Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Số phức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Số phức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức z 1 2i ? y Q 2 P 1 N 2 1 O 2 x 1 M A. N . B. P . C. M .D. Q . Lời giải Số phức z 1 2i có điểm biểu diễn là điểm Q 1;2 . Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a b i i 1 2i với i là đơn vị ảo. 1 A. a 0, b 2 . B. a , b 1. C. a 0, b 1.D. a 1, b 2 . 2 Lời giải 2a 1 1 a 1 Ta có 2a b i i 1 2i 2a 1 bi 1 2i . b 2 b 2 2 Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 2 5 . B. 5 . C. 3 . D. 10. Lời giải 3 11i z1 2 2 Ta có : z 3z 5 0 . Suy ra z1 z2 5 z1 z2 2 5 . 3 11i z2 2 Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức 3 7i có phần ảo bằng: A. 3 B. 7 C. 3 D. 7 Lời giải Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức 5 6i có phần thực bằng A. 5.B. 5 C. 6.D. 6. Lời giải Số phức 5 6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6. Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1 3i B. 1 3i C. 1 3i D. 1 3i Lời giải
2. Câu 7: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 4i . B. 4 3i . C. 3 4i . D. 4 3i . Lời giải Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là: z 3 4i . Câu 8: (Tham khảo 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z 2 i B. z 1 2i C. z 2 i D. z 1 2i Lời giải Theo hình vẽ M 2;1 z 2 i Câu 9: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z 2 i . Tính z . A. z 3 B. z 5 C. z 2 D. z 5 Lời giải Ta có z 22 1 5 . Câu 10: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức z 2 3i . Tìm phần thực a của z ? A. a 2 B. a 3 C. a 2 D. a 3 Lời giải Số phức z 2 3i có phần thực a 2 . Câu 11: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x2 1 yi 1 2i . A. x 2, y 2 B. x 2, y 2 C. x 0, y 2 D. x 2, y 2 Lời giải x2 1 1 x 0 Từ x2 1 yi 1 2i y 2 y 2 Câu 12: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức z1 4 3i và z2 7 3i . Tìm số phức z z1 z2 . A. z 3 6i B. z 11 C. z 1 10i D. z 3 6i Lời giải Ta có z z1 z2 4 3i 7 3i 3 6i . 3 Câu 13: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức z 1 i i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . A. a 1,b 2 B. a 2,b 1 C. a 1,b 0 D. a 0,b 1
3. Lời giải Ta có: z 1 i i3 1 i i2 .i 1 i i 1 2i (vì i2 1 ) Suy ra phần thực của z là a 1, phần ảo của z là b 2 . Câu 14: Cho 2 số phức z1 5 7i và z2 2 3i . Tìm số phức z z1 z2 . A. z 7 4i B. z 2 5i C. z 3 10i D. 14 Lời giải z 5 7i 2 3i 7 4i . Câu 15: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo. A. z 2 3i B. z 3i C. z 3 i D. z 2 Lời giải Số phức z được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0. Câu 16: Cho số phước z 1 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w iz trên mặt phẳng tọa độ A. N 2;1 B. P 2;1 C. M 1; 2 D. Q 1;2 Lời giải w iz i 1 2i 2 i Câu 17: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z 3 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z : A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 Lời giải z 3 2i z 3 2i . Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 Câu 18: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z 2 5i. Tìm số phức w iz z A. w 7 3i .B. w 3 3i . C. w 3 7i D. w 7 7i Lời giải Ta có w iz z i(2 5i) (2 5i) 2i 5 2 5i 3 3i Câu 19: (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i . Tìm a , b . A. a 3;b 2 B. a 3;b 2 2 C. a 3;b 2 D. a 3;b 2 2 Lời giải Số phức 3 2 2i có phần thực là a 3 và phần ảo là b 2 2 .
4. Câu 20: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z 2 16z 17 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz0 ? 1 1 1 1 A. M1 ;2 .B. M2 ;2 . C. M3 ;1 . D. M4 ;1 . 2 2 4 4 Lời giải 2 Xét phương trình 4z 2 16z 17 0 có 64 4.17 4 2i . 8 2i 1 8 2i 1 Phương trình có hai nghiệm z 2 i, z 2 i . 1 4 2 2 4 2 1 Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên z 2 i . 0 2 1 Ta có w iz 2i . 0 2 1 Vậy điểm biểu diễn w iz0 là M2 ;2 . 2 Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2x 3yi 1 3i x 6i với i là đơn vị ảo. A. x 1; y 3 B. x 1; y 1 C. x 1; y 1 D. x 1; y 3 Lời giải x 1 0 x 1 Ta có 2x 3yi 1 3i x 6i x 1 3y 9 i 0 . 3y 9 0 y 3 Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z i z 2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 5 5 3 A.1 B. C. D. 4 2 2 Lời giải Đặt z x yi x, y ¡ . z i z 2 x 1 y i x 2 yi là số thuần ảo x x 2 y y 1 0 x2 y2 2x y 0 .
5. 1 5 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I 1; , R . 2 2 Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 3x yi 4 2i 5x 2i với i là đơn vị ảo. A. x 2; y 4 B. x 2 ; y 4 C. x 2; y 0 D. x 2 ; y 0 Lời giải 2x 4 0 x 2 3x yi 4 2i 5x 2i 2x 4 4 y i 0 . 4 y 0 y 4 Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z 2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 2 Lời giải Giả sử z x yi với x, y ¡ . Vì z 2i z 2 x 2 y i x 2 yi x x 2 y 2 y xy x 2 2 y i là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó x x 2 y 2 y 0 x 1 2 y 1 2 2 . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2 . Câu 5: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2x 3yi 3 i 5x 4i với i là đơn vị ảo. A. x 1; y 1.B. x 1; y 1.C. x 1; y 1.D. x 1; y 1. Lời giải 2x 3 5x x 1 2x 3yi 3 i 5x 4i 2x 3 3y 1 i 5x 4i 3y 1 4 y 1 Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z 2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng? A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4 Lời giải Gọi z a bi , a,b ¡ Ta có: z 2i z 2 a bi 2i a bi 2 a2 2a b2 2b 2 a b 2 i Vì z 2i z 2 là số thuần ảo nên ta có a2 2a b2 2b 0 a 1 2 b 1 2 2 . Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2 .
6. Câu 7: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 3x 2yi 2 i 2x 3i với i là đơn vị ảo. A. x 2; y 2 . B. x 2; y 1. C. x 2; y 2 . D. x 2; y 1. Lời giải Ta có: 3x 2yi 2 i 2x 3i 3x 2 2y 1 2x 3i 3x 2 2x x 2 . 2y 1 3 y 2 Câu 8: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Xét các số phức z thỏa mãn z 3i z 3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng: 9 3 2 A. .B. 3 2 .C. 3 .D. . 2 2 Lời giải Gọi z x yi , với x, y R . 2 Theo giả thiết, ta có z 3i z 3 z 3z 3iz 9i là số thuần ảo khi 2 2 3 3 3 2 x y 3x 3y 0 . Đây là phương trình đường tròn tâm I ; , bán kính R . 2 2 2 2 Câu 9: (Tham khảo 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng: A. 3 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 Lời giải 1 2 z1 i 2 2 2 Xét phương trình 4z 4z 3 0 ta có hai nghiệm là: 1 2 z i 2 2 2 3 z z z z 3 1 2 2 1 2 Câu 10: (Tham khảo 2018) Cho hàm số f (x) xác định trên 1 thỏa mãn R\  2  2 f ' x , f 0 1, f 1 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng 2x 1 A. 4 ln15 B. 2 ln15 C. 3 ln15 D. ln15 Lời giải
7. 2 dx ln 2x 1 C f x 2x 1 1 Với x C 1 nên f 1 1 ln 3 2 1 Với x C 2 nên f 3 2 ln 5 2 Nên f 1 f 3 3 ln15 Câu 11: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 3i 3 2i . A. z 1 5i .B. z 1 i . C. z 5 5i . D. z 1 i . Lời giải z 2 3i 3 2i z 3 2i 2 3i 1 i . Câu 12: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z1 1 2i , z2 3 i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z z1 z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. N 4; 3 B. M 2; 5 C. P 2; 1 D. Q 1;7 Lời giải z z1 z2 2 i . 2 Câu 13: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 4 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON với O là gốc tọa độ. A. T 2 B. T 2 C. T 8 D. 4 Lời giải 2 z1 2i Ta có: z 4 0 z2 2i Suy ra M 0; 2 ; N 0;2 nên T OM ON 2 2 22 4 . Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | z | 5 và | z 3| | z 3 10i | . Tìm số phức w z 4 3i. A. w 3 8i. B. w 1 3i. C. w 1 7i. D. w 4 8i. Lời giải z x yi,(x, y ¡ ) . Theo đề bài ta có
8. x2 y2 25 và (x 3)2 y2 (x 3)2 (y 10)2 . Giải hệ phương trình trên ta được x 0; y 5. Vậy z 5i . Từ đó ta có w 4 8i . Câu 15: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hai số phức z1 1 3i và z2 2 5i . Tìm phần ảo b của số phức z z1 z2 . A. b 2 B. b 3 C. b 3 D. b 2 Lời giải Ta có z z1 z2 3 2i b 2 2 Câu 16: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Kí hiệu z1 ,z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 . 1 1 Tính P . z1 z2 1 1 1 A. B. C. D. 6 12 6 6 Lời giải z z 1 1 1 z z 1 Theo định lí Vi-et, ta có 1 2 nên P 1 2 z1z2 6 z1 z2 z1.z2 6 Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên. A. z1 1 2i B. z1 1 2i C. z1 2 i D. z1 2 i Lời giải Điểm M 2;1 là điểm biểu diễn số phức z1 2 i 2 Câu 18: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 1 0 . Tính P z1 z2 . 14 2 3 2 3 A. P B. P C. P D. P 3 3 3 3 Lời giải 2 Xét phương trình 3z2 z 1 0 có 1 4.3.1 11 0 . Căn bậc hai của là i 11 . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt
9. 1 i 11 1 11 1 i 11 1 11 z i; z i 1 6 6 6 2 6 6 6 Từ đó suy ra: 2 2 2 2 1 11 1 11 1 11 1 11 3 3 P z z i i 1 2 6 6 6 6 6 6 6 6 3 3 2 3 3 Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc 2 sau đó vào môi trường số phức (Mode 2 CMPLX) tính tổng môđun của 2 nghiệm vừa tìm được. z a bi a, b ¡ z 2 i z Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức thoả mãn . Tính S 4a b . A. S 4 B. S 2 C. S 2 D. S 4 Lời giải 2 2 2 2 a 2 a b ,a 2 Ta có z 2 i z a 2 b 1 i a b b 1 0 3 b 1 a 2 4 S 4a b 4 . a 2 a2 1 b 1 Câu 20: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm. A. z 2 2 z 3 0 B. z 2 2 z 3 0 C. z 2 2 z 3 0 D. z 2 2 z 3 0 Lời giải z1 z2 2 Theo định lý Viet ta có , do đó z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z1.z2 3 z 2 2 z 3 0 Câu 21: Cho số phức z a bi, a,b ¡ thỏa mãn z 1 3i z i 0 .Tính S a 3b . 7 7 A. S 5 B. S C. S 5 D. S 3 3 Lời giải a 1 0 a 1 2 2 Ta có: z 1 3i z i 0 a bi 1 3i a b i 0 4 b 3 a2 b2 0 b 3 S a 3b 5. Câu 22: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hai số phức z1 1 i và z2 2 3i . Tính môđun của số phức z1 z2. A. z1 z2 13 . B. z1 z2 5 . C. z1 z2 1. D. z1 z2 5 . Lời giải
10. 2 2 z1 z2 1 i 2 3i 3 2i nên ta có: z1 z2 3 2i 3 2 13 . Câu 23: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z thỏa mãn (1 i)z 3 i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N, P,Q ở hình bên? A. Điểm P B. Điểm Q C. Điểm M D. Điểm N Lời giải 3 i 3 i 1 i 2 4i 1 i z 3 i z 1 2i .Vậy điểm biểu diễn của z là Q 1; 2 . 1 i 1 i 1 i 2 4 2 Câu 24: (Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu z1, z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z z 12 0 . Tính tổngT z1 z2 z3 z4 A. T 4 B. T 2 3 C. T 4 2 3 D. T 2 2 3 Lời giải z2 3 z i 3 z4 z2 12 0 2 z 4 z 2 T z1 z2 z3 z4 i 3 i 3 2 2 2 3 4 Câu 25: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính môđun của số phức z biết z 4 3i 1 i . A. z 25 2 B. z 7 2 C. z 5 2 D. z 2 Lời giải z 4 3i 1 i 7 i z 7 i z 5 2 2 Câu 26: (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm của phương trình z z 1 0. Tính 2 2 P z1 z2 z1z2 . A. P 1 B. P 2 C. P 1 D. P 0 Lời giải
11. Cách 1 1 3 z i 2 2 2 z z 1 0 1 3 z i 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 P z2 z2 z z i i i i 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1 z2 1; z1.z2 1. 2 2 2 2 Khi đó P z1 z2 z1z2 z1 z2 2z1z2 z1z2 1 1 0 . Câu 27: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 4và phần ảo là 3 B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 D. Phần thực là 4và phần ảo là 3i Lời giải Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z x yi được biểu diễn bởi điểm M ( x; y) . Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x 3 và tung độ y 4 . Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4. Câu 28: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức z i 3i 1 . A. z 3 i . B. z 3 i . C. z 3 i .D. z 3 i . Lời giải z i 3i 1 3 i nên suy ra z 3 i . Câu 29: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tính môđun của số phức z thỏa mãn z 2 i 13i 1. 5 34 34 A. z 34 B. z 34 C. z D. z 3 3 Lời giải
12. 1 13i 1 13i 2 i 2 2 z 2 i 13i 1 z z z 3 5i . z 3 5 34. 2 i 2 i 2 i Câu 30: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn 1 i z 2z 3 2i. Tính P a b . 1 1 A. P B. P 1 C. P 1 D. P 2 2 Lời giải 1 i z 2z 3 2i. 1 . Ta có: z a bi z a bi. Thay vào 1 ta được 1 i a bi 2 a bi 3 2i a b i 3a b 3 2i a b i 3a b 3 2i 1 a a b 2 2 P 1. 3a b 3 3 b 2 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z 2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. 1; 1 . B. 1;1 . C. 1;1 .D. 1; 1 . Lời giải Gọi z x yi, x, y ¡ . Điểm biểu diễn cho z là M x; y . Ta có: z 2i z 2 x yi 2i x yi 2 x x 2 y y 2 i x 2 y 2 xy là số thuần ảo x x 2 y y 2 0 x 1 2 y 1 2 2 . Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn có tâm I 1; 1 . 2 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 z z 4 và z 1 i z 3 3i ? A. 4 .B. 3 . C. 1. D. 2 .
13. Lời giải Gọi z x yi x; y ¡ . 2 2 2 x y 4x 4 0, x 0 1 z 2 z z 4 x2 y2 4 x 4 . 2 2 x y 4x 4 0, x 0 2 z 1 i z 3 3i x 1 2 y 1 2 x 3 2 y 3 2 4x 8y 16 x 2y 4 3 . + Thay 3 vào 1 ta được: 2 24 2 y x n 2y 4 y2 4 2y 4 4 0 5y2 8y 4 0 5 5 . y 2 x 0 n + Thay 3 vào 2 ta được: y 2 x 0 l 2 2 2 2y 4 y 4 2y 4 4 0 5y 24y 28 0 14 8 . y x n 5 5 Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện. Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 2 i z 1 i 0 và z 1. Tính P a b . A. P 1 B. P 5 C. P 3 D. P 7 Lời giải Ta có: z 2 i z 1 i 0 a bi 2 i a2 b2 1 i 0 2 2 2 2 2 2 a 2 a b 0 1 a 2 a b b 1 a b i 0 2 2 b 1 a b 0 2 Lấy 1 trừ 2 ta được: a b 1 0 b a 1. Thế vào 1 ta được: a 2 a2 a 1 2 0 a 2 2a2 2a 1 a 2 a 2 a 2 a 3 tm 2 2 2 a 4a 4 2a 2a 1 a 2a 3 0 a 1 tm Với a 3 b 4 ; a 1 b 0 . a 3 Vì z 1 z 3 4i P a b 3 4 7 . b 4 Câu 4: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z 1 và z 3 i m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Lời giải
14. x2 y2 1 (1) Gọi z x yi,(x, y ¡ ) , ta có hệ 2 x 3 y 1 2 m2 (m 0) Ta thấy m 0 z 3 i không thỏa mãn z.z 1 suy ra m 0 . Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn 1 là đường tròn (C1) có O(0;0), R1 1, tập hợp các điểm thỏa mãn 2 là đường tròn (C2 ) tâm I 3; 1 , R2 m , ta thấy OI 2 R1 suy ra I nằm ngoài (C1) . Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (C1),(C2 ) tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi OI R1 R2 m 1 2 m 1 hoặc R2 R1 OI m 1 2 3 z 3 5 z 2i z 2 2i Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức z thỏa mãn và . Tính z . A. z 10 B. z 17 C. z 17 D. z 10 Lời giải Đặt z x yi; x, y ¡ 2 2 2 x 3 y 25 x 3 y2 25 Theo bài ra ta có 2 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 4x 4 0 y2 9 y 3 . Vậy z 10 x 1 x 1 z Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 13 và là số z 2 thuần ảo? A. 0 B. 2 C. Vô số D. 1 Lời giải Gọi số phức z a bi, a,b ¡ 2 Ta có z 3i 13 a bi 3i 13 a2 b 3 13
15. a2 b2 6b 4 0 a2 b2 4 6b 1 z 2 2 2 a 2 bi . 1 1 1 2 z 2 z 2 a 2 bi a 2 b2 2 2 a 2 b 2a 4 2b a2 b2 2a 2b 2 2 i 2 2 i a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a2 b2 2a 0 2 z a2 b2 2a Do là số thuần ảo nên 0 a 2 z 2 2 2 a 2 b b 0 Thay 1 vào 2 ta có 4 6b 2a 0 a 3b 2 thay vào 1 ta có b 0(L) 2 2 2 3b 2 b 4 6b 0 10b 6b 0 3 1 b a 5 5 Vậy có một số phức cần tìm. 2 Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z 2 i| 2 2 và z 1 là số thuần ảo. A. 0 B. 2 C. 4 D. 3 Lời giải 2 2 Gọi số phức z x yi với x, y ¡ , vì z 1 x 1 y2 2 x 1 yi là số thuần ảo nên 2 2 x 2 y 1 8 theo đề bài ta có HPT 2 2 x 1 y Với y x 1, thay vào phương trình đầu, ta được 2 2 x 2 x 2 8 x2 0 x 0. Với x 3 2 , thay vào phương trình đầu, ra được 2 2 x 2 x 8 2x2 4x 4 0 x 1 3. Vậy có 3 số phức thỏa mãn. Câu 8: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 5 và z là số thuần ảo? z 4 A. 0 B. 2 C. Vô sốD. 1 Lời giải Đặt z x yi x, y ¡ . Điều kiện z 4 2 z 3i 5 x y 3 i 5 x 2 y 3 25 x 2 y 2 6y 16 1 2 z x yi x x 4 y 2 2 Do là số thuần ảo nên phần thực 2 0 x y 4x 0 2 z 4 x 4 yi x 4 y2 3 Từ 1 và 2 suy ra 4x 6y 16 x 4 y , thay vào 1 ta được: 2
16. 2 3 2 24 4 y y 6y 16 0 y 0 hoặc y 2 13 Với y 0 ta được x 4 , suy ra z 4 (loại) 24 16 16 24 Với y ta được x và z i (thỏa mãn) 13 13 13 13 16 24 Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là z i 13 13 Câu 9: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho các số phức z thỏa mãn z 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w (3 4i)z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó A. r 4 B. r 5 C. r 20 D. r 22 Lời giải Giả sử z a bi;w x yi; a,b, x, y ¡ Theo đề w 3 4i z i x yi 3 4i a bi i x 3a 4b x 3a 4b x yi 3a 4b 3b 4a 1 i Ta có y 3b 4a 1 y 1 3b 4a x2 y 1 2 3a 4b 2 4a 3b 2 25a2 25b2 25 a2 b2 Mà z 4 a2 b2 16. Vậy x2 y 1 2 25.16 400 Bán kính đường tròn là r 400 20 . Câu 10: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn củasố phức z (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ? A. Điểm N B. Điểm Q C. Điểm E D. Điểm P y Q E M O x N P Lời giải Gọi z a bi a,b ¡ . Điểm biểu diễn của z là điểm M a;b 2z 2a 2bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy là M1 2a;2b .   Ta có OM1 2OM suy ra M1  E . Câu 11: (Đề tham khảo lần 2 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiệnz i 5 và z2 là số thuần ảo? A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 Lời giải
17. Giả sử z a bi z2 a2 b2 2abi Vì z i 5 và z2 là số thuần ảo ta có hệ phương trình a b a b 4 2 2 2 2 a (b 1) 25 b (b 1) 25 a b 3 2 2 a b 0 a b b a 4 2 2 b (b 1) 25 b a 3 Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 4 i 2i 5 i z ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Lời giải Ta có z z 4 i 2i 5 i z z z 4 z z i 2i 5 i z z z 5 i 4 z z 2 i . Lấy module 2 vế ta được 2 2 2 2 2 2 z z 5 1 4 z z 2 z 2 z 5 1 4 z z 2 1 . Đặt t z , t 0 . Phương trình 1 trở thành 2 2 2 t 2 t 5 1 4t t 2 t 2 t 2 10t 26 17t 2 4t 4 t 4 10t3 9t 2 4t 4 0 t 1 t3 9t 2 4 0 t 1 n t 1 t 8,95 n . t3 9t 2 4 0 t 0,69 n t 0,64 l 4t 2 t i Ứng với mỗi giá trị t 0 , với z suy ra có một số phức z thỏa mãn. 5 i t Câu 2: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z 6 i 2i 7 i z ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Lời giải Đặt z a 0,a ¡ , khi đó ta có
18. z z 6 i 2i 7 i z a z 6 i 2i 7 i z a 7 i z 6a ai 2i a 7 i z 6a a 2 i a 7 i z 6a a 2 i 2 2 a 7 1 a2 36a2 a 2 4 3 2 a 14a 13a 4a 4 0 a 1 a 1 a3 13a2 4 0 3 2 a 12a 4 0 Xét hàm số f a a3 13a2 a 0 , có bảng biến thiên là Đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số f a tại hai điểm nên phương trình a 3 12a 2 4 0 có hai nghiệm khác 1 (do f 1 0). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z . Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện. Câu 3: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 5 i 2i 6 i z ? A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 Lời giải Ta có z z 5 i 2i 6 i z z 6 i z 5 z z 2 i 1 Lây môđun hai vế của 1 ta có: 2 2 z 6 1. z 25 z 2 z 2 Bình phương và rút gọn ta được: 3 2 z 4 12 z 3 11 z 2 4 z 4 0 z 1 z 11 z 4 0 z 1 z 1 z 10,9667 3 2 z 11 z 4 0 z 0,62 z 0,587 Do z 0 , nên ta có z 1, z 10,9667 , z 0,62 . Thay vào 1 ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài. Câu 4: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 3 i 2i 4 i z ? A. 1.B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải z z 3 i 2i 4 i z z 4 i z 3 z z 2 i (*) 2 2 2 z 4 1. z 9 z z 2 (1).
19. 2 2 Đặt m z 0 ta có 1 m 4 1 .m2 9m2 m 2 m4 8m3 7m2 4m 4 0 m 1 m 1 m 6,91638 3 2 m 1 m 7m 4 0 3 2 . m 7m 4 0 m 0.80344 m 0.71982 L 3m m 2 i Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z m sẽ có một số phức z thỏa mãn đề bài. m 4 i Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5: (Tham khảo 2018) Xét số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 4 3i 5 . Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. P 10 B. P 4 C. P 6 D. P 8 Lời giải Goi E là trung điểm của AB và M a;b là điểm biểu diễn của số phức z. Theo giả thiết ta có: z 4 3i 5 a 4 2 b 3 2 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 4;3 bán kính R 5 A 1;3 Ta có: Q z 1 3i z 1 i MA MB B 1; 1 Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có: Q2 MA2 MB2 2MA.MB Q2 MA2 MB2 MA2 MB2 2 MA2 MB2 Vì ME là trung tuyến trong MAB MA2 MB2 AB2 AB2 ME 2 MA2 MB2 2ME 2 2 4 2 2 2 2 AB 2 2 Q 2 2ME 4ME AB . Mặt khác ME DE EI ID 2 5 5 3 5 2 2 Q2 4. 3 5 20 200 MA MB Q 10 2 Qmax 10 2 M  D   4 2(xD 4) xD 6 EI 2ID M 6;4 P a b 10 2 2(yD 3) yD 4
20. Cách 2:Đặt z a bi. Theo giả thiết ta có: a 4 2 b 5 2 5. a 4 5 sin t Đặt . Khi đó: b 3 5 cost Q z 1 3i z 1 i a 1 2 b 3 2 a 1 2 b 1 2 2 2 2 5 sin t 5 5cos2 t 5 sin t 3 5 cost 4 30 10 5 sin t 30 2 5 3sin t 4cost Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: Q 2 60 8 5 2sin t cost 2 60 8 5. 5 200 10 2 Q 10 2 Qmax 10 2 2 sin t 5 a 6 Dấu bằng xảy ra khi P a b 10. 1 b 4 cost 5 Câu 6: (Đề tham khảo lần 2 2017) Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M. 5 2 2 73 5 2 73 A. P 13 73 B. P C. P 5 2 73 D. P 2 2 Lời giải Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , F1 2;1 , F2 4;7 và N 1; 1 . Từ z 2 i z 4 7i 6 2 và F1F2 6 2 nên ta có A là đoạn thẳng F1F2 . Gọi H là hình 3 3 5 2 2 73 chiếu của N lên F1F2 , ta có H ; . Suy ra P NH NF2 . 2 2 2 10 Câu 7: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 2 i. Mệnh đề nào z dưới đây đúng? 3 1 1 3 A. z 2. B. z 2. C. z . D. z . 2 2 2 2 Lời giải 1 Ta có z 1 z. z 2
21. 10 Vậy 1 2i z 2 i z 10 10 z 2 2 z 1 i .z z 2 2 z 1 i .z 2 2 z z 2 2 10 2 10 z 2 2 z 1 . z . Đặt z a 0. 4 2 z z 2 2 2 10 a 1 a 2 2a 1 a4 a2 2 0 a 1 z 1. 2 2 a a 2 Câu 12. [MH-2020] Môđun của số phức 1 2i bằng A. 5 . B. 3 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn C. Ta có 1 2i 12 22 5 . Câu 30. [MH-2020] Cho hai số phức z1 3 i và z2 1 i. Phần ảo của số phức z1 z2 bằng A. 2. B. 2i. C. 2. D. 2i. Lời giải Chọn C. Ta có: z2 1 i . Do đó z1 z2 ( 3 i) (1 i) 2 2i. Vậy phần ảo của số phức z1 z2 bằng 2. Câu 31. [MH-2020] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 1 2i 2 là điểm nào dưới đây? A. P 3;4 . B. Q 5;4 . C. N 4; 3 . D. M 4;5 . Lời giải Chọn A. 2 2 Ta có z 1 2i 12 2.1.2i 2i 3 4i . Vậy trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 1 2i 2 là điểm P 3;4 .