Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Bài 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Bài 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 42: [DS11.C5.2.BT.c] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hàm số y x3 mx2 mx 2m 3 có đồ thị là C , với m là tham số thực. Gọi T là tập tất cả các giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với C đều có hệ số góc dương. Tính tổng các phần tử của T . A. 3 .B. 6 .C. 6 .D. 3 . Lời giải Chọn D 2 Ta có: y 3x 2mx m . Gọi M x0 ; y0 C suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại M có 2 2 2 2 m m m 3m hệ số góc là k y x0 3x0 2mx0 m 3 x0 m . 3 3 3 Để mọi đường thẳng tiếp xúc với C đều có hệ số góc dương thì : m2 3m m2 3m 0 0 3 m 0 . 3 3 Tập các giá trị nguyên của m là: T 2; 1. Vậy tổng các phần tử của T là: 3 . Câu 40. [DS11.C5.2.BT.c] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số y x3 mx2 mx 1 có đồ thị C . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của C đi qua gốc tọa độ O ? A. 2 .B. 1.C. 3 .D. 4 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 m m m Ta có y 3x 2mx m 3 x m m . 3 3 3 m m2 Dấu bằng xảy ra khi x , khi đó hệ số góc tiếp tuyến là f x m và tiếp tuyến có dạng 3 0 3 m2 m 2m3 m2 y f x0 x x0 y0 hay y m x 1 3 3 27 3 m3 Tiếp tuyến qua O 0 1 m 3. 27 Câu 18. [DS11.C5.2.BT.c] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các giá trị 2x 3 thực của tham số m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị H của hàm số y tại hai x 2 2018 2018 điểm A, B phân biệt sao cho P k1 k2 đạt giá trị nhỏ nhất, với k1,k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị H . A. m 3. B. m 2. C. m 3. D. m 2. Lời giải Chọn D 2x 3 Phương trình hoành độ giao điểm 2x m x 2 x 2 x 2 2 x 2 2x m 2x 3 0 2x m 6 x 3 2m 0 (1) Đường thẳng d : y 2x m cắt (H) tại hai điểm phân biệt
2. 2 m 6 8 3 2m 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 2 2. 2 m 6 . 2 3 2m 0 m 6 x x A B 2 Khi đó x , x là 2 nghiệm phân biệt của A B 3 2m x x A B 2 1 1 1 Ta có y 2 k1 2 , k2 2 x 2 xA 2 xB 2 1 1 k1k2 2 2 4 2 x x x x 4 3 2m A B A B m 6 4 2 2018 2018 2018 2018 2018 P k1 k2 2 k1 k2 2 4 . 1 1 xA 2 xB 2 Dấu " " xảy ra k1 k2 0 2 2 x 2 x 2 xA 2 xB 2 A B A B Do xA xB nên xA xB 4. A, B H m 6 Kết hợp với ta được 4 m 2 thỏa mãn . 2 Câu 41. [DS11.C5.2.BT.c] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x x3 6x2 9x 3 C . Tồn tại hai tiếp tuyến của C phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA 2017.OB . Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán? A. 0 .B. 1.C. 3 .D. 2 . Lời giải Chọn D Gọi M1 x1; f x1 ; M 2 x2 ; f x2 với là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc. Ta có y 3x2 12x 9 2 2 Khi đó k 3x1 12x1 9 3x2 12x2 9 x1 x2 x1 x2 4 0 x1 x2 4 S 1 Hệ số góc của đường thẳng M1M 2 là OB 1 f x f x k 2 1 OA 2017 x2 x1 2016 x1x2 P 1 2 2017 2 x x x x 6 x x 9 2017 1 2 1 2 1 2 2018 x x P 1 2 2017 x1 x2 4 S 2 Với 2016 , do S 4Pnên  hai cặp x1 , x2  1 giá trị k x x P 1 2 2017 x1 x2 4 S 2 Với 2018 , do S 4Pnên  hai cặp x1 , x2  1 giá trị k x x P 1 2 2017
3. KL: Có 2 giá trị k x 2 Câu 33: [DS11.C5.2.BT.c] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số y C và điểm x 1 A 0;m . S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành. Tập S là 1 2 A. S 3; \ 1. B. S 2; . C. S 3; \ 1. D. S ; \ 1. 2 3 Lời giải Chọn D 3 Ta có y . Phương trình đường thẳng qua A 0;m có hệ số góc k x 1 2 x 2 kx m x 1 d : y k x 0 m . d là tiếp tuyến hệ có nghiệm. 3 k 2 x 1 3 x 2 Thay k vào kx m ta được m 1 x2 2 m 2 x m 2 0 1 . x 1 2 x 1 Để kẻ được 2 tiếp tuyến thì 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 3m 6 0 m 2 1 m 1 . m 1 m 1 2 m 2 m 2 0 Hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành khi y x1 .y x2 0 x 2 x 2 P 2S 4 9m 6 2 1 . 2 0 0 0 m . x1 1 x2 1 P S 1 3 3 2 m Vậy 3 . m 1 Câu 44: [DS11.C5.2.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hàm số y x3 4x2 1 có đồ thị là C và điểm M m;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 40 16 20 A. 5 . B. . C. . D. . 9 9 3 Lời giải Chọn B Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua M m;1 và có hệ số góc k là: y k x m 1. Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C điều kiện là hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm x phân biệt 3 2 x 4x 1 k x m 1 3 2 x 4x 1 k x m 1 1 I 3 2 3x2 8x k 2 x 4x 1 k Thay 2 vào 1 ta được x3 4x2 1 3x2 8x x m 1 2 x 2x 3m 4 x 8m 0
4. x 0 2 2x 3m 4 x 8m 0 3 Như vậy, hệ I có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình 3 có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0 ; hoặc phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 0 . Phương trình 3 có nghiệm x 0 khi và chỉ khi m 0 . Khi đó, phương trình 3 trở thành 2 x 0 2x 4x 0 ; x 2 Do đó m 0 thỏa mãn. Phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 0 điều kiện là 3m 4 2 4.2.8m 0 3m 4 0 4 3m 4 2 4.2.8m 0 m 4 3m 4 4 . 0 m 4 9 4  Như vậy S 0; ;4 . 9  4 40 Tổng giá trị tất cả các phần tử của S là 0 4 . 9 9 Câu 14: [DS11.C5.2.BT.c] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tiếp x 3 tuyến của đồ thị hàm số y C cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích x 1 bằng A. 6 . B. 5 . C. 8 . D. 7 . Lời giải Chọn C Tập xác định D ¡ \ 1 . Ta có lim y 1 và lim y 1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 1. x x lim y ; lim y nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1. x 1 x 1 a 3 Giả sử M a; là một điểm bất kỳ của đồ thị hàm số. a 1 4 Ta có y nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là x 1 2 4 a 3 y x a a 1 2 a 1 a 7 Tiếp tuyến giao với tiệm cận đứng tại điểm A 1; . a 1 Tiếp tuyến giao với tiệm cận ngang tại điểm B 2a 1;1 . Giao của hai đường tiệm cận là I 1;1 . 8 Khi đó tam giác IAB vuông tại I và IA ; IB 2 a 1 . a 1
5. 1 Vậy diện tích tam giác IAB là S IA.IB 8 . 2 Câu 39. [DS11.C5.2.BT.c] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Gọi M , N là hai điểm di động trên đồ thị C của hàm số y x3 3x2 x 4 sao cho tiếp tuyến của C tại M và N luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? A. 1;5 . B. 1; 5 . C. 1; 5 . D. 1;5 . Lời giải Chọn D * Gọi tọa độ điểm M , N lần lượt là M x1; y1 , N x2 ; y2 . * Hệ số góc tiếp tuyến của C tại M và N lần lượt là: 2 k1 y x1 3x1 6x1 1 2 k2 y x2 3x2 6x2 1 * Để tiếp tuyến của C tại M và N luôn song song với nhau điều kiện là: k1 k2 x1 x2 3 x1 x2 6 0 x1 x2 2 . x x 1 2 x1 x2 * Ta có: y y x x x x 2 3x x 3 x x 2 2x x x x 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Do x1 x2 2 nên y1 y2 2 4 3x1x2 3 4 2x1x2 8 10 . * Trung điểm của đoạn MN là I 1;5 . Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I 1;5 . Câu 39. [DS11.C5.2.BT.c] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hàm số x 1 y có đồ thị C và điểm A a;2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng hai tiếp x 1 2 2 tuyến của C đi qua điểm A và có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn k1 k2 10k1 k2 0 . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 7 5 5 5 7 A. 7 . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có y . x 1 2 t 1 Gọi tọa độ tiếp điểm là M t; . t 1 2 t 1 Phương trình tiếp tuyến tại M là y x t . t 1 2 t 1 2 t 1 Do tiếp tuyến đi qua A a;2 nên ta có 2 a t t 2 6t 3 2a 0 1 . t 1 2 t 1 2 2 Gọi t1 , t2 là hai nghiệm của 1 suy ra k1 2 và k2 2 . t1 1 t2 1 2 2 2 2 4 4 k1 k2 10k1 k2 0 2 2 10 4  4 0 t1 1 t2 1 t1 1 t2 1 t 1 2 t 1 2 t 1 2 t 1 2 80 t t 2 2t t 2 t t 2 t t t t 1 2 80 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  1 2 1 2  Mặt khác theo viet có t1 t2 6 và t1t2 3 2a .
6. a 0 2 2 Thay vào ta có 20 4a 2a 2 80 5 a a 1 5 7 5 . a 2 Vậy chọn A.