Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Bài 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Mức độ 3.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Bài 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Mức độ 3.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 25: [DS11.C5.2.BT.c] Điểm M trên đồ thị hàm số y x3 – 3x2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là : A. M 1; –3 , k –3. B. M 1;3 , k –3. C. M 1; –3 , k 3. D. M 1; –3 , k –3. Lời giải Chọn A 2 Gọi M x0 ; y0 . Ta có y 3x 6x . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là 2 2 k y x0 3x0 6x0 3 x0 1 3 3 Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0 1, y0 3. Câu 25: [DS11.C5.2.BT.c] Điểm M trên đồ thị hàm số y x3 – 3x2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là : A. M 1; –3 , k –3. B. M 1;3 , k –3. C. M 1; –3 , k 3. D. M 1; –3 , k –3. Lời giải Chọn A 2 Gọi M x0 ; y0 . Ta có y 3x 6x . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là 2 2 k y x0 3x0 6x0 3 x0 1 3 3 Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0 1, y0 3. ax b Câu 26: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị cắt trục tung tại A 0; –1 , tiếp x 1 tuyến tại A có hệ số góc k 3. Các giá trị của a , b là: A. a 1, b 1 .B. a 2, b 1 . C. a 1, b 2 . D. a 2, b 2 . Lời giải Chọn B ax b b A 0; –1 C : y 1 b 1. x 1 1 a b Ta có y . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là x 1 2 k y 0 a b 3 a 3 b 2. x2 2mx m Câu 27: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục x m Ox tại hai điểm và tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là:
2. A. 3. B. 4 .C. 5. D. 7 . Lời giải Chọn C x2 2mx m Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C : y và trục x m hoành: x2 2mx m x2 2mx m 0 * 0 . x m x m x2 2mx m Đồ thị hàm số y cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt phương trình x m 2 m 0 m 1 m m 0 * có hai nghiệm phân biệt khác m 1 . 3m2 m 0 m 3 2 Gọi M x0 ; y0 là giao điểm của đồ thị C với trục hoành thì y0 x0 2mx0 m 0 và hệ số góc của tiếp tuyến với C tại M là: 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 m 2x 2m k y x 0 . 0 2 x m x0 m 0 Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với C tại hai giao điểm với trục hoành là 2x1 2m 2x2 2m k1 , k2 . x1 m x2 m 2x1 2m 2x2 2m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1.k2 1 1 x1 m x2 m 2 2 4 x1x2 m x1 x2 m x1x2 m x1 x2 m . x1x2 m 2 m 0 Ta lại có , do đó m 5m 0 . Nhận m 5. x1 x2 2m m 5 x2 3x 1 Câu 28: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y và xét các phương trình tiếp tuyến có x 2 hệ số góc k 2 của đồ thị hàm số là: A. y 2x – 1; y 2x – 3 . B. y 2x – 5; y 2x – 3 . C. y 2x – 1; y 2x – 5 . D. y 2x – 1; y 2x 5 . Lời giải Chọn A x2 4x 5 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có y . x 2 2
3. Hệ số góc của tiếp tuyến x2 4x 5 x 1 k 2 y x 2 0 0 2 x2 4x 3 0 0 . 0 2 0 0 x 3 x0 2 0 Với x0 1 y0 1 pttt: y 2 x 1 1 y 2x 1. Với x0 3 y0 1 pttt: y 2 x 3 1 y 2x 5 . Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2x – 1, y 2x – 5 . x2 3x 3 Câu 29: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông x 2 góc với đường thẳng. d : 3y – x 6 0 là: A. y –3x – 3; y –3x – 11. B. y –3x – 3; y –3x 11. C. y –3x 3; y –3x – 11. D. y –3x – 3; y 3x – 11 . Lời giải Chọn A 1 1 d :3y – x 6 0 y x 2 k . 3 d 3 x2 4x 3 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có y . x 2 2 1 Tiếp tuyến vuông góc với d ktt .kd 1 ktt 3 y x0 3 kd 3 2 x0 x0 4x0 3 2 2 3 4x0 16x0 15 0 . x 2 2 5 0 x 0 2 3 3 3 3 Với x0 y0 pttt: y 3 x y 3x 3 . 2 2 2 2 5 7 5 7 Với x0 y0 pttt: y 3 x y 3x 11. 2 2 2 2 5 Câu 30: [DS11.C5.2.BT.c] Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2m –1 x4 – m tại 4 điểm có hoành độ x –1 vuông góc với đường thẳng d : 2x – y – 3 0 . 3 1 7 9 A. . B. . C. .D. . 4 4 16 16 Lời giải Chọn D d : 2x – y – 3 0 y 2x 3 kd 2 . 5 y 2m –1 x4 – m y 4 2m 1 x3 . 4
4. 5 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 2m –1 x4 – m tại điểm có hoành 4 3 độ x –1 là ktt y 1 4 2m 1 1 4 2m 1 . 9 Ta có k .k 1 8 2m 1 1 m tt d 16 x 2 Câu 31: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm x 2 –6;5 là: 1 7 1 7 A. y – x – 1 ; y x .B. y – x – 1 ; y x . 4 2 4 2 1 7 1 7 C. y – x 1 ; y x . D. y – x 1 ; y x . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B x 2 4 y y . x 2 x 2 2 x 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 x 2 0 0 0 là: 4 x0 2 y y x0 x x0 y0 y x x . 2 0 x 2 x0 2 0 Vì tiếp tuyến đi qua điểm –6;5 nên ta có x 0 4 x0 2 2 0 5 2 6 x0 4x0 24x0 0 x 2 x 6 x0 2 0 0 1 7 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y – x – 1 và y – x . 4 2 3x 4 Câu 32: [DS11.C5.2.BT.c] Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y là: x 1 A. y 28x 59 ; y x 1. B. y –24x 51 ; y x 1. C. y 28x 59 . D. y 28x 59 ; y 24x 51. Lời giải Chọn C 3x 4 7 y y . x 1 x 1 2 3x 4 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 1 0 0 x0 2 là:
5. 7 3x0 4 y y x0 x x0 y0 y x x . 2 0 x 1 x0 1 0 7 3x0 4 3 Vì tiếp tuyến đi qua điểm 2;3 nên ta có 3 2 x x0 . 2 0 x 1 2 x0 1 0 Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –28x 59 . Câu 4: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x4 x2 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M 1;3 . A. y 6x 2 B. y 6x 9 C. y 6x 3 D. y 6x 8 Lời giải Chọn C 3 Ta có: y ' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: 3 4 2 y 4x0 2x0 x x0 x0 x0 1 Vì tiếp tuyến đi qua M 1;3 nên ta có: 3 4 2 4 3 2 3 4x0 2x0 1 x0 x0 x0 1 3x0 4x0 x0 2x0 2 0 2 2 (x0 1) (3x0 2x0 2) 0 x0 1 y0 3, y '(x0 ) 6 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 3. 2x 2 Câu 7: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), x 1 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4;3) 1 1 1 31 1 1 y x y x y x 9 9 9 9 9 9 A. B. C. D. 1 1 1 31 1 31 y x y x y x 4 4 4 4 4 4 1 31 y x 9 9 1 1 y x 4 4 Lời giải Chọn D 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 4 2x0 2 Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có: 3 2 4 x0 (x0 1) x0 1
6. 2 2 2 3(x0 1) 4(x0 4) 2(x0 1) x0 10x0 21 0 x0 3, x0 7 8 1 x 7 y , y '(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 0 3 0 9 1 8 1 31 y x 7 x . 9 3 9 9 1 x 3 y 1, y '(x ) . Phương trình tiếp 0 0 0 4 1 1 1 tuyến y x 3 1 x . 4 4 4 2x 2 Câu 8: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), x 1 biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. y x 11 y x 11 y x 1 A. B. C. D. y x 7 y x 17 y x 17 y x 1 y x 7 Lời giải Chọn D 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y '(x0 ) 1. Mà y ' 0, x 1 nên ta có 4 y '(x0 ) 1 2 1 x0 1, x0 3 (x0 1) x0 1 y0 0 : y x 1 x0 3 y0 4 : y x 7 . 2x 1 Câu 10: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y C . Viết phương trình tiếp tuyến của C x 1 biết tiếp tuyến cắt Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 6 4 1 A. y 3x 1, y 3x 1, y 12x 2, y x 3 3 4 2 B. y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x 3 3
7. 4 3 C. y 3x 11, y 3x 11, y 12x, y x 3 4 4 2 D. y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x 3 3 Lời giải Chọn D 3 Ta có y ' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: (x 1)2 0 0 3 2x0 1 y 2 x x0 . (x0 1) x0 1 y 0 Ox A: 3 2x 1 (x x ) 0 0 2 0 (x0 1) x0 1 2x2 2x 1 Suy ra A 0 0 ;0 . 3 x 0 Oy B : 3x 2x 1 y 0 0 2 (x0 1) x0 1 2 2x0 2x0 1 Suy ra: B 0; 2 (x0 1) 2 1 1 2x2 2x 1 Diện tích tam giác OAB : S OA.OB 0 0 2 6 x0 1 2 2 1 2x0 2x0 1 Suy ra SOAB 1 6 x0 1 1 2 2 x0 0, x0 2x0 2x0 1 x0 1 2x0 x0 0 2 2x2 2x 1 x 1 2x2 3x 2 0 1 0 0 0 0 0 x , x 2 0 2 0 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2 y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x . 3 3 2x 1 Câu 11: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) x 1 biết tiếp tuyến đi qua A 7;5 . 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y x , y x B. y x , y x 4 4 16 16 4 2 16 16
8. 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y x , y x D. y x , y x 4 4 16 16 4 4 16 16 Lời giải Chọn D 3 Ta có y ' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A 7;5 nên ta (x 1)2 0 0 x 1 3 2x0 1 2 0 có: 5 2 7 x0 x0 4x0 5 0 (x0 1) x0 1 x0 5 3 1 3 29 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y x , y x . 4 4 16 16 4 2 Câu 12: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x 8x m 1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x0 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. A. A(1;m 6), B 1 3;m 18 3 B. A(1;m 6), B 1 7;m 18  7 C. A(1;m 6), B 1 2;m 18 2 D. A(1;m 6), B 1 6;m 18  6 Lời giải Chọn D Ta có: y ' 4x3 16x Vì x0 1 y0 m 6, y '(x0 ) 12 . Phương trình tiếp tuyến d của (C m) tại điểm có hoành độ x0 1 là: y 12(x 1) m 6 12x m 6 . Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d x4 8x2 m 1 12x m 6 x4 8x2 12x 5 0 (x 1)2 (x2 2x 5) 0 x 1, x 1 6 Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(1;m 6), B 1 6;m 18  6 2x m 1 Câu 13: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (C m) x 1 tại điểm có hoành độ x0 0 đi qua A(4;3) 16 6 1 16 A. m B. m C. m D. m 5 5 5 15 Lời giải Chọn A
9. m 3 Ta có: y ' (x 1)2 Vì x0 0 y0 m 1, y '(x0 ) m 3 . Phương trình tiếp tuyến d của (C m) tại điểm có hoành độ x0 0 là: y ( m 3)x m 1 16 Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( m 3)4 m 1 m . 5 2x m 1 Câu 14: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) x 1 25 tại điểm có hoành độ x 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 0 2 23 23 23 m 2;m m 2;m m 2;m 9 9 9 A. B. C. D. 28 28 28 m 7;m m 7;m m 7;m 9 9 9 23 m 2;m 9 28 m 7;m 9 Lời giải Chọn A m 3 Ta có: y ' (x 1)2 Ta có x0 2 y0 m 5, y '(x0 ) m 3. Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 2 là: y ( m 3)(x 2) m 5 ( m 3)x 3m 11. 3m 11 Ox A A ;0 , với m 3 0 m 3 Oy B B 0;3m 11 1 1 (3m 11)2 Suy ra diện tích tam giác OAB là: S OA.OB 2 2 m 3 1 (3m 11)2 25 Theo giả thiết bài toán ta suy ra: 2 m 3 2 9m2 66m 121 25m 75 (3m 11)2 25 m 3 2 9m 66m 121 25m 75 23 2 m 2;m 9m 41m 46 0 9 . 9m2 91m 196 0 28 m 7;m 9
10. f (x) Câu 15: [DS11.C5.2.BT.c] Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y f (x), y g(x), y tại g(x) điểm của hoành độ x 0 bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 1 A. f (0) B. f (0) C. f (0) D. f (0) 4 4 4 4 Lời giải Chọn B f '(0).g(0) g '(0) f (0) Theo giả thiết ta có: f '(0) g '(0) g 2 (0) f '(0) g '(0) 2 2 1 1 1 g(0) f (0) f (0) g(0) g (0) g(0) 1 2 4 2 4 g (0) 2x 1 Câu 19: [DS11.C5.2.BT.c] Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C : y biết d x 1 cách đều 2 điểm A 2;4 và B 4; 2 . 1 1 1 5 A. y x , y x 3 , y x 1 B. y x , y x 5 , y x 4 4 4 4 2 1 5 1 5 C. y x , y x 4 , y x 1 D. y x , y x 5 , y x 1 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Gọi M x0 ; y x0 , x0 1 là tọa độ tiếp điểm của d và C 1 Khi đó d có hệ số góc y ' x0 2 và có phương trình là : x0 1 1 1 y x x 2 2 0 x 1 x0 1 0 Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I 1;1 của AB hoặc cùng phương với AB . TH1: d đi qua trung điểm I 1;1 , thì ta luôn có: 1 1 1 1 x 2 , phương trình này có nghiệm x 1 2 0 x 1 0 x0 1 0 1 5 Với x 1ta có phương trình tiếp tuyến d : y x . 0 4 4 TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y y 1 y ' x k B A 1 hay 1 x 2 hoặc x 0 0 AB x x 2 0 0 B A x0 1 Với x0 2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 5 .
11. Với x0 0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 1. 1 5 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x , y x 5 , y x 1 4 4 Câu 20: [DS11.C5.2.BT.c] Tìm m ¡ để từ điểm M 1;2 kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2 Cm : y x 2x m 1 x 2m . 10 100 10 A. m ,m 3 B. m ,m 3 C. m ,m 3 D. 81 81 81 100 m ,m 3 81 Lời giải Chọn D Gọi N x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến d của A tại N là: 2 3 2 y 3x0 4x0 m 1 x x0 x0 2x0 m 1 x0 2m 3 2 M d 2x0 5x0 4x0 3 3m Dễ thấy là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y 3 3m 3 2 và f x0 2x0 5x0 4x0 . 3 2 2 Xét hàm số f x0 2x0 5x0 4x0 có f ' x0 6x0 10x0 4 1 f ' x 0 x 2 hoặc x . 0 0 0 3 100 Lập bảng biến thiên, suy ra m ,m 3 81 3m 1 x m2 m Câu 21: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C , m ¡ và x m m m 0 .Với giá trị nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0 . 1 1 1 A. m 1; m B. m 1; m C. m 1; m D. m 1; 5 5 5 1 m 5 Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình: 3m 1 x m2 m x m,m 0 0,m 0 2 x m 3m 1 x m m 0
12. 1 1 x m,m 0,m m 0,m 3 3 . m2 m m2 m x x m 3m 1 3m 1 4m2 m2 m 4m2 Mà y ' 2 y ' 2 . Tiếp tuyến song song với đường x m 3m 1 m2 m m 3m 1 m2 m 1 thẳng x y 10 0 nên y ' 1 m 1 hoặc m 3m 1 5 m 1 giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y x 1. 1 3 3 m giao điểm là B ;0 , tiếp tuyến là y x . 5 5 5 Câu 22: [DS11.C5.2.BT.c] Tìm m ¡ để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m vuông góc với đường thẳng y x 10 1 10 A. m B. m C. m D. m 1 3 3 13 Lời giải Chọn A 2 2 2 7 7 7 7 y ' 3x 4x m 1 3 x m m y ' m y ' m khi 3 3 3 3 3 2 7 10 x .Theo bài toán ta có: y ' 1 1 m 1 1 m . 3 3 3 Câu 26: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x4 2x2 3 . Tìm phương trình tiếp tuyến của 5 hàm số có khoảng cách đến điểm M 0; 3 bằng . 65 A. y 2x 1 B. y 3x 2 C. y 7x 6 D.Đáp án khác Lời giải Chọn D Gọi A C A a;a4 2a2 3 Ta có: y ' 4x3 4x y ' a 4a3 4a Phương trình tiếp tuyến t : 4a3 4a x y 3a4 2a2 3 0 5 3a4 2a2 5 d M ; t hay hay 2 65 4a3 4a 1 65 5 a 1 a 1 117a6 193a4 85a2 5 0
13. a 1 0 a 1 0 6 4 2 117a 193a 85a 5 0 VN * a 1 giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y 8x 8 . * a 1giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y 8x 8 . Câu 27: [DS11.C5.2.BT.c] Tìm m để đồ thị y x3 3mx 2 có tiếp tuyến tạo với đường 1 thẳng d : x y 7 0 góc sao cho cos . 26 A. m 2 B. m 3 C. m 1, m 4 D. Đáp án khác Lời giải Chọn D  Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n k; 1 , d có  1 vec tơ pháp tuyến n2 1;1   n1 n2 1 k 1 3 2 Ta có cos   k hoặc k 2 2 3 n1 n2 26 2 k 1 Yêu cầu bài toán ít nhất một trong hai phương trình y ' k1 hoặc y ' k2 có 3 3x2 2 1 2m x 2 m có nghiêm 2 nghiệm x tức . 2 3x2 2 1 2m x 2 m có nghiêm 3 2 1 1 1 2m 3 m 0 2 1 m 2 4m m 0 2 2 . 2 4 2 3 4m m 3 0 m 1 2m 3 m 0 3 4 Câu 28: [DS11.C5.2.BT.c] Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y x4 2mx2 2m 1 15 tại A 1;0 và B 1;0 hợp với nhau một góc  sao cho cos  . 17 5 7 15 17 A. m 0, m 2, m , m .B. m 0, m 2, m , m . 16 6 16 16 15 7 5 7 C. m 0, m 2, m , m . D. m 0, m 2, m , m . 16 16 6 6 Lời giải Chọn B Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với m ¡ .
14. Tiếp tuyến d1 tại A : 4m 4 x y 4m 4 0 Tiếp tuyến d2 tại B : 4m 4 x y 4m 4 0 15 17 Đáp số: m 0, m 2, m , m . 16 16 2x 2 Câu 29: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp x 1 tuyến của đồ thị (C) biếp tuyến có hệ số góc bằng 1. A. y x 2, y x 7 .B. y x 5, y x 6 . C. y x 1, y x 4.D. y x 1, y x 7 . Lời giải Chọn D 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 Nên có: 1 x0 3, x0 1 x 1 2 Với x0 1 y0 0 : y x 1 Với x0 2 y0 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x 1, y x 7 . 2x 2 Câu 31: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp x 1 tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. A. y x 1, y x 6 .B. y x 2 y x 7 . C. y x 1, y x 5 .D. y x 1, y x 7 . Lời giải Chọn D 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. Mặt khác: y ' x0 0 , nên có: y ' x0 1
15. 4 Tức 2 1 x0 1 hoặc x0 3. x0 1 Với x0 1 y0 0 : y x 1 Với x0 3 y0 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x 1, y x 7 . 2x 2 Câu 32: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp x 1 tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 4 1 4 2 A. y x , y 4x 14.B. y x , y 4x 1. 9 9 9 9 4 1 4 2 C. y x , y 4x 1.D. y x , y 4x 14. 9 9 9 9 Lời giải Chọn D 4 Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y ' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 2 Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến trục Oy bằng 2 suy ra x0 2 , hay M 2; , 3 M 2;6 . 2 4 2 Phương trình tiếp tuyến tại M 2; là: y x 3 9 9 Phương trình tiếp tuyến tại M 2;6 là: y 4x 14 4 2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y 4x 14. 9 9 2x Câu 36: [DS11.C5.2.BT.c] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tạo x 1 với đường thẳng d ' : 4x 3y 2012 0 góc 450 1 2 A. y 2x 3 B. y x 3 C. y x 3 D. Đáp án 4 3 khác Lời giải Chọn D
16. 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng 2 y ' x0 2 x0 1 Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y k x x y x với k y ' x 0 , có 0 0  0 vectơ pháp tuyến là n k; 1 , d ' có vectơ pháp tuyến là m 4;3  n.m 4k 3 1 1 cos 450  k thỏa đề bài. n m k 2 1.5 2 7 2x Câu 37: [DS11.C5.2.BT.c] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tạo x 1 2 với chiều dương của trục hoành một góc sao cho cos 5 1 3 1 3 1 13 A. y x B. y x C. y x D. Đáp án 5 4 5 4 5 4 khác Lời giải Chọn D 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng 2 y ' x0 2 x0 1 Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành ,khi đó tồn tại 0;  để tan 0 2 1 1 1 và tan . Ta có: tan2 1 tan , nên có: 2 cos2 4 2 x0 1 2 1 2 x0 3 y0 3 2 x0 1 4 2 x 1 y 1 x0 1 0 0 2x Câu 38: [DS11.C5.2.BT.c] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , tại điểm x 1 M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) 1 3 1 3 1 13 A. y x B. y x C. y x D. Đáp án 5 4 5 4 5 4 khác Lời giải
17. Chọn D 2 x 1 2x 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng 2 y ' x0 2 x0 1 2 2 kIM 2 , theo bài toán nên có: kIM .y ' x0 1 x0 1 4 x0 1 x4 x2 Câu 40: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp 4 2 9 tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A 0;3 đến (d) bằng . 4 5 1 3 3 3 A. y 2x , y 2x B. y 2x , y 2x 4 4 4 14 3 3 3 3 C. y 2x , y 2x D. y 2x , y 2x 4 4 14 4 Lời giải Chọn C Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y y '(x0 )(x x0 y(x0 ) (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)). x4 x2 3 1 Phương trình (d): y (x3 x )(x x ) 0 0 2 (x3 x )x x4 x2 2 0 0 0 4 2 0 0 4 0 2 0 3 1 (x3 x )x y x4 x2 2 0. 0 0 4 0 2 0 3 1 x4 x2 1 9 4 0 2 0 9 d(A;(d)) 4 5 3 2 4 5 (x0 x0 ) 1 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3x0 2x0 4 5 9 x0 (x0 1) 1 5(3x0 2x0 4) 81[x0 (x0 1) 1] 2 2 2 2 Đặt t x0 , t 0. Phương trình (1) trở thành:5(3t 2t 4) 81[t(t 1) 1] 5(9t 4 4t 2 16 12t3 24t 2 16t) 81t3 162t 2 81t 81 45t 4 21t3 22t 2 t 1 0 (t 1)(45t3 24t 2 2t 1) 0 t 1 (do t 0 nên 45t3 24t 2 2t 1 0) 2 Với t 1 ,ta có x0 1 x0 1. 3 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y 2x , y 2x 4 4
18. ax b Câu 41: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y , có đồ thị là C . Tìm a,b biết tiếp tuyến x 2 1 của đồ thị C tại giao điểm của C và trục Ox có phương trình là y x 2 2 A. a 1, b 1 B. a 1, b 2 C. a 1, b 3 D. a 1, b 4 Lời giải Chọn D 1 Giao điểm của tiếp tuyến d : y x 2 với trục Ox là A 4;0 , hệ số góc của 2 1 4a b d : k và A 4;0 , (C) 0 4a b 0 . 2 2 2a b 2a b Ta có: y ' y 4 (x 2)2 4 1 1 2a b 1 Theo bài toán thì: k y '(4) 2a b 2 2 2 4 2 4a b 0 Giải hệ ta được a 1, b 4 2a b 2 Câu 42: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y ax4 bx2 c (a 0) , có đồ thị là C . Tìm a,b,c biết C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0;3 và tiếp tuyến d của C tại giao điểm của C với trục Ox có phương trình là y 8 3x 24 . A. a 1, b 2, c 3 B. a 1, b 21, c 3 C. a 1, b 21, c 13 D. a 12, b 22, c 3 Lời giải Chọn A a 0,b 0 C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0;3 c 3 Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B 3;0 và hệ số góc của d là 8 3 9a 3b c 0 B (C) 9a 3b c 0 3 . y ' 3 8 3 4a 3 2b 3 8 3 6a b 4 c 3 4 2 Giải hệ 9a 3b c 0 ta được a 1, b 2, c 3 y x 2x 3 6a b 4 Câu 43: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 .
19. A. : y 48x 81 B. : y 48x 81 C. : y 48x 1 D. : y 48x 8 Lời giải Chọn A Ta có y ' 8x3 8x Gọi M (x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1.Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 1 Nên ta có: y '(x ). 1 y '(x ) 48 0 48 0 3 x0 x0 6 0 x0 2 y0 15 . Phương trình : y 48(x 2) 15 48x 81. Câu 44: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 64 1 64 1 A. : y 3 hay : y x B. : y 3 hay : y x 27 81 27 8 64 51 64 51 C. : y 3 hay : y x D. : y 3 hay : y x 27 2 27 81 Lời giải Chọn D Ta có y ' 8x3 8x Gọi M (x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1.Vì tiếp tuyến đi qua A(1; 3) nên ta có 3 4 2 3 (8x0 8x0 )(1 x0 ) 2x0 4x0 1 4 3 2 2 3x0 4x0 2x0 4x0 1 0 (x0 1) (x0 1)(3x0 1) 0 x0 1 : y 3 1 64 51 x : y x . 0 3 27 81 x3 Câu 47: [DS11.C5.2.BT.c] Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x2 2x 1. Viết phương 3 trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 1 4 4 4 A. y = x + .B. y = x + .C. y = x + . D. y = x - . 3 3 13 3 Lời giải Chọn B Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O , khi đó 0 góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 45 ,suy ra hệ số góc của (D) là kD 1
20. Trường hợp kD 1 ,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a 0) x3 x2 2x 1 x a (3) (D) tiếp xúc (C) 3 có nghiệm. 2 x 2x 2 1 (4) (4) x2 2x 1 0 x 1. 4 Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = . 3 4 Vậy trong trường hợp này ,phương trình (D): y = x 3 Trường hợp kD 1, khi đó phương trình (D): y = - x + a . x3 x2 2x 1 x a (5) (D) tiếp xúc với (C) 3 có nghiệm 2 x 2x 2 1 (6) (6) x2 2x 3 0 .P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C). 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + . 3 3 2 Câu 49: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng : y 2x 1. 11 6 A. m 1 B. m 2 C. m D. m 6 11 Lời giải Chọn C Ta có: y ' 3x2 4x m 1. 2 2 4 4 7 2 7 7 Ta có: y ' 3 x x m 3 x m y ' m . 3 9 3 3 3 3 2 Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị : 3 7 k m . 3 7 11 Yêu cầu bài toán k.2 1 m .2 1 m . 3 6 3 2 Câu 50: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . Tìm m để từ điểm M (1;2) vẽ đến (Cm ) đúng hai tiếp tuyến.
21. m 3 m 3 m 3 m 3 A. 10 B. 100 C. 10 D. 100 m m m m 81 81 81 81 Lời giải Chọn D 2 Ta có: y ' 3x 4x m 1. Gọi A(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại A: 2 3 2 y 3x0 4x0 m 1 (x x0 ) x0 2x0 (m 1)x0 2m 2 3 2 M 2 3x0 4x0 m 1 (1 x0 ) x0 2x0 (m 1)x0 2m 3 2 2x0 5x0 4x0 3m 3 0 (*) Yêu cầu bài toán (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t) 2t3 5t 2 4t, t ¡ 1 Ta có: h'(t) 6t 2 10t 4 h'(t) 0 t ,t 2 3 Bảng biến thiên x 1 2 3 y ' 0 0 12 y 19 27 3 3m 12 m 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) 19 100 là những giá trị 3 3m m 27 81 cần tìm. 1 Câu 1: [DS11.C5.2.BT.c] y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 tồn tại đúng 2 điểm có 3 hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 7 A. m 0;  ; .B. m 0;  ; . 4 2 3 4 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; .D. m 0;  ; . 2 2 3 2 2 3 Lời giải Chọn D Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: y' mx2 2 m 1 x 4 3m .
22. 1 Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình y' 1 có đúng 2 nghiệm dương phân 2 m 0 ' 0 biệt, tức mx2 2 m 1 x 2 3m 0 có đúng 2 dương phân biệt S 0 P 0 m 0 1 m 2 1 1 2 hay m 0;  ; . 0 m 1 2 2 3 2 0 m 3 Câu 13: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị là C . Tìm M Oy sao cho từ M vẽ đến C đúng ba tiếp tuyến. A. M(0; 2) .B. M(0; 1) .C. M(0; 5). D. M(0; 9) . Lời giải Chọn B Ta có y' 4x3 4x Gọi A(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình 3 : y (4x0 4x0 )(x x0 ) y0 Vì C nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của C thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của C . Do đó, để từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến C thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp tuyến vuông góc với Oy . Mà C có hai tiếp tuyến cùng phương với Ox là: y 2 và y 1. Đường thẳng này cắt Oy tại M1(0; 2), M2 (0; 1). Ta kiểm tra được qua M1 chỉ vẽ đến C được một tiếp tuyến, còn từ M2 vẽ đến C được ba tiếp tuyến. Vậy M(0; 1) là điểm cần tìm. Câu 15: [DS11.C5.2.BT.c] Cho hàm số y x3 3x2 9x 1có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y 2x 2 . B. y x 2 .C. y 12x 7 .D. y 12x 2 . Lời giải Chọn D