Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tổ hợp. Xác suất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi trích trong đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tổ hợp. Xác suất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Câu 1. [Tham khảo THPTQG 2019] Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k n , mệnh đề nào dưới đây đúng? n! n! n! k! n k ! A. C k . B. C k . C. C k . D. C k . n k! n k ! n k! n n k ! n n! Lời giải n! Số các số tổ hợp chập k của n được tính theo công thức: C k . n k! n k ! Câu 2. [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh. 34 2 2 2 A. 2 B. A34 C. 34 D. C34 Lời giải Mỗi một cách chọn hai học sinh trong một nhóm gồm 34 học sinh là một tổ hợp chập hai của 34 phần tử. 2 Vậy số cách chọn là: C34 . Câu 3. [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? 2 7 2 2 A. C7 B. 2 C. 7 D. A7 Lời giải 2 Số các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau được lấy ra từ 7 chữ số trên là: A7 . Câu 4. [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ các chữ số 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? 8 2 2 2 A. 2 B. C8 C. A8 D. 8 Lời giải Số số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8 là số cách chọn 2 chữ số khác nhau từ 8 số khác nhau có thứ tự. 2 Vậy có A8 số. Câu 5. [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh ? 2 38 2 2 A. A38 . B. 2 . C. C38 . D. 38 . Lời giải 2 C38 Câu 6. [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng 5 7 1 2 A. . B. . C. . D. . 12 44 22 7 Lời giải Gọi A là biến cố: “lấy được 3 quả cầu màu xanh”
2. 3 C5 1 Ta có P A 3 . C12 22 Câu 7. [Tham khảo 2018] Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là 8 2 2 2 A. A10 B. A10 C. C10 D. 10 Lời giải Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một 2 tổ hợp chập 2 của 10phần tử Số tập con của M gồm 2 phần tử là C10 Câu 8. [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh 4 24 4 33 A. B. C. D. 455 455 165 91 Lời giải 3 Số phần tử của không gian mẫu n  C15 455 . 3 Gọi A là biến cố "3 quả cầu lấy được đều là màu xanh". Suy ra n A C4 4. 4 Vậy xác suất cần tìm là P A . 455 Câu 9. [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x 2x 1 6 3x 1 8 bằng A. 13368 B. 13368 C. 13848 D. 13848 Lời giải 6 8 6 8 k 6 k k m 8 m m Ta có x 2x 1 3x 1 x.C6 2x 1 C8 3x 1 k 0 m 0 6 8 k 6 k k 7 k m 8 m m 8 m C6 2 1 .x C8 3 1 .x k 0 m 0 Để có số hạng của x5 trong khai triển thì k 2;m 3 5 2 4 3 5 3 Do đó hệ số của x trong khai triển bằng: C6 .2 C8 . 3 1 13368. Câu 10. [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ một hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng? A. 12 B. 5 C. 2 4 D. 4 65 21 9 1 91 Lời giải 3 Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 15 quả cầu đã cho có C15 cách. 3 Lấy được 3 quả cầu màu xanh từ 6quả cầu xanh đã cho có C6 cách.
3. 3 C6 4 Vậy xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh là P 3 . C15 91 Câu 11. [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x 2x 1 6 x 3 8 bằng A. 1272 B. 1272 C. 1752 D. 1752 Lời giải 5 6 4 4 2 Hệ số của x trong khai triển biểu thức x 2x 1 là C6 2 1 240 . 5 8 5 3 Hệ số của x trong khai triển biểu thức x 3 là C8 3 1512 . 6 8 Suy ra hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x 2x 1 x 3 là 240 1512 1272. Câu 12. [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ một hộp chứa1 0quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng 2 12 1 24 A. B. C. D. 91 91 12 91 Lời giải 3 Số phần tử không gian mẫu: n  C15 455 (phần tử). Gọi A là biến cố: “ lấy được 3 quả cầu màu xanh”. 3 Khi đó, n A C5 10 (phần tử ). 3 n A C5 2 Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh: P A 3 . n  C15 91 Câu 13. [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x(x 2)6 (3x 1)8 bằng A. 13548 B. 13668 C. 13668 D. 13548 Lời giải 4 6 4 2 Hệ số của x trong khai triển nhị thức (x 2) là C6 2 60 . 5 8 5 5 Hệ số của x trong khai triển nhị thức (3x 1) là C8 ( 3) 13608 . Vậy hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x(x 2)6 (3x 1)8 bằng 13608 60 13548. Câu 14. [Tham khảo 2018] Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng 5 6 5 8 A. B. C. D. 22 11 11 11 Lời giải 2 2 Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là C11 , Suy ra n  C11 2 2 Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra n A C5 C6
4. 2 2 C5 C6 5 Xác suất của biến cố A là P A 2 C11 11 1 2 Câu 15. [Tham khảo 2018] Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 55 , số hạng không chứa x n 3 2 trong khai triển của biểu thức x 2 bằng x A. 322560 B. 3360 C. 80640 D. 13440 Lời giải 1 2 Ta có: Cn Cn 55 n! n! n n 1 2 n 10 55 n 55 n n 110 0 n 10 1! n 1 ! 2! n 2 ! 2 n 11 Với n 10 thì ta có: n 10 10 k 2 2 10 2 10 10 x3 = x3 C k .x3k . C k .x3k .210 k.x2k 20 C k .210 k.x5k 20 2 2  10 2  10  10 x x k 0 x k 0 k 0 Để có số hạng không chứa x thì 5k 20 0 k 4 . 4 6 Do đó hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: C10.2 13440 . Câu 16. [Tham khảo THPTQG 2019] Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 , gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 5 20 5 10 Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là  6! 720 . Gọi A là biến cố mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ . Ta có: Xếp 3 học sinh nữ vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách. Xếp 3 học sinh nam vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách. Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn nam và nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 23 cách. Suy ra A 3!.3!.23 288 . A 288 2 Vậy P A .  720 5 5 6 8 Câu 17. [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Hệ số của x trong khai triển x 3x 1 2x 1 bằng A. 3007 . B. 577 . C. 3007 . D. 577 . Lời giải 6 8 6 8 k k 6 k m m 8 k x 3x 1 2x 1 xC6 . 3x 1 C8 . 2x 1 k 0 m 0
5. 6 8 k k 6 k k 1 m m 8 k m C6 .3 1 x C8 .2 1 x . k 0 m 0 Hệ số x5 ứng với k 4 ; m 5 . 4 4 2 5 5 3 Hệ số cần tìm là C6 .3 1 C8 .2 1 577 . Câu 18. [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;19. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 1027 2539 2287 109 A. . B. . C. . D. . 6859 6859 6859 323 Lời giải Ta có n  193 . Trong các số tự nhiên thuộc đoạn 1;19 có 6 số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15;18, có 7 số chia cho 3 dư 1 là 1;4;7;10;13;16;19, có 6 số chia cho 3 dư 2 là 2;5;8;11;14;17 . Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau: TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3 . Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 73 cách viết. TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3 , có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết. 63 73 63 6.7.6.3! 2287 Vậy xác suất cần tìm là: p A . 193 6859 Câu 19. [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;17. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 1728 1079 23 1637 A. B. C. D. 4913 4913 68 4913 Lời giải Ta có n  173 . Trong các số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 có 5 số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15, có 6 số chia cho 3 dư 1 là 1;4;7;10;13;16, có 6 số chia cho 3 dư 2 là 2;5;8;11;14;17 . Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau: TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho3 . Trong trường hợp này có: 53 cách viết. TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3 , có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 5.6.6.3! cách viết. 53 63 63 5.6.6.3! 1637 Vậy xác suất cần tìm là: p A . 173 4913
6. Câu 20. [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Ba bạn A, B, C viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;14. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A. 457 B. 307 C. 207 D. 31 1372 1372 1372 91 Lời giải 3 Số phần tử không gian mẫu : n() 14 . Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn 1;14 có : 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số chia hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau: TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có : 4 3 (cách) TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có: 5 3 (cách) TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có: 5 3 (cách) TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba người viết lên bảng nên có: 4.5.5.3!(cách) Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3” 3 3 3 Ta có : n(E) 4 5 5 4.5.5.3! 914. 914 457 Vậy xác suất cần tính: P(E) . 143 1372 Câu 21. [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;16. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng. 683 1457 19 77 A. B. C. D. 2048 4096 56 512 Lời giải Gọi 3 số cần viết ra là a,b,c . Ta có n  163 . Phân đoạn 1;16 ra thành 3 tập: X 3,6,9,12,15 là những số chia hết cho 3 dư 0 , có 5 số. Y 1,4,7,10,13,16 là những số chia hết cho 3 dư 1, có 6 số. Z 2,5,8,11,14 là những số chia hết cho 3 dư 2, có 5 số. Ta thấy 3 số a,b,c do A, B, C viết ra có tổng chia hết cho 3 ứng với 2 trường hợp sau: TH1: cả 3 số a,b,c cùng thuộc một tập, số cách chọn là 63 53 63 466. TH2: cả 3 số a,b,c thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là 3!.5.5.6 900 . 466 900 683 Xác suất cần tìm P A . 163 2048 Câu 22. [Tham khảo 2018] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. B. C. D. 630 126 105 42
7. Lời giải n  10! Gọi H là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau” + Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp + Giữa 5 học sinh lớp C và ở hai đầu có 6 khoảng trống TH1: Xếp 5 học sinh của hai lớp A và B vào 4 khoảng trống ở giữa và 1 khoảng trống ở 1 đầu thì có 2.5! cách xếp TH2: Xếp 5 học sinh vào 4 khoảng trống giữa 5 học sinh lớp C sao cho có đúng một khoảng trống có 2 học sinh thuộc 2 lớp A, B thì có 2!.2.3.4! cách xếp. 11 Suy ra, n H 5! 2.5! 2!.2.3.4! p H . 630 Câu 1. [MH-2020] Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh? A. 14. B. 48 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn A. Số cách chọn 1học sinh từ nhóm gồm 14 học sinh là 14. Câu 36. [MH-2020] Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn bằng 41 4 1 16 A. . B. . C. . D. . 81 9 2 81 Lời giải Chọn A. Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn. Ta có n  9.9.8 648 . Vì số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn nên sãy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: Ba chữ số được chọn đều là số chẳn 3 Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn là A5 . 2 Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn trong đó số 0 đứng đầu là A4 . 3 2 Vậy nên số số thỏa biến cố A là: A5 A4 48 số. Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn. 2 1 Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn là C5 .C5.3!. 2 Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số chẳn là số 0 đứng đầu là C5 .2!. 2 1 2 Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C5 .C5.3! C5 .2! 280 số. Do vậy n A 280 48 328 . n A 328 41 Ta có P A . n  648 81