Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Bài 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Mức độ 4.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Bài 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Mức độ 4.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 48: [DS11.C5.2.BT.d] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y = x3 + x2 + 3x + 1 có đồ thị là C . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để từ điểm M 0;m kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị C mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn 1;3 ? A. 61 B. 0 C. 60 D. Vô số Lời giải Chọn A Ta có y 3x2 2x 3. Gọi xo ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 3 2 y y x0 x x0 y0 y 3x0 2x0 3 x x0 x0 x0 3x0 1 2 3 2 Vì tiếp tuyến qua M 0;m nên ta có m 3x0 2x0 3 0 x0 x0 x0 3x0 1 3 2 m 2x0 x0 1 1 . Để từ điểm M 0;m kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị C mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn 1;3 thì phương trình 1 có ít nhất một nghiệm x0 1;3 t 0 3 2 Xét hàm số y f t 2t t 1 trên đoạn 1;3 suy ra f t 6t 2 2t 0 1 . t 3 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có 62 m 2 Vậy có tất cả 61 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. x2 2mx 2m2 1 Câu 2: [DS11.C5.2.BT.d] y C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các x 1 m tiếp tuyến với Cm tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m .B. m 1.C. m , m 1 .D. m 0 . 3 3 Lời giải Chọn A Hàm số đã cho xác định trên ¡ \ 1 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: x2 2mx 2m2 1 0 x2 2mx 2m2 1 0, x 1 1 x 1
2. Để Cm cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B thì phương trình 1 phải có hai nghiệm phân ' m2 2m2 1 0 1 m 1 m 0 1 m 1 biệt khác 1 . Tức là ta phải có: hay tức 2 1 2m 2m 1 0 2m m 1 0 m 0 2 . 2 Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của 1 . Theo định lý Vi – ét , ta có: x1 x2 2m, x1.x2 2m 1 Giả sử I x0 ;0 là giao điểm của Cm và trục hoành. Tiếp tuyến của Cm tại điểm I có hệ số 2 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 2m 1 2x 2m góc y' x 0 0 2 x 1 x0 1 0 2x1 2m 2x2 2m Như vậy, tiếp tuyến tại A,B lần lượt có hệ số góc là y' x1 , y' x2 . x1 1 x2 1 Tiếp tuyến tại A,B vuông góc nhau khi và chỉ khi y' x1 y' x2 1 hay 2x1 2m 2x2 2m 2 2 1 5x1.x2 4m 1 x1 x2 4m 1 0 tức 3m m 2 0 x1 1 x2 1 2 2 m 1 hoặc m . Đối chiếu điều kiện chỉ có m thỏa mãn. 3 3 2x 1 Câu 4: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của x 1 đồ thị C sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA 4OB. 1 5 1 5 1 5 1 5 y x y x y x y x A. 4 4 . B. 4 4 .C. 4 4 . D. 4 4 . 1 13 1 13 1 13 1 13 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn A Giả sử tiếp tuyến d của C tại M(x0 ; y0 ) (C) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA 4OB . OB 1 1 Do OAB vuông tại O nên tan A Hệ số góc của d bằng OA 4 4 1 hoặc . 4 1 1 1 Hệ số góc của là d y (x0 ) 2 0 2 (x0 1) (x0 1) 4 3 x0 1 y0 2 5 x0 3 y0 2 1 3 1 5 y (x 1) y x Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: 4 2 4 4 . 1 5 1 13 y (x 3) y x 4 2 4 4
3. x2 3x 3 Câu 7: [DS11.C5.2.BT.d] Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y , tiếp tuyến tại M x 2 cắt C tại hai điểm A,Btạo với I 2; 1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là? A. 2 (đvdt ). B. 4 (đvdt ).C. 5 (đvdt ). D. 7 (đvdt ). Lời giải Chọn A x2 3x 3 1 1 . Ta có : . y x 1 y' 1 2 x 2 x 2 x 2 1 Gọi M x0 ; y0 (C) y0 x0 1 x0 2 1 1 Tiếp tuyến với tại là (C) M : y 1 2 x x0 x0 1 x0 2 x0 2 x0 x0 Nếu  x 2 tại điểm A , thì yA A 2; x0 2 x0 2 Nếu cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì 1 1 1 2 xB x0 x0 1 xB 1 xB 2x0 2 yB xB 1 2x0 3 x0 2 x0 2 B 2x0 2; 2x0 3 Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I 2; 1 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x 2 suy ra H( 2; 2x0 3) 1 1 1 x0 Diện tích tam giác AIB : S AI.BH yA yI . xB xH 1 2x0 2 2 2 2 2 x0 2 1 2 Hay S .2 x0 2 2 ( đvdt ) 2 x0 2 Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . Câu 11: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là C . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 8 28 8 28 A. M ;0 .B. M ;0 .C. M ;0 . D. M ;0 . 27 7 7 27 Lời giải Chọn B Xét điểm M(m;0) Ox . Cách 1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: y k(x m) . x3 3x 2 k(x m) d là tiếp tuyến của C hệ có nghiệm x 2 3x 3 k Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được: 3(x2 1)(x m) (x3 3x 2) 0 (x 1)(3x2 3(1 m)x 3m) (x 1)(x2 x 2) 0
4. (x 1)[2x2 (3m 2)x 3m 2] 0 1 x 1 hoặc 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 2 Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì 1 phải có nghiệm x , đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau, khi đó 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 , đồng thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi: 2 (3m 2)(3m 6) 0 m , m 2 3 3 3m 3 0 m 1 Với điều kiện 3 , gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của 2 , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là 2 2 k1 3x1 3, k2 3x2 3, k3 0 . Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau k1.k2 1 và k1 k2 2 2 2 2 2 k1.k2 1 9(x1 1)(x2 1) 1 9x1 x2 9(x1 x2 ) 18x1x2 10 0 (i) 3m 2 3m 2 Mặt khác theo Định lí Viet x x ; x x . 1 2 2 1 2 2 28 Do đó (i) 9(3m 2) 10 0 m thỏa điều kiện 3 , kiểm tra lại ta thấy k k 27 1 2 28 Vậy, M ;0 là điểm cần tìm. 27 Cách 2: Gọi N(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại N có phương trình : 2 y 3x0 3 (x x0 ) y0 . 2 đi qua M 0 3x0 3 (m x0 ) y0 2 3(x0 1)(x0 1)(x0 m) (x0 1) (x0 2) 0 x 1 (x 1) 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 0 0 0 0 2 2x0 (3m 2)x0 3m 2 0 (a) Từ M vẽ được đến C ba tiếp tuyến (a) có hai nghiệm phân biệt khác 1 , và có hai giá trị 2 k 3x0 3 khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi: m 1 (3m 2)2 8(3m 2) 0 (3m 2)(3m 6) 0 2 (b) . 2 2(3m 2) 0 3m 3 0 m ,m 2 3 Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán ( 3p2 3)( 3q2 3) 1(trong đó p,q là hai nghiệm của phương trình (a) ) 9p2q2 9(p2 q2 ) 10 0 9p2q2 9(p q)2 18pq 10 0 9(3m 2)2 9(3m 2)2 28 28 9(3m 2) 10 0 m . Vậy M ;0 . 4 4 27 27 3 Câu 21: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y x 1 m(x 1) có đồ thị là (Cm ) . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của (Cm ) tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 . A. 1. B. 2 . C.3 .D. 4 . Lời giải
5. Chọn D Ta có M(0;1 m) là giao điểm của (Cm ) với trục tung y' 3x2 m y'(0) m Phương trình tiếp tuyến với (Cm ) tại điểm m là y mx 1 m Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ 1 m A ;0 và B(0;1 m) m Nếu m 0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này Nếu m 0 ta có 2 1 1 1 m 1 m m 9 4 5 SOAB 8 OA.OB 8 1 m 8 16 2 2 m m m 7 4 3 Vậy có 4 giá trị cần tìm. x 1 Câu 22: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất 2x 1 một điểm M C mà tiếp tuyến của C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y 2m 1. 1 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 3 Gọi . Phương trình tiếp tuyến tại M : M(x0 ; y0 ) (C) y 2 (x x0 ) y0 (2x0 1) Gọi A , B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung 2x2 4x 1 0 0 . yB 2 (2x0 1) 2x2 4x 1 Từ đó trọng tâm G của OAB có: 0 0 . yG 2 3(2x0 1) 2x2 4x 1 Vì G d nên 0 0 2 2m 1 3(2x0 1) 2x2 4x 1 6x2 (2x 1)2 6x2 Mặt khác: 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 (2x0 1) (2x0 1) (2x0 1) 1 1 Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa bài toán thì 2m 1 m . 3 3 1 Vậy GTNN của m là . 3 2x Câu 25: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y , có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm M thuộc C x 1 sao cho tiếp tuyến tại M của C cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB 1 bằng , O là gốc tọa độ. 4 A. 1B.2 C.3 D. 4 Lời giải Chọn B
6. 2x 2 Gọi M x ; y C y 0 y' 0 0 0 x 1 0 2 0 x0 1 2 2x2 Phương trình tiếp tuyến của tại là : 0 . t C M y0 2 x 2 x0 1 x0 1 2 Tiếp tuyến t cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A x0 ;0 , 2 2x 1 0 sao cho diện tích tam giác có diện tích bằng khi đó B 0; 2 AOB 4 x0 1 2 1 1 1 2x 1 2 .OA.OB OA.OB x2 . 0 4x2 x 1 0 2 4 2 0 2 2 0 0 x0 1 1 1 2 2x0 x0 1 0 x0 M ; 2 2 2 . 2x2 x 1 0 0 0 x0 1 M 1;1 2x 2 Câu 27: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 C , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. A. : y x 7 ; : y x 1.B. : y 2x 7 ; : y x 11. C. : y x 78 ; : y x 11. D. : y x 9 ; : y x 1. Lời giải Chọn A Hàm số xác định với mọi x 1. 4 Ta có: y' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1; 2) Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 0 . : y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 . 4 2 1 x0 1,x0 3 (x0 1) * x0 1 y0 0 : y x 1 . * x0 3 y0 4 : y x 7 . 2x Câu 30: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 2 1 C , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 18 9 1 4 1 9 31 4 2 A. : y x ; : y x .B. : y x ; : y x . 4 2 9 9 4 2 9 9 9 1 4 4 9 1 4 2 C. : y x ; : y x .D. : y x ; : y x . 4 2 9 9 4 2 9 9 Lời giải Chọn D
7. Hàm số xác định với mọi x 2 . 4 Ta có: y' (x 2)2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại M có phương trình 4 2x 4 2x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với Ox,Oy y 0 1 1 2 Suy ra A : 4 2x2 x x2 A( x ;0) 0 0 0 2 x 2 0 2 2 (x0 2) (x0 2) y 0 x 0 2x2 B : 2x2 B 0; 0 0 2 y 2 (x0 2) (x0 2) Vì A,B O x0 0 . 1 1 x4 Tam giác AOB vuông tại O nên 0 S AOB OA.OB 2 2 2 (x0 2) 1 x4 Suy ra 0 4 2 S AOB 2 9 9x0 (x0 2) 18 (x0 2) 2 x 1 0 3x0 x0 2 0 (vn) 2 . 2 3x0 x0 2 0 x0 3 2 4 4 2 * x 1 y , y'(x ) . Phương trình : y x 0 0 3 0 9 9 9 2 9 9 2 9 1 * x y 1, y'(x ) Phương trình : y (x ) 1 x . 0 3 0 0 4 4 3 4 2 x 1 Câu 27: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số y (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà x 1 tiếp tuyến tại đó song song với nhau: A. 0 .B. 2 .C. 1.D. Vô số. Lời giải Chọn D 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 Đồ thị hàm số y có tâm đối xứng I 1;1 . x 1 Lấy điểm tùy ý A x0 ; y0 C . Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B 2 x0 ;2 y0 C . Ta có: 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: kA y' x0 2 . x0 1 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: kB y' 2 x0 2 . 1 x0
8. Ta thấy kA kB nên có vô số cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. 1 Câu 34: [DS11.C5.2.BT.d] Trên đồ thị của hàm số y có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng x 1 với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: 1 3 4 3 A. 2;1 . B. 4; . C. ; . D. ; 4 . 3 4 7 4 Lời giải Chọn D 1 Ta có: y ' . Lấy điểm M x0 ; y0 C . x 1 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y . x x . 2 0 x 1 x0 1 0 Giao với trục hoành: Ox=A 2x0 1;0 . 2x 1 Giao với trục tung: Oy=B 0; 0 2 x0 1 2 1 2x0 1 3 3 SOAB OA.OB 4 x0 . Vậy M ; 4 . 2 x0 1 4 4 Câu 9: [DS11.C5.2.BT.d] Định m để đồ thị hàm số y x3 mx2 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y 5? A. m 3 .B. m 3 .C. m 1.D. m 2 . Lời giải Chọn A Đường thẳng y x3 mx2 1 và đồ thị hàm số y 5 tiếp xúc nhau x3 mx2 1 5 (1) có nghiệm. 2 3x 2mx 0 (2) x 0 . (2) x(3x 2m) 0 2m . x 3 + Với x 0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2m + Với x thay vào (1) ta có: m3 27 m 3 . 3 Câu 11: [DS11.C5.2.BT.d] Tiếp tuyến của parabol y 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. .B. .C. .D. . 2 4 2 4 Lời giải Chọn D + y 2x y (1) 2 . +PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y 2(x 1) 3 y 2x 5 (d) . 5 + Ta có (d) giao Ox tại A ;0 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d) tạo với hai trục tọa độ tam 2 giác vuông OAB vuông tại O .
9. 1 1 5 25 Diện tích tam giác vuông OAB là: S OA.OB . .5 . 2 2 2 4 Câu 15: [DS11.C5.2.BT.d] Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó đi qua điểm M 2; 0 là: A. y 27x 54 .B. y 27x 9; y 27x 2 . C. y 27x 27 .D. y 0; y 27x 54 . Lời giải Chọn D + y ' 3x2 . + Gọi A(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại A(x0 ; y0 ) là: 2 3 y 3x0 x x0 x0 (d) . + Vì tiếp tuyến (d) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình: 2 3 x0 0 3x0 2 x0 x0 0 . x0 3 + Với x0 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y 0 . + Với x0 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y 27x 54 . x2 Câu 34: [DS11.C5.2.BT.d] Cho hàm số f x x 1, có đồ thị C . Từ điểm M 2; 1 kẻ đến 4 C hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình: A. y x 1 và y x 3 .B. y 2x 5 và y 2x 3 . C. y x 1 và y x 3 .D. y x 1 và y x 3 . Lời giải. Chọn A x 2 x Gọi N x ; y là tiếp điểm; y 0 x 1; f x 0 1 0 0 0 4 0 0 2 2 x0 x0 Phương trình tiếp tuyến tại N là: y 1 x x0 x0 1 2 4 2 2 x0 x0 x0 Mà tiếp tuyến đi qua M 2; 1 1 1 2 x0 x0 1 x0 0 2 4 4 x0 0; y0 1; f 0 1 x0 4; y0 1; f 4 1 Phương trình tiếp tuyến : y x 1 và y x 3 .