Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Biến cố. Xác suất của biến cố - Dạng 3: Tính xác suất bằng định nghĩa - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Biến cố. Xác suất của biến cố - Dạng 3: Tính xác suất bằng định nghĩa - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 36.[1D2-4.3-4] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 397 1385 1331 1603 A. . B. . C. . D. . 1728 1728 1728 1728 Lời giải Chọn A Gọi  xi ; yi : xi 1, ,6, yi S; N,i 1,2,3 là biến cố xuất hiện trong 3 lần gieo, với xi ; yi lượt gieo thứ i con súc sắc xuất hiện mặt xi chấm, đồng xu suất hiện mặt yi với xi 1;2;3;4;5;6 và yi S; N . Khi gieo 3 lần, con súc sắc và đồng xu xuất hiện mặt bất kì ta có: gieo lần 1 (lần 2 hoặc lần 3 ) có 6.2 số phần tử của không gian mẫu là n  6.2 3 1728 . Gọi A là biến cố trong 3 lượt gieo ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. Khi đó biến cố A xảy ra các khả năng như sau: TH1: Gọi biến cố A1 chỉ có một lần gieo kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu 2 xuất hiện mặt sấp thì A1 có số phần tử là n A1 11 .3 363 (do biến cố 1;S xuất hiện ở một trong 1 3 lần gieo có C3 3 khả năng xảy ra, hai lần gieo còn lại không xuất hiện biến cố đó mỗi lần còn 11 khả năng xảy ra). TH2: Gọi biến cố A2 có 2 lần gieo kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp thì A2 có số phần tử là n A2 3.11 33 (do 2 trong 3 lần gieo xuất hiện biến cố 1;S 2 có C3 3 khả năng, lần gieo còn lại không xuất hiện biến cố đó có 11 khả năng xảy ra). TH3: Gọi biến cố A3 cả 3 lần gieo kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp thì A3 có số phần tử là n A3 1. Do đó n A n A1 n A2 n A3 363 33 1 397 . n A 397 Vậy xác suất cần tìm là P A . n  1728 Câu 37: [1D2-4.3-4] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Gọi S là tập hợp các sô tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ sao cho số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. 5 5 5 20 A. .B. . C. .D. . 54 648 42 189 Lời giải Chọn A Gọi số cần lập là abcdefghi . Không gian mẫu : Tập hợp số có 9 chữ số đôi một khác nhau. Vì a 0 có 9 cách chọn a . bcdefghi không có chữ số ở a có 9! cách chọn. Vậy n  9 9!. Biến cố A : Số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ sao cho số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. Số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số 0 không thể đứng ở a hoặc i . Suy ra có 7 cách sắp xếp chữ số 0 .
2. 2 Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số 0 (có sắp xếp) có A5 cách chọn. 2 2 Tiếp tục chọn hai số lẻ khác và sắp xếp vào 2 trong 6 vị trí còn lại có C3 A6 90 cách chọn. Còn lại 4 vị trí, chọn từ 4 số chẵn 2;4;6;8 có 4! 24 cách chọn. 2 Vậy n A 7 A5 90 24 302400 cách chọn. n A 302400 5 Xác suất để xảy ra biến cố A là p A . n  9 9! 54 Câu 24: [1D2-4.3-4] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Kết quả b,c của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2 bx c 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm: 5 7 23 17 A. B. C. D. 36 12 36 36 Lời giải Chọn D Gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, số phần tử không gian mẫu là 36 . Ta có: b là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai nên b 1;6 và c 1;6 với b , c ¢ . Phương trình x2 bx c 0 vô nghiệm khi 0 b2 4c 0 b2 4c . Với b 1 có 6 trường hợp xảy ra. Với b 2 có 5 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c 1). Với b 3 có 4 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c 2 ). Với b 4 có 2 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c 4 ) Do đó có tổng cộng 17 khả năng có thể xảy ra để phương trình vô nghiệm. 17 Vậy xác suất để phương trình vô nghiệm là: P . 36 Câu 46: [1D2-4.3-4](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho số phức z thõa mãn z 1 i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 i 2 z 2 3i 2 . A. 18 B. 38 8 10 C. 18 2 10 B. 16 2 10 Lời giải Chọn B Giả sử z x yi ( x, y ¡ ). M x; y là điểm biểu diễn của z . Suy ra M C1 có tâm I1 1; 1 và bán kính r1 2 . z 1 i 2 x 1 2 y 1 2 4 (1). P z 2 i 2 z 2 3i 2 x 2 2 y 1 2 x 2 2 y 3 2 . Suy ra P x 1 2 y 1 2 x2 y2 2x 10y 16 x 1 2 y 5 2 6 . Ta có x 1 2 y 5 2 P 6 C2 là đường tròn có tâm I2 1;5 , bán kính P 6 ; I1I2 2 10 .
3. 2 P 6 I I r P 6 2 10 2 P 38 8 10 . 1 2 1 Vậy MaxP=38+8 10 . Câu 47: [1D2-4.3-4](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau. 396 512 369 198 A. B. C. D. 625 3125 6250 3125 Lời giải Chọn C Số chia hết cho 9 có dạng: 9m , với m ¢ . Ta có 1000000 9m 10000000 111111 m 1111111. Do đó có 1000000 số có 7 chữ số và chia hết cho 9 . Từ các chữ số 0;1;2; ;9 ta có các bộ gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 là: 0;2;3;4;5;6;7 ; 0;1;3;4;5;6;8 ; 0;1;2;4;5;7;8 ; 0;1;2;3;6;7;8 ; 0;3;4;5;7;8;9 ; 0;2;4;6;7;8;9 ; 0;1;5;6;7;8;9 ; 0;1;2;3;4;8;9 ; 0;1;2;3;5;7;9 ; 2;3;4;5;6;7;9 ; 1;3;4;5;6;8;9 ; 1;2;4;5;7;8;9 ; 1;2;3;6;7;8;9 . Có 9 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó có số 0 nên từ các bộ số này lập được: 9 6 6! 38880 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 . Có 4 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 tương tự như bộ số 2;3;4;5;6;7;9 , nên từ các bộ số này lập được 4 7! 20160 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 . Vậy, xác suất chọn một số từ tập S để được một số có các chữ số của số đó đôi một khác nhau 38880 20160 369 là: P . 1000000 6250 Câu 49: [1D2-4.3-4](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd , trong đó 1 a b c d 9 . A. 0,014 . B. 0,0495. C. 0,079 . D. 0,055. Lời giải Chọn D Số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd a 1;2;3;4;5;6;7;8;9 suy ra có 9 cách chọn bcd có 103 cách chọn Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n  9.103 9000 . Gọi A là biến cố ‘‘số được Chọn Có dạng abcd , trong đó 1 a b c d 9 ’’ Số dạng aaaa có 9 số. 4 Số dạng abcd ( a b c d ) có C9 số. 2 Số dạng aaab có C9 số. 2 Số dạng aabb có C9 số.
4. 3 Số dạng abbc có C9 số. 3 Số dạng abbc có C9 số. 3 Số dạng abcc có C9 số. 4 2 3 n A 9 C9 3.C9 3.C9 495 . n A 495 Vậy P A 0.55 . n  9000 Câu 40: [1D2-4.3-4] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho tập X 6,7,8,9, gọi E là tập các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X . Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E , tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3 . 1 1 1 1 1 1 A. 1 4035 B. 1 2017 C. 1 4036 3 2 3 2 3 2 1 1 D. 1 2018 3 2 Lời giải Chọn A Gọi An , Bn lần lượt là tập các số chia hết, không chia hết cho 3 . Với mỗi số thuộc An có hai cách thêm vào cuối một chữ số 6 hoặc một chữ số 9 để được An 1 và hai cách thêm một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để được Bn 1 . Với mỗi số thuộc Bn có một cách thêm vào cuối một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để được An 1 và có ba cách thêm một chữ số để được Bn 1 . An 1 2 An Bn Như vậy Bn 1 3 An 1 4 Bn An 1 5 An 4 An 1 . Bn 1 2 An 3 Bn Hay An 5 An 1 4 An 2 . Xét dãy số an An , ta có a1 2, a2 6, an 5an 1 4an 2 ; n 3 . 2 1 Nên a .4n 4n . n 3 3 42018 2 Suy ra có số chia hết cho 3. 3 Mà E 42018. 42018 2 1 1 Vậy P 2018  1 4035 . 3.4 3 2 Câu 44. [1D2-4.3-4] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 36 18 72 144 A. .B. .C. .D. . 385 385 385 385 Lời giải Chọn A
5. 3 3 3 3 Ta có số phần tử không gian mẫu là n() C12.C9 .C6 .C3 . Đánh số 4 nhóm là A, B, C, D Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có 4! cách. Bước 2: xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 2 học sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có C5 cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có 3! cách. Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có 3!cách. 4!.4.C 2.3!.3! 36 Đáp số: 5 . C3 C3C3C3 385 12 9 6 3 Câu 38. [1D2-4.3-4] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho một đa giác H có 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn O . Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của H . Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của H gần với số nào nhất trong các số sau? A. 85,40% . B. 13,45% . C. 40,35% . D. 80,70% . Lời giải Chọn D 4 Số phần tử của không gian mẫu là: n  C60 . Gọi E là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của H ”. Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau: Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có 60 cách. Bước 2: Chọn 3 đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia m 60 chiếc kẹo cho n 4 đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất n 1 3 k 2 cái, có Cm n(k 1) 1 C55 cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần. 60.C3 Số phần tử của biến cố E là: n E 55 . 4 3 n E 60.C55 Xác suất của biến cố E là: P E 4 80,7% . n  4.C60 Câu 37. [1D2-4.3-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho tập hợp A 1;2;3;4 ;100 . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A , mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S . Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng? 4 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 645 645 645 645 Lời giải Chọn C Giả sử tập con bất kì a,b,c S 1 a,b,c 100 ; a,b,c phân biệt. a b c 91. 3 1 Đây là bài toán chia kẹo Euler nên số bộ a,b,c là: C91 1 Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 chữ số giống nhau, số bộ có 2 chữ số giống nhau là 2 3.45 135 ( bộ). Vậy n  C90 3.45 :3! 645 . Gọi A là biến cố: ” a,b,c lập thành cấp số nhân” Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q 0
6. a aq aq2 91 a 1 q q2 1.91 13.7 a 1 a 1 Trường hợp 1: 2 1 q q 91 q 9 a 91 a 91 Trường hợp 2: (loại) 2 1 q q 1 q 0 a 13 a 13 Trường hợp 3: (thỏa mãn) 2 1 q q 7 q 2 a 7 a 7 Trường hợp 3: (thỏa mãn). 2 1 q q 13 q 3 Vậy n A 3 . 3 P A . 645 Câu 912. [1D2-4.3-4] Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là 13 55 68 13 A. P .B. P . C. P . D. P . 68 68 81 81 Lời giải Chọn C Số có 4 chữ số có dạng: abcd . Số phần tử của không gian mẫu: n S 9.9.8.7 4536 . Gọi A : “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500 .” TH1. a 2 Chọn a : có 7 cách chọn. Chọn b : có 9 cách chọn. Chọn c : có 8 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 7.9.8.7 3528 (số). TH2. a 2 , b 5 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 4 cách chọn. Chọn c : có 8 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.4.8.7 224 (số). TH3. a 2 , b 5 , c 0 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 1 cách chọn. Chọn c : có 7 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7 49 (số). TH4. a 2 , b 5 , c 0 , d 0 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 1 cách chọn. Chọn c : có 1 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.1.7 7 (số).
7. Như vậy: n A 3528 224 49 7 3808 . n A 3508 68 Suy ra: P A . n S 4536 81 Câu 916. [1D2-4.3-4] Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2 ,3 , 4 ,5 , 6 , 7 ,8 ,9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là 16 16 10 23 A. P .B. P . C. P . D. P . 42 21 21 42 Lời giải Chọn C 6 Số phần tử không gian mẫu: n  A9 60480 . (mỗi số tự nhiên abcdef thuộc S là một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của S là số chỉnh hợp chập 6 của 9). 3 3 3 Gọi A : “số được chọn chỉ chứa 3 số lẻ”. Ta có: n A C5 .A6 .A4 28800 . (bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số abcdef xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số abcdef ) n A 28800 10 Khi đó: P A . n  60480 21 Câu 45: [1D2-4.3-4](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Lớp 10X có 25 học sinh, chia lớp 10X thành hai nhóm A và B sao cho mỗi nhóm đều có học sinh nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên hai học sinh từ hai nhóm, mỗi nhóm một học sinh. Tính xác suất để chọn được hai học sinh nữ. Biết rằng, trong nhóm A có đúng 9 học sinh nam và xác suất chọn được hai học sinh nam bằng 0,54. A. 0,42 . B. 0,04 . C. 0,46 . D. 0,23. Lời giải Chọn B Gọi số học sinh nam ở nhóm B là c c ¥ và b b ¥ là số học sinh nữ ở nhóm A . Số phần tử của không gian mẫu là n  9 b c 25 9 b c 9 b 16 b . Gọi T là biến cố chọn được hai học sinh nam. Suy ra n T 9c . 9c 3 c Theo giả thiết suy ra 0,54 . 9 b 16 b 50 9 b 16 b 2 9 b 16 b Do 9 b 16 b 200 nên 9 b 16 b 50;100;150. 2 Thử các trường hợp ta chỉ có trường hợp c 9 và b 1 hoặc b 6 thỏa mãn. 6.1 Vậy xác suất chọn được hai học sinh nữ là 0,04 . 150
8. Câu 3538. [1D2-4.3-4] Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội củaViệt nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu A , B , C mỗi bảng 4 đội. Xác suất để 3 đội Việt nam nằm ở 3 bảng đấu là 3 3 3 3 3 3 3 3 2C9 C6 6C9 C6 3C9 C6 C9 C6 A. P 4 4 .B. P 4 4 .C. P 4 4 .D. P 4 4 C12C8 C12C8 C12C8 C12C8 Lời giải Chọn B 4 4 4 + Số phần tử không gian mẫu: n  C12.C8 .C4 .3!. (bốc 4 đội từ 12 đội vào bảng A – bốc 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng B – bốc 4 đội từ 4 đội còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng) Gọi A : “3 đội Việt Nam nằm ở 3 bảng đấu” 3 3 3 Khi đó: n A C9 .C6 .C3 .3!.3!. (bốc 3 đội NN từ 9 đội NN vào bảng A – bốc 3 đội NN từ 6 đội NN còn lại vào bảng B – bốc 3 đội NN từ 3 đội NN còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng – bốc 1 đội VN vào mỗi vị trí còn lại của 3 bảng) 3 3 3 3 3 n A C9 .C6 .C3 .3!.3! 6.C9 .C6 Xác suất của biến cố A là P A 4 4 4 4 4 . n  C12.C8 .C4 .3! C12.C8 Câu 3539. [1D2-4.3-4] Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là 13 55 68 13 A. P .B. P . C. P . D. P . 68 68 81 81 Lời giải Chọn C Số có 4 chữ số có dạng: abcd . Số phần tử của không gian mẫu: n S 9.9.8.7 4536 . Gọi A : “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500 .” TH1. a 2 Chọn a : có 7 cách chọn. Chọn b : có 9 cách chọn. Chọn c : có 8 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 7.9.8.7 3528 (số). TH2. a 2 , b 5 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 4 cách chọn. Chọn c : có 8 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.4.8.7 224 (số). TH3. a 2 , b 5 , c 0 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 1 cách chọn. Chọn c : có 7 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7 49 (số). TH4. a 2 , b 5 , c 0 , d 0 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 1 cách chọn.
9. Chọn c : có 1 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.1.7 7 (số). Như vậy: n A 3528 224 49 7 3808 . n A 3508 68 Suy ra: P A . n S 4536 81 Câu 3542. [1D2-4.3-4] Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là 1 1 1 1 A. P .B. P . C. P . D. P . 55 220 4 14 Lời giải Chọn A 3 Số phần tử không gian mẫu: n  C12 220 . (chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác) Gọi A : “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”. (Chia 12 đỉnh thành 3 phần. Mỗi phần gồm 4 đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với một phần ở trên .Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất). 1 Ta có: n A C4 4 . n A 4 1 Khi đó: P A . n  220 55 Câu 50: [1D2-4.3-4](THPT Chuyên Quốc Học Huế-Lần 3-2018-BTN) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó dừng tại đỉnh C . 1862 453 435 1640 A. . B. . C. . D. . 6561 2187 2187 6561 Lời giải Chọn D Không mất tổng quát giả sử tọa độ đỉnh A 0;0;0 và C 1;1;1 . Ta thấy: mỗi lần sâu di chuyển là cộng thêm 1 tại 1 trong 3 vị trí hoành độ, tung độ và cao độ từ vị trí sâu đang đứng. Do đó số phần tử của không gian mẫu là n  39 19683. Sau 9 lần di chuyển sau đứng tại vị trí 1;1;1 khi và chỉ khi sâu di chuyển số lần tại các tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ là : 3;3;3 ; các hoán vị của bộ 1;3;5 ; các hoán vị của bộ 7;1;1 . Do đó số trường hợp thuận lợi của biến cố A : sâu ở C sau 9 bước di chuyển là 3 3 3 5 3 1 7 1 1 n A C9 .C6 .C3 6.C9 .C4 .C1 3.C9 .C2.C1 4920 4920 1640 Vậy xác suất cần tìm P A .Câu 36: [1D2-4.3-4] [SDG PHU 19683 6561 THO_2018_6ID_HDG] Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng a1a2a3a4a5 mà a1 a2 1 a3 3 a4 a5 2 bằng 1148 77 7 1001 A. .B. .C. .D. . 90000 1500 5000 30000 Lời giải Chọn A
10. a2 5 Vì a2 1 a3 3 . a3 4 Số có dạng 1042a5 có 10 cách chọn a5 . Số có dạng 1043a5 có 9 cách chọn a5 . Số có dạng 1049a5 có 3 cách chọn a5 . Vậy những số có dạng 104a4a5 có 3 4 10 52 số. Số có dạng 1053a5 có 9 cách chọn a5 . Số có dạng 1054a5 có 8 cách chọn a5 . Số có dạng 1059a5 có 3 cách chọn a5 . Vậy những số có dạng 105a4a5 có 52 10 42 số. Vậy những số có dạng 106a4a5 có 42 9 33số. Vậy những số có dạng 107a4a5 có 33 8 25 số. Vậy những số có dạng 108a4a5 có 25 7 18 số. Vậy những số có dạng 109a4a5 có 18 6 12 số. Kết luận: Những số có dạng 10a3a4a5 có 12 18 25 33 42 52 182 số. Những số có dạng 11a3a4a5 a3 5 có 12 18 25 33 42 130số. Những số có dạng 12a3a4a5 a3 6 có 12 18 25 33 88số. Những số có dạng 13a3a4a5 a3 7 có 12 18 25 55 số. Những số có dạng 14a3a4a5 a3 8 có 12 18 30 số. Những số có dạng 15a3a4a5 a3 9 có 12số. Kết luận: Những số có dạng 1a2a3a4a5 có 12 30 55 88 130 182 497 số. Từ đó ta lập luận như sau: Những số có dạng 2a2a3a4a5 a2 1 có 12 30 55 88 130 315 số. Những số có dạng 3a2a3a4a5 a2 2 có 12 30 55 88 185số. Những số có dạng 4a2a3a4a5 a2 3 có 12 30 55 97 số. Những số có dạng 5a2a3a4a5 a2 4 có 12 30 42 số. Những số có dạng 6a2a3a4a5 a2 5 có 12 số. Vậy những số thỏa yêu cầu bài toán là 12 42 97 185 315 497 1148. 1148 Vậy xác suất cần tìm là . 90000 1148 Bài này chỉnh lại đáp án là : . 90000
11. Câu 49: [1D2-4.3-4] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Cho một đa giác đều n đỉnh ( n lẻ, n 3 ). Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P là xác suất sao cho 3 đỉnh đó 45 tạo thành một tam giác tù. Biết P . Số các ước nguyên dương của n là 62 A. 3 .B. 4 .C. 6 .D. 5 . Lời giải Chọn B 3 Chọn ngẫu nhiên ra 3 đỉnh có n  Cn cách. Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với góc A nhọn, B tù và C nhọn. Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có n cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn, chia đường tròn thành hai phần (trái và phải chẳng hạn). Để tạo thành tam giác tù thì hai đỉnh còn lại được chọn sẽ hoặc cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải. 2 - Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có Cn 1 cách. 2 2 - Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có Cn 1 cách. 2 2 2 Vậy có thể có tất cả n Cn 1 Cn 1 tam giác tù, tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc 2 2 nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành 2 2 n Cn 1 Cn 1 2 2 2 là nCn 1 . 2 2 2 nCn 1 2 45 Mà xác suất P 3 (1). Cn 62 n 1 Do n lẻ nên đặt n 2k 1 ( k 1) k . 2 2 3 (1) 62 2k 1 Ck 45C2k 1 k! 2k 1 ! 62 2k 1 45 2! k 2 ! 3! 2k 2 ! 31 k 1 15 2k 1 k 16 (nhận). Vậy n 2k 1 33. Do đó số các ước nguyên dương của n là 4 . Câu 48. [1D2-4.3-4] [SGD SOC TRANG_2018_BTN_6ID_HDG] Cho tập hợp A 2k | k 1, ,10 có 10 phần tử là các lũy thừa của 2 . Chọn ngẫu nhiên từ tập A hai số khác nhau theo thứ tự a và b . Xác suất để loga b là một số nguyên bằng 17 3 1 19 A. .B. .C. .D. . 90 10 5 90 Lời giải Chọn A 2 Số phần tử không gian mẫu n() A10 90 . n Giả sử a 2m , b 2n , khi đó log b log 2n là một số nguyên thì m là ước của n . a 2m m + m 1 thì có 9 cách chọn n , n 2;3; ;10.
12. + m 2 thì có 4 cách chọn n , n 4;6;8;10 . + m 3 thì có 2 cách chọn n , n 6;9 . + m 4 thì có 1 cách chọn n , n 8 . + m 5 thì có 1 cách chọn n , n 10 . + m 6;7;8;9;10 : không xảy ra. Suy ra số phần tử của biến cố loga b là một số nguyên là 9 4 2 1 1 17 . 17 Xác suất cần tìm là . 90 Câu 45: [1D2-4.3-4] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 106 được thành lập từ hai chữ số 0 và 1. Lấy ngẫu nhiên hai số trong S . Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng. 4473 2279 55 53 A. B. C. D. 8128 4064 96 96 Lời giải Chọn D Có: a1 0 ; a1 , , a6 0;1 . Số phần tử của S là : 2 1.2 1.2.2 1.2.2.2 1.2.2.2.2 1.2.2.2.2.2 64. 2 Lấy ngẫu nhiên hai số trong S , có : C63 (cách lấy). Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 . A là biến cố không lấy được số chia hết cho 3 . Ta xét xem trong 63 số của tập S có bao nhiêu số chia được cho 3 : + TH1: Số có 1 chữ số a1 : có 2 số và hai số này đều không chia được cho 3 . + TH1: Số có 2 chữ số a1a2 với a1 1: có 2 số và 2 số này đều không chia được cho 3 . + TH2: Số có 3 chữ số a1a2a3 với a1 1: có 4 số và trong đó có 1 số chia được cho 3 . + TH3: Số có 4 chữ số a1a2a3a4 với a1 1: có 8 số và trong đó có 3 số chia được cho 3 . + TH4: Số có 5 chữ số a1a2a3a4a5 với a1 1: có 16 số và trong đó có 6 số chia được cho 3 . + TH5: Số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 với a1 1: có 32 số và trong đó có 11 số chia được cho 3 . Do đó có 21 số chia được cho 3 và có 43 số không chia được cho 3 . 2 C43 43 53 Do đó: P A 2 . Vậy P A 1 P A . C64 96 96 Câu 49: [1D2-4.3-4] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong lễ tổng kết năm học 2017 2018, lớp 12T nhận được 20 cuốn sách gồm 5 cuốn sách toán, 7 cuốn sách vật lý, 8 cuốn sách Hóa học, các sách cùng môn học là giống nhau. Số sách này được chia đều cho 10 học sinh trong lớp, mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học. Bình và Bảo là hai trong số 10 học sinh đó. Tính xác suất để 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. 1 17 14 12 A. B. C. D. 5 90 45 45 Lời giải Chọn D
13. Gọi x , y , z lần lượt là số phần quà gồm sách Toán và Vật lý, Toán và Hóa học, Vật lý và Hóa học. x y 5 x 2 Khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình x z 7 y 3 . y z 8 z 5 2 3 5 Số phần tử không gian mẫu là n C10.C8 .C5 2520 . Gọi A là biến cố 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. 2 3 5 2 1 5 2 3 3 Số phần tử của A là nA C2 .C8 .C5 C8 .C6.C5 C8 .C6 .C3 784 . 748 14 Vậy xác suất cần tìm là P A 2520 45 Câu 43: [1D2-4.3-4] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là: 109 1 1 109 A. . B. . C. . D. . 30240 280 5040 60480 Lời giải Chọn B Ta có: n  10!. Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10. Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số 1, 4 , 7 , 10. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách. Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 2 2.2 6 . Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 6.3!.5!. Gọi A: “ Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”. n A 12960 1 n A 4!.6! 6.3!.5! 12960 P A . n  10! 280 1 Vậy xác suất cần tìm là . 280 Câu 46: [1D2-4.3-4](THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN) Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 210 600 300 450 Lời giải Chọn A Số cách xếp 10 quyển sách tham khảo thành một hàng ngang trên giá sách là: n  10!. Ta ghép hai quyển Toán T1 và Toán T2 thành một quyển Toán đặc biệt. Bây giờ ta đếm số cách xếp sách để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng
14. thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau. Ta xếp 1 quyển sách Văn và 5 quyển sách Toán trước . Quyển sách Văn được xếp đầu hàng và các quyển sách Toán xếp như sau: V.T.T.T.T.T, khi 3 đó có A4 cách xếp 3 quyển sách tiếng Anh ở để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở 3 giữa hai quyển sách Toán. Trường hợp này có 5!2!A4 cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu. Quyển sách Văn được xếp cuối hàng và các quyển sách Toán xếp như sau: T.T.T.T.T.V, 3 tương tự như trên ta có 5!2!A4 cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu. Quyển sách Văn được không xếp đầu hàng và các quyển sách Toán xếp như sau: T.V.T.T.T.T, T.T.V.T.T.T, T. T.T.V.T.T, T. T.T.T.V.T, khi đó mỗi khả năng ta có 3! cách xếp 3 quyển sách tiếng Anh ở để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán. Trường hợp này có 4.5!2!3! cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu. 3 Bởi vậy, số khả năng xếp sách thỏa mãn yêu cầu là: n A 5!2!A4 4.5!2!3!. n A 2.5!2!A3 4.5!2!3! 1 Xác suất cần tìm là: P 4 . n  10! 210 Câu 40: [1D2-4.3-4](Chuyên Vinh - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật OMNP với M 0;10 , N 100;10 , P 100;0 Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A x; y với x , y Z nằm bên trong kể cả trên cạnh của OMNP . Lấy ngẫu nhiên 1 điểm A x; y S . Tính xác suất để x y 90 . 169 845 86 473 A. . B. . C. . D. . 200 1111 101 500 Lời giải Chọn C Tập hợp S gồm có 11.101 1111 điểm. Ta xét S x; y : x y 90với 0 x 100 và 0 y 10 Khi y 0 x 90 x 91;100 có 10 giá trị của x Khi y 1 x 89 x 90;100 có 11 giá trị của x Khi y 10 x 90 x 91;100 có 20 giá trị của x 1111 165 86 Như vậy S có 165 phần tử. Vậy xác suất cần tìm là : . 1111 101 Câu 49: [1D2-4.3-4] (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 47 47 47 A. B. C. D. 256 256 256 256 Lời giải Chọn A Gọi A là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng. Số phần tử của không gian mẫu là n  28 256.
15. Rõ ràng nếu nhiều hơn 4 đồng xu ngửa thì biến cố A không xảy ra. Để biến cố A xảy ra có các trường hợp sau: TH1: Có nhiều nhất 1 đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là 1 8 9 . TH2: Có 2 đồng xu ngửa. Hai đồng xu ngửa kề nhau: có 8 khả năng. 2 Suy ra số kết quả của trường hợp này là C8 8 20 . TH3: Có 3 đồng xu ngửa. Cả 3 đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả. Trong 3 đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có 8.4 32 kết quả. 3 Suy ra số kết quả của trường hợp này là C8 8 32 16. TH4: Có 4 đồng xu ngửa. Trường hợp này có 2 kết quả thỏa mãn biến cố A xảy ra. Như vậy n A 9 20 16 2 47 . n A 47 Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là P . n  256 Câu 36: [1D2-4.3-4](SGD VĨNH PHÚC - 2018 - BTN) Chọn ngẫu nhiên 3 đường thẳng chứa 3 cạnh khác nhau của một hình bát diện đều. Tìm xác suất để các véc tơ chỉ phương của 3 đường thẳng đó đồng phẳng. 23 7 1 17 A. B. C. D. 55 11 5 55 Lời giải Chọn A 3 Hình bát diện đều có 12 cạnh. Số phần từ của không gian mẫu bằng C12 220 . Gọi A là biến cố chọn được 3 cạnh mà các đường thẳng chứa 3 cạnh đó có 3 vectơ chỉ phương đồng phẳng. Cách 1: TH1: Chọn 3 cạnh nằm trong một mặt phẳng: có 8 mặt bên là tam giác đều và 3 mặt chéo là 3 3 hình vuông. Có 8C3 3C4 20 cách. TH2: Chọn 2 cạnh của một mặt bên và cạnh còn lại song song với mặt mặt đó. 2 Có 8 mặt bên được chọn, ứng với mỗi mặt có C3 cách chọn cặp cạnh, ứng với mỗi cách chọn cặp cạnh đó có 3 cách chọn cạnh còn lại song song với 1 trong 3 cạnh của mặt bên, 2 vậy có 8.C3 .3 72 cách.
16. 92 23 Do đó n A 20 72 92 . Vậy xác suất cần tính bằng: P A . 220 55 Cách 2: Ta thấy nếu 3 véc tơ của 3 đường thẳng chứa 3 cạnh được chọn đồng phẳng thì: 3 cạnh được chọn không có 2 cạnh nào song song thì 3 cạnh đó phải song song hoặc nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng đó là mặt “bên” ( ABC ; ACB ; ) của bát diện hoặc mặt chéo ( ACA C ; ABA B ; BCB C ) . 3 cạnh được chọn có 2 cạnh song song, cạnh còn lại bất kì. TH1: 3 cạnh song song hoặc nằm trong một mặt bên: ABC : Có các cạnh thỏa mãn là AB , AC , BC , A C , C B , B A . Có các bộ thỏa mãn là: AB BC AC ; AB AC C B ; AB BC C A ; AC BC A B ; AB C B C A ; AC C B A B ; BC A B A C ; A B A C B C . Tất cả có 8 cặp. Do có 8 mặt bên chia thành 4 nên suy ra có: 8.4 32 cách. TH2: Với mỗi mặt chéo thì có 4 cạnh nên khi chọn 3 cạnh luôn có 2 cạnh song song nên TH này bị tính ở trường hợp 3 . TH3: Có 6 cặp cạnh song song ( AB A B ; ) với mỗi cặp cạnh song song đó sẽ có thêm 10 cách chọn cạnh còn lại. Vậy sẽ có: 60 cách. Tổng hợp lại ta có: 60 32 92 cách. 92 23 Vậy xác suất cần tính bằng: P A . 220 55