Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Chủ đề 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Dạng 7: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 5 - Chủ đề 2: Bài toán tiếp tuyến của đường cong - Dạng 7: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. x 2 Câu 33: [1D5-2.7-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số y C và điểm x 1 A 0;m . S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành. Tập S là 1 2 A. S 3; \ 1. B. S 2; . C. S 3; \ 1. D. S ; \ 1. 2 3 Lời giải Chọn D 3 Ta có y . Phương trình đường thẳng qua A 0;m có hệ số góc k x 1 2 x 2 kx m x 1 d : y k x 0 m . d là tiếp tuyến hệ có nghiệm. 3 k 2 x 1 3 x 2 Thay k vào kx m ta được m 1 x2 2 m 2 x m 2 0 1 . x 1 2 x 1 Để kẻ được 2 tiếp tuyến thì 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 3m 6 0 m 2 1 m 1 . m 1 m 1 2 m 2 m 2 0 Hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành khi y x1 .y x2 0 x 2 x 2 P 2S 4 9m 6 2 1 . 2 0 0 0 m . x1 1 x2 1 P S 1 3 3 2 m Vậy 3 . m 1 Câu 44: [1D5-2.7-3](SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hàm số y x3 4x2 1 có đồ thị là C và điểm M m;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 40 16 20 A. 5 . B. . C. . D. . 9 9 3 Lời giải Chọn B Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua M m;1 và có hệ số góc k là: y k x m 1. Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C điều kiện là hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm x phân biệt 3 2 x 4x 1 k x m 1 3 2 x 4x 1 k x m 1 1 I 3 2 3x2 8x k 2 x 4x 1 k Thay 2 vào 1 ta được
2. x3 4x2 1 3x2 8x x m 1 2 x 2x 3m 4 x 8m 0 x 0 2 2x 3m 4 x 8m 0 3 Như vậy, hệ I có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình 3 có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0 ; hoặc phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 0 . Phương trình 3 có nghiệm x 0 khi và chỉ khi m 0 . Khi đó, phương trình 3 trở thành 2 x 0 2x 4x 0 ; x 2 Do đó m 0 thỏa mãn. Phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 0 điều kiện là 3m 4 2 4.2.8m 0 3m 4 0 4 3m 4 2 4.2.8m 0 m 4 3m 4 4 . 0 m 4 9 4  Như vậy S 0; ;4 . 9  4 40 Tổng giá trị tất cả các phần tử của S là 0 4 . 9 9 x 1 Câu 39. [1D5-2.7-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hàm số y x 1 có đồ thị C và điểm A a;2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng hai tiếp tuyến 2 2 của C đi qua điểm A và có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn k1 k2 10k1 k2 0 . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 7 5 5 5 7 A. 7 . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có y . x 1 2 t 1 Gọi tọa độ tiếp điểm là M t; . t 1 2 t 1 Phương trình tiếp tuyến tại M là y x t . t 1 2 t 1 2 t 1 Do tiếp tuyến đi qua A a;2 nên ta có 2 a t t 2 6t 3 2a 0 1 . t 1 2 t 1
3. 2 2 Gọi t1 , t2 là hai nghiệm của 1 suy ra k1 2 và k2 2 . t1 1 t2 1 2 2 2 2 4 4 k1 k2 10k1 k2 0 2 2 10 4  4 0 t1 1 t2 1 t1 1 t2 1 t 1 2 t 1 2 t 1 2 t 1 2 80 t t 2 2t t 2 t t 2 t t t t 1 2 80 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  1 2 1 2  Mặt khác theo viet có t1 t2 6 và t1t2 3 2a . a 0 2 2 Thay vào ta có 20 4a 2a 2 80 5 a a 1 5 7 5 . a 2 Vậy chọn A. Câu 2184.[1D5-2.7-3] Cho hàm số y x4 x2 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M 1;3 . A. y 6x 2 B. y 6x 9 C. y 6x 3 D. y 6x 8 Lời giải Chọn C 3 Ta có: y ' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: 3 4 2 y 4x0 2x0 x x0 x0 x0 1 Vì tiếp tuyến đi qua M 1;3 nên ta có: 3 4 2 4 3 2 3 4x0 2x0 1 x0 x0 x0 1 3x0 4x0 x0 2x0 2 0 2 2 (x0 1) (3x0 2x0 2) 0 x0 1 y0 3, y '(x0 ) 6 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 3. 2x 2 Câu 2187. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp x 1 tuyến đi qua điểm A(4;3) 1 1 1 31 1 1 1 31 y x y x y x y x 9 9 9 9 9 9 9 9 A. B. C. D. 1 1 1 31 1 31 1 1 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn D 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y ' (x 1)2 Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 4 2x0 2 Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có: 3 2 4 x0 (x0 1) x0 1 2 2 2 3(x0 1) 4(x0 4) 2(x0 1) x0 10x0 21 0 x0 3, x0 7 8 1 1 8 1 31 x 7 y , y '(x ) . Phương trình tiếp tuyến y x 7 x . 0 0 3 0 9 9 3 9 9 1 1 1 1 x 3 y 1, y '(x ) . Phương trình tiếp tuyến y x 3 1 x . 0 0 0 4 4 4 4
4. 2x 1 Câu 2191. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp x 1 tuyến đi qua A 7;5 . 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y x , y x B. y x , y x 4 4 16 16 4 2 16 16 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y x , y x D. y x , y x 4 4 16 16 4 4 16 16 Lời giải Chọn D 3 Ta có y ' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A 7;5 nên ta có: (x 1)2 0 0 x 1 3 2x0 1 2 0 5 2 7 x0 x0 4x0 5 0 (x0 1) x0 1 x0 5 3 1 3 29 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y x , y x . 4 4 16 16 Câu 2224. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 64 1 64 1 A. : y 3 hay : y x B. : y 3 hay : y x 27 81 27 8 64 51 64 51 C. : y 3 hay : y x D. : y 3 hay : y x 27 2 27 81 Lời giải Chọn D Ta có y ' 8x3 8x Gọi M (x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1.Vì tiếp tuyến đi qua A(1; 3) nên ta có 3 4 2 3 (8x0 8x0 )(1 x0 ) 2x0 4x0 1 4 3 2 2 3x0 4x0 2x0 4x0 1 0 (x0 1) (x0 1)(3x0 1) 0 x0 1 : y 3 1 64 51 x : y x . 0 3 27 81 Câu 2247. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y x3 3x2 9x 1có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1;6) . A. y 7; y 9x 3 . B. y 6; y 9x 7 . C. y 6; y 2x 3 . D. y 6; y 9x 3 . Lời giải Chọn D 2 Ta có: y' 3(x 2x 3) . Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M : y y'(x0 )(x x0 ) y0 . Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình 2 3 2 6 3(x0 2x0 3)( 1 x0 ) x0 3x0 9x0 1 3 2 x0 3x0 2 0 (x0 1) (x0 2) 0 x0 1,x0 2 x0 1 y 6
5. x0 2 y 9x 3. 3 x 2 1 Câu 2274. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của C : y x 3x 1 đi qua điểm A 0; 3 3 1 2 1 1 A. y 3x .B. y 3x . C. y x .D. y 3x . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2x 3 Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) x3 2 y (x2 2x 3)(x x ) 0 x2 3x 1 (x2 2x 3)x x3 x2 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 1 1 2 3 2 3 2 A 0; d x0 x0 1 2x0 3x0 4 0 x0 2. 3 3 3 1 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x . 3 3 2 23 Câu 2276. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của C : y x 3x 2 đi qua điểm A ; 2 . 9 y 2 y 2 y 2 y 2 A. y 9x 25 .B. y x 25 .C. y 9x 2 .D. y x 5 . 5 61 5 1 5 61 61 y x y x y x y x 3 27 3 27 3 2 27 Lời giải Chọn A Gọi M0 x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến d của C tại M0 là 3 2 2 y y0 y' x0 x x0 y x0 3x0 2 3x0 6x0 x x0 23 Do d đi qua điểm A ; 2 nên 9 3 2 2 23 3 2 2 x0 3x0 2 3x0 6x0 x0 6x0 32x0 46x0 12 0 9 x0 2 y 2 2 x0 2 3x0 10x0 3 0 x0 3 y 9x 25 . 1 5 61 x y x 0 3 3 27 Câu 2277. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của C : y x3 2x2 x 4 đi qua điểm M 4; 24 . A. y 3x 508; y x 8; y 5x 4. B. y 13x 5; y 8x 8; y 5x 4. C. y 133x 508; y x 8; y x 4. D. y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. Lời giải Chọn D
6. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 3 2 y y' x0 x x0 y x0 3x0 4x0 1 x x0 x0 2x0 x0 4 2 Vì đi qua điểm nên: 3 2 M 4; 24 24 3x0 4x0 1 4 x0 x0 2x0 x0 4 3 2 x0 5x0 8x0 12 0 x0 6 hoặc x0 1 hoặc x0 2. - Với x0 6 thì phương trình tiếp tuyến là y 133x 508 - Với x0 1 thì phương trình tiếp tuyến là y 8x 8 - Với x0 2 thì phương trình tiếp tuyến là y 5x 4 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. x2 2x 1 Câu 2278. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y , biết tiếp tuyến đi x 2 qua điểm M(6; 4) . 1 1 1 A. y 5 và y x .B. y 4 và y x . 2 4 2 3 3 1 C. y 5 và y x 6 . D. y 4 và y x . 4 4 2 Lời giải Chọn D Đường thẳng đi qua M(6; 4) với hệ số góc k có phương trình : y k(x 6) 4 1 x k(x 6) 4 (1) x 2 tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x có nghiệm x 0 1 0 1 2 k (2) (x 2) 1 1 Thay (2) vào (1) và biến đổi, ta được: x 1 (x 6) 4 x 0,x 3 0 2 0 0 0 x0 2 (x0 2) 3 Thay vào (2) ta có: k ,k 0 . 4 3 1 Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y 4 và y x . 4 2 x 2 Câu 2279. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y , biết d đi qua điểm x 2 A 6; 5 . x 7 x 5 A. y x 1, y .B. y x 1, y . 4 2 4 2 x 7 x 7 C. y x 1, y .D. y x 1, y . 4 2 4 2 Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi x0 ; y x0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và C , với
7. x 2 4 y x 0 , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x , x 2 và d có phương trình: 0 x 2 0 2 0 0 x0 2 4 x 2 y x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 4 x 2 d đi qua điểm A 6; 5 nên có 5 6 x 0 phương trình này tương đương 2 0 x 2 x0 2 0 2 với x0 6x0 0 x0 0 hoặc x0 6 Với x0 0 , ta có phương trình: y x 1 x 7 Với x 6 , ta có phương trình: y 0 4 2 x 7 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1, y . 4 2 Cách 2: Phương trình d đi qua A 6; 5 có hệ số góc k , khi đó d có phương trình là : y k x 6 5 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ : x0 2 k x0 6 5 x0 2 có nghiệm x 4 0 k 2 x0 2 2 4x0 24x0 0 x 0, k 1 d : y x 1 0 hay 4 có nghiệm x k 0 1 x 7 2 x0 6, k d : y x0 2 4 4 2 x 7 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1, y . 4 2 Câu 2280. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y x3 3x2 9x 11 có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến 29 của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm I ;184 . 3 A. y 8x 36; y 36x 14; y 15x 9 . B. y 40x 76; y 36x 14; y 15x 9 . C. y 420x 76; y x 164; y x 39 .D. y 420x 3876; y 36x 164; y 15x 39 . Lời giải Chọn D Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 3 2 y y' x0 x x0 y x0 3x0 6x0 9 x x0 x0 3x0 9x0 11 29 2 29 3 Vì đi qua điểm nên: 2 I ;184 184 3x0 6x0 9 x0 x0 3x0 9x0 11 3 3 3 2 2x0 32x0 58x0 260 0 x0 13 hoặc x0 5 hoặc x0 2. - Với x0 13 thì phương trình tiếp tuyến là y 420x 3876
8. - Với x0 5 thì phương trình tiếp tuyến là y 36x 164 - Với x0 2 thì phương trình tiếp tuyến là y 15x 39 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 420x 3876; y 36x 164; y 15x 39 . Câu 2282. [1D5-2.7-3] Gọi C là đồ thị của hàm số y x3 3x2 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 2;7 . A. y 9x 25 .B. y 9x 9 .C. y 9x 2 . D. y 9x 25 . Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến d đi qua A 2;7 có dạng y k x 2 7 . x3 3x2 2 k(x 2) 7 (3) d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 0 0 có nghiệm x 0 2 0 3x0 6x0 k (4) Thay 4 vào 3 ta được: 3 2 2 3 2 x0 3x0 2 (3x0 6x0 )(x0 2) 7 2x0 9x0 12x0 9 0 x0 3 . Thay x0 3 vào 4 ta được k 9 . Suy ra phương trình d : y 9x 25. Câu 2284.[1D5-2.7-3] Cho hàm số y (2 x)2 x2 , có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0) . 2 6 32 32 4 32 64 A. y x .B. y x 9 .C. y x . D. y x . 27 27 27 27 27 27 27 Lời giải Chọn D Ta có: y x4 4x3 4x2 y' 4x3 12x2 8x Cách 1: Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại M có phương trình : 3 2 y (4x0 12x0 8x0 )(x x0 ) y0 . 3 2 2 2 A 0 (4x0 12x0 8x0 )(2 x0 ) x0 (x0 2) 4 (2 x )(3x3 10x2 8x ) 0 x 0,x 2,x . 0 0 0 0 0 0 0 3 * x0 0 y'(x0 ) 0, y0 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 * x0 2 y'(x0 ) 0, y0 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 4 32 64 32 64 * x y'(x ) , y Phương trình tiếp tuyến: y x . 3 0 27 0 81 27 27 Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A , có hệ số góc k d : y k(x 2) 2 2 (2 x0 ) x0 k(x0 2) d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 4x0 (x0 2)(x0 1) k Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 4 3 2 3 2 2 x0 4x0 4x0 (x0 2)(4x0 12x0 8x0 ) x0 (3x0 4)(x0 2) 0 4 x 0,x 2,x . 0 0 0 3 * x0 0 k 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 . * x0 2 k 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 .
9. 4 32 32 64 * x k Phương trình tiếp tuyến y x .Câu 3917: [1D5-2.7-3] Cho hàm 0 3 27 27 27 x 2 số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm –6;5 là: x 2 1 7 1 7 A. y –x –1 ; y x . B. y –x –1 ; y x . 4 2 4 2 1 7 1 7 C. y –x 1 ; y x . D. y –x 1 ; y x . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B x 2 4 y y . x 2 x 2 2 x 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 là: x 2 0 0 0 4 x 2 y y x x x y y x x 0 . 0 0 0 2 0 x 2 x0 2 0 Vì tiếp tuyến đi qua điểm –6;5 nên ta có x 0 4 x0 2 2 0 5 2 6 x0 4x0 24x0 0 x 2 x 6 x0 2 0 0 1 7 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –x –1 và y – x . 4 2 3x 4 Câu 3918: [1D5-2.7-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y là: x 1 A. y 28x 59 ; y x 1. B. y –24x 51; y x 1. C. y 28x 59 . D. y 28x 59 ; y 24x 51. Lời giải Chọn C 3x 4 7 y y . x 1 x 1 2 3x 4 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 là: x 1 0 0 0 7 3x 4 y y x x x y y x x 0 . 0 0 0 2 0 x 1 x0 1 0 7 3x 4 3 Vì tiếp tuyến đi qua điểm 2;3 nên ta có 3 2 x 0 x . 2 0 x 1 0 2 x0 1 0 Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –28x 59 . x2 x 1 Câu 2518. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C đi x 1 qua điểm A 1;0 là: 3 3 A. y x B. y x 1 C. y 3 x 1 D. y 3x 1 4 4 Lời giải Chọn B
10. Gọi d là phương trình tiếp tuyến của C có hệ số góc k , Vì A 1;0 d suy ra d : y k x 1 x2 x 1 k(x 1) (1) x 1 d tiếp xúc với C khi hệ 2 có nghiệm x 2x 2 k (2) (x 1) 3 Thay 2 vào 1 ta được x 1 k y (1) . 4 3 Vậy phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 1;0 là: y x 1 4 Câu 2523. [1D5-2.7-3] Qua điểm A 0;2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y x4 2x2 2 A. 2 B.3 C. 0 D. 1 Lời giải Chọn B Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho. Vì A(0;2) d nên phương trình của d có dạng: y kx 2 x4 2x2 2 kx 2 (1) Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ có nghiệm 3 4x 4x k (2) x 0 Thay 2 và 1 ta suy ra được 2 x 3 Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C 3 2 Câu 2533. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y x 6x 9x 1 có đồ thị là C . Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến C : A. 2 .B. 1 .C. 3 .D. 0. Lời giải Chọn B Xét đường thẳng kẻ từ một điểm M 2; 0 trên đường thẳng x 2 có dạng : y k(x 2) kx-2k . x3 6x2 9x-1=kx 2k 2x3 12x2 24x-17=0 là tiếp tuyến của C có nghiệm 3x2 12x 9 k 3x2 12x 9 k Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến. Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x 2 có dạng y a song song với trục Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.
11. Câu 2771: [1D5-2.7-3] Cho hàm số y f x x3 3x 2 có đồ thị (C) . Tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A 0;2 là A. y 2x 3 . B. y 2x 3 . C. y 3x 2 . D. y 3x 2 . Lời giải Chọn D y f x x3 3x 2; A 0;2 Vì A C nên phương trình tiếp tuyến tại A y f x 3x2 3 f 0 3 PTTT : y = -3x + 2 Câu 27: [1D5-2.7-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y x3 3x2 2x . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A 1;0 ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Phương trình đường thẳng qua điểm A 1;0 có dạng: y a x 1 ax a d . x3 3x2 2x ax a Đường thẳng d là tiếp tuyến khi hệ có nghiệm. Dễ thấy hệ có ba 2 3x 6x 2 a nghiệm a; x phân biệt nên có ba tiếp tuyến. Câu 6: [1D5-2.7-3] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 2 y x 2x 3 có đồ thị C và điểm A 1;a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của C đi qua A ? A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A Gọi M x ; x2 2x 3 là tiếp điểm. 0 0 0 x 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại M có dạng là: y x2 2x 3 0 x x . 0 0 2 0 x0 2x0 3 x 1 3 x y 0  x 0 . 2 2 x0 2x0 3 x0 2x0 3 Vì tiếp tuyến của C tại M đi qua điểm A 1;a nên ta có: x 1 3 x 2 a 0 0 a x2 2x 3 2 . 2 2 2 0 0 x0 2x0 3 x0 2x0 3 x0 2x0 3 a 0 a 0 . a2 x2 2x 3 4 a2 x2 2ax 3a2 4 0 0 0 0 0 Vì qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến C nên phải có hai nghiệm phân biệt
12. a 0 a 0 a 0 15 0 a . 4 2 2 15 15 3a 5a 0 3a 5 0 a 3 3 3 Vì a ¢ nên a 1. x 2 Câu 1132. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm –6;5 là x 2 1 7 1 7 A. y –x –1 ; y x .B. y –x –1 ; y x . 4 2 4 2 1 7 1 7 C. y –x 1 ; y x .D. y –x 1 ; y x . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B x 2 4 y y . x 2 x 2 2 x 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 là: x 2 0 0 0 4 x 2 y y x x x y y x x 0 . 0 0 0 2 0 x 2 x0 2 0 Vì tiếp tuyến đi qua điểm –6;5 nên ta có x 0 4 x0 2 2 0 5 2 6 x0 4x0 24x0 0 x 2 x 6 x0 2 0 0 1 7 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –x –1 và y – x . 4 2 3x 4 Câu 1133. [1D5-2.7-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y là x 1 A. y 28x 59 ; y x 1. B. y –24x 51; y x 1. C. y 28x 59 .D. y 28x 59 ; y 24x 51. Lời giải Chọn C 3x 4 7 y y . x 1 x 1 2 3x 4 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm M x ;y C với x 2 là: x 1 0 0 0 7 3x 4 y y x x x y y x x 0 . 0 0 0 2 0 x 1 x0 1 0 7 3x 4 3 Vì tiếp tuyến đi qua điểm 2;3 nên ta có 3 2 x 0 x . 2 0 x 1 0 2 x0 1 0 Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y –28x 59 . Câu 42: [1D5-2.7-3](THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN) Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C và điểm M m; 4 . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C . A. 20 . B. 15. C. 17 . D. 12. Lời giải
13. Chọn C Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 6x . Ta nhận thấy các đường thẳng x a với a ¡ không phải là tiếp tuyến của C và một đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt. Giả sử phương trình đường thẳng đi qua M m; 4 là: d : y k x m 4 với k ¡ là hệ số góc của đường thẳng. Qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C khi và chỉ khi hệ phương trình 2 k 3x 6x có ba nghiệm phân biệt 3 2 k x m 4 x 3x 3x2 6x x m x3 3x2 có ba nghiệm phân biệt 2x3 3 m 1 x2 6mx 0 có ba nghiệm phân biệt 2 x 2x 3 m 1 x 6m 0 có ba nghiệm phân biệt 2x2 3 m 1 x 6m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 1 2 2 m 9 m 1 48m 0 9m 30m 9 0 3 . m 3 m 0 m 0 m 0 m  10;10 Với điều kiện trên và với ta có m 10; 9; ; 1;4;5; ;10 . m ¢ Vậy có 17 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.