Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 2: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp - Dạng 2: Đếm số (kết hợp P-A-C) - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 2: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp - Dạng 2: Đếm số (kết hợp P-A-C) - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 43: [1D2-2.2-4](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Một người viết ngẫu nhiên một số có bốn chữ số. Tính xác suất để các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ( nghĩa là nếu số được viết dưới dạng abcd thì a b c d hoặc a b c d ). 7 7 7 14 A. .B. .C. .D. . 125 375 250 375 Lời giải Chọn D Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số nên số phần tử của không gian mẫu là n  9.10.10.10 9000 . Gọi A là biến cố các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần Gọi số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần có dạng abcd . Trường hợp 1: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập X 1,2,3,4,5,6,7,8,9và với 4 chữ số lấy ra từ X thì chỉ lập được duy nhất một số thỏa yêu cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng 4 dần là C9 . Trường hợp 2: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập Y 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 và với 4 chữ số lấy ra từ Y thì chỉ lập được duy nhất mọt số thỏa yêu cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự 4 giảm dần dần là C10 . 4 4 Vậy số phần tử của biến cố A là n A C9 C10 336 . n A 336 14 Xác suất của biến cố A là: P A . n  9000 375 Câu 49: [1D2-2.2-4] Có 8 bì thư được đánh số 1,2,3,4,5,6,7,8 và 8 tem thư cũng được đánh số 1,2,3,4,5,6,7,8. Dán 8 tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư). Hỏi có thể có bao nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng với số của bì thư đó. A. 25489 . B. 25487 . C. 25490 . D. 25488 . Lời giải Chọn B Ta xét bài toán tổng quát n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó. Đánh số các tem thư là T1 , T2 , , Tn và các bì thư là B1 , B2 , , Bn . Bài toán được giải quyết bằng nguyên lý phần bù: Lấy hoán vị n phần tử trừ đi trường hợp xếp mà không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. ++ Để giải quyết bài toán không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. Ta xây dựng dãy số f n như sau: Công việc dán n tem thư vào n bì thư sao cho không có bì thư nào được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó. Công việc này gồm có hai bước sau:
2. - Bước 1: Dán tem T1 lên một bì thư Bj khác B1 , có n 1 cách. - Bước 2: Dán tem thư Tj vào bì thư nào đó, có hai trường hợp xảy ra như sau: + TH1: tem thư Tj được dán vào bì thư B1 . Khi đó còn lại n 2 tem (khác T1 và Tj ) là T2 , , Tj 1 ,Tj 1 , ,Tn phải dán vào n 2 bì thư (khác B1 và Bj ). Quy trình được lập lại giống như trên. Nên TH này có số cách dán bằng f n 2 . + TH2: tem thư Tj không được dán vào bì thư B1 . Khi đó các tem là T2 , ,Tj 1 ,Tj ,Tj 1 , ,Tn sẽ được đem dán vào các bì B1 , B2 , , Bj 1 , Bj 1 , , Bn (mà tem thư Tj không được dán vào bì thư B1 ). Thì Tj lúc này bản chất giống T1 , ta đánh số lại Tj  T1 . Nghĩa là n 1 tem T2 , ,Tj 1 ,T1 ,Tj 1 , ,Tn sẽ được đem dán vào n 1 bì B1 , B2 , , Bj 1 , Bj 1 , , Bn với việc đánh số giống nhau. Công việc này lại được lập lại như từ ban đầu. Nên TH này có số cách dán bằng f n 1 . u1 0 ++ Ta xét dãy un f n như sau: u2 1 . un n 1 un 1 un 2 Như vậy kết quả của bài toán: n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó sẽ là: Pn un . Áp dụng với n 8 , ta được kết quả là: 8! 14833 25487 . Câu 47: [1D2-2.2-4] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ? 2 2 2 3 3 4 A. 1 2A2018 2 C2017 A2017 C2017 A2017 C2017 . 2 3 4 5 B. 1 2C2018 2C2018 C2018 C2018 . 2 3 4 5 C. 1 2A2018 2A2018 A2018 C2017 . 1 2 2 3 2 2 4 D. 1 4C2017 2 C2017 A2017 C2017 A2016 C2016 C2017 . Lời giải Chọn D Vì 5 4 1 3 2 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau : Có 1 số. Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4 , một chữ số 1 và 2016 số 0 . - Khả năng 1: Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 C2017 số. - Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 C2017 số. Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3 , một chữ số 2 và 2016 số 0 - Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 C2017 số. - Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 C2017 số. Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2 , một chữ số 1 và 2015 số 0
3. - Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại 2 nên ta có A2017 số. - Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta 2 có C2017 số. Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có 2 2 A2017 C2017 số. Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2 , ba chữ số 1 và 2014 số 0 . - Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 3 C2017 số. - Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước 2 nó thì hai số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có C2016 số. - Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số 2 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có A2016 số. Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 số 0 , vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ 4 số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có C2017 số. 1 2 2 3 2 2 4 Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 4C2017 2 C2017 A2017 C2017 A2016 C2016 C2017 số cần tìm.