2 6 3
3. Lời giải BC  AB Ta có: BC  SAB BC  SA SAB  SBC SAB  SBC SB Trong mặt phẳng SAB : Kẻ AH  SB AH d A; SBC 1 1 1 1 1 4 . AH 2 SA2 AB 2 a 2 3a 2 3a2 3a d A; SBC AH . 2 Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB a và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 600 B. 450 C. 300 D.900 Lời giải. S 2a a A B C Ta có SA  ABC tại A nên AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là S· BA. AB 1 Tam giác SAB vuông tại A nên cos S· BA S· BA 600 SB 2 Câu 7: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C,BC a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2a a 3a A. 2a B. C. D. 2 2 2 Lời giải
4. S // a H // B A a a C BC  AC Vì BC  SAC BC  SA Khi đó SBC  SAC theo giao tuyến là SC . Trong SAC , kẻ AH  SC tại H suy ra AH  SBC tại H . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng AH . Ta có AC BC a , SA a nên tam giác SAC vuông cân tại A . 1 1 Suy ra AH SC a 2 . 2 2 3V 3V Cách 2: Ta có d A, SBC A.SBC S.ABC . S SBC S SBC BC  AC Vì BC  SC nên tam giác SBC vuông tạiC . BC  SA 1 1 3. SA. CA2 3V 3V a 2 Suy ra d A, SBC A.SBC S.ABC 3 2 S S 1 2 SBC SBC SC.BC 2 Câu 8: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45. B. 60 . C. 30 .D. 90 . Lời giải S D A B C Do SA  ABCD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc S· CA . SA Ta có SA 2a , AC 2a tan S· CA 1 S· CA 45 . AC Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45.
5. Câu 9: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a a 6 a 2 A. .B. a . C. .D. . 2 3 2 Lời giải S H A C B Kẻ AH  SB trong mặt phẳng SBC BC  AB Ta có: BC  SAB BC  AH BC  SA AH  BC 1 a 2 Vậy AH  SBC d A, SBC AH SB . AH  SB 2 2 Câu 10: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng a 30 4 21a 2 21a a 30 A. .B. .C. . D. . 6 21 21 12 Lời giải S M D A O B C Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có: SC// BMD . Do đó d SC, BD d SC, BMD d S, BMD d A, BMD h Ta có: AM , AB, AD đôi một vuông góc nên
6. 1 1 1 1 4 1 1 h2 AM 2 AB2 AD2 a2 a2 4a2 2a 21 Suy ra: h . 21 Câu 11: (Tham khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng S M A D B C 2 3 2 1 A. B. C. D. 2 3 3 3 Lời giải S M A D H O B C a2 a 2 Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có SO  ABCD và SO a2 2 2 Gọi M là trung điểm của OD ta có MH / /SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng 1 a 2 ABCD và MH SO . 2 4 Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là M· BH . a 2 MH 1 Khi đó ta có tan M· BH 4 . BH 3a 2 3 4 1 Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng 3 Câu 12: (Tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng
7. A. 900 B. 300 C. 600 D. 450 Lời giải Đặt OA a suy ra OB OC a và AB BC AC a 2 a 2 Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN 2 Suy ra góc ·OM , AB ·OM , MN . Xét O· MN a 2 Trong tam giác OMN có ON OM MN nên OMN là tam giác đều 2 Suy ra O· MN 600 . Vậy ·OM , AB ·OM , MN 600 Câu 13: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai mặt phẳng A B CD và ABC D bằng A. 30 . B. 60 . C. 45.D. 90 . Lời giải A B D C I J O A B D C Ta có: CD  ADD A CD  A D A D  AD AD  A B CD CD  AD Mà AD  ABC D ABC D  A B CD Do đó: góc giữa hai mặt phẳng A B CD và ABC D bằng 90 .
8. Câu 14: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ình chữ nhật, AB a, BC 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 6a 2a a a A. B. C. D. 2 3 2 3 Lời giải S H K A B O x D C Từ B kẻ Bx//AC AC// SB, Bx Suy ra d AC, SB d AC, SB, Bx d A, SB, Bx Từ A kẻ AK  Bx K Bx và AH  SK AK  Bx Do Bx  SAK Bx  AH SA  Bx Nên AH  SB, Bx d A, SB, Bx AH Ta có BKA đồng dạng với ABC vì hai tam giác vuông có K· BA B· AC (so le trong AK AB AB.CB a.2a 2 5a Suy ra AK . CB CA CA a 5 5 1 1 1 1 5 9 2a Trong tam giác SAK có AH . AH 2 AS 2 AK 2 a2 4a2 4a2 3 2a Vậy d AC, SB . 3 Câu 15: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A B C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ).
9. B C N J A D O H M K B' C' L A' I D' Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D ) và (MAB) bằng 6 85 7 85 17 13 6 13 A. B. C. D. 85 85 65 65 Lời giải B C N J A D O H M K B' C' L A' I D' Giao tuyến của (MAB) và (MC D ) là đường thẳng KH như hình vẽ. Gọi J là tâm hình vuông ABCD . L, N lần lượt là trung điểm của C D và AB . Ta có: C D  (LIM ) C D  LM LM  KH . Tương tự AB  (NJM ) AB  MN MN  KH . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ) chính là góc giữa 2 đường thẳng (MN, ML) . 10 34 Gọi cạnh hình lập phương là 1 . Ta có LM , MN , NL 2 . 6 6
10. MN 2 ML2 NL2 7 85 Ta có: cos L· MN . 2MN.ML 85 7 85 Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ) là . 85 Câu 16: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, và OA OB a , OC 2a . Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng 2a 2 5a 2a A. B. C. D. 2 a 3 5 2 3 Lời giải A M H C O N B Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN //AC AC// OMN d OM; AC d C; OMN d B; OMN . 1 1 1 V . a.a.2a a3 . A.OBC 3 2 3 d M ; ABC VM .OBC SOBN 1 1 1 1 3 . . VM .OBC a . VA.OBC d A; ABC SOBC 2 2 4 12 1 2 Xét tam giác vuông cân AOB : OM AB a . 2 2 1 1 2 5 Xét tam giác vuông BOC : ON BC 2a a2 a . 2 2 2 1 1 2 5 Xét tam giác BAC : MN AC a2 2a a . 2 2 2 3 2 Trong tam giác cân OMN , gọi H là trung điểm của OM ta có NH NM 2 HM 2 a. 4 1 3 Suy ra S OM .NH a 2 . OMN 2 8 3V 2 Vậy d B;OMN M.OBN a. SOMN 3
11. Câu 17: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A B C D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng 6 13 7 85 17 13 6 85 A. B. C. D. 65 85 65 85 Lời giải Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau : 1 1 1 M ; ; ,C 0;1;0 ,D 1;1;0 và A 1;0;1 ,B 0;0;1 . 2 2 6 · 5.1 3.3 Khi đó n MC D 0;1;3 ;n MAB 0;5;3 nên cos MAB , MC D 52 32 . 12 32 2 7 85 7 85 6 85 . Suy ra sin ·MAB , MC D . 1 85 85 85 Câu 18: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau,OA a và OB OC 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 2a 2 5a 6a A. B. a C. D. 2 5 3 Lời giải
12. A C H O M B N Ta có OBC vuông cân tại O , M là trung điểm của BC OM  BC OM / /BN Dựng hình chữ nhật OMBN , ta có OM / / ABN BN  ABN d AB,OM d OM , ABN d O, ABN Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN ta có: BN  ON BN  OAN OH  BN mà OH  AN BN  OA OH  ABN d O, ABN OH OAN vuông tại O , đường cao OH 1 1 1 1 1 1 4 1 4 OH 2 OA2 ON 2 OA2 BM 2 OA2 BC 2 OA2 OB2 OC 2 1 4 3 2a2 a 6 a 6 OH 2 OH d AB,OM OH a2 4a2 4a2 2a2 3 3 3 Nhận xét: A C O M B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó O 0;0;0 , B 2a;0;0 ,C 0;2a;0 , A 0;0;a M là trung điểm của BC M a;a;0    Ta có OM a;a;0 ;OB 0;2a;0 ; AB 2a;0; a
13.      OM , AB .OB 2a3 a 6 OM , AB a2 ;a2 ; 2a2 d AB,OM   4 4 4 3 OM , AB a a 4a Câu 19: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I 1 là tâm của hình vuông A B C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI 2 (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng. 17 13 6 85 7 85 6 13 A. B. C. D. 65 85 85 65 Lời giải Ta chọn hình lập phương có cạnh bằng 6 . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh C D và AB . Khi đó ta có MP MI 2 IP2 13 , MQ 5, PQ 6 2 Áp dụng định lý hàm cos ta được: MP2 MQ2 PQ2 17 13 cos P· MQ . 2MP.MQ 65 Gọi là góc giữa MC D và MAB : 6 13 sin . 65 Câu 20: (Tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng
14. C' N B' M A' C P B A 6 13 13 17 13 18 13 A. B. C. D. 65 65 65 65 Lời giải Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BC và B C ; I BM  AB , J CN  AC , E MN  A Q. Suy ra, MNP  AB C MNCB  AB C IJ và gọi K IJ  PE K AQ với E là trung điểm MN (hình vẽ). AA QP  IJ AQ  IJ, PE  IJ ·MNP , AB C ·AQ, PE 13 5 5 Ta có AP 3, PQ 2 AQ 13 QK ; PE PK . 3 2 3 2 2 2 KQ KP PQ 13 cos cosQ· KP . 2KQ.KP 65 C' Q N E B' M A' J K I C P B A Cách 2
15. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ P 0;0;0 , A 3;0;0 , B 0; 3;0 ,C 0; 3;0 , A 3;0;2 , B 0; 3;2 ,C 0; 3;2 3 3 3 3 nên M ; ;2 , N ; ;2 2 2 2 2  1   Ta có vtpt của mp AB C là n AB , AC 2;0;3 và vtpt của mp MNP là 1 2 3  n2 4;0; 3 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AB C và mp MNP   8 9 13 cos cos n1,n2 13 25 65 Cách 3 Gọi Q là trung điểm của AA ' , khi đó mặt phẳng AB 'C ' song song với mặt phẳng MNQ nên góc giữa hai mặt phẳng AB 'C ' và MNP cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng MNQ và MNP . Ta có:
16. MNP  MNQ MN · PE  MNP ; PE  MN MNP ; MNQ P· EQ hoặc QE  MNQ ; QE  MN · MNP ; MNQ 1800 P· EQ Tam giác ABC đều có cạnh 2 3 AP 3. Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: PQ AP2 AQ2 32 12 10 2 2 2 3 2 13 Tam giác A'QE vuông tại A ' nên ta có: QE A' E A'Q 1 2 2 2 2 2 2 3 5 Tam giác PEF vuông tại F nên ta có: PE FP FE 2 2 2 Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có: 25 13 2 2 2 10 EP EQ PQ 13 cos P· EQ 4 4 2.EP.EQ 5 13 65 2. . 2 2 13 Do đó: cos · MNP ; AB 'C ' cos 1800 P· EQ cos P· EQ . 65 Câu 17. [MH-2020] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng S A D B C A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 900 . Lời giải Chọn C. Ta có SA  (ABCD) nên ta có (S·C,(ABCD)) S· CA SA 2a 1 tan S· CA S· CA 300 AC 3a. 2 3 Câu 37. [MH-2020] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB 2a , AD DC CB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 3a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng
17. 3a 3a 3 13a 6 13a A. . B. . C. . D. . 4 2 13 13 Lời giải Chọn A. Ta có M là trung điểm của AB . Theo giả thiết suy ra ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB ·ACB 90; ·ABC 60 AC a 3 Vì DM //BC DM // SBC 1 1 Do đó d DM , SB d DM , SBC d M , SBC d A, SBC (vì MB AB ) 2 2 Kẻ AH  SC . BC  AC Ta lại có BC  SAC AH  BC . BC  SA AH  SC Khi đó AH  SBC d A, SBC AH . AH  BC Xét tam giác SAC vuông tại A , ta có 2 2 2 2 a 3 . 3a 2 2 AC .SA 9a 3 AH 2 2 2 AH a . AC SA a 3 3a 2 4 2 1 1 3a Vậy d DM , SB d A, SBC AH . 2 2 4