Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Nhị thức Niu-tơn - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Nhị thức Niu-tơn - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 6: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1 x)n có hai hệ 7 số liên tiếp có tỉ số là . 15 A. 20 .B. 21. C. 22. D. 23. Lời giải Chọn B n n k k (1 x) Cn x . k 0 k 7 Cn 7 (k 1)!(n k 1)! 7 k 1 7 Vì hai hệ số liên tiếp tỉ lệ là nên k 1 . 15 Cn 15 k!(n k)! 15 n k 15 Vì n là số nguyên dương bé nhất nên n 7 15 1 21. n 1 Câu 8: [DS11.C2.3.BT.c] Số hạng thứ 3 của khai triển 2x 2 không chứa x. Tìm x biết rằng x 30 số hạng này bằng số hạng thứ hai của khai triển 1 x3 . A. 2. B. 1. C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn D n k 1 n 1 2x C k .(2x)n k . . 2  n 2 x k 0 x Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k 2 nên số hạng thứ ba của khai triển là 2 n 2 n 6 Cn .2 .x . Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n 6 0 n 6 . 30 Số hạng thứ 2 của khai triển 1 x3 là C1 .x3 30x3 . 30 2 4 3 Khi đó ta có C6 .2 30.x x 2 . Câu 32: [DS11.C2.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho biểu thức n n n 1 k P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ *. Biết an 9 an 8 và an 9 an 10 . Giá trị của n bằng: A. 13 .B. 14 .C. 12 .D. 15 . Lời giải Chọn A * Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: n 0 n 0 1 n 1 1 n k k n k n 1 1 n 1 n 0 n P x x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 , n ¥ * n n n 1 k mà P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ * n k n k n k k 8 n 8 8 8 9 9 10 10 Ta có: ak 2 Cn 2 Cn , 0 k n an 8 2 Cn 2 Cn , an 9 2 Cn , an 10 2 Cn * Theo đề bài với n 10, n ¥ *:
2. n! n! 29 28 2 1 25 an 9 an 8 9! n 9 ! 8! n 8 ! 9 n 8 n 2 n 13. an 9 an 10 9 n! 10 n! 1 1 2 2 n 14 9! n 9 ! 10! n 10 ! n 9 5 Câu 48: [DS11.C2.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Biết n 0 1 2 3 k k n n k 2 Cn iCn Cn iCn  i Cn  i Cn 32768i , với Cn là các số tổ hợp chập k của n 2 k k và i 1. Đặt Tk 1 i Cn , giá trị của T8 bằng A. 330i . B. 8i . C. 36i . D. 120i . Lời giải Chọn B Ta có: n 0 1 2 3 k k n n 2 Cn iCn Cn iCn  i Cn  i Cn 32768i n 0 1 2 2 3 3 k k n n 2 Cn iCn i Cn i Cn  i Cn  i Cn 32768i 2n 1 i n 215 i * 2 n 2k 1 Ta có 1 i 2i nên nếu n 2k 1, k ¥ , thì 1 i 1 i 2k ik 1 i nên không thỏa mãn * . n 2k Xét n 2k , k ¥ , thì 1 i 1 i 2k ik , nên: * 22k.2k.ik 215 i 23k ik 215 i k 5 n 10 . 7 7 Từ đó ta có T8 i C8 8i . Câu 46: [DS11.C2.3.BT.c] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho khai 2018 2017 triển T 1 x x2017 1 x x2018 . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng A. 4035 . B. 1. C. 2017 . D. 0 . Lời giải Chọn B 2018 k 2017 k k 2017 k 2018 Cách 1: Ta có T  C2018 x x  C2017 x x . k 0 k 0 Hệ số của số hạng chứa x ứng với k k 1. 1 1 Do đó hệ số cần tìm là C2018 C2017 1. 2 2017.2018 Cách 2: Ta có T a0 a1x a2 x a2017.2018 x f x 2017.2018 1 f x a1 2a2 x 2017.2018a2017.2018 x f 0 a1 . 2017 2016 Mà f x 2018 1 x x2017 1 2017x2016 2017 1 x x2018 1 2018x2017 f 0 2018 2017 1 a1 1. Do đó hệ số cần tìm là 1. Câu 37: [DS11.C2.3.BT.c] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương n 0 n 1 1 n 2 2 n n 10 thỏa mãn 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2048 . Hệ số của x trong khai triển x 2 n là: A. 11264.B. 22 .C. 220 .D. 24 .
3. Lời giải Chọn B n n 0 n 1 1 n 2 2 n n Ta có 3 1 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2n 2048 2n 211 n 11. 11 11 k 11 k k Xét khai triển x 2 C11x .2 k 0 Tìm hệ số của x10 tìm k ¥ k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1. 10 11 1 Vậy hệ số của x trong khai triển x 2 là C11.2 22 . Câu 9: [DS11.C2.3.BT.c] Câu nào sau đây sai? n 0 1 2 n 0 1 2 n n A. 2 Cn Cn Cn Cn . B. 0 Cn Cn Cn 1 Cn . 0 1 2 n n n 0 1 2 n n C. 1 Cn 2Cn 4Cn 2 Cn . D. 3 Cn 2Cn 4Cn 2 Cn . Lời giải Chọn C n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n Ta có: a b Cn a Cn a b Cn a b Cn b Thay a 1;b 1 ta được kết quả câu A Thay a 1;b 1 ta được kết quả câu B Thay a 1;b 2 ta được kết quả câu D 0 1 2 n n n Thay a 1;b 2 ta đượcCn 2Cn 4Cn 2 Cn 1 1 nên câu C sai. Câu 29: [DS11.C2.3.BT.c](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Tìm hệ số của x3 sau khi khai triển và rút 9 1 2 gọn các đơn thức đồng dạng của x 2x , x 0 . x A. 2940 .B. 3210 .C. 2940 .D. 3210 . Lời giải Chọn A Ta có 9 9 9 9 k 9 k 1 2 1 k 1 k k i k k i i 2k i 9 x 2x x 2x 1 C9 .x . 2x 1 CkC9 1 2 .x . x x k 0 x k 0 i 0 Theo yêu cầu bài toán ta có 2k i 9 3 2k i 12 ; 0 i k 9 ; i,k ¥ Ta có các cặp i;k thỏa mãn là: 0;6 , 2;5 , 4;4 . 3 0 6 6 0 0 2 5 5 2 2 4 4 4 4 4 Từ đó hệ số của x là : C6 C9 1 .2 C5 C9 1 .2 C4 C9 1 .2 2940 . Câu 32: [DS11.C2.3.BT.c] Câu nào sau đây sai? n 0 1 2 n 0 1 2 n n A. 2 Cn Cn Cn Cn .B. 0 Cn Cn Cn 1 Cn . 0 1 2 n n n 0 1 2 n n C.1 Cn 2Cn 4Cn 2 Cn .D. 3 Cn 2Cn 4Cn 2 Cn . Lời giải Chọn C n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n Ta có: a b Cn a Cn a b Cn a b Cn b Thay a 1;b 1 ta được kết quả câu A. Thay a 1;b 1 ta được kết quả câu B. Thay a 1;b 2 ta được kết quả câu D. 0 1 2 n n n Thay a 1;b 2 ta đượcCn 2Cn 4Cn 2 Cn 1 1 nên câu C sai.
4. 1 2 3 2016 Câu 40: [DS11.C2.3.BT.c] TổngC2016 C2016 C2016 C2016 bằng: A. 22016 .B. 22016 1.C. 22016 1. D. 42016 . Lời giải Chọn C 2016 0 2016 1 2015 2 2014 2016 0 Ta có: x 1 C2016.x C2016.x C2016.x C2016 .x . 2016 0 1 2 2016 Cho x 1, ta được: 1 1 C2016 C2016 C2016 C2016 . 1 2 2016 2016 0 2016 C2016 C2016 C2016 2 C2016 2 1. Câu 42: [DS11.C2.3.BT.c] Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển 1 x 3n bằng 64. Số 3n 1 hạng không chứa x trong khai triển 2nx 2 là: 2nx A. 360. B. 210. C. 250.D. 240. Lời giải Chọn D 3n Đặt: P x 1 x . 3n Tổng các hệ số trong khai triển là P 1 1 1 64 23n 64 8n 82 n 2 . 3n 6 1 1 Số hạng tổng quát trong khai triển 2nx 2 hay 4x 2 là 2nx 4x k k 6 k 1 k 6 2k 6 3k Tk 1 C6 . 4x . 2 C6 .4 .x . 4x Ta cần tìm k sao cho: 6 3k 0 3k 6 k 2 . 2 6 2.2 Số hạng không chứa x trong khai triển là: C6 .4 240 . 100 100 Câu 25: [DS11.C2.3.BT.c] Trong khai triển x 2 a0 a1x a100 x . Hệ số a97 là 3 97 98 98 A. 1293600. B. 1293600 .C. 2 .C100 . D. 2 .C100 . Lời giải. Chọn C 100 100 100 k k 100 k k 100 k k 100 Ta có x 2 C100.x . 2 C100. 2 .x a0 a1x a100 x k 0 k 0 k 100 k 97 3 3 97 Từ đó suy ra ak C100. 2 Vậy a97 C100. 2 2 .C100 . Câu 28: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển 9 10 11 12 13 14 15 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . A. 3000 . B. 8008 . C. 3003 . D. 8000 . Lời giải. Chọn B n 9 9 Xét 1 x với n 9 thì hệ số chứa x trong khai triển là: Cn . Vậy hệ số chứa x9 trong khai triển
5. 9 10 11 12 13 14 15 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x là: 9 9 9 9 9 9 9 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 8008 . Câu 30: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1 x n có hai hệ 7 số liên tiếp có tỉ số là . 15 A. 20 . B. 21. C. 22 . D. 23. Lời giải. Chọn B n n k k 1 x Cn x . k 0 k 7 Cn 7 k 1 ! n k 1 ! 7 k 1 7 Vì hai hệ số liên tiếp tỉ lệ là nên k 1 . 15 Cn 15 k! n k ! 15 n k 15 Vì n là số nguyên dương bé nhất nên n 7 15 1 21. n 1 Câu 32: [DS11.C2.3.BT.c] Số hạng thứ 3 của khai triển 2x 2 không chứa x . Tìm x biết rằng x 30 số hạng này bằng số hạng thứ hai của khai triển 1 x3 . A. 2 . B. 1. C. 1. D. 2 . Lời giải. Chọn D n k 1 n 1 2x C k .(2x)n k . . 2  n 2 x k 0 x Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k 2 nên số hạng thứ ba của khai triển là 2 n 2 n 6 Cn .2 .x . Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n 6 0 n 6. 30 Số hạng thứ 2 của khai triển 1 x3 là C1 .x3 30x3 . 30 2 4 3 Khi đó ta có C6 .2 30.x x 2 . n 1 2 3 n 1 Câu 33: [DS11.C2.3.BT.c] Trong khai triển 1 x biết tổng các hệ số Cn Cn Cn Cn 126. Hệ số của x3 bằng A. 15 . B. 21. C. 35. D. 20 . Lời giải. Chọn C n n k k 1 x Cn .x . k 0 Thay x 1 vào khai triển ta được n 0 1 n 1 n n 1 1 Cn Cn Cn Cn 1 126 1 128 2 128 n 7 . 3 3 Hệ số của x bằng C7 35 . 300 Câu 34: [DS11.C2.3.BT.c] Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển 10 8 3 ?
6. A. 37 . B. 38. C. 36. D. 39. Lời giải. Chọn B 300 300 300 k k 8 k 8 10 3 C300 10 . 3 . k 0 300 k2 Các số hạng hữu tỉ sẽ thỏa mãn k8. k8 Từ 0 đến 300 có 38 số chia hết cho 8. 0 2 4 2n Câu 39: [DS11.C2.3.BT.c] C2n C2n C2n C2n bằng A. 2n 2 . B. 2n 1 . C. 22n 2 .D. 22n 1 . Lời giải. Chọn D 2n 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2n Xét khai triển x 1 C2nx C2nx C2nx C2n . 2n 0 1 2 2n Thay x 1 vào khai triển ta được 2 C2n C2n C2n C2n (1) . Thay x 1 vào khai triển ta được : 0 1 2 2n 0 2 2n 1 3 2n 1 0 C2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n (2) . 0 2 4 2n 2n 1 Từ (1) và (2) suy ra C2n C2n C2n C2n 2 . n 1 Câu 40: [DS11.C2.3.BT.c] Cho khai triển 3 . Tìm n biết tỉ số giữa số hạng thứ tư và thứ ba 2 bằng 3 2 . A. 8. B. 10 . C. 6 . D. 5. Lời giải. Chọn D n n n k 1 k 1 k 3 Cn .3 . 2 k 0 2 Vì tỉ số giữa số hạng thứ tư và thứ ba bằng 3 2 n 3 3 1 3 Cn. .3 2 Nên ta có 3 2 C3 C2 n 5 . n 2 n n 2 1 2 Cn . .3 2 6 2 3 Câu 28: [DS11.C2.3.BT.c] Trong khai triển x , hệ số của x , x 0 là: x A. 60. B. 80.C. 160. D. 240 . Lời giải Chọn C 1 k k 6 k k 2 Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C6 .x 2 .x 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 k k 3 k 3 . 2 3 3 3 Khi đó hệ số của x là: C6 .2 160 .
7. 16 Câu 31: [DS11.C2.3.BT.c] Trong khai triển x y , tổng hai số hạng cuối là: A. 16x y15 y8 . B. 16x y15 y4 . C. 16xy15 y4 . D. 16xy15 y8 . Lời giải Chọn A 16 15 16 0 16 1 15 15 16 Ta có: x y C16 x C16 x . y C16 x y C16 y . 6 6 Câu 38: [DS11.C2.3.BT.c] Hệ số của x3 y3 trong khai triển 1 x 1 y là: A. 20 . B. 800. C. 36 .D. 400. Lời giải Chọn D k k m m Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C6 .x .C6 .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k m 3 . 3 3 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là: C6 .C6 400 . Câu 17: [DS11.C2.3.BT.c] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Hệ 2018 có giá trị lớn nhất khi 12 khai triển P x 1 2x2 thành đa thức là A. 162270. B. 162720. C. 126270. D. 126720. Lời giải Chọn C 12 12 k k 2k 2k k k Khai triển: P x C12 2 x  ak x với ak C12 2 . k 0 k 0 2 1 23 a a C k 1 2k 1 C k 2k k k 7 . k 1 k 12 12 k 1 12 k 3 Như vậy a0 a1 a2 a8 . 2 1 23 a a C k 1 2k 1 C k 2k k k 8 . k 1 k 12 12 k 1 12 k 3 Như vậy a8 a9 a10 a12 . 8 8 Vậy hệ 2018 có giá trị lớn nhất là a8 C12 2 126720 . Câu 9: [DS11.C2.3.BT.c] Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) 8(1 8x)8 9(1 9x)9 10(1 10x)10 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8 C9.9 10.C10.10 . B. C8 .8 C9.9 C10.10 . 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 .D. 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 Hướng dẫn giải: Chọn D 8 8 k 8 k 8 k Ta có: (1 8x) C8 8 x k 0
8. 9 9 k 9 k 9 k (1 9x) C9 9 x k 0 10 10 k 10 k 10 k (1 10x) C1010 x k 0 8 0 8 1 8 8 8 Nên hệ số chứa x là: 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 . Câu 10: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g(x) 8(1 x)8 9(1 2x)9 10(1 3x)10 A. 22094. B. 139131. C. 130282. D. 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A n n k k k k n k k Ta có: 1 ax Cn a x nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1 ax) là Cn a . Do i 0 đó: 8 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 x) là: C8 8 9 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 2x) là: C9 .2 8 10 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 3x) là:C10.3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g(x) thành đa thức là:8C8 9.2 .C9 10.3 .C10 22094 . 15 Câu 11: [DS11.C2.3.BT.c] Hệ số đứng trước x25.y10 trong khai triển x3 xy là: A. 2080 .B. 3003 . C. 2800 . D. . 3200 Hướng dẫn giải: Chọn A k 45 3k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15.x .x .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 . 15 25 10 3 10 Vậy hệ số đứng trước x .y trong khai triển x xy là:C15 3003 . Câu 16: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của n 1 5 n 1 n 3 x biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 . x A. 495. B. 313. C. 1303. D. 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A n 1 n n n 1 n Ta có: Cn 4 Cn 3 7 n 3 Cn 3 Cn 3 Cn 3 7 n 3 n 2 n 3 C n 1 7 n 3 7 n 3 n 3 2! n 2 7.2! 14 n 12. n 5 12 k 60 11k 1 12 k 12 x5 C k x 3 . x 2 C k x 2 Khi đó: 3  12  12 . x k 0 k 0 60 11k Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 8 k 4 . 2 12! Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C 4 495 . 12 4! 12 4 !
9. Câu 17: [DS11.C2.3.BT.c] Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức n 1 x x2 với n là số nguyên dương thoả mãn x 3 2 k k Cn 2n An 1 .( Cn , An tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A. 98. B. 98. C. 96. D. 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n 3 3 2 Ta có:Cn 2n An 1 n n 1 n 2 2n n 1 n 6 n 3 n 8 2 . n 9n 8 0 Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 2 1 0 1 1 1 x x x 1 x C8 8 C8 6 1 x x x x x 1 2 1 3 4 8 C 2 1 x C3 1 x C 4 1 x C8 x8 1 x 8 x4 8 x2 8 8 Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4 C3 1 x và C 4 1 x . 8 x2 8 3 2 4 0 Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 và C8 .C4 3 2 4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 C8 .C4 98. 40 1 31 Câu 18: [DS11.C2.3.BT.c] Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x x A. 9880. B. 1313. C. 14940. D. 1147 Hướng dẫn giải: Chọn A 18 3 1 Câu 19: [DS11.C2.3.BT.c] Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 số hạng độc lập đối với x x A. 9880. B. 1313. C. 14940.D. 48620 Hướng dẫn giải: Chọn.D. 9 C18 48620 . 12 4 x 3 Câu 20: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 x 55 13 621 1412 A. . B. . C. . D. 9 2 113 3123 Hướng dẫn giải: Chọn A 1 55 ( 3)4 C 4 . 38 12 9 Câu 22: [DS11.C2.3.BT.c] Cho đa thức P x 1 x 2 1 x 2 20 1 x 20 có dạng khai triển là 2 20 P x a0 a1x a2 x a20 x .
10. Hãy tính hệ số a15 . A. 400995. B. 130414. C. 511313. D. 412674 Hướng dẫn giải: Chọn A 20 15 a15  kCk 400995 . k 15 9 Câu 23: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm số hạng của khai triển 3 3 2 là một số nguyên A. 8 và 4536. B. 1 và 4184. C. 414 và 12. D. 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A 9 9 k 9 k 3 k 3 Ta có 3 2 C9 3 2 k 0 Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: k 2m 9 k 3n k 0,k 6 k 0, ,9 9 6 3 0 3 6 3 Các số hạng là số nguyên: C9 2 8 và C9 3 2 . Câu 29: [DS11.C2.3.BT.c] Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f (x) (3x2 2x 1)10 . A. 8089.B. 8085. C. 1303. D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn B 10 2 10 k 2 k f x 1 2x 3x C10 2x 3x k 0 10 k 10 k k i k i 2 i k i k i i k i C10 Ck (2x) .(3x ) C10 Ck 2 .3 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 i k 10. Do đó k i 4 với các trường hợp i 0,k 4 hoặc i 1, k 3 hoặc i k 2. 4 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 Vậy hệ số chứa x : 2 C10.C4 2 3 C10.C3 3 C10.C2 8085 . Câu 30: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2 3x)2n , biết n là số 1 3 5 2n 1 nguyên dương thỏa mãn: C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 . A. 2099529 .B. 2099520 . C. 2099529 . D. 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B 2n 1 C k 22n 1  2n 1 n k 0 Ta có: C 2i 1 22n 1024 n 5 n n  2n 1 2i 1 2i i 0 C2n 1 C2n 1 i 0 i 0 10 2n k 10 k k k Suy ra (2 3x) C10 2 .( 3) x k 0 7 7 3 7 Hệ số của x là C10.2 .( 3) 2099520 . Câu 31: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f (x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 A. 8089. B. 8085.C. 3003. D. 11312 Hướng dẫn giải:
11. Chọn B 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : C9 C10 C11 C12 C13 C14 3003. 5 10 Câu 32: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x 1 2x x2 1 3x A. 3320. B. 2130. C. 3210. D. 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt f (x) x 1 2x 5 x2 1 3x 10 5 10 k k k 2 i i Ta có: f (x) xC5 2 .x x C10 3x k 0 i 0 5 10 k k k 1 i i i 2 C5 2 .x C10 3 .x k 0 i 0 Vậy hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của f (x) ứng với k 4 và i 3 là: 4 4 3 3 C5 2 C10.3 3320 . 8 8 2 Câu 33: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f (x) 1 x 1 x A. 213. B. 230.C. 238. D. 214 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách 1 8 2 0 1 2 2 4 2 3 6 3 1 x 1 x C8 C8 x 1 x C8 x 1 x C8 x 1 x 4 8 4 5 10 5 8 16 8 C8 x 1 x C8 x 1 x C8 x 1 x Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 3 2 4 0 C8 .C3 , C8 .C4 . 8 8 2 Vậy hệ số cuả x trong khai triển đa thức 1 x 1 x là: 3 2 4 0 a8 C8 .C3 C8 .C4 238. Cách 2: Ta có: 8 8 n 8 2 n 2n n n k k 2n k 1 x 1 x C8 x 1 x C8 Cn 1 x n 0 n 0 k 0 với 0 k n 8. Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k 0; n 4 và k 2, n 3 . 8 3 2 4 0 Vậy hệ số của x là C8 .C3 C8 .C4 238 . 2 10 20 Câu 34: [DS11.C2.3.BT.c] Đa thức P x 1 3x 2x a0 a1x a20 x . Tìm a15 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10.3 C10.C9 .3 C10.C8 .3 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10.2 C10.C9 .2 C10.C8 .2 . 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .2 . 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 2 10 k 2 k Ta có: P x 1 3x 2x C10 3x 2x k 0
12. 10 k 10 k k i k i 2 i k i k i i k i C10 Ck (3x) .(2x ) C10 Ck .3 .2 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 i k 10 . Do đó k i 15 với các trường hợp k 10,i 5 hoặc k 9,i 6 hoặc k 8,i 7 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 Vậy a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 . 2 Câu 35: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 )n , biết rằng x n 1 n 2 Cn Cn 78 với x 0 A. 112640. B. 112640. C. 112643. D. 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! Ta có: C n 1 C n 2 78 78 n n (n 1)!1! (n 2)!2! n(n 1) n 78 n2 n 156 0 n 12 . 2 12 12 3 2 k k 36 4k Khi đó: f (x) x C12 ( 2) x x k 0 Số hạng không chứa x ứng với k :36 4k 0 k 9 9 9 Số hạng không chứa x là: ( 2) C12 112640. 3n 3 Câu 36: [DS11.C2.3.BT.c] Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x trong khai triển 2 n n thành đa thức của (x 1) (x 2) . Tìm n để a3n 3 26n A. n=5. B. n=4. C. n=3. D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có: 2 n 0 2n 1 2n 2 2 2n 4 n x 1 Cn x Cn x Cn x Cn n 0 n 1 n 1 2 2 n 2 n n x 2 Cn x 2Cn x 2 Cn x 2 Cn Dễ dàng kiểm tra n 1, n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x3n 3 x 2n .x n 3 x 2n 2 .x n 1 Do đó hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của 2 n n 3 0 3 1 1 x 1 x 2 là: a3n 3 2 .Cn .Cn 2.Cn .Cn . 2 2n 2n 3n 4 7 Suy ra a 26n 26n n hoặc n 5 3n 3 3 2 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2: n n 2 n n 3n 1 2 Ta có: x 1 x 2 x 1 2 1 x x i k n 1 n 2 n n x3n Ci C k x3n Ci x 2i C k 2k x k  n 2  n  n  n i 0 x k 0 x i 0 k 0 Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n 3 khi 2i k 3 2i k 3. Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0, k 3 hoặc i 1, k 1(vì i, k nguyên).
13. n n Hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của x2 1 x 2 0 3 3 1 1 Là: a3n 3 Cn .Cn .2 Cn .Cn .2 . 2 2n 2n 3n 4 7 Do đó a 26n 26n n hoặc n 5 3n 3 3 2 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Câu 37: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n 1 7 1 2 n 20 4 x , biết C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1. x A. 210. B. 213. C. 414. D. 213 Hướng dẫn giải: Chọn A k 2n 1 k Do C2n 1 C2n 1 k 0,1,2, ,2n 1 0 1 n n 1 n 2 2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1 2 2n 1 2n 1 Mặt khác: C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 0 1 2 n 2n 1 2(C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1) 2 1 2 n 2n 0 2n C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 C2n 1 2 1 22n 1 220 1 n 10 . 10 10 10 1 10 k 11k 40 Khi đó: x7 x 4 x7 C k (x 4 )10 k .x7k C x 4  10  10 x k 0 k 0 Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6 . 26 6 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 . n n Câu 38: [DS11.C2.3.BT.c] Cho n ¥ * và (1 x) a0 a1x an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k a a a (1 k n 1) sao cho k 1 k k 1 . Tính n ? . 2 9 24 A. 10. B. 11. C. 20. D. 22 Hướng dẫn giải: Chọn A 1 n! 1 n! k 2 (k 1)!(n k 1)! 9 (n k)!k! Ta có: ak Cn , suy ra hệ 1 n! 1 n! 9 (n k)!k! 24 (n k 1)!(k 1)! 9k 2(n k 1) 2n 11k 2 n 10,k 2. 24(k 1) 9(n k) 9n 33k 24 1 2 Câu 39: [DS11.C2.3.BT.c] Trong khai triển của ( x)10 thành đa thức 3 3 2 9 10 a0 a1x a2 x a9 x a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10). 210 210 210 210 A. a 3003 . B. a 3003 . C. a 3003 . D. a 3003 10 315 5 315 4 315 9 315 Hướng dẫn giải: Chọn A 15 15 k k 1 2 15 1 2 15 2k Ta có: x C k x C k xk  15  15 15 3 3 k 0 3 3 k 0 3
14. k 1 k k Hệ số của x trong khai triển ak 15 C15 2 3 k 1 k 1 k k k 1 k Ta có: ak 1 ak C15 2 C15 2 C15 2C15 32 k k 10. Từ đó: a a a 3 0 1 10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 a a k a a a k 1 k 3 10 11 15 210 210 Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a C10 3003 . 10 315 15 315 n 2 n Câu 40: [DS11.C2.3.BT.c] Giả sử (1 2x) a0 a1x a2 x an x , biết rằng a0 a1 an 729. Tìm n và số lớn nhất trong các số a0 ,a1, ,an . A. n=6, max ak  a4 240 . B. n=6, max ak  a6 240. C. n=4, max ak  a4 240 . D. n=4, max ak  a6 240 Hướng dẫn giải: Chọn A n n Ta có: a0 a1 an (1 2.1) 3 729 n 6 k k ak C6 2 suy ra max ak  a4 240 . n n Câu 41: [DS11.C2.3.BT.c] Cho khai triển (1 2x) a0 a1x an x , trong đó n ¥ *. Tìm số lớn nhất trong các số a0 ,a1, ,an , biết các hệ số a0 ,a1, ,an thỏa mãn hệ thức: a a a 1 n 4096 . 0 2 2n A. 126720. B. 213013. C. 130272. D. 130127 Hướng dẫn giải: Chọn A n n Đặt f (x) (1 2x) a0 a1x an x a1 an 1 n n a0 n f 2 2 4096 n 12 2 2 2 k k k 1 k 1 Với mọi k 0,1,2, ,11 ta có: ak 2 C12 , ak 1 2 C12 k k ak 2 C12 k 1 23 1 k 1 k 1 1 1 k ak 1 2 C12 2(12 k) 3 Mà k Z k 7 . Do đó a0 a1 a8 ak Tương tự: 1 k 7 a8 a9 a12 ak 1 8 8 Số lớn nhất trong các số a0 ,a1, ,a12 là a8 2 C12 126720 . Câu 44: [DS11.C2.3.BT.c] Khai triển x y 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng 0 1 5 S C5 C5 C5 A. 32. B. 64. C. 1 . D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn A 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 + +C5 (1 1) 32 . 0 1 2 n n Câu 45: [DS11.C2.3.BT.c] Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 A. 4. B. 11. C. 12.D. 5
15. Hướng dẫn giải: Chọn D n 0 1 2 2 n n Xét khai triển: (1 x) Cn xCn x Cn x Cn 0 1 2 n n n Cho x 2 ta có: Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 3 Do vậy ta suy ra 3n 243 35 n 5 . Câu 46: [DS11.C2.3.BT.c] Khai triển x y 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng 0 1 5 S C5 C5 C5 A. 32. B. 64. C. 1 . D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn A 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 + +C5 (1 1) 32 . 2 3 5 2 15 Câu 47: [DS11.C2.3.BT.c] Khai triển 1 x x x a0 a1x a2 x a15 x a) Hãy tính hệ số a10 . 0 4 4 3 0 5 2 4 4 3 A. a10 C5 . C5 C5 C5 . B. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 . 0 5 2 4 4 3 0 5 2 4 4 3 C. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 . D. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 b) Tính tổng T a0 a1 a15 và S a0 a1 a2 a15 A. 131. B. 147614. C. 0. D. 1 Hướng dẫn giải: Đặt f (x) (1 x x2 x3 )5 (1 x)5 (1 x2 )5 10 0 5 2 4 4 3 a) Do đó hệ số x bằng: a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 b) T f (1) 45 ; S f ( 1) 0 . 2 10 2 20 Câu 48: [DS11.C2.3.BT.c] Khai triển 1 2x 3x a0 a1x a2 x a20 x a) Hãy tính hệ số a4 0 4 4 4 0 4 0 4 4 A. a4 C10.2 . B. a4 2 C10 . C. a4 C10C10 . D. a4 C10.2 C10 20 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 2 a20 A. S 1710 . B. S 1510 . C. S 1720 . D. S 710 Hướng dẫn giải: 10 2 10 k k 2k 10 k Đặt f (x) (1 2x 3x ) C10 3 x (1 2x) k 0 10 10 k k k 2k i 10 k i 10 k i C10 3 x  C10 k 2 x k 0 i 0 10 10 k k i k 10 k i 10 k i   C10C10 k 3 2 x k 0 i 0 0 4 4 a) Ta có: a4 C10.2 C10 b) Ta có S f (2) 1710 . 1 1 1 1 ( 1)n Câu 49: [DS11.C2.3.BT.c] Tính tổng sau: S C 0 C1 C3 C 4 C n 2 n 4 n 6 n 8 n 2(n 1) n 1 1 A. . B. 1. C. 2. D. 2(n 1) (n 1) Hướng dẫn giải: Chọn A
16. n 1 0 1 1 1 2 ( 1) n Ta có: S Cn Cn Cn Cn 2 2 3 n 1 k k n ( 1) k ( 1) k 1 1 k k 1 Vì Cn Cn 1 nên: S ( 1) Cn 1 k 1 n 1 2(n 1) k 0 n 1 1 k k 0 1 ( 1) Cn 1 Cn 1 . 2(n 1) k 0 2(n 1) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n Câu 50: [DS11.C2.3.BT.c] Tính tổng sau: S Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn A. n.4n 1 . B. 0. C. 1. D. 4n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A n k n k 1 a có: S 3  kCn k 1 3 k k k 1 1 k 1 Vì kCn n Cn 1 k 1nên 3 3 n k n 1 k n 1 k 1 n 1 1 k n 1 1 n 1 n 1 S 3 .n Cn 1 3 .n Cn 1 3 .n(1 ) n.4 . k 1 3 k 0 3 3 1 1 1 Câu 51: [DS11.C2.3.BT.c] Tính các tổng sau: S C 0 C1 C 2 C n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 A. .B. . C. 1. D. 1 n 1 n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: 1 1 n! 1 (n 1)! C k k 1 n k 1 k!(n k)! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1))! 1 C k 1 (*) n 1 n 1 n n 1 n 1 1 k 1 1 k 0 2 1 S1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 . n 1 k 0 n 1 k 0 n 1 1 2 n Câu 52: [DS11.C2.3.BT.c] Tính các tổng sau: S2 Cn 2Cn nCn A. 2n.2n 1 . B. n.2n 1 . C. 2n.2n 1 .D. n.2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! Ta có: kC k k. n k!(n k)! (k 1)![(n 1) (k 1)]! (n 1)! n nC k 1 , k 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1 n n 1 k 1 k n 1 S2  nCn 1 nCn 1 n.2 . k 1 k 0 2 3 4 n Câu 53: [DS11.C2.3.BT.c] Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn . A. n(n 1)2n 2 . B. n(n 2)2n 2 . C. n(n 1)2n 3 . D. n(n 1)2n 2 Hướng dẫn giải: Chọn A
17. n! Ta có k(k 1)C k n(n 1)C k 2 n (k 2)!(n k)! n 2 n k 2 n 2 S3 n(n 1)Cn 2 n(n 1)2 . k 2 32 1 3n 1 1 Câu 54: [DS11.C2.3.BT.c] Tính tổng S C 0 C1 C n n 2 n n 1 n 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 A. S . B. S 1. n 1 n 1 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 C. S 1.D. S 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có S S1 S2 , trong đó 32 33 3n 1 S C 0 C1 C 2 C n 1 n 2 n 3 n n 1 n 1 1 1 S C1 C 2 C n 2 2 n 3 n n 1 n 2n 1 1 Ta có S 1 2 n 1 Tính S1 ? 3k 1 n! 3k 1 (n 1)! 3k 1 Ta có: C k 3k 1 C k 1 k 1 n (k 1)!(n k)! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1 n 1 n n 1 n 1 1 k 1 k 1 0 1 k k 0 0 4 1 S1 3 Cn 2 2Cn 3 Cn 1 Cn 2Cn 2 . n 1 k 0 n 1 k 0 n 1 4n 1 2n 1 Vậy S 1. n 1 22 1 2n 1 1 Câu 55: [DS11.C2.3.BT.c] Tính tổng S C 0 C1 C n n 2 n n 1 n 3n 1 2n 1 3n 2n 1 3n 1 2n 3n 1 2n 1 A. S . B. S . C. S . D. S n 1 n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: S S1 S2 n k 1 n k n 1 k 2 Cn 2 1 Trong đó S1 Cn ; S2  1 k 0 k 1 k 0 k 1 n 1 2k 1 2k 1 3n 1 1 Mà C k C k 1 S 1 k 1 n n 1 n 1 1 n 1 3n 1 2n 1 Suy ra: S . n 1 Câu 1: [DS11.C2.3.BT.c]Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 n 2n 1 C2n 1 2.2C2n 1 3.2 C2n 1 (2n 1)2 C2n 1 2005 A. n 1001.B. n 1002 . C. n 1114 . D. n 102 Hướng dẫn giải:
18. Chọn B 2n 1 k 1 k 1 k Đặt S  ( 1) .k.2 C2n 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 Ta có: ( 1) .k.2 C2n 1 ( 1) .(2n 1).2 C2n 0 1 2 2 2n 2n Nên S (2n 1)(C2n 2C2n 2 C2n 2 C2n ) 2n 1 Vậy 2n 1 2005 n 1002. 0 n 1 n 1 1 n 2 n 2 n 1 0 0 Câu 2: [DS11.C2.3.BT.c] Tính tổng1.3 .5 Cn 2.3 .5 Cn n.3 5 Cn A. n.8n 1 . B. (n 1).8n 1 . C. (n 1).8n . D. n.8n Hướng dẫn giải: Chọn A n k 1 n k n k Ta có: VT  k.3 .5 Cn k 1 k 1 n k n k k 1 n k k 1 Mà k.3 .5 Cn n.3 .5 .Cn 1 0 n 1 0 1 n 2 1 n 1 0 n 1 Suy ra: VT n(3 .5 Cn 1 3 .5 Cn 1 3 5 Cn 1 ) n(5 3)n 1 n.8n 1 . 2 3 4 n Câu 3: [DS11.C2.3.BT.c] Tính tổng S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A. n(n 1)2n 2 .B. n(n 1)2n 2 . C. n(n 1)2n . D. (n 1)2n 2 Hướng dẫn giải: Chọn B n k Ta có: S  k(k 1)Cn k 2 k k 2 Mà k(k 1)Cn n(n 1)Cn 2 0 1 2 n 2 n 2 Suy ra S n(n 1)(Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 ) n(n 1)2 . S C 0 22 C 2 22010 C 2010 Câu 6: [DS11.C2.3.BT.c] 2 2011 2011 2011 32011 1 3211 1 32011 12 32011 1 A. . B. . C. .D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 (1 x) C2011 xC2011 x C2011 x C2011 x C2011 Cho x 2 ta có được: 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 3 C2011 2.C2011 2 C2011 2 C2011 2 C2011 (1) Cho x 2 ta có được: 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 1 C2011 2.C2011 2 C2011 2 C2011 2 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: 0 2 2 2010 2010 2011 2 C2011 2 C2011 2 C2011 3 1 32011 1 Suy ra: S C 0 22 C 2 22010 C 2010 . 2 2011 2011 2011 2