Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tích phân (Phần 2) - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tích phân (Phần 2) - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc thời gian t h có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. s 26,75 km B. s 25,25 km C. s 24,25 km D. s 24,75 km Lời giải 3 Tìm được phương trình của vận tốc là v t t2 3t 6 4 3 3 Vậy S ( t2 3t 6)dt 24,75 0 4 Câu 18: Cho F x x2 là một nguyên hàm của hàm số f x .e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' x .e2x . A. f ' x .e2xdx 2x2 2x C B. f ' x .e2xdx 2x2 2x C C. f ' x .e2xdx x2 x C D. f ' x .e2xdx x2 2x C Lời giải: Ta có f x .e 2 x F ' x 2x f x .e 2 x ' 2 hay f '(x)e2x 2 f(x)e2x 2 f '(x)e2x 4x 2 Suy ra f '(x)e2x 2 4x nên f ' x .e2xdx 2x2 2x C. Câu 19: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v( km / h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
2. A. s 15, 50(km) B. s 23, 25(km) C. s 13, 83(km) D. s 21, 58(km) Lời giải c 4 b 5 Gọi phương trình của parabol v at 2 bt c ta có hệ như sau: 4a 2b c 9 c 4 b 5 2 a 2a 4 31 Với t 1 ta có v . 4 1 3 5 2 31 259 Vậy quãng đường vật chuyển động được là s t 5t 4 dt dt 21,583 0 4 1 4 12 Câu 20: (Đề tham khảo lần 2 2017) GọiS là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , 0 trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt a f x dx , 1 2 b f x dx , mệnh đề nào sau đây đúng? 0 A. S b a B. S b a C. S b a D. S b a Lời giải
3. Ta có: 2 0 2 0 2 S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a b . 1 1 0 1 0 1 dx 1 e Câu 21: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho a bln , với a, b là các số hữu tỉ. Tính x 0 e 1 2 3 3 S a b . A. S 2 . B. S 2 . C. S 0 . D. S 1. Lời giải Cách 1. Đặt t ex dt exdx . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1 1 x e e dx e dx dt 1 1 e dt ln t ln t 1 1 ln 1 e ( ln 2) x x x 1 0 e 1 0 e e 1 1 t t 1 1 t t 1 2 1 e a 1 3 3 1 ln 1 ln S a b 0 . 1 e 2 b 1 1 1 x x 1 1 x dx e 1 e d e 1 1 1 1 e Cách 2. dx dx x ln ex 1 1 ln . x x x 0 0 0 e 1 0 e 1 0 0 e 1 2 Suy ra a 1 và b 1. Vậy S a3 b3 0 . 1 Câu 22: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 0 1 2 f 1 f 0 2 . Tính f x dx . 0 A. I 12 B. I 8 C. I 1 D. I 8 Lời giải 1 u x 1 du dx 1 Đặt . Khi đó I x 1 f x f x dx 0 dv f x dx v f x 0
4. 1 1 Suy ra 10 2 f 1 f 0 f x dx f x dx 10 2 8 0 0 1 Vậy f x dx 8. 0 4 2 f (x)dx 16 I f (2x)dx Câu 23: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho 0 . Tính 0 A. I 32 .B. I 8 . C. I 16 . D. I 4 Lời giải dt Đặt t 2x =dx . Đổi cận x 0 t 2 ; x 2 t 4 2 2 1 4 1 4 Khi đó ta có I f (2x)dx f (t)dt f (x)dx 8 0 0 0 2 2 Câu 24: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé 2 của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) 8m A. 7.862.000 đồngB. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
5. x 2 y 2 Giả sử elip có phương trình 1 . a 2 b 2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 5 y 64 x2 (E ) x2 y2 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 64 25 5 y 64 x2 (E ) 8 2 Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx 4 8 2 0 40 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sin t , ta được S 20 3 3 40 Khi đó số tiền là T 20 3 .100000 7652891,82 ; 7.653.000. 3 Câu 1: (Tham khảo 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1 1 1 2 1 f 1 0,  f (x) dx 7 và x2 f (x)dx . Tính tích phân f (x)dx 0 0 3 0 7 7 A. B. 1 C. D. 4 5 4 Lời giải x3 Cách 1: Đặt u f x du f x dx , dv x2dx v . 3 1 1 x3 1 x3 1 Ta có f x f x dx x3 f x dx 1 3 3 0 0 3 0 1 1 1 1 6 2 3 3 2 Ta có 49x dx 7,  f (x) dx 7, 2.7x . f x dx 14 7x f (x) dx 0 0 0 0 0 7x4 7 7x3 f (x) 0 f x C , mà f 1 0 C 4 4 1 1 7x4 7 7 f (x)dx dx . 0 0 4 4 5 Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: b 2 b b 2 2 f x g x dx f x dx. g x dx a a a Dấu bằng xảy ra khi f x k.g x , x a;b,k R 2 1 3 1 6 1 3 1 x x 2 1 x Ta có f x dx dx. f x dx . Dấu bằng xảy ra khi f x k. . 9 0 3 0 9 0 9 3
6. 1 x3 1 7x4 7 Mặt khác f x dx k 21 f x 7x3 suy ra f x . 0 3 3 4 4 1 1 7x4 7 7 Từ đó f (x)dx dx . 0 0 4 4 5 Câu 2: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ 1 thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh I ; 8 và trục đối xứng song 2 song với trục tung như hình bên. Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy? A. s 4 (km) B. s 2,3 (km)C. s 4,5 (km) D. s 5,3 (km) Lời giải Gọi parabol là P : y ax2 bx c. Từ hình vẽ ta có P đi qua O 0; 0 , A 1; 0 và điểm 1 I ; 8 . 2 c 0 a 32 Suy ra a b c 0 b 32 . a b c 0 c 8 4 2 3 4 Vậy P : y 32x2 32x . Quảng đường người đó đi được là s 32x2 32x dx 4,5 (km) 0
7. Câu 3: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình g x 2 f x x 1 2 bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g 1 g 3 g 3 B. g 1 g 3 g 3 C. g 3 g 3 g 1 D. g 3 g 3 g 1 Lời giải Ta có: g x 2 f x 2 x 1 g 3 2 f 3 4, g 1 2 f 1 4, g 3 2 f 3 8 Lại có nhìn đồ thị ta thấy f 3 2, f 1 2, f 3 4 g 3 g 1 g 3 0 Hay phương trình g x 0 f x x 1 có 3 nghiệm Nhìn đồ thị ta có bảng biến thiên, suy ra g 3 g 1 , g 3 g 1 . Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y x 1 và đồ thị hàm số 1 3 y f , (x) trên 2 miền  3;1 và 1;3 , ta có x 1 f x dx f x x 1 dx 3 1 1 3 g (x)dx g x dx g 1 g 3 g 3 g 1 g 3 g 3 . 3 1 Vậy g 1 g 3 g 3 . Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hàm số y f (x). Đồ thị y f (x) của hàm số như hình bên. Đặt g x 2 f x x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
8. A. g 1 g 3 g 3 B. g 1 g 3 g 3 C. g 3 g 3 g 1 D. g 3 g 3 g 1 Lời giải Ta có g x 2 f x 2x g x 0 x 3;1; 3. Từ đồ thị của y f x ta có bảng biến thiên của hàm g x . Suy ra g 3 g 1 . Kết hợp với BBT ta có: 1 3 3 3 g x dx g x dx g x dx g x dx 3 1 1 1 g 3 g 1 g 3 g 1 g 3 g 3 g 3 g 3 g 1 Vậy ta có . Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình bên. 2 Đặt g x 2 f x x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9. A. g 3 g 3 g 1 B. g 3 g 3 g 1 C. g 1 g 3 g 3 D. g 1 g 3 g 3 Lời giải Ta có g x 2 f x 2 x 1 x 1 g x 0 f x x 1 . x 3 Bảng biến thiên Suy ra g 3 g 1 và g 3 g 1 . Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích của phần màu xanh lớn hơn phần màu tím, nghĩa là 1 3 f x x 1 dx x 1 f x dx 0 , hay 3 1 1 3 3 f x x 1 dx f x x 1 dx 0 , suy ra f x x 1 dx 0 . Từ đó 3 1 3 3 3 g 3 g 3 g x dx 2 f x x 1 dx 0 . Vậy g 1 g 3 g 3 . 3 3
10. Câu 6: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Đặt h x 2 f x x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. h 2 h 4 h 2 B. h 2 h 2 h 4 C. h 4 h 2 h 2 D. h 4 h 2 h 2 Lời giải Ta có h' x 2 f ' x x ; h' x 0 x 2; 2; 4. Bảng biến thiên Suy ra h 2 h 4 . Kết hợp với BBT ta có 2 4 2 2 h x dx h x dx h x dx h x dx 2 2 2 4 h 2 h 2 h 2 h 4 h 4 h 2 . Vậy ta có h 2 h 4 h 2 . Câu 7: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thoả mãn 3 2 f x f x 2 2cos 2x ,x ¡ . Tính I f x dx. 3 2 A. I 6 B. I 0 C. I 2 D. I 6 Lời giải 3 0 0 0 2 Đặt x t . Khi đó f x dx f t d t f t dt f x dx 3 3 3 0 2 2 2 3 3 3 3 2 0 2 2 2 Ta có: I f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x 3 3 0 0 0 2 2
11. 3 3 3 2 2 2 Hay I f x f x d x 2 2cos 2xd x 2(1 cos 2x)d x 0 0 0 3 3 3 2 2 2 2 I 4cos2 xd x 2 cos x d x 2 cos xd x 2 cos xd x 0 0 0 2 3 2 2 Vậy I 2sin x |0 2sin x | 6. 2 2 3 3 f x dx 2 f x dx 1 f x dx Câu 7. [MH-2020] Nếu 1 và 2 thì 1 bằng A. 3 . B. 1. C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B. 3 2 3 Ta có f x dx f x dx f x dx 2 1 1. 1 1 2 Câu 11. [MH-2020] Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x 6x là A. sin x 3x2 C . B. sin x 3x2 C . C. sin x 6x2 C . D. sin x C . Lời giải Chọn A. Ta có f x dx cos x 6x dx sin x 3x2 C . x 2 Câu 24. [MH-2020] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng 1; là x 1 A. x 3ln x 1 C. B. x 3ln x 1 C. 3 3 C. x C. D. x C. x 1 2 x 1 2 Lời giải Chọn A. Trên khoảng 1; thì x 1 0 nên x 2 3 f (x)dx dx 1 dx x 3ln x 1 C x 3ln x 1 C. x 1 x 1 Câu 29. [MH-2020] Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
12. 2 2 A. 2x2 2x 4 dx .B. 2x2 2x 4 dx . 1 1 2 2 C. 2x2 2x 4 dx . D. 2x2 2x 4 dx . 1 1 Lời giải Chọn A. Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là: 2 2 x2 2 x2 2x 2 dx 2x2 2x 4 dx. 1 1 x 8 Câu 38. [MH-2020] Cho hàm số f x có f 3 3 và f x , x 0 . Khi đó f x dx x 1 x 1 3 bằng 197 29 181 A. 7 . B. . C. . D. . 6 2 6 Lời giải Chọn B. x Xét f x dx dx . Đặt t x 1 x 1 t 2 x t 2 1 dx 2tdt . x 1 x 1 x t 2 1 t 1 . t 1 Khi đó, f x dx dx 2tdt 2tdt 2t 2 dt x 1 x 1 t 2 t t. t 1 t 2 2t C x 1 2 x 1 C . Mà f 3 3 3 1 2 3 1 C 3 C 5. f x x 1 2 x 1 5 x 2 x 1 4 . 8 8 8 2 x 4 3 19 197 f x dx x 2 x 1 4 dx x 1 4x 36 . 2 3 6 6 3 3 3 Câu 44. [MH-2020] Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x ex , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là: A. sin 2x cos 2x C . B. 2sin 2x cos 2x C . C. 2sin 2x cos 2x C . D. 2sin 2x cos 2x C . Lời giải Chọn C.
13. Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x ex nên f x ex cos 2x f x ex 2sin 2x . Khi đó ta có f x exdx cos 2x C . u f x du f x dx Đặt . x x dv e dx v e Khi đó f x exdx cos 2x C f x d ex cos 2x C f x ex f x exdx cos 2x C f x exdx 2sin 2x cos 2x C . Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là 2sin 2x cos 2x C . Câu 48. [MH-2020] Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thảo mãn 0 xf x3 f 1 x2 x10 x6 2x,x ¡ . Khi đó f x dx ? 1 17 13 17 A. . B. . C. . D. 1. 20 4 4 Lời giải Chọn B. Ta có xf x3 f 1 x2 x10 x6 2x x2 f x3 xf 1 x2 x11 x7 2x2 . Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được: 1 1 1 x2 f x3 dx x f 1 x2 dx x11 x7 2x2 dx 0 0 0 1 1 1 1 5 f x3 d x3 f 1 x2 d 1 x2 3 2 8 0 0 . 1 1 1 0 5 f t dt f t dt 3 0 2 1 8 1 1 1 1 5 5 1 5 1 3 f t dt f t dt f t dt f t dt 3 0 2 0 8 6 0 8 0 4 1 3 Suy ra f x dx . 0 4 Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 0 ta được: 0 0 0 x2 f x3 dx x f 1 x2 dx x11 x7 2x2 dx 1 1 1 1 0 1 0 17 f x3 d x3 f 1 x2 d 1 x2 3 1 2 1 24 1 0 1 1 17 f t dt f t dt 3 1 2 0 24 1 0 1 1 17 f t dt f t dt 3 1 2 0 24 1 0 17 1 1 f t dt f t dt 3 1 24 2 0
14. 1 0 17 1 1 17 1 3 13 0 13 f x dx f x dx . f x dx . 3 1 24 2 0 24 2 4 12 1 4