Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. mx Câu 21: [DS12.C1.3.BT.c] [NGÔ SĨ LIÊN – 2017] Trên đoạn  2;2, hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x2 1 x 1 khi và chỉ khi A. m 2. B. m 0. C. m 2. D. m 0. Lời giải Chọn B Cách 1: Với m 0 thì y 0 nên max y 0 khi x 1.  2;2 Với m 0 . m Đặt x tan t , ta được y .sin 2t . Với x  2;2 thì t  arctan 2;arctan 2. 2 Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 tương ứng với t . 4 m Khi m 0 thì max y khi và chỉ khi t .  arctan 2;arctan 2 2 4 m Khi m 0 thì max y khi và chỉ khi t .  arctan 2;arctan 2 2 4 Vậy m 0 thỏa mãn bài toán. m 1 x2 Cách 2: Ta có y 2 , x2 1 TH1: m 0 y 0 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x 1 x 1 (n) TH2: m 0 . Khi đó: y 0 x 1 (n) Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 trên đoạn  2;2 y 1 y 2 khi và chỉ khi y 1 y 2 m 0 m 0 (do m 0 ) y 1 y 1 Vậy m 0 Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2 m 0 , ta có thể xét m 0 , m 0 rồi lập BBT cũng tìm được kết quả như trên. Câu 41: [DS12.C1.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Ông Bình xây một hồ nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 18 m3 , đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng cho mỗi mét vuông. Chi phí thấp nhất để xây hồ là A. 19 triệu đồng. B. 18 triệu đồng. C. 16 triệu đồng.D. 20 triệu đồng. Lời giải Chọn B Gọi chiều rộng của đáy hồ nước là x chiều dài của đáy hồ nước là 3x m , với 0 x 6 .
2. 6 Suy ra chiều cao của hồ nước là h m x2 48 Tổng diện tích cần xây là S x S S 2xh 2.3xh 3x2 8xh 3x2 hay S x 3x2 . xq đ x 24 24 24 24 Do đó S x 3x2 33 . .3x2 36 , với mọi 0 x 6 . x x x x 2 24 2 Vậy Smin 36 m khi 3x hay x 2 . Vậy chi phí xây hồ là 18 triệu đồng. x Câu 36: [DS12.C1.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong một tháng. Biết rằng, trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là A. 4 ngày. B. 10 ngày. C. 20 ngày. D. 15 ngày. Lời giải Chọn C Gọi x (lít) 0 x 10 là số xăng An sử dụng trong 1 ngày. Khi đó: 10 x (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày. 32 72 Suy ra f x , x 0;10 là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được x 10 x khoán. 32 72 32 72 Ta có: f x f ' x . x 10 x x2 10 x 2 ' 32 72 x 4 Cho f x 0 2 2 0 x 10 x x 20 0;10 32 72 Bảng biến thiên của hàm số f x , x 0;10 x 10 x Theo BBT: ít nhất 20 ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán. x 1 Câu 22: [DS12.C1.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y bằng x2 1 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D x x 1 x2 1 2 x 1 x 1 TXĐ: D ¡ . Ta có y 2 x 1 x2 1 x2 1 y 0 x 1 0 x 1.
3. Bảng biến thiên: x 1 y – 0 1 1 y 2 Từ bảng biến thiên ta có min y 2 . ¡ Câu 45. [DS12.C1.3.BT.c] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy A4 trong một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50000 đồng. Chi phí in ấn của n máy chạy trong một giờ là 20 3n 5 nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 bản in khổ giấy A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được nhiều lãi nhất? A. 4 máy. B. 7 máy. C. 6 máy. D. 5 máy. Lời giải Chọn D Gọi số giờ cần in là x thì n máy in được 4000.n.x bản in trong x giờ. 25 Ta có 4000.n.x 50000 nx 2 Chi phí của n máy chạy trong x giờ là 20x 3n 5 nghìn đồng. Chi phí để bảo trì n máy là 50n nghìn đồng. 1250 Tổng chi phí là f n 20x 3n 5 50n 60xn 100x 50n 750 50n n 1250 f n 50 , f n 0 n 5. n2 Ta có BBT Để thu được tiền lãi cao nhất cần chi phí thấp nhất, vậy n 5 thỏa ycbt. Câu 3: [DS12.C1.3.BT.c] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hàm số 2x m y với m là tham số , m 4 . Biết min f x max f x 8 . Giá trị của tham số x 2 x 0;2 x 0;2 m bằng A. 10. B. 8 . C. 9 . D. 12. Lời giải Chọn D Xét hàm số xác định trên tập D 0;2 4 m Ta có y . Nhận xét  m 4 hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên 0;2 nên x 2 2 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;2 luôn đạt được tại x 0 , x 2 .
4. m 4 m Theo bài ra ta có f 0 f 2 8 8 m 12 . 2 4 Câu 33: [DS12.C1.3.BT.c] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m . Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? Tòa nhà 2 m 2 m 5 13 A. m .B. 4 2m .C. 6m .D. 3 5m . 3 Lời giải Tòa nhà D A 2 m x 2 m C B E Chọn B Đặt BC x x 0 . Ta cần tìm x để độ dài CD đạt GTNN. BC x AC x 2 x 2 Ta có CD AC x2 4. . CE x 2 CD x x x2 4 x 2 Đặt f x . x x 8 Cách 1: Ta có f x . f x 0 x 2 . x2 4 x2 x2 4 BBT
5. Vậy chọn B x2 4 x 2 4x.2 2x Cách 2: f x 4 2 . x x Câu 35: [DS12.C1.3.BT.c] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x x3 3x2 m . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m m 10 để với mọi bộ ba số phân biệt a , b , c 1;3 thì f a , f b , f c là ba cạnh của một tam giác ? A. 1.B. 3 .C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn C Ta có f a , f b , f c là ba cạnh của một tam giác nên f a f b f c a3 3a2 m b3 3b2 m c3 3c2 m với mọi a , b , c 1;3 a3 3a2 b3 3b2 c3 3c2 m với mọi a , b , c 1;3 3 2 3 2 3 2 Do đó Min a 3a b 3b c 3c m với mọi a , b , c 1;3 3 2 3 2 3 2 Ta cần tìm Min a 3a b 3b và Max c 3c với mọi a , b , c 1;3 Xét hàm f x x3 3x2 với x 1;3 2 2 x 0 f x 3x 6x , f x 0 3x 6x 0 . Do x 1;3 nên x 2 . x 2 Ta có f 1 2 , f 2 4, f 3 0 . Max f x f 3 0 , Min f x f 2 4 . 1;3 1;3 3 2 3 2 3 2 Suy ra Min a 3a b 3b c 3c 4.2 8. Đẳng thức xảy ra khi a b 2 , c 3 hoặc a c 2 , b 3 hoặc b c 2 , a 3. Do đó 8 m m 8 . Mà m 10 và m nguyên nên m 9 . Có 1 giá trị m thỏa mãn. Câu 31: [DS12.C1.3.BT.c](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm 1 số y x3 m2 x 2m2 2m 9,m là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao cho giá trị 3 lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;3 không vượt quá 3 . Tìm m? A. S ; 3  1; . B. S  3;1 . C. S ; 31; . D. S 3;1 .
6. Lời giải Chọn B y ' x2 m2 , x ¡ y ' 0,x ¡ Do đó hàm số đồng biến trên ¡ max y y(3) m2 2m 0;3 Theo bài yêu cầu ta có m2 2m 3 m  3;1 Câu 40: [DS12.C1.3.BT.c](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36 y mx trên 0;3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 A. 0 m 2 .B. 4 m 8.C. 2 m 4 .D. m 8 . Lời giải Chọn C 36 36 y mx y m x 1 x 1 2 36 Trường hợp 1: m 0 , ta có y 0,x 1.Khi đó min y y 3 9 (loại). x 1 2 x 0;3 Trường hợp 2: m 0 11 Nếu m 0 , ta có y 0 , x 1 Khi đó min y y 3 20 3m 9 m (loại). x 0;3 3 6 x 1 36 2 36 m Nếu m 0 , khi đó y 0 m 0 x 1 . x 1 2 m 6 x 1 l m 6 4 6 m 4 0 1 3 m 36 , min y y 1 12 m m 20 . m 9 x 0;3 m m 100 l 6 9 11 1 3 m , min y y 3 20 3m 9 m l . m 4 x 0;3 3 Câu 37: [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Cho hàm số 3 y 3x x m ( m là tham số). Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0; 3 bằng 5 2 thì m phải bằng : A. 3 2 . B. 4 2 . C. 2 . D. 2 2 . Lời giải Chọn B TXĐ : D ; 3  0; 3 . Hàm số xác định và liên tục trên 0; 3 . 3 3x3 Ta có : y , x 0; 3 ; y 0 x 1. 2 3x x3 Ta có : y 0 m , y 3 m , y 1 m 2 .
7. Do đó : max y 5 2 m 2 5 2 m 4 2 . 0; 3 Câu 14: [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n 480 20n (gam). Số con cá phải thả trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất là A. 14. B. 15. C. 12. D. 13. Lời giải Chọn C Cân nặng của n con cá là : f n n.P n 480n 20n2 . Xét hàm số f n 20n2 480n trên 0; . f n 40n 480 0 n 12 . Lập bảng biến thiên : Vậy thu hoạch sản lượng cá nhiều nhất thì phải thả trên mặt hồ 12 con cá. Câu 10: [DS12.C1.3.BT.c] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in ) được cho bởi C x 0,0001x2 0,2x 10000 , C x được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ T x 2018 M x với T x là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được x gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M x thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó. A. 20.000 đ. B. 15.000đ. C. 10.000đ. D. 22.000 đ. Lời giải Chọn D Theo giả thiết, ta có T x C x 0,4x 0,0001x2 0,2x 10000 . T x 10000 M x 0,0001x 0,2 2 0,2 2,2 vạn đồng 22.000 đồng. x x 10000 Đẳng thức xảy ra 0,0001x x 10000 . x
8. Câu 45: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x3 3x 1 trên đoạn 0;3 . A. M 20 , m 0 .B. M 19 , m 1.C. M 19 , m 1.D. M 19 , m 0 . Lời giải Chọn C Xét trên 0;3 hàm số liên tục. x 1 0;3 y 3x2 3 , y 0 3x2 3 0 3x2 3 0 . x 1 0;3 Nên f 0 1, f 1 1 và f 3 19 . Dó đó: M 19 , m 1. Câu 36: [DS12.C1.3.BT.c] [BTN 167-2017] Hàm số y x2 3x 2 có giá trị lớn nhất trên đoạn  3;3 là. A. 11.B. 20 . C. 8 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta sử dụng MTCT bấm Mode 7 rồi bấm Shift, nhập f X X 2 3X 2 chọn Start -3 End 3 Step 0.5. Máy cho ra một bảng có các giá trị của f X trong đó giá trị lớn nhất của f X là 20 khi X 3. 3x2 2x 3 Câu 39: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017] Cho hàm số y , tập hợp nào x2 1 sau đây là tập giá trị của hàm số? 15 A. 2;4 . B. 2;3 . C. ;5 . D. 3;4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định trên ¡ . 2x2 2 x 1 Ta có: y ' 2 ; y 0 . Lập bảng biến thiên: x2 1 x 1 . Dựa vào bảng biến thiên tập giá trị y 2;4.
9. Câu 44: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Quảng Xương 1 lần 2-2017] Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn x3 x2 x nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y . Khi đó M m bằng: (x2 1)2 1 3 A. 2 .B. 1. C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 x 1 y( 1) 3 2 x3 x2 x x 1 (x 1) 4 x x x y y ' 0 và lim 2 2 0 . (x2 1)2 2 3 3 x (x 1) x 1 x 1 y(1) 4 3 1 Vậy : M ,m nên M m 1. 4 4 Câu 47: [DS12.C1.3.BT.c] Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y f (x) x 3trên đoạn  1:1 là: A. 0 .B. 7 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B x 3 khix 0 1 khix 0 f (x) x 3 x 3 khix 0 f (x) . 1 khix 0 3 khix 0 Hàm số không có đạo hàm tại x 0 . f 1 4 , f 1 4 ; f 0 3 . min f (x) f (0) 3 . max f (x) f (1) 4 .  1;1  1;1 Câu 48: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Quảng Xương 1 lần 2-2017] Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn x3 x2 x nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y . Khi đó M m bằng: (x2 1)2 1 3 A. 2 .B. 1. C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 x 1 y( 1) 3 2 x3 x2 x x 1 (x 1) 4 x x x y y ' 0 và lim 2 2 0 . (x2 1)2 2 3 3 x (x 1) x 1 x 1 y(1) 4 3 1 Vậy : M ,m nên M m 1. 4 4 Câu 50: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Lê Thánh Tông-2017] Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 3 x2 . Tìm M . 3 6 3 A. M . B. M . C. M 0 . D. M . 4 4 2
10. Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định: D 3; 3 . x 3 x2 x2 x y 3 x2 x 1 = . 3 x2 3 x2 x 1 2 y 0 2x x 3 0 3 . x 2 3 3 y 3 y 3 0 ; y 1 2 2 ; y . 2 4 3 Vậy, M . 4 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C 13.D 14.B 15.C 16.C 17.C 18.C 19.C 20.D 21.A 22.B 23.B 24.C 25.B 26.B 27.B 28.D 29.D 30.C 31.D 32.A 33.A 34.C 35.D 36.B 37.C 38.D 39.A 40.A 41.D 42.A 43.D 44.B 45.C 46.A 47.B 48.B 49.C 50.A Câu 51: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Chuyên Phan Bội Châu-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 20x2 20x 1283 e40x trên tập hợp các số tự nhiên là: A. 163.e280 . B. 8.e300 . C. 157.e320 . D. 1283 . Lời giải Chọn A Ta có y 40x 20 e40x 40 20x2 20x 1283 e40x 20e40x 40x2 42x 2565 . 15 x 2 2 y 0 40x 42x 2565 0 171 . x 20 171 15 Đặt y1 y ; y2 y . 20 2 y 7 163.e280 ; y 8 157.e320 . Bảng biến thiên. .
11. Dựa vào bảng biến thiên ta có Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 20x2 20x 1283 e40x trên tập hợp các số tự nhiên là 163.e280 . Câu 22: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa][2017] Giá trị lớn nhất của hàm số 2mx 1 1 y trên 2;3 là khi m nhận giá trị bằng. m x 3 A. 2 .B. 5 .C. 0.D. 1. Lời giải Chọn C 2mx 1 Hàm số y có tập xác định D ¡ \ m . m x 2m2 1 y 0 m . m x 2 6m 1 Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 2;3 tại x 3và y 3 . m 3 6m 1 1 19m 0 m 0 . m 3 3 mx Câu 23: [DS12.C1.3.BT.c] [Sở GD&ĐT Bình Phước] [2017] Tìm m để hàm số y đạt giá trị lớn x2 1 nhất tại x 1 trên đoạn  2;2? A. m 0 .B. m 2 .C. m 2 .D. m 0 . Lời giải Chọn A Giải. m 1 x2 x 1 Ta có y ' 2 , y ' 0 . x2 1 x 1 Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 trên đoạn  2;2 khi. y 1 y 2 ; y 1 y 2 ; y 1 y 1 hay m 0 . Câu 24: [DS12.C1.3.BT.c] [BTN 161] [2017] Tìm giá trị của m để hàm số y x3 3x2 m có giá trị nhỏ nhất trên  1;1 bằng 0 ? A. m 0 .B. m 4 . C. m 6 .D. m 2 . Lời giải Chọn B x 0  1;1 Ta có: y 3x2 6x; y 0 3x2 6x 0 . x 2  1;1 Với x 0 y m . Với x 1 y m 4 . Từ đó dễ thấy y m 4 là GTNN cần tìm, cho m 4 0 hay m 4 .
12. 5mx Câu 25: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] [2017] Cho hàm số y ( m là tham số, x2 1 m 0 ). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 1 trên đoạn  2;2. A. m ¡ \ 0 .B. m 0 .C. Không tồn tại m .D. m 0 . Lời giải Chọn B 5mx2 5m 5m 1 x2 x 1  2;2 y 2 2 , y 0 . x2 1 x2 1 x 1  2;2 Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 1 trên đoạn  2;2 khi BBT phải có dạng. . m 0 5m 0 Vậy 5m 10m m 0 . y 1 y 2 2 5 Câu 26: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Chuyên SPHN] [2017] Gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số 1 3 1 2 2 2 y x mx 4x 10 . Giá trị lớn nhất của biểu thứcS x1 1 x2 9 là. 3 2 A. 49 .B. 1 .C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn B  Tập xác định: D ¡ .  Đạo hàm: y x2 mx 4 . 2  Hàm số có hai điểm cực trị y 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 m 16 0 . 4  Theo định lý Vi – et ta có x1x2 4 x2 . x1 2 2 2 16 2 16 2 16  Theo đề S x1 1 x2 9 x1 1 2 9 25 9x1 2 25 2 9x1 . 2 1. x1 x1 x1  Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 1. Câu 29: [DS12.C1.3.BT.c] [BTN 162] [2017] Cho hàm số y x2 2x a 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt giá trị nhỏ nhất. A. a 2 .B. a 1.C. Một giá trị khác.D. a 3. Lời giải Chọn D
13. 2 Ta có y x2 2x a 4 x 1 a 5 . Đặt u x 1 2 khi đó x  2;1 thì u 0;4 Ta được hàm số f u u a 5 . Khi đó. max y max f u max f 0 , f 4  max a 5 ; a 1 . x  2;1 u 0;4 Trường hợp 1: a 5 a 1 a 3 max f u 5 a 2 a 3. u 0;4 Trường hợp 2: a 5 a 1 a 3 max f u a 1 2 a 3. u 0;4 Vậy giá trị nhỏ nhất của max y 2 a 3. x  2;1 Câu 31: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Lê Thánh Tông] [2017] Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x2 y2 2x 3 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x y 2 (làm tròn đến hai chữ số thập phân). A. 3,71. B. 3,70 .C. 3,73 .D. 3,72 . Lời giải Chọn C x2 y2 2x 3 0 0 x 1 Theo giả thiết ta có x 0 y 0 . y 0 2 y 3 x 2x Suy ra P 2x 3 2x x2 2 . 2 Xét hàm số f x 2x 3 2x x 2, x 0;1. 1 x f x 2 0 x 0;1 . Suy ra f x đồng biến trên 0;1. 3 2x x2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là f 0 3 2 3,73. Câu 32: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] [2017] Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x 1 2y 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 2 x 1 y 1 8 4 x y . Khi đó, giá trị của M m bằng. A. 41.B. 42 .C. 43.D. 44 . Lời giải Chọn C P x2 y2 2 x 1 y 1 8 4 x y x y 2 2 x y 2 8 4 x y . Đặtt x y P t 2 2t 2 8 4 t . x y x 1 2y 2 Theo giả thiết . 2 x y x 2y 1 2 2 x 1 y 1 x 2y 1 2 x 1 y 1 3 x y . t 3t t 2 3t 0 0 t 3 . Xét f t t 2 2t 2 8 4 t trên 0;3 .
14. 4 f t 2t 2 ; f t 0 2t 2 4 t 4 t 1 4 t 2 . 4 t t 0 t 2 2t 1 4 t 4 t3 2t 2 7t 0 t 1 2 2 0;3. t 1 2 2 0;3 Ta có f 0 18 ; f 3 25 min P 18, max P 25 . Vậy M m 25 18 43. Câu 38: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] [2017] Người ta xây một bể chứa nước 500 với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều 3 dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 600.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là. A. 86 triệu đồng.B. 75 triệu đồng.C. 85 triệu đồng. D. 90 triệu đồng. Lời giải Chọn B Gọi x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x m và h m là chiều cao 500 500 250 bể. Bể có thể tích bằng m3 2x2h h 3 3 3x2 250 500 Diện tích cần xây là: S 2 xh 2xh 2x2 6x 2x2 2x2 3x2 x 500 500 Xét hàm S x 2x2 , x 0 S x 4x 0 x 5 . x x2 Lập bảng biến thiên suy ra Smin S 5 150 Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.500000 75000000 đồng. Câu 39: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Nguyễn Trãi Lần 1] [2017] Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh. 84 A. 1,8 m .B. 1,4 m . C. 2,4 m .D. m . 193 Lời giải Chọn C
15. C 1,4m D Vị trí mắt 1,8m α A B x=? .  Đặt AB x là khoảng cách cần tìm (hình vẽ) ta có: BC BD DC 1,8m 1,4m 3,2m . AD x2 1,8 2 , AC x2 3,2 2 . Áp dụng hệ quả của định lý Cô-Sin cho tam giác ACD ta có: 2 2 2 AD2 AC 2 CD2 x2 1,8 x2 3,2 1,4 cos 2AD.AC 2 x2 1,8 2 x2 3,2 2 . x2 2,4 2 x2 1,8 2 x2 3,2 2 Sử dụng chức năng CALC trên máy tính cầm tay bấm SHIFT  cos : 2 2 1 x 2.4 cos lần lượt thử các phương án ta thấy khi x 2,4m thì góc lớn nhất. x2 1.82 x2 3.22 Câu 42: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] [2017] Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in ) được cho bởi C x 0,0001x2 0,2x 10000 , C x được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho T x mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số M x với T x là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) x cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M x thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó. A. 20.000 đồng.B. 15.000 đồng.C. 10.000 đồng.D. 22.000 đồng. Lời giải Chọn D Ta có T (x) =C(x).10000 4000x x2 2000x 100000000(đồng). T (x) x2 2000x 100000000 100000000 Suy ra M (x) x 2000 (đồng). x x x 100000000 100000000 Lại có M (x) x 2000 2 x. 2000 22000 (đồng). x x Câu 43: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT An Lão lần 2] [2017] Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê. Sa khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 20.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 20.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên
16. vật liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là 18.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất? A. 22.000 đồng.B. 25.000 đồng.C. 31.000 đồng.D. 29.000 đồng. Lời giải Chọn D Cách 1: + Gọi x(x 20.000) là giá một cốc cà phê, (0 y 2.000) là số cốc cà phê bán trong một tháng. + Vì nếu bán với giá 20.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 20.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc nên ta có x 20000 21000 20000 x 20000 10 x 40000 10y . y 2000 1900 2000 y 2000 + Ta lại có lợi nhuận là: L xy 18000y 40000 10y y 18000y 22000y 10y2 L 22000 20y L 0 y 1100(tm) x 29.000(tm) . Cách 2: Gọi số tiền tăng là x ( nghìn đồng). Lợi nhuận thu được tính theo hàm số sau: f (x) (20 x)(2 0,1x) 18(2 0,1x) (2 0,1x)(2 x) 0,1x2 1,8x 4 . f '(x) 0,2x 1,8 . f '(x) 0 x 9 . Lập BBT ta thấy được tại x 9 thì f x đạt giá trị lớn nhất, hay lợi nhuận cao nhất. Vậy số tiền bán để đạt lợi nhuận cao nhất là: 20+9=29 nghìn. Cách 3: Thử từng giá trị. Câu 44: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Tiên Lãng] [2017] Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v 10(km / giô)ø thì phần thứ hai bằng 30 nghìn ñoàng/ giôø . Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1km đường sông là nhỏ nhất ( kết quả làm tròn đến số nguyên). A. 20(km / giô)ø .B. 15(km / giô)ø .C. 25(km / giô)ø .D. 10(km / giô)ø . zzzzz. zzzzz. Lời giải Chọn D Gọi x(km / h) là vận tốc của tàu, x 0 . 1 Thời gian tàu chạy quãng đường 1km là: (giờ). x 1 480 +) Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: 480 . ( ngàn đồng). x x +) Hàm chi phí cho phần thứ hai là p kx3 ( ngàn đồng/ giờ). Mà khi x 10 p 30 k 0,03 . Nên p 0,03x3 ( ngàn đồng/ giờ).
17. 1 Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: 0,03x3 0,03x2 . ( ngàn đồng). x 480 240 240 Vậy tổng chi phí: f (x) 0,03x2 0,03x2 33 1728 36. . x x x Dấu ’’=’’ xảy ra khi x 20 . Câu 7: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Nguyễn Văn Cừ - 2017 ] Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400 km . Vận tốc dòng nước là 10 km/h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E v cv3t, trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 20 km/h . B. 18 km/h . C. 12 km/h . D. 15 km/h . Lời giải Chọn D Với vận tốc tự thân là v (km/h) , vận tốc dòng nước là 10 (km/h) thì. Vận tốc di chuyển ngược dòng của con cá hồi là : v 10 (km/h) . 400 Thời gian để con cá hồi vượt 400 (km) ngược dòng nước là : t (km) v 10 . v 10 v3 Như thế lượng năng lượng tiêu hao của con cá hồi là: E v cv3t 400c  (jun) . v 10 v3 2v2 v 15 Xét hàm số f v với v 10 ta có f v . v 10 v 10 2 Bảng biến thiên của f v trên khoảng 10; . v 10 15 f v – 0 + f v f 15 . E v nhỏ nhất f v nhỏ nhất v 15. Vậy nếu vận tốc tự thân của cá hồi là 15 (km/h) thì năng lượng tiêu hao của nó thấp nhất. Cách 2: Dùng bất đẳng thức Côsi. 3 v 1000 2 1000 f v v2 10v 100 v 10 30 v 10 300 . v 10 v 10 v 10 2 125 v 10 6.5 v 10 8. 300 1515 56.1258 300 675 . v 10 2 125 Dấu bằng đạt được khi v 10 5 v 10 v 15 . v 10
18. Câu 9: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Nguyễn Đăng Đạo - 2017] Chiều dài ngắn nhất của cái thang AB để nó có thể dựa vào tường AC và mặt đất BC , ngang qua cột đỡ DE cao 4(m), song song và cách tường một khoảng CE = 0,5(m) là. A. Xấp xỉ 5,5902(m). B. Xấp xỉ 5,602(m). C. Xấp xỉ 5,4902(m). D. Xấp xỉ 6,5902(m). Lời giải Chọn A A D B C E . Xét tam giác ABC vuông tại C và tam giác BDE vuông tại E, ta có: BE BC 0.5AC cot B BE.AC DE.BC BC 0.5 AC 4BC BC . DE AC AC 4 0.25AC 2 Mặt khác, theo định lí Pitago cho tam giác ABC vuông tại C ta có: AB2 AC 2 . AC 4 2 0.25x2 Xét hàm số f (x) x2 với x 4; ta có: (x 4)2 x 0 2x2 8x f '(x) 2x . Cho f '(x) 0 x 4 . Loại x 0, x 4 . Khi đó, ta có: (x 4)4 x 5 125 5 5 min f (x) f (5) . Vậy độ dài AB nhỏ nhất là AB 5.5902 (m) . x (4; ) 4 2 Câu 10: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Lý Văn Thịnh – 2017] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x 2 . B. x 3. C. x 6 . D. x 4 . Lời giải Chọn A 2 Thể tích hình hộp sau khi cắt : V x. 12 2x 4x3 48x2 144x 0 x 6 .
19. x 6 loaïi V 12x2 96x 144 0 . x 2 nhaän Lập bảng biến thiên suy ra Vmax = V (2). Câu 11: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2017] Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng 20 cm . Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật MNPQ. Tìm độ dài đoạn MB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. . A. 5 cm . B. 4 cm . C. 2 cm . D. 10 cm . Lời giải Chọn A . Giả sử MB x NC x nên MN 20 2x . 2 10 x x Ta có MQ x 3 nên S 20 2x x 3 2 3 10 x x 2 3 50 3 . 2 Dấu bằng xảy ra khi 10 x x x 5 . Câu 13: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Lý Thái Tổ - 2017] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 2016 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x 672 . B. x 1008. C. x 336 . D. x 504 . Lời giải
20. Chọn C Điều kiện: 0 x 1008, ta có. 2 V h.B x 2016 2x f x . Cách 1. Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm 4x;2016 2x;2016 2x . 3 2 1 1 4x 2016 2x 2016 2x V x 2016 2x .4x. 2016 2x . 2016 2x . . 4 4 3 Dấu " " xảy ra khi 4x 2016 2x x 336 . Vậy x 336 thì thể tích lớn nhất. 2 2 Cách 2. Xét hàm số f x x 2016 2x x a 2x ,a 2016. . Với x 0;1008 , ta có: f x 12x2 8ax a2 ; f x 0 x 336 . BBT: Suy ra V đạt giá trị lớn nhất khi x 336 Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh x 336. Câu 15: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Thuận Thành 3 - 2017] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 12 cm và chiều rộng bằng 10 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. . 11 31 12 3 5 10 2 7 11 31 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 3 3 Lời giải Chọn D Chiều dài của cái hộp là : 12 2x 0 x 10 . Chiều rộng của cái hộp là 10 2x.
21. Chiều cao của cái hộp là : x. Thể tích cái hộp là : V 12 2x 10 2x x. 11 31 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x(12 2x)(10 2x) trên 0; 10 ta có x . 3 Câu 18: [DS12.C1.3.BT.c] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2 - 2017] Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 2 thì diện tích của nó lớn nhất là: 25 25 25 A. . B. 25 . C. . D. . 2 8 4 Lời giải Chọn A Gọi một cạnh góc vuông là x 0 x 5 2 nên cạnh còn lại 50 x2 . 1 Diện tích tam giác vuông là: S x 50 x2 . 2 1 1 x2 50 x2 25 Ta có S x 50 x2 . Dấu “ ” xảy ra x 50 x2 x 5 . 2 2 2 2 25 Diện tích lớn nhất khi: x 5 S . 2 Câu 19: [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa - 2017] Một con thuyền đang ở ngoài khơi cách đất liền 120km và cách hòn đảo 450km. Hòn đảo cách đất liền 270km . Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Tìm quãng đường ngắn nhất mà con thuyền đó đi (làm tròn đến hàng đơn vị). . A. 623 km . B. 584 km . C. 711 km . D. 576 km . Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi vị trí thuyền và đảo lần lượt là T; D Gọi T là điểm đối xứng với T qua trục Ox
22. Khi đó quãng đường thuyền phải đi là: TI ID T I ID ngắn nhất là T D . Ta có: T 0; 120 ; D 4502 1502 ;270 T D 576. Câu 20: [DS12.C1.3.BT.c] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07 - 2017] Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít. Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau. A. Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4. B. Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2. C. Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3. D. Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1. Lời giải Chọn D Gọi x là cạnh của đáy hộp. h là chiều cao của hộp. S x là diện tích phần hộp cần mạ. Khi đó, khối lượng vàng dùng mạ tỉ lệ thuận với S(x). Ta có: S x x2 4xh 1 ;V x2h 4 h 4 / x2 2 16 Từ (1) và (2), ta có S x x2 . x Dựa vào BBT, ta có S x đạt GTNN khi x 2 . Câu 22: [DS12.C1.3.BT.c] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa - 2017] Người ta cần xây một hồ chứa 500 nước với dạng khối hộp chữ nhật không cần nắp, có thể tích là m3 . Đáy hồ là hình chữ nhật có 3 chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây hồ là 500000 đồng trên 1m2 . Hãy xác định kích thước của hồ sao cho chi phí thuê công nhân thấp nhất. Chi phí đó là. A. 76 triệu đồng. B. 74 triệu đồng. C. 77 triệu đồng. D. 75 triệu đồng. Lời giải Chọn D Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là chiều rộng và chiều cao của hồ. Theo đề bài, ta có. Chiều dài của hồ bằng 2x . 500 250 Thể tích của hồ V 2x2 y y . 3 3x2 . Diện tích cần xây