Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Nhị thức Newton - Dạng 2: Tìm hệ số và số hạng trong khai triển - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Nhị thức Newton - Dạng 2: Tìm hệ số và số hạng trong khai triển - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 22: [1D2-3.2-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3 2 n 3Cn 1 3An 52 n 1 . Trong khai triển biểu thức x 2y , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là A. 54912 .B. 1287 .C. 2574 .D. 41184 . Lời giải Chọn D Điều kiện : n 2 , n ¥ * . n 1 ! n! Ta có 3C 3 3A2 52 n 1 3. 3 52 n 1 n 1 n 3! n 2 ! n 2 ! n 1 n n 1 3n n 1 52 n 1 n2 n 6n 104 2 2 n 13 n 5n 104 0 n 13 . n 8 13 13 3 2 13 k 3 13 k 2 k k k 39 3k 2k x 2y C13 x 2y C13 2 x y . 0 0 5 5 Ta có : 39 3k 2k 34 k 5 . Vậy hệ số C13 2 41184 . Câu 29: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biết rằng hệ số của x4 n trong khai triển nhị thức Newton 2 x , n ¥ * bằng 60 . Tìm n . A. n 5. B. n 6 . C. n 7 . D. n 8 . Lời giải Chọn B n Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton 2 x , n ¥ * là k n k k k 4 4 n 4 Cn 2 1 x , với k ¢ , 0 k n , suy ra hệ số của x là Cn 2 . Theo đề bài suy ra 4 n 4 4 n Cn 2 60 Cn 2 960 * . Tới đây ta dùng phương pháp thử trực tiếp đáp án và chỉ có n 6 thỏa phương trình * . Câu 27. [1D2-3.2-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Trong khai triển 40 2 31 f x x 2 , hãy tìm hệ số của x . x A. 79040 . B. 9880 . C. 31148 . D. 71314 . Lời giải Chọn A 40 2 2 40 Ta có f x x 2 x 2x . x k 40 k 2 k k k 40 3k Số hạng tổng quát của khai triển là C40 x . 2x C40 2 x . Số mũ của x bằng 31 khi và chỉ khi 40 3k 31 k 3. 31 3 3 Vậy hệ số của x là C40 2 79040 .
2. Câu 26: [1D2-3.2-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Hệ số của x6 trong khai triển 4 6 2 1 2x 1 x x thành đa thức là 4 1 1 A. C 6 .B. C 6 .C. C 6 .D. 4C8 . 2 14 4 14 14 14 Lời giải Chọn B n n 6 6 k 6 k k k k k Xét khai triển 2x 1 1 2x C6 1 2x C6 2 x k 0 k 0 4 8 8 8 8 j 2 1 1 1 8 1 j x x x x C j x 4 2 2  2 j 0 4 n 8 8 j n 8 8 j 6 2 1 k k k J 1 j k k J 1 j k Vậy 2x 1 x x C6 2 x . C8 x C6 2 . C8 x 4   2   2 k 0 j 0 k 0 j 0 6 Số hạng của khai triển chứa x khi j k 6 Xét bảng : 4 6 6 2 1 3003 1 6 Vậy hệ số x trong khai triển 2x 1 x x thành đa thức là C14 . 4 4 4 1 2 Câu 45. [1D2-3.2-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 55 , hệ n 5 3 2 số của x trong khai triển của biểu thức x 2 bằng x A. 8064 . B. 3360 . C. 8440 . D. 6840 . Lời giải Chọn A 1 2 n n 1 2 n 10 Ta có Cn Cn 55 n 55 n n 110 0 n 10 . 2 n 11
3. 10 k 3 2 k 3 10 k 2 k k 30 5k Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 là Tk 1 C10 x . 2 C10.2 .x . x x Số hạng chứa x5 ứng với 30 5k 5 k 5. 10 5 3 2 5 5 Vậy, hệ số của x trong khai triển của biểu thức x 2 bằng C10.2 8064 . x Câu 22: [1D2-3.2-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Hệ số của số hạng chứa x8 trong n 1 5 n 1 n khai triển 3 x ; x 0 biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 là x A. 1303. B. 313 . C. 495 . D. 13129. Lời giải Chọn C Điều kiện: n ¥ Ta có n 4 ! n 3 ! C n 1 C n 7 n 3 7 n 3 n 4 n 3 n 1 !3! n!3! n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1 7 n 3 6 6 3n 36 n 12 . Xét khai triển 12 k 1 12 1 12 k x5 C k x5 0 k 12,k ¥ 3  12 3 x k 0 x 12 60 11k k 2 C12 x . k 0 60 11k Để số hạng chứa x8 thì 8 k 4 . 2 8 4 Vậy hệ số chứa x trong khai triển trên là C12 495 . Câu 29: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong khai triển n 2 1 3 4 5 3x biết hệ số của x là 3 Cn . Giá trị n có thể nhận là x A. 9 . B. 12. C. 15. D. 16. Lời giải Chọn A n n k n 2 1 k 2 n k 1 k n k 2n 3k Ta có 3x Cn 3x Cn 3 x . x k 0 x k 0 2n 3k 3 n k 4 3 4 5 k 5 Biết hệ số của x là 3 Cn nên . k 5 n 9 0 k n, k,n N Vậy n 9 .
4. 8 Câu 26: [1D2-3.2-3](THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 2n n x trong khai triển Nhị thức Niu tơn của x 0 , biết số nguyên dương n thỏa mãn 2x 2 3 2 Cn An 50 . 297 29 97 279 A. B. C. D. 512 51 12 215 Lời giải Chọn A n! n! Ta có C3 A2 50 n 3,n ¥ 50 n n 3! n 3 ! n 2 ! n n 1 n 2 n n 1 50 n3 3n2 4n 300 0 n 6 . 6 1 12 n x k 12 k k 2k 12 Khi đó khai triển có số hạng tổng quát C12 3 .2 .x k ¥ ,k 12 2x 2 Hệ số của số hạng chứa x8 ứng với k thỏa 12k 12 8 k 10 . 297 Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là C10.32.2 10 . 12 512 Câu 42: [1D2-3.2-3](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2- n 0 n 1 1 n 2 2 n n 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5 Cn 5 Cn 5 Cn 1 Cn 1024 . Tìm hệ số của x3 trong khai triển 3 x n . A. 270 B. 90 C. 90 D. 270 Lời giải Chọn B n 0 n 1 1 n 2 2 n n n 2n 10 Ta có 5 Cn 5 Cn 5 Cn 1 Cn 1024 5 1 1024 2 2 n 5 . 5 5 5 k 5 k k k 5 k k k Với n 5 ta có: 3 x C5 .3 . x C5 .3 . 1 .x . k 0 k 0 3 3 2 3 Vậy hệ số của x là: C5 .3 . 1 90. Câu 26: [1D2-3.2-3](THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Với n là số tự nhiên thỏa n 6 2 4 mãn Cn 4 nAn 454 , hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n 2 3 x ( với x 0 ) bằng x A. 1972 B. 786 C. 1692 D. 1792 Lời giải Chọn D Điều kiện n 6 và n ¥ . n 4 ! n! n 5 n 4 C n 6 nA2 454 n 454 n2 n 1 454 n 4 n n 6 !2! n 2 ! 2 2n3 n2 9n 888 0 n 8 (Vì n ¥ ). 8 2 3 Khi đó ta có khai triển: x . x
5. 8 k k 2 3 k k k 8 k 4k 8 Số hạng tổng quát của khai triển là C8 x C8 1 2 x . x Hệ số của số hạng chứa x4 ứng với k thỏa mãn: 4k 8 4 k 3 . 4 3 3 5 Vậy hệ số của số hạng chứa x là: C8 1 2 1792 . Câu 39: [1D2-3.2-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Khai triển ( 5 4 7)124 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30 . B. 31. C. 32 . D. 33 . Lời giải Chọn C 124 124 k k k 4 124 k 2 4 Ta có ( 5 7) C124. 1 .5 .7 k 0 124 k ¢ 2 Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với k 0;4;8;12; ;124. k ¢ 4 124 0 Vậy số các giá trị k là: 1 32 . 4 Câu 49: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hệ số của x4 trong khai triển n 1 5 4 nhị thức Newton 2x với x 0 , biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An 18An 2 . 5 x A. 8064 . B. 3360 . C. 13440. D. 15360. Lời giải Chọn A n 6 Điều kiện: n ¢ n! n 2 ! Khi đó A5 18A4 18. n n 2 n 5 ! n 6 ! n n 1 n 2 n 3 n 4 18 n 2 n 3 n 4 n 5 n n 1 18 n 5 n2 19n 90 0 9 n 10 n max n 10 . 10 k 1 k 10 k 1 Số hạng tổng quát trong khai triển 2x là Tk 1 C10. 2x . 5 x 5 x k 50 6k k 10 k 10 k 5 k 10 k 5 C10.2 .x .x C10.2 .x . 50 6k Tìm k sao cho 4 k 5 . 5 4 5 10 5 Vậy hệ số của số hạng chứa x là C10.2 8064.
6. Câu 32: [1D2-3.2-3](Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều n 2 3 5 2 2 kiện An Cn 10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x trong khai triển x 3 với x 0 . x 5 5 A. a5 10 . B. a5 10x . C. a5 10x . D. a5 10 . Lời giải Chọn D Ta có n! n! A2 C3 10 10 , n ¥ ,n 3 n n n 2 ! 3! n 3 ! n 2 1 1 3 4 n n 1 n n 1 n 2 10 n3 n2 n 10 0 n 6 . 6 6 2 3 n 5 So điều kiện nhận n 6 hay n 5 . 6 6 k 6 2 2 6 k 2 k Khi n 6, ta có x2 C k x C k 2 x12 5k . 3  6 3  6 x k 0 x k 0 7 Để có x5 thì 12 5k 5 k (loại). 5 5 5 k 5 2 2 5 k 2 k Khi n 5 , ta có x2 C k x C k 2 x10 5k . 3  5 3  5 x k 0 x k 0 Để có x5 thì 10 5k 5 k 1. 1 Vậy a5 C5 2 10 . 2 n Câu 31: [1D2-3.2-3](SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn An 2Cn 22. Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển của biểu thức 3x 4 n bằng A. 4320 . B. 1440 . C. 4320 . D. 1080. Lời giải Chọn C Điều kiện n 2 , n ¢ . n! Ta có A2 2C n 22 2 22 n n 1 20 n 5 thỏa mãn. n n n 2 ! 5 5 n 5 k k 5 k k k 5 k k Khi đó 3x 4 3x 4 C5 . 3x . 4 C5 .3 . 4 x . k 0 k 0 Hệ số của số hạng chứa x3 nên k 3. 3 3 2 Do đó hệ số cần tìm là C5 .3 . 4 4320 . Câu 14. [1D2-3.2-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Tìm hệ số của x5 trong khai triển P x x 1 2x 5 x2 1 3x 10 . A. 3240 . B. 3320 . C. 80 . D. 259200 . Lời giải Chọn B k k 2 m m k k k 1 m m m 2 Khải triển P x có số hạng tổng quát xC5 2x x C10 3x 2 C5 x 3 C10 x ( k ¥ ,
7. k 5, m ¥ , m 10 ) k 1 5 k 4 Hệ số của x5 ứng với k , m thỏa hệ . m 2 5 m 3 4 4 3 3 Vậy hệ số cần tìm là 2 C5 3 C10 3320 . Câu 27. [1D2-3.2-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho số nguyên dương 1 2 n n thỏa mãn 2Cn 3Cn n 1 Cn 2621439 . Số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức n 2 1 x bằng x A. 43758 . B. 31824 . C. 18564. D. 1. Lời giải Chọn C Ta có: n 0 1 2 2 3 n n 1 x 1 x Cn x Cn x Cn x Cn x . Lấy đạo hàm hai vế ta được: n n 1 0 1 2 2 n n x 1 nx x 1 Cn 2Cn x 3Cn x n 1 Cn x . Cho x 1, ta có 0 1 2 n n n 1 n 1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn 2 n2 2 2 n . 2621440 2n 1 2 n 1 2621439 2n 1 2 n 2621440 2n .2 . (*) 2 n 2621440 Xét f n 2n là hàm số đồng biến trên 0; và g n 2. là hàm số nghịch biến trên 2 n 0; . Ta có f 18 g 18 n 18 là nghiệm duy nhất của (*). 18 2 1 k 36 3k Khi đó số hạng tổng quát của khai triển x là: C18 x với k ¢ , 0 k 18. x 12 Vậy số hạng không chứa x là C18 18564 . Câu 36. [1D2-3.2-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Hệ số của số hạng chứa 6 x7 trong khai triển x2 3x 2 bằng A. 6432 . B. 4032 . C. 1632 . D. 5418 . Lời giải Chọn D 6 x2 3x 2 x 1 6 x 2 6 6 k k 6 k Số hạng tổng quát trong khai triển x 1 là C6 .x 1 với k 0;1;2 ;6 . 6 i i 6 i Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 là C6.x 2 với i 0;1;2 ;6 . 2 6 6 6 k k 6 k i i 6 i Số hạng tổng quát trong khai triển x 3x 2 x 1 x 2 là C6 x 1 .C6 x 2 k i i k 12 i k 6 i C6 C6 x 1 . 2 Số hạng chứa x7 ứng với i k 7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 6 1 5 5 i 1 k 6 hệ số là C6 C6 1 . 2 192 5 2 5 4 i 2 k 5 hệ số là C6 C6 1 . 2 1440 4 3 5 3 i 3 k 4 hệ số là C6 C6 1 . 2 2400
8. 3 4 5 2 i 4 k 3 hệ số là C6 C6 1 . 2 1200 2 5 5 1 i 5 k 2 hệ số là C6 C6 1 . 2 180 1 6 5 0 i 6 k 1 hệ số là C6C6 1 . 2 6 6 Vậy hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển x2 3x 2 bằng 5418 Cách 2. 6 6 x2 3x 2 x2 3x 2 k 2 6 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C6 . x 3x 2 với k 0;1;2 ;6 . k i k i i Số hạng tổng quát trong khai triển 3x 2 là Ck .2 3x với 0 i k . 2 6 k 2 6 k i k i i Số hạng tổng quát trong khai triển x 3x 2 là C6 . x Ck .2 3x k i k i i 12 2k i C6 Ck .2 3 . x Số hạng chứa x7 ứng với 12 2k i 7 2k i 5 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 3 1 2 1 k 3 i 1 hệ số là C6 C3 2 3 720 4 3 3 1 k 4 i 3 hệ số là C6 C4 3 . 2 3240 5 5 0 5 k 5 i 5 hệ số là C6 C5 2 . 3 1458 6 Vậy hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển x2 3x 2 bằng 5418 . Câu 26: [1D2-3.2-3](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Tính tổng các hệ số trong khai triển 1 2x 2018 . A. 1.B. 1.C. 2018 .D. 2018 . Lời giải Chọn B 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 Xét khai triển (1 2x) C2018 2x.C2018 ( 2x) .C2018 ( 2x) .C2018 ( 2x) .C2018 Tổng các hệ số trong khai triển là: 0 1 2 2 3 3 2018 2018 S C2018 2.C2018 ( 2) .C2018 ( 2) .C2018 ( 2) .C2018 Cho x 1 ta có: 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 (1 2.1) C2018 2.1.C2018 ( 2.1) .C2018 ( 2.1) .C2018 ( 2.1) .C2018 1 2018 S S 1 Câu 902. [1D2-3.2-3] Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển 5a 1 5 và số hạng thứ 5 trong khai triển 2a 3 6 là A. 4160a2 .B. 4610a2 .C. 4610a2 . D. 4620a2 . Lời giải Chọn C 5 3 2 3 2 Số hạng thứ 4 trong khai triển 5a 1 là T4 C5 . 5a . 1 250a . 6 4 2 4 2 Số hạng thứ 5 trong khai triển 2a 3 là T5 C6 . 2a . 3 4860a . Vậy tổng của hai số hạng trên là 4610a2 . 8 3 1 Câu 905. [1D2-3.2-3] Tìm số hạng chính giữa của khai triển x , với x 0 . 4 x
9. 1 1 1 1 A. 56x 4 .B. 70x3 .C. 70x3 và 56x 4 . D. 70.3 x.4 x . Lời giải Chọn B 4 1 4 4 3 1 3 Số hạng chính giữa trong khai triển là T5 C8 . x . 70x . 4 x n 2 1 3 4 5 Câu 907. [1D2-3.2-3] Trong khai triển 3x , hệ số của x là 3 Cn . Giá trị n là x A. 15.B. 12. C. 9 .D. 14. Lời giải Chọn C k k 2 n k 1 k n k 2n 3k Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1 Cn . 3x . Cn . 3 .x . x 3 k 5 Theo đề: số hạng chứa x ứng với k 5 Cn  Cn . Ta tìm n sao cho: n k 4 n 5 4 n 9 . 10 Câu 931. [1D2-3.2-3] Trong khai triển 3x2 y , hệ số của số hạng chính giữa là A. 61236 . B. 4000 . C. 8960 . D. 40000 . Lời giải. Chọn A 10 10 2 10 k 2 k 10 k k 10 k k 2k 10 k Ta có 3x y C10. 3x . y C10. 1 .3 .x . y . k 0 k 0 Khai triển này gồm 11 số hạng. Số hạng chính giữa ứng với k 5 . Vậy hệ số của số hạng 5 5 5 chính giữa là C10.3 . 1 61236. 100 100 Câu 933. [1D2-3.2-3] Trong khai triển x 2 a0 a1x a100 x . Hệ số a97 là 3 97 98 98 A.1293600. B. 1293600 . C. 2 .C100 . D. 2 .C100 . Lời giải. Chọn C 100 100 100 k k 100 k k 100 k k 100 Ta có x 2 C100.x . 2 C100. 2 .x a0 a1x a100 x . k 0 k 0 k 100 k 97 3 3 97 Từ đó suy ra ak C100. 2 . Vậy a97 C100. 2 2 .C100 . Câu 936. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển 1 x 9 1 x 10 1 x 11 1 x 12 1 x 13 1 x 14 1 x 15 . A. 3000 . B. 8008 . C. 3003 . D. 8000 . Lời giải. Chọn B n 9 9 Xét (1 x) với n 9 thì hệ số chứa x trong khai triển là: Cn . Vậy hệ số chứa x9 trong khai triển 1 x 9 1 x 10 1 x 11 1 x 12 1 x 13 1 x 14 1 x 15 là:
10. 9 9 9 9 9 9 9 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 8008 . n 1 Câu 8. [1D2-3.2-3] Số hạng thứ 3 của khai triển 2x 2 không chứa x. Tìm x biết rằng số hạng x 30 này bằng số hạng thứ hai của khai triển 1 x3 . A. 2 . B. 1. C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D n k 1 n 1 2x C k .(2x)n k . . 2  n 2 x k 0 x Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k 2 nên số hạng thứ ba của khai triển là 2 n 2 n 6 Cn .2 .x . Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n 6 0 n 6 . 30 Số hạng thứ 2 của khai triển 1 x3 là C1 .x3 30x3 . 30 2 4 3 Khi đó ta có C6 .2 30.x x 2 . Câu 32: [1D2-3.2-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho biểu thức n n n 1 k P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ *. Biết an 9 an 8 và an 9 an 10 . Giá trị của n bằng: A. 13 .B. 14 .C. 12 .D. 15 . Lời giải Chọn A * Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: n 0 n 0 1 n 1 1 n k k n k n 1 1 n 1 n 0 n P x x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 Cn x 2 , n ¥ * n n n 1 k mà P x x 2 an x an 1x ak x a1x a0 , n ¥ * n k n k n k k 8 n 8 8 8 9 9 10 10 Ta có: ak 2 Cn 2 Cn , 0 k n an 8 2 Cn 2 Cn , an 9 2 Cn , an 10 2 Cn * Theo đề bài với n 10, n ¥ *: n! n! 29 28 2 1 9! n 9 ! 8! n 8 ! 25 an 9 an 8 9 n 8 n 2 n 13. an 9 an 10 9 n! 10 n! 1 1 2 2 n 14 9! n 9 ! 10! n 10 ! n 9 5 Câu 46: [1D2-3.2-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho khai triển 2018 2017 T 1 x x2017 1 x x2018 . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng A. 4035 . B. 1. C. 2017 . D. 0 . Lời giải Chọn B 2018 k 2017 k k 2017 k 2018 Cách 1: Ta có T  C2018 x x  C2017 x x . k 0 k 0
11. Hệ số của số hạng chứa x ứng với k k 1. 1 1 Do đó hệ số cần tìm là C2018 C2017 1. 2 2017.2018 Cách 2: Ta có T a0 a1x a2 x a2017.2018 x f x 2017.2018 1 f x a1 2a2 x 2017.2018a2017.2018 x f 0 a1 . 2017 2016 Mà f x 2018 1 x x2017 1 2017x2016 2017 1 x x2018 1 2018x2017 f 0 2018 2017 1 a1 1. Do đó hệ số cần tìm là 1. Câu 37: [1D2-3.2-3](THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 0 n 1 1 n 2 2 n n 10 n 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2048 . Hệ số của x trong khai triển x 2 là: A. 11264.B. 22 .C. 220 .D. 24 . Lời giải Chọn B n n 0 n 1 1 n 2 2 n n Ta có 3 1 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2n 2048 2n 211 n 11. 11 11 k 11 k k Xét khai triển x 2 C11x .2 k 0 Tìm hệ số của x10 tìm k ¥ k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1. 10 11 1 Vậy hệ số của x trong khai triển x 2 là C11.2 22 . Câu 29: [1D2-3.2-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Tìm hệ số của x3 sau khi khai triển và rút gọn các 9 1 2 đơn thức đồng dạng của x 2x , x 0 . x A. 2940 .B. 3210 .C. 2940 .D. 3210 . Lời giải Chọn A Ta có 9 9 9 9 k 9 k 1 2 1 k 1 k k i k k i i 2k i 9 x 2x x 2x 1 C9 .x . 2x 1 CkC9 1 2 .x . x x k 0 x k 0 i 0 Theo yêu cầu bài toán ta có 2k i 9 3 2k i 12 ; 0 i k 9 ; i,k ¥ Ta có các cặp i;k thỏa mãn là: 0;6 , 2;5 , 4;4 . 3 0 6 6 0 0 2 5 5 2 2 4 4 4 4 4 Từ đó hệ số của x là : C6 C9 1 .2 C5 C9 1 .2 C4 C9 1 .2 2940 . Câu 1489. [1D2-3.2-3] Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f (x) 8(1 8x)8 9(1 9x)9 10(1 10x)10 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8 C9.9 10.C10.10 . B. C8 .8 C9.9 C10.10 . 0 8 1 8 8 8 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 . D. 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 Hướng dẫn giải: Chọn D. 8 8 k 8 k 8 k Ta có: (1 8x) C8 8 x k 0
12. 9 9 k 9 k 9 k (1 9x) C9 9 x k 0 10 10 k 10 k 10 k (1 10x) C1010 x k 0 8 0 8 1 8 8 8 Nên hệ số chứa x là: 8.C8 .8 9.C9.9 10.C10.10 . Câu 1490. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g(x) 8(1 x)8 9(1 2x)9 10(1 3x)10 A. 22094. B. 139131. C. 130282. D. 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A. n n k k k k n k k Ta có: 1 ax Cn a x nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1 ax) là Cn a . Do i 0 đó: 8 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 x) là: C8 8 9 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 2x) là: C9 .2 8 10 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 3x) là:C10.3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g(x) thành đa thức là:8C8 9.2 .C9 10.3 .C10 22094 . 15 Câu 1491. [1D2-3.2-3] Hệ số đứng trước x25.y10 trong khai triển x3 xy là: A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . D. . 3200 Hướng dẫn giải: Chọn A. k 45 3k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15.x .x .y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 . 15 25 10 3 10 Vậy hệ số đứng trước x .y trong khai triển x xy là:C15 3003 . Câu 1496. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của n 1 5 n 1 n 3 x biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 . x A. 495. B. 313. C. 1303. D. 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 n n n 1 n Ta có: Cn 4 Cn 3 7 n 3 Cn 3 Cn 3 Cn 3 7 n 3 n 2 n 3 C n 1 7 n 3 7 n 3 n 3 2! n 2 7.2! 14 n 12 . 12 k n 12 5 12 60 11k 1 k Khi đó: x5 C k x 3 . x 2 C k x 2 . 3  12  12 x k 0 k 0 60 11k Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 8 k 4 . 2 12! Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C 4 495 . 12 4! 12 4 !
13. Câu 1497. [1D2-3.2-3] Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức n 1 x x2 với n là số nguyên dương thoả mãn x 3 2 k k Cn 2n An 1 .( Cn , An tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A. 98 . B. 98 . C. 96 . D. 96 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 3 3 2 Ta có:Cn 2n An 1 n n 1 n 2 2n n 1 n 6 n 3 n 8 2 . n 9n 8 0 Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 2 1 0 1 1 1 x x x 1 x C8 8 C8 6 1 x x x x x 1 2 1 3 4 8 C 2 1 x C3 1 x C 4 1 x C8 x8 1 x 8 x4 8 x2 8 8 Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4 C3 1 x và C 4 1 x . 8 x2 8 3 2 4 0 Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 và C8 .C4 3 2 4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 C8 .C4 98. 40 1 31 Câu 1498. [1D2-3.2-3] Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x x A. 9880. B. 1313. C. 14940. D. 1147 Hướng dẫn giải: Chọn A. 18 3 1 Câu 1499. [1D2-3.2-3] Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 số hạng độc lập đối với x x A. 9880. B. 1313. C. 14940. D. 48620 Hướng dẫn giải: Chọn.D. 9 C18 48620 . 12 4 x 3 Câu 1500. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 x 55 13 621 1412 A. . B. . C. . D. 9 2 113 3123 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 55 ( 3)4 C 4 . 38 12 9 Câu 1502. [1D2-3.2-3] Cho đa thức P x 1 x 2 1 x 2 20 1 x 20 có dạng khai triển là 2 20 P x a0 a1x a2 x a20 x .
14. Hãy tính hệ số a15 . A. 400995. B. 130414. C. 511313. D. 412674 Hướng dẫn giải: Chọn A. 20 15 a15  kCk 400995 . k 15 9 Câu 1503. [1D2-3.2-3] Tìm số hạng của khai triển 3 3 2 là một số nguyên A. 8 và 4536. B. 1 và 4184. C. 414 và 12. D. 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A. 9 9 k 9 k 3 k 3 Ta có 3 2 C9 3 2 k 0 Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: k 2m 9 k 3n k 0,k 6 k 0, ,9 9 6 3 0 3 6 3 Các số hạng là số nguyên: C9 2 8 và C9 3 2 . Câu 1505. [1D2-3.2-3] Xác định hệ số của x4 trong khai triển sau: f (x) (3x2 2x 1)10 . A. 8089. B. 8085. C. 1303. D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn B. 10 2 10 k 2 k f x 1 2x 3x C10 2x 3x k 0 10 k 10 k k i k i 2 i k i k i i k i C10 Ck (2x) .(3x ) C10 Ck 2 .3 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 i k 10. Do đó k i 4 với các trường hợp i 0,k 4 hoặc i 1,k 3 hoặc i k 2. 4 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 Vậy hệ số chứa x : 2 C10.C4 2 3 C10.C3 3 C10.C2 8085 . Câu 1506. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 3x)2n , biết n là số 1 3 5 2n 1 nguyên dương thỏa mãn: C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 . A. 2099529 . B. 2099520 . C. 2099529 . D. 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2n 1 C k 22n 1  2n 1 n k 0 Ta có: C 2i 1 22n 1024 n 5 n n  2n 1 2i 1 2i i 0 C2n 1 C2n 1 i 0 i 0 10 2n k 10 k k k Suy ra (2 3x) C10 2 .( 3) x k 0 7 7 3 7 Hệ số của x là C10.2 .( 3) 2099520 . Câu 1507. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x9 trong khai triển f (x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 A. 8089. B. 8085. C. 3003. D. 11312 Hướng dẫn giải:
15. Chọn B. 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : C9 C10 C11 C12 C13 C14 3003. Câu 1508. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x 1 2x 5 x2 1 3x 10 A. 3320. B. 2130. C. 3210. D. 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đặt f (x) x 1 2x 5 x2 1 3x 10 5 10 k k k 2 i i Ta có: f (x) xC5 2 .x x C10 3x k 0 i 0 5 10 k k k 1 i i i 2 C5 2 .x C10 3 .x k 0 i 0 Vậy hệ số của x5 trong khai triển đa thức của f (x) ứng với k 4 và i 3 là: 4 4 3 3 C5 2 C10.3 3320 . 8 8 2 Câu 1509. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f (x) 1 x 1 x A. 213. B. 230. C. 238. D. 214 Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1 8 2 0 1 2 2 4 2 3 6 3 1 x 1 x C8 C8 x 1 x C8 x 1 x C8 x 1 x 4 8 4 5 10 5 8 16 8 C8 x 1 x C8 x 1 x C8 x 1 x Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 3 2 4 0 C8 .C3 , C8 .C4 . 8 8 2 Vậy hệ số cuả x trong khai triển đa thức 1 x 1 x là: 3 2 4 0 a8 C8 .C3 C8 .C4 238. Cách 2: Ta có: 8 8 n 8 2 n 2n n n k k 2n k 1 x 1 x C8 x 1 x C8 Cn 1 x n 0 n 0 k 0 với 0 k n 8 . Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k 0;n 4 và k 2,n 3 . 8 3 2 4 0 Vậy hệ số của x là C8 .C3 C8 .C4 238 . 2 10 20 Câu 1510. [1D2-3.2-3] Đa thức P x 1 3x 2x a0 a1x a20 x . Tìm a15 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10.3 C10.C9 .3 C10.C8 .3 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10.2 C10.C9 .2 C10.C8 .2 . 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .2 . 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 10 2 10 k 2 k Ta có: P x 1 3x 2x C10 3x 2x k 0
16. 10 k 10 k k i k i 2 i k i k i i k i C10 Ck (3x) .(2x ) C10 Ck .3 .2 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 i k 10 . Do đó k i 15 với các trường hợp k 10,i 5 hoặc k 9,i 6 hoặc k 8,i 7 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 Vậy a15 C10 .C10.3 .2 C10.C9 .3 .2 C10.C8 .3.2 . 2 Câu 1511. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 )n , biết rằng x n 1 n 2 Cn Cn 78 với x 0 A. 112640 . B. 112640. C. 112643 . D. 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! n! Ta có: C n 1 C n 2 78 78 n n (n 1)!1! (n 2)!2! n(n 1) n 78 n2 n 156 0 n 12 . 2 12 12 3 2 k k 36 4k Khi đó: f (x) x C12 ( 2) x x k 0 Số hạng không chứa x ứng với k :36 4k 0 k 9 9 9 Số hạng không chứa x là: ( 2) C12 112640. 3n 3 Câu 1512. [1D2-3.2-3] Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành 2 n n đa thức của (x 1) (x 2) . Tìm n để a3n 3 26n A. n=5. B. n=4. C. n=3. D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:Ta có: 2 n 0 2n 1 2n 2 2 2n 4 n x 1 Cn x Cn x Cn x Cn n 0 n 1 n 1 2 2 n 2 n n x 2 Cn x 2Cn x 2 Cn x 2 Cn Dễ dàng kiểm tra n 1, n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x3n 3 x2n .xn 3 x2n 2.xn 1 Do đó hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của n 2 n 3 0 3 1 1 x 1 x 2 là: a3n 3 2 .Cn .Cn 2.Cn .Cn . 2 2n 2n 3n 4 7 Suy ra a 26n 26n n hoặc n 5 3n 3 3 2 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2: n n 2 n n 3n 1 2 Ta có: x 1 x 2 x 1 2 1 x x i k n 1 n 2 n n x3n Ci C k x3n Ci x 2i C k 2k x k  n 2  n  n  n i 0 x k 0 x i 0 k 0 Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n 3 khi 2i k 3 2i k 3 . Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0,k 3 hoặc i 1,k 1(vì i,k nguyên).
17. n Hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của x2 1 x 2 n 0 3 3 1 1 Là: a3n 3 Cn .Cn .2 Cn .Cn .2 . 2 2n 2n 3n 4 7 Do đó a 26n 26n n hoặc n 5 3n 3 3 2 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Câu 1513. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n 1 7 1 2 n 20 4 x , biết C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1. x A. 210. B. 213. C. 414. D. 213 Hướng dẫn giải: Chọn A. k 2n 1 k Do C2n 1 C2n 1 k 0,1,2, ,2n 1 0 1 n n 1 n 2 2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1 2 2n 1 2n 1 Mặt khác: C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 0 1 2 n 2n 1 2(C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1) 2 1 2 n 2n 0 2n C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 C2n 1 2 1 22n 1 220 1 n 10 . 10 10 1 10 10 Khi đó: x7 x 4 x7 C k (x 4 )10 k .x7k C k x11k 40 4  10  10 x k 0 k 0 Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6 . 26 6 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 . n n Câu 1514. [1D2-3.2-3] Cho n ¥ * và (1 x) a0 a1x an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( a a a 1 k n 1) sao cho k 1 k k 1 . Tính n ? . 2 9 24 A. 10. B. 11. C. 20. D. 22 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 n! 1 n! k 2 (k 1)!(n k 1)! 9 (n k)!k! Ta có: ak Cn , suy ra hệ 1 n! 1 n! 9 (n k)!k! 24 (n k 1)!(k 1)! 9k 2(n k 1) 2n 11k 2 n 10,k 2. 24(k 1) 9(n k) 9n 33k 24 Câu 3527. [1D2-3.2-3] Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển 1 x 3n bằng 64 . Số hạng 3n 1 không chứa x trong khai triển 2nx 2 là: 2nx A. 360 .B. 210 .C. 250 .D. 240 . Lời giải Chọn D. 3n Đặt: P x 1 x . 3n Tổng các hệ số trong khai triển là P 1 1 1 64 23n 64 8n 82 n 2 .
18. 3n 6 1 1 Số hạng tổng quát trong khai triển 2nx 2 hay 4x 2 là 2nx 4x k k 6 k 1 k 6 2k 6 3k Tk 1 C6 . 4x . 2 C6 .4 .x . 4x Ta cần tìm k sao cho: 6 3k 0 3k 6 k 2 . 2 6 2.2 Số hạng không chứa x trong khai triển là: C6 .4 240 . 100 100 Câu 3560. [1D2-3.2-3] Trong khai triển x 2 a0 a1x a100 x . Hệ số a97 là 3 97 98 98 A. 1293600. B. 1293600 . C. 2 .C100 . D. 2 .C100 . Lời giải. Chọn C 100 100 100 k k 100 k k 100 k k 100 Ta có x 2 C100.x . 2 C100. 2 .x a0 a1x a100 x k 0 k 0 k 100 k 97 3 3 97 Từ đó suy ra ak C100. 2 Vậy a97 C100. 2 2 .C100 . Câu 3563. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển 9 10 11 12 13 14 15 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . A. 3000 . B. 8008 . C. 3003 . D. 8000 . Lời giải. Chọn B n 9 9 Xét 1 x với n 9 thì hệ số chứa x trong khai triển là: Cn . Vậy hệ số chứa x9 trong khai triển 9 10 11 12 13 14 15 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x là: 9 9 9 9 9 9 9 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 8008 . n 1 2 3 n 1 Câu 3568. [1D2-3.2-3] Trong khai triển 1 x biết tổng các hệ số Cn Cn Cn Cn 126. Hệ số của x3 bằng A. 15. B. 21. C. 35 . D. 20 . Lời giải. Chọn C n n k k 1 x Cn .x . k 0 Thay x 1 vào khai triển ta được n 0 1 n 1 n n 1 1 Cn Cn Cn Cn 1 126 1 128 2 128 n 7 . 3 3 Hệ số của x bằng C7 35 . 6 2 3 Câu 3613: [1D2-3.2-3] Trong khai triển x , hệ số của x , x 0 là: x A. 60 . B. 80 . C. 160. D. 240 . Lời giải