Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tích phân (Phần 1) - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tích phân (Phần 1) - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. 1 1 1 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) ) Cho f x dx 2 và g x dx 5 khi đó f x 2g x dx 0 0 0 bằng A. 3 . B. 12.C. 8 . D. 1. Lời giải 1 1 1 Ta có g x dx 5 2 g x dx 10 2g x dx 10 0 0 0 1 1 1 Xét f x 2g x dx f x dx 2g x dx 2 10 8 . 0 0 0 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x ex x là 1 1 1 A. ex x2 C .B. ex x2 C . C. ex x2 C . D. ex 1 C . 2 x 1 2 Lời giải 1 Ta có ex x dx ex x2 C . 2 Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. S e2xdx B. S exdx C. S exdx D. S exdx 0 0 0 0 Lời giải 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x 2 là: S exdx . 0 Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số f x x3 x là A. x4 x2 C B. 3x2 1 C C. x3 x C D. 1 1 x4 x2 C 4 2 Lời giải 1 1 x3 x2 dx x4 x2 C . 4 2 2 Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x 3, y 0 , x 0 , x 2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục O x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2 A. V x2 3 dx B. V x2 3 dx C. V x2 3 dx D. V x2 3 dx 0 0 0 0 Lời giải
2. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục O x là: 2 2 V x2 3 dx . 0 Câu 6: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số f x x4 x2 là 1 1 A. 4 x 3 2 x C B. x5 x3 C C. x 4 x 2 C D. x 5 x 3 C . 5 3 Lời giải 4 2 1 1 f x dx x x dx x5 x3 C . 5 3 Câu 7: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường thẳng y x2 2, y 0, x 1, x 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2 A. V x2 2 dx B. V x2 2 dx C. V x2 2 dx D. V x2 2 dx 1 1 1 1 Lời giải 2 2 Ta có: V x2 2 dx . 1 Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số f x x3 x2 là 1 1 A. x4 x3 C B. x4 x3 C C. 3x2 2x C D. x3 x2 C 4 3 Lời giải Câu 9: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. S 2x dx . B. S 22x dx . C. S 22x dx . D. S 2x dx . 0 0 0 0 Lời giải 2 2 S 2x dx 2x dx (do 2x 0,x 0;2 ). 0 0 Câu 10: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Nguyên hàm của hàm số f x x4 x là 1 1 A. x4 x C . B. 4x3 1 C . C. x5 x2 C .D. x5 x2 C . 5 2 Lời giải 1 1 Ta có x4 x dx x5 x2 C . 5 2 1 Câu 11: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) e3x 1dx bằng 0 1 1 A. e4 e .B. e4 e . C. e4 e . D. e3 e . 3 3
3. Lời giải 1 1 1 1 1 1 e3x 1dx e3x 1d 3x 1 e3x 1 e4 e . 0 3 0 3 0 3 Câu 12: (Tham khảo 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: b b b b A. V f 2 x dx B. V 2 f 2 x dx C. V 2 f 2 x dx D. V 2 f x dx a a a a Lời giải Câu 13: (Tham khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 1 là x3 A. x3 C B. x C C. 6x C D. x3 x C 3 Lời giải 3x2 1 dx x3 x C. 2 dx Câu 14: (Tham khảo 2018) Tích phân bằng 0 x 3 16 5 5 2 A. B. log C. ln D. 225 3 3 15 Lời giải 2 dx 5 ln x 3 2 ln 0 0 x 3 3 Câu 15: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 7x . 7x 7x 1 A. 7x dx 7x ln 7 C B. 7x dx C C. 7x dx 7x 1 C D. 7x dx C ln 7 x 1 Lời giải a x Áp dụng công thức a x dx C , 0 a 1 ta được đáp án B ln a Câu 16: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2sin x . A. 2sin xdx sin 2x C B. 2sin xdx 2cos x C C. 2sin xdx 2cos x C D. 2sin xdx sin2 x C Lời giải 1 Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 5x 2 dx dx 1 A. 5ln 5x 2 C B. ln 5x 2 C 5x 2 5x 2 5 dx dx 1 C. ln 5x 2 C D. ln 5x 2 C 5x 2 5x 2 2 Lời giải
4. dx 1 dx 1 Áp dụng công thức ln ax b C a 0 ta được ln 5x 2 C . ax b a 5x 2 5 Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x sin 3x A. cos 3xdx 3sin 3x C B. cos 3xdx C 3 sin 3x C. cos 3xdx sin 3x C D. cos 3xdx C 3 Lời giải sin 3x Ta có: cos 3xdx C 3 Câu 19: (Đề minh họa lần 1 2017) . Cho hai số thực a và b , với 1 a b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. loga b 1 logb a B. 1 loga b logb a C. logb a loga b 1 D. logb a 1 loga b Lời giải loga b loga a loga b 1 Cách 1- Tự luận: Vì b a 1 logb a 1 loga b logb b logb a 1 logb a Cách 2- Casio: Chọn a 2;b 3 log3 2 1 log2 3 Đáp án D Câu 20: (Đề minh họa lần 1 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a, x b a b , xung quanh trục Ox . b b b b A. V f 2 x dx B. V f 2 x dx C. V f x dx D. V f x dx a a a a Lời giải Câu 21: (Đề minh họa lần 1 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 1. 2 1 A. f x dx 2x 1 2x 1 C. B. f x dx 2x 1 2x 1 C. 3 3 1 1 C. f x dx 2x 1 C. D. f x dx 2x 1 C. 3 2 Lời giải 1 1 f x dx 2x 1dx 2x 1 2 d 2x 1 2 1 2x 1 2x 1 C 3 Câu 22: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos2x . 1 1 A. f x dx sin 2x C B. f x dx sin 2 x C 2 2 C. f x dx 2sin 2x C D. f x dx 2sin 2x C Lời giải
5. 1 Áp dụng công thức cos(ax b)dx sin(ax b) C với a 0 ; thay a 2 và b 0 để có kết a quả. Câu 23: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1;2, f 1 1 và 2 f 2 2 . Tính I f x dx. 1 7 A. I 1. B. I 1. C. I 3. D. I . 2 Lời giải 2 2 Ta có I f x dx f x f 2 f 1 2 1 1. 1 1 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? y y x2 2x 1 2 1 O x y x2 3 2 2 A. 2x2 2x 4 dx . B. 2x 2 dx . 1 1 2 2 C. 2x 2 dx .D. 2x2 2x 4 dx . 1 1 Lời giải Ta thấy: x  1;2 : x2 3 x2 2x 1 nên 2 2 2 2 2 S x 3 x 2x 1 dx 2x 2x 4 dx . 1 1 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x 4x 1 ln x là A. 2x2 ln x 3x2 . B. 2x2 ln x x2 . C. 2x2 ln x 3x2 C . D. 2x2 ln x x2 C . Lời giải Cách 1. Ta có f x dx 4x 1 ln x dx 4xdx 4x ln xdx + Tính 4xdx 2x2 C 1 + Tính 4x ln xdx 1 u ln x du dx Đặt x dv 4xdx 2 v 2x Suy ra 4x ln xdx 2x2 ln x 2xdx 2x2 ln x x2 C 2 Do đó I 2x2 ln x x2 C .
6. Cách 2. Ta có 2x2 ln x x2 2x2 .ln x 2x2. ln x x2 1 4x.ln x 2x2. 2x x 4x 1 ln x . Do đó 2x2 ln x x2 là một nguyên hàm của hàm số f x 4x 1 ln x . Hay 2x2 ln x x2 C là họ nguyên hàm của hàm số f x 4x 1 ln x . 1 xdx Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 2 0 x 2 3a b c bằng A. 2 .B. 1. C. 2 . D. 1. Lời giải 1 xdx 1 x 2 2 1 dx 1 2dx dx 2 2 2 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x 2 1 1 1 x 2 2 1 ln x 2 2. ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3. 0 1 3 3 0 1 Vậy a ;b 1;c 1 3a b c 1. 3 2 Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) e3x 1dx bằng 1 1 1 1 A. e5 e2 B. e5 e2 C. e5 e2 D. e5 e2 3 3 3 Lời giải 2 1 2 1 Ta có e3x 1dx e3x 1 e5 e2 . 1 1 3 3 55 dx Câu 5: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a ln 2 bln 5 c ln11, với a,b,c là các số hữu tỉ. 16 x x 9 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b c B. a b c C. a b 3c D. a b 3c Lời giải Đặt t x 9 t 2 x 9 2tdt dx . Đổi cận x 16 t 5 , x 55 t 8. 55 dx 8 2tdt 8 dt 1 8 1 1 1 x 3 8 Do đó 2 dx ln 2 2 16 x x 9 5 t t 9 5 t 9 3 5 x 3 x 3 3 x 3 5 1 5 1 1 2 1 1 ln ln ln 2 ln 5 ln11. 3 11 3 4 3 3 3
7. 2 1 1 Vậy a ;b ;c a b c . 3 3 3 Câu 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến 1 11 thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) t 2 t m / s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a m / s2 ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 22 m / s B. 15 m / s C. 10 m / s D. 7 m / s Lời giải Thời gian tính từ khi A xuất phát đến khi bị B đuổi kịp là 15 giây, suy ra quãng đường đi được 15 15 15 1 2 11 1 3 11 2 tới lúc đó là v(t)dt t t dt t t 75 m . 0 0 180 18 540 36 0 Vận tốc của chất điểm B là y t a.dt a.t C (C là hằng số); do B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên có y 0 0 C 0 ; Quãng đường của B từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp A là 10 10 10 a.t 2 3 y(t)dt 75 a.tdt 75 75 50a 75 a 0 0 2 0 2 3t Vậy có y t ; suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng y 10 15 m / s . 2 2 dx Câu 7: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng 1 3x 2 1 2 A. 2ln2 B. ln 2 C. ln 2 D. ln 2 3 3 Lời giải 2 dx 1 2 1 2 Ta có ln 3x 2 ln 4 ln1 ln 2 . 1 3x 2 3 1 3 3 e Câu 8: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho 1 x ln x dx ae2 be c với a, b, c là các số hữu 1 tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c Lời giải e e e e Ta có 1 x ln x dx 1.dx x ln x dx e 1 x ln x dx . 1 1 1 1 1 u ln x du dx x Đặt x2 dv x.dx v 2
8. 2 2 2 e x2 e 1 e e2 1 e e e 1 e 1 Khi đó x ln x dx ln x x dx x2 . 1 2 1 2 1 2 4 1 2 4 4 4 4 e 2 2 e 1 e 3 1 3 Suy ra 1 x ln x dx e 1 e nên a , b 1 , c . 1 4 4 4 4 4 4 Vậy a b c . Câu 9: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với 1 13 vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v t t 2 t m/s , trong đó t (giây) là 100 30 khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a m/s2 (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 15 m/s B. 9 m/s C. 42 m/s D. 25 m/s Lời giải Ta có v t a.dt at C , v 0 0 C 0 v t at . B B B Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 25 25 1 13 1 3 13 2 375 S t 2 t dt t t . A 0 100 30 300 60 0 2 Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là 15 at 2 15 225a S at.dt . B 0 2 0 2 375 225a 5 Ta có a . 2 2 3 5 Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là v 15 .15 25 m/s . B 3 2 dx Câu 10: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng 1 2x 3 7 1 7 1 7 A. 2ln B. ln 35 C. ln D. ln 5 2 5 2 5 Lời giải 2 dx 1 2 1 1 7 Ta có ln 2x 3 ln 7 ln 5 ln . 1 2x 3 2 1 2 2 5 e Câu 11: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho 2 x ln x dx ae2 be c với a,b,c là các số hữu 1 tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c Lời giải e e e e e Ta có 2 x ln x dx 2dx x ln xdx 2x I 2e 2 I với I x ln xdx 1 1 1 1 1
9. 1 du dx u ln x x Đặt dv xdx x2 v 2 x2 e e x x2 e x2 e e2 1 e2 1 I ln x dx ln x e2 1 2 1 1 2 2 1 4 1 2 4 4 e e2 1 1 7 2 x ln x dx 2e 2 e2 2e 1 4 4 4 1 a 4 b 2 a b c 7 c 4 Câu 12: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với 1 58 vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v t t 2 t m / s , trong đó t (giây) là 120 45 khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a m / s2 ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 25 m / s B. 36 m / s C. 30 m / s D. 21 m / s Lời giải Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15giây, chất điểm A đi được 18 giây. Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v t adt at C mà v 0 0 nên v t at . B B B Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó 18 15 1 2 58 225 t dt atdt 225 a. a 2 0 120 45 0 2 Vậy, vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng vB t 2.15 30 m / s . 21 dx Câu 13: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho a ln 3 bln 5 c ln 7 , với a,b,c là các số hữu tỉ. 5 x x 4 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b 2c . B. a b c . C. a b c . D. a b 2c . Lời giải Đặt t x 4 2tdt dx . Với x 5 t 3; x 21 t 5 21 5 dx dt 1 5 1 1 1 Ta có 2 ln t 2 ln t 2 ln 2 ln 5 ln 7 . 2 3 5 x x 4 3 t 4 2 2 2 2 Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
10. 4p 4 A. V = B. V = 2p C. V = D. V = 2 3 3 Lời giải Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: 1 1 2 1 æx3 ö 4p V = p x2 + 1 dx = p (x2 + 1)dx = pç + x÷ = ò( ) ò ç 3 ÷ 3 0 0 è ø0 2 2 Câu 15: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho f x dx 5 . Tính I f x 2sin x dx . 0 0 A. I 7 B. I 5 C. I 3 D. .I 5 2 Lời giải Ta có 2 2 2 I f x 2sin x dx= f x dx +2 sinx dx 0 0 0 2 I f x dx 2cosx 2 5 2 0 1 7 . 0 0 Câu 16: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin x cos x thoả mãn F 2 2 A. F x cos x sin x 3 B. F x cos x sin x 3 C. F x cos x sin x 1 D. F x cos x sin x 1 Lời giải Có F x f x dx sin x cos x dx cos x sin x C Do F cos sin C 2 1 C 2 C 1 F x cos x sin x 1. 2 2 2 1 f x Câu 17: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 2x2 x nguyên hàm của hàm số f x ln x . ln x 1 ln x 1 A. f x ln xdx 2 2 C B. f x ln xdx 2 2 C x 2x x x ln x 1 ln x 1 C. f x ln xdx 2 2 C D. f x ln xdx 2 2 C x x x 2x Lời giải f x 1 1 Ta có: dx . Chọn f x . x 2x2 x2
11. dx u ln x du 2 x Khi đó: f x ln x dx ln x dx . Đặt 2 . x3 dv dx 1 x3 v x2 ln x ln x 1 ln x 1 Khi đó: f x ln x dx 3 dx 2 3 dx 2 2 C. x x x x 2x 1 1 1 Câu 18: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho dx aln 2 bln 3 với a,b là các số nguyên. 0 x 1 x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b 2 B. a 2b 0 C. a b 2 D. a 2b 0 Lời giải 1 1 1 1   ; do đó dx ln x 1 ln x 2 0 2ln 2 ln 3 a 2;b 1 0 x 1 x 2 Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 2 2 e 1 e2 1 e2 e 1 A. V B. V C. V D. V 2 2 3 2 Lời giải 1 2 1 e2x e 1 V e2xdx 0 2 0 2 Câu 20: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) ex 2x thỏa 3 mãn F 0 . Tìm F x . 2 1 5 3 1 A. F x 2ex x2 B. F x ex x2 C. F x ex x2 D. F x ex x2 2 2 2 2 Lời giải x x 2 Ta có F x e 2x dx e x C 3 1 Theo bài ra ta có: F 0 1 C C . 2 2 2 2 f x dx 2 g x dx 1 Câu 21: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho 1 và 1 . Tính 2 I x 2 f x 3g x dx 1 . 11 17 5 7 A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 Lời giải 2 2 x2 2 2 3 17 Ta có: I x 2 f x 3g x dx 2 f x dx 3 g x dx 2.2 3 1 . 1 2 1 1 1 2 2
12. x2 5x 4 Câu 22: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y . x2 1 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Điều kiện: x 1. 5 4 2 1 x 5x 4 2 Ta có: lim y lim lim x x 1 y 1 là đường tiệm cận ngang. x x x2 1 x 1 1 x2 Mặc khác: x2 5x 4 x 1 x 4 x 4 3 lim y lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 không là đường tiệm cận đứng. x2 5x 4 x 1 x 4 x 4 lim y lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 5x 4 x 1 x 4 x 4 lim y lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 là đường tiệm cận đứng. ln x Câu 23: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Tính: x I F e F 1 ? 1 1 A. I B. I C. I 1 D. I e 2 e Lời giải Cách 1. e ln x e e ln x e ln2 x 1 Vì f x nên I F e F 1 f x dx dx ln xd ln x . x 1 1 x 1 2 1 2 e ln x 1 Cách 2: Dùng MTCT I F e F 1 dx . 1 x 2 F x x 1 ex f x e2x Câu 24: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho là một nguyên hàm của hàm số . f x e2x Tìm nguyên hàm của hàm số . 2 x A. f x e2xdx x 2 ex C B. f x e2xdx ex C 2 C. f x e2xdx 2 x ex C D. f x e2xdx 4 2x ex C Lời giải 2x x 2x x x x Theo đề bài ta có f x .e dx x 1 e C , suy ra f x .e x 1 e e x 1 .e f x e x x 1 .e x f x 1 x .e x Suy ra f x e2xdx 1 x exdx 1 x d ex ex 1 x exdx ex 2 x C .
13. Câu 25: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin x , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V 2 2 B. V 2 1 C. V 2 D. V 2 1 Lời giải Ta có phương trình 2 sin x 0 vô nghiệm nên: 2 V 2 sin x dx 2 sin x dx 2x cos x 2 1 . 0 0 0 Câu 26: Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x 3 5sin x và f 0 10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 5cos x 5 B. f x 3x 5cos x 2 C. f x 3x 5cos x 15 D. f x 3x 5cos x 2 Lời giải Ta có f x 3 5sinx dx 3x 5cos x C Theo giả thiết f 0 10 nên 5 C 10 C 5 . Vậy f x 3x 5cos x 5. Câu 27: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos x, trục hoành và các đường thẳng x 0, x . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 2 nhiêu? A. V ( 1) B. V 1 C. V 1 D. V ( 1) Lời giải 2 2 V 2 cosx dx 2x sinx 2 ( 1). 0 0 6 2 Câu 28: Cho f (x)dx 12 . Tính I f (3x)dx. 0 0 A. I 36 B. I 4 C. I 6 D. I 5 Lời giải 2 1 2 1 6 1 Ta có: I f (3x)dx f (3x)d3x f (t)dt .12 4. 0 3 0 3 0 3 Câu 29: (Đề minh họa lần 1 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 5t 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m Lời giải Xét phương trình 5t 10 0 t 2. Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn. Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là
14. 2 5 2 2 s 5t 10 dt t 10t 10m. 0 2 0 Câu 30: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính tích phân I cos3 x.sin xdx . 0 1 1 A. I 4 B. I 4 C. I 0 D. I 4 4 Lời giải Ta có: I cos3 x.sin xdx . Đặt t cos x dt sin xdx dt sin xdx 0 Đổi cận: Với x 0 t 1; với x t 1. 1 4 1 1 t 4 14 1 Vậy I t3dt t3dt 0 . 1 1 4 1 4 4 Cách khác : Bấm máy tính e Câu 31: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính tích phân I x ln xdx : 1 1 e2 2 e2 1 e2 1 A. I B. I C. I D. I 2 2 4 4 Lời giải 1 du dx e u ln x x I x ln xdx . Đặt dv xdx x2 1 v 2 e e x2 e 1 x2 e2 1 e e2 x2 e2 e2 1 e2 1 I ln x . dx xdx 2 0 0 x 2 2 2 0 2 4 0 2 4 4 4 Câu 32: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và đồ thị hàm số y x x2. 37 9 81 A. B. C. D. 13 12 4 12 Lời giải x 0 3 2 3 2 Phương trình hoành độ giao điểm x x x x x x 2x 0 x 1 x 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và đồ thị hàm số y x x2 là: 1 0 1 S x3 x x x2 dx x3 x2 2x dx x3 x2 2x dx 2 2 0 0 1 4 3 4 3 x x 2 x x 2 16 8 1 1 37 x x 4 1 . 4 3 4 3 4 3 4 3 12 2 0
15. Câu 33: (Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2(x 1)ex , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox A. V 4 2e B. V 4 2e C. V e2 5 D. V e2 5 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm 2 x 1 ex 0 x 1 Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox là: 2 du 2 x 1 dx 1 1 x 2 2 2x u x 1 V 2 x 1 e dx 4 x 1 e dx . Đặt 2x 2x e 0 0 dv e dx v 2 2x 1 1 2x 2x 1 1 2 e e 2 e V 4 x 1 4 2 x 1 dx 4 x 1 4 x 1 e2xdx 2 0 0 2 2 0 0 u x 1 du dx 1 Gọi I x 1 e2xdx . Đặt 2x 1 2x e 0 dv e dx v 2 2x 1 1 2x e e 1 I 4 x 1 4 dx 2 e2x 2 e2 3 e2 1 0 2 0 0 2 2x 1 2 e 2 2 Vậy V 4 x 1 I1 2 3 e e 5 2 0 2 Câu 34: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x x2 . x2 x3 2 x3 1 A. f x dx C . B. f x dx C . 3 x 3 x x3 2 x3 1 C. f x dx C . D. f x dx C . 3 x 3 x Lời giải 3 2 2 x 2 Ta có x 2 dx C . x 3 x 2 Câu 35: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính tích phân I 2x x2 1dx bằng cách đặt u x2 1, mệnh đề 1 nào dưới đây đúng? 3 2 A. I 2 udu B. I udu 0 1 3 1 2 C. I udu D. I udu 0 2 1 Lời giải 2 I 2x x2 1dx 1 đặt u x2 1 du 2xdx . Đổi cận x 1 u 0 ; x 2 u 3
16. 3 Nên I udu 0 Câu 36: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 x 3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2 2 . 124 A. V 32 2 15 B. V 3 124 C. V D. V (32 2 15) 3 Lời giải Diện tích thiết diện là: S(x) 3x. 3x2 2 3 124 Thể tích vật thể là: V 3x. 3x2 2dx 1 3 1 Câu 37: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Biết F x là một nguyên hàm của f x và F 2 1. x 1 Tính F 3 . 1 7 A. F 3 ln2 1 B. F 3 ln2 1 C. F 3 D. F 3 2 4 Lời giải 1 F (x) f (x)dx dx ln x 1 C . F (2) 1 ln1 C 1 C 1. x 1 Vậy F(x) ln x 1 1. Suy ra F (3) ln 2 1 . 4 dx Câu 38: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5, với a,b, c là các số 2 3 x x nguyên. Tính S a b c. A. S 6 .B. S 2 . C. S 2 . D. S 0. Lời giải 1 1 1 1 Ta có: . x 2 x x(x 1) x x 1 4 dx 4 1 1 4 I dx ln x ln(x 1) (ln 4 ln 5) (ln 3 ln 4) Khi đó: 2 3 x x 3 x x 1 3 4ln 2 ln 3 ln 5. Suy ra: a 4, b 1, c 1. Vậy S 2. 3 Câu 39: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy x x 2 và đồ thị hàm số y x x A. 3 7 B. 9 C. 81 D. 13 1 2 4 12
17. Lời giải x 0 3 2 3 2 Phương trình hoành độ giao điểm x x x x x x 2x 0 x 1 x 2 3 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x và đồ thị hàm số y x x là: 1 0 1 S x3 x x x2 dx x3 x2 2x dx x3 x2 2x dx 2 2 0 0 1 4 3 4 3 x x 2 x x 2 16 8 1 1 37 x x 4 1 . 4 3 4 3 4 3 4 3 12 2 0 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ m2 và phần còn lại là 100.000 2 đồng/ m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2 8 m , B1B2 6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ 3 m ? B2 M N A1 A2 Q P B 1 A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng. C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng. Lời giải y B2 3 M N x A1 A2 O 4 Q P B1 x2 y2 Giả sử phương trình elip E : 1. a2 b2 2 2 A1 A2 8 2a 8 a 4 x y 3 Theo giả thiết ta có E : 1 y 16 x2 . B1B2 6 2b 6 a 3 16 9 4 2 Diện tích của elip E là S E ab 12 m . M d  E 3 3 3 Ta có: MQ 3 với d : y M 2 3; và N 2 3; . N d  E 2 2 2 4 3 2 2 Khi đó, diện tích phần không tô màu là S 4 16 x dx 4 6 3 m . 2 3 4
18. Diện tích phần tô màu là S S E S 8 6 3 . Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là T 100.000 4 6 3 200.000 8 6 3 7.322.000 đồng. 1 Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx và 2 g x dx2 ex 1 a,b,c,d,e ¡ . Biết rằng đồ thị hàm số y f x và y g x cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3 ; 1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng 9 A. B. 8 C. 4 D. 5 2 Lời giải Cách 1: 1 3 Xét phương trình ax3 bx2 cx dx2 ex 1 Û ax3 + (b- d ) x2 + (c- e) x- = 0 có 3 2 2 3 3 27a 9 b d 3 c e 0 b d 2 2 3 1 nghiệm lần lượt là 3 ; 1; 1 nên suy ra a b d c e 0 a 2 2 3 1 a b d c e 0 c e 2 2 1 3 1 3 Vậy f x g x x3 x2 x . 2 2 2 2 Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng 1 1 S f x g x dx g x f x dx 3 1 1 1 1 3 3 2 1 3 1 3 3 2 1 3 S x x x dx x x x dx 2 2 4 . 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 Cách 2: (người phản biện đề xuất) Ta có: f x g x a x 3 x 1 x 1 . 3 Suy ra a x 3 x 1 x 1 ax3 b d x2 c d x 2
19. 3 1 Xét hệ số tự do suy ra: 3a a . 2 2 1 Do đó: f x g x x 3 x 1 x 1 . 2 1 1 Diện tích bằng: S f x g x dx g x f x dx 3 1 1 1 1 1 S x 3 x 1 x 1 dx x 3 x 1 x 1 dx 4 . 2 3 2 1 2 2 Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x thoả mãn f 2 và f x 2x f x với 9 mọi x ¡ . Giá trị của f 1 bằng. 35 2 19 2 A. B. C. D. 36 3 36 15 Lời giải 2 f x f x 1 Ta có f x 2x f x 2x dx 2xdx x2 C 2 2 f x f x f x 1 2 2 1 1 f x . Theo giả thiết: f 2 C . x2 C 9 9 4 C 2 1 2 Vậy f x f 1 . 1 x2 3 2 Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx 1 và 1 g x dx2 ex a,b,c,d,e ¡ . Biết rằng đồ thị của hàm số y f (x) và y g(x) cắt 2 nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3; 1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 253 B. 125 C. 253 D. 125 12 12 48 48 Lời giải Vì phương trình f ( x) g ( x) 0 có 3 nghiệm 3; 1; 2 nên f x g x a x 3 x 2 x 1 .
20. 3 1 So sánh hệ số tự do ta được 6a a . Do đó 2 4 2 1 253 S x 3 x 1 x 2 dx . 3 4 48 1 Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2 và 25 3 2 f x 4x f x với mọi x ¡ . Giá trị của f 1 bằng 41 1 391 1 A. B. C. D. 400 10 400 40 Lời giải f x 2 3 1 1 4 3 4x 3 Ta có f x 4x f x 2 4x x C f x f x f x 1 1 1 Do f 2 , nên ta có C 9 . Do đó f x f 1 . 25 x 4 9 10 3 Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx và 4 3 g x dx2 ex , a,b,c,d,e ¡ . Biết rằng đồ thị của hàm số y f x và y g x cắt 4 nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 125 253 A. B. C. D. 48 24 48 24 Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3 3 3 ax3 bx2 cx dx2 ex ax3 b d x2 c e x 0 . 4 4 2 3 Đặt h x ax3 b d x2 c e x 2 3 Dựa vào đồ thị ta có h x ax3 b d x2 c e x có ba nghiệm là x 2; x 1;x 3. 2 3 Với x 2 ta có 8a 4 b d 2 c e , 1 . 2 3 Với x 1 ta có a b d c e , 2 . 2 3 Với x 3 ta có 27a 9 b d 3 c e , 3 . 2
21. 3 1 8a 4 b d 2 c e a 2 4 3 1 Từ 1 , 2 và 3 ta có a b d c e b d . 2 2 3 5 27a 9 b d 3 c e c e 2 4 Hay ta có 3 1 1 1 5 3 3 1 1 5 3 63 4 253 S f x g x dx x3 x2 x dx x3 x2 x dx . 2 2 4 2 4 2 1 4 2 4 2 16 3 48 1 Câu 7: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2 và 5 3 2 f x x f x với mọi x ¡ . Giá trị của f 1 bằng 4 71 79 4 A. B. C. D. 35 20 20 5 Lời giải 2 2 2 f x f x Ta có: f x x3 f x x3 dx x3dx 2 2 f x 1 f x 1 2 1 15 1 1 15 4 f 1 . f x 4 f 2 f 1 4 5 1 Câu 8: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến 1 59 thiên theo thời gian bởi quy luật v t t 2 t m / s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 150 75 từ lúc a bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a m / s2 ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 20 m / s .B. 16 m / s . C. 13 m / s . D. 15 m / s . Lời giải 15 1 2 59 Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là S t t dt 96 m . 0 150 75 Vận tốc của chất điểm B là v t adt at C . B Tại thời điểm t 3 vật B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên vB 3 0 C 3a . Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là 15 15 at 2 S2 at 3a dt 3at 72a m . 2 3 3 4 Vậy 72a 96 a m / s2 . 3 Tại thời điểm đuổi kịp A thì vận tốc của B là vB 15 16 m / s . Câu 9: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hai hàm số f x ax2 bx2 cx 2 và g x dx2 ex 2 ( a , b , c , d , e ¡ ). Biết rằng đồ thị của hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; 1; 1 (tham khảo hình vẽ).