Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 44: [DS11.C2.2.BT.c] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100 ? 3 3 3 3 A. 2018.C897 . B. C1009 . C. 2018.C895 .D. 2018.C896 . Lời giải Chọn D Gọi A1 , A2 , , A2018 là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh. Gọi O là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A1 A2 A2018 . Các đỉnh của đa giác đều chia O thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng 360 . 2018 Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của O . Suy ra góc lớn hơn 100 sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200. Cố định một đỉnh Ai . Có 2018 cách chọn Ai . ¼ Gọi Ai , Aj , Ak là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho Ai Ak 160 thì · Ai Aj Ak 100 và tam giác Ai Aj Ak là tam giác cần đếm. 160 Khi đó A¼A là hợp liên tiếp của nhiều nhất 896 cung tròn nói trên. i k 360 2018 2 896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh Ai thì còn 896 đỉnh. Do đó có C896 cách chọn hai đỉnh Aj , Ak . 2 Vậy có tất cả 2018.C896 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Phân tích sai lầm khi giải bài tập này: · ¼ Giả sử Am An Ap 100 thì cung Am Ap (không chứa điểm An ) sẽ có số đo lớn hơn 200. 200 Tức là cung ¼A A (không chứa điểm A ) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất 1 1122 cung m p n 360 2018 tròn bằng nhau nói trên. Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau: + Bước 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của 1122 cung tròn bằng nhau nói trên. Có 2017 - 2018 cách đánh dấu. + Bước 2: Trong 2018 1121 897 điểm không thuộc cung tròn ở bước 1 (bao gồm cả hai điểm 3 đầu mút của cung), chọn ra 3 điểm bất kì, có C897 cách chọn, 3 điểm này sẽ tạo thành tam giác có một góc lớn hơn 100 . 3 Vậy có tất cả 2018.C897 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2. Cách lập luận này là không chính xác, vì ta chưa trừ đi các trường hợp trùng nhau! Câu 46: [DS11.C2.2.BT.c] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho tập A 1;2;3; ;2018 và các số a,b,c A. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng abc sao cho a b c và a b c 2016 . A. 2027070 B. 2026086 C. 337681 D. 20270100 Lời giải Chọn C Xét phương trình a b c 2016 . 2 Ta biết phương trình trên có C2015 nghiệm nguyên dương. Xét các cặp nghiệm 3 số trùng nhau : a b c 672 . Xét các cặp nghiệm có a b 2a c 2016 có 1006 cặp (trừ cặp 672,672,672 ). Tương tự ta suy ra có 1006.3 cặp nghiệm có 2 trong 3 số trùng nhau. C 2 3.1006 1 Vậy số tập hợp gồm ba phần tử có tổng bằng 2016 là 2015 337681. 3! Mỗi tập hợp này tương ứng với một bộ abc thỏa mãn bài toán. Câu 39: [DS11.C2.2.BT.c] Với số nguyên k và n sao cho 1 k n. Khi đó n 2k 1 A. .C k là một số nguyên với mọi k và n k 1 n n 2k 1 B. .C k là một số nguyên với mọi giá trị chẵn của k và n . k 1 n n 2k 1 C. .C k là một số nguyên với mọi giá trị lẻ của k và n . k 1 n n 2k 1 k k 1 D. .Cn là một số nguyên nếu . k 1 n 1 Lời giải Chọn A Ta có n 2k 1 n k k 1 n k n k n! .C k .C k .C k C k . C k k 1 n k 1 n k 1 n n k 1 k!. n k ! n n! C k C k 1 C k . k 1 !. n k 1 ! n n n k 1 Do 1 k n k 1 n Cn luôn tồn tại với mọi số nguyên k và n sao cho 1 k n . k 1 k k 1 k Mặt khác Cn và Cn là các số nguyên dương nên Cn Cn cũng là một số nguyên.