Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 1: [DS12.C1.3.BT.c] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x2 2x m trên đoạn  1;2 bằng 5 . A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có Parabol P y x2 2x m có đỉnh I 1; 1 m ; y 1 m 3; y 2 m . Trường hợp 1: m 3 0 m 3 min y m 3(do lấy đối xứng qua Ox )  1;2 Theo giả thiết ta có: m 3 5 m 8 (thỏa m 3) Nhận. m 3 0 Trường hợp 2: 3 m 1 min y 0 Không thỏa yêu cầu. m 1 0  1;2 Trường hợp 3: m 1 0 m 1 min y m 1. Theo yêu cầu ta có m 1 5 m 6 .  1;2 Vậy có 2 giá trị m thỏa yêu cầu. Câu 42: [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí K cách bờ AB là 1 m và cách bờ AC là 8 m , rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ AB , AC và cây cọc K (bỏ qua đường kính của sào). B P K A Q C 5 65 5 71 A. . B. 5 5 . C. 9 2 . D. . 4 4 Lời giải Chọn B B P K E A F Q C Đặt AP a ; AQ b ( a,b 0 ). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K xuống AB và AC . Suy ra KE 1, KF 8 .
2. KE PK KF QK KF KE 8 1 Ta có: ; 1 hay là 1. AQ PQ AP PQ AP AQ a b (Hoặc có thể dùng phép tọa độ hóa: Gán A 0;0 , P 0;a ,Q b;0 . Khi đó K 1;8 . x y 1 8 Phương trình đường thẳng PQ : 1. Vì PQ đi qua K nên 1.) b a b a Cách 1: 8 1 8k k Ta có: PQ2 a2 b2 . Vì 1 k k 0 . a b a b 2 2 2 2 8k 2 k 2 4k 4k 2 k k 3 2 k a b k a b a b 3 16k 33 . a b a a 2b 2b 4 4k a2 a k 250 2 2 2 2k Suy ra PQ nhỏ nhất a b nhỏ nhất b a 10 . b b 5 8 1 1 a b Vậy giá trị nhỏ nhất của PQ là a2 b2 125 5 5 . Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ AB , AC và cây cọc K là 5 5 . Cách 2: 2 8 1 a 2 2 2 2 a Vì 1 b với a 8. Khi đó PQ a b a với a 8. a b a 8 a 8 2 2 a Xét hàm số f a a với a 8. a 8 3 2a 8 2a a 8 8 Ta có f a 2a . ; f a 0 a 10 . a 8 a 8 2 a 8 3 BBT của f a : Vậy GTNN của f a là 125 khi a 10 . Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ AB , AC và cây cọc K là 125 5 5 . Câu 46: [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai hàm số y f x , y g x có đạo hàm là f x , g x . Đồ thị hàm số y f x và g x được cho như hình vẽ bên dưới.
3. Biết rằng f 0 f 6 g 0 g 6 . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x g x trên đoạn 0;6 lần lượt là: A. h 6 , h 2 . B. h 2 , h 6 . C. h 0 , h 2 . D. h 2 , h 0 . Lời giải Chọn A Ta có h x f x g x . h x 0 x 2 Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: x 0 2 6 h x 0 h 0 h 6 h x h 2 Và f 0 f 6 g 0 g 6 f 0 g 0 f 6 g 6 . Hay h 0 h 6 . Vậy max h x h 6 ; min h x h 2 . 0;6 0;6 Câu 41: [DS12.C1.3.BT.c] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) Biết hàm số y f x liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 . Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và GTNN tương ứng là M và m ?. 4x A. y f 2 . B. y f 2 sin x cosx . x 1 C. y f 2 sin3 x cos3 x . D. y f x 2 x2 . Lời giải Chọn A 4x Đặt t trên 0;2 x2 1 4x2 4 Ta có: tx 2 x2 1
4. tx 0 x 1 trên 0;2 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 0 t 2 . Do đó: Hàm số y f x liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 khi và chỉ khi hàm số y f t liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 . Câu 43: [DS12.C1.3.BT.c] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x2 2x m 4 trên đoạn  2;1 bằng 4 ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B f x x2 2x m 4 có f x 2x 2 , f x 0 x 1. Do đó max x2 2x m 4 max m 1 ; m 4 ; m 5 .  2;1 Ta thấy m 5 m 4 m 1 với mọi m ¡ , suy ra max y chỉ có thể là m 5 hoặc m 1 .  2;1 m 5 4 Nếu max y m 5 thì m 1.  2;1 m 5 m 1 m 1 4 Nếu max y m 1 thì m 5 .  2;1 m 1 m 5 Vậy m 1; 5. Câu 6: [DS12.C1.3.BT.c] Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)? a2 a 2 2a2 a2 A. .B. . C. .D. . 6 3 9 9 3 3 Lời giải Chọn A a Cạnh góc vuông x, 0 x ; cạnh huyền: a x 2 Cạnh góc vuông còn lại là: (a x)2 x2 1 a(a 3x) a Diện tích tam giác S(x) x a2 2ax . S (x) ; S (x) 0 x 2 2 a2 2ax 3 Bảng biến thiên:
5. a2 a 2a Tam giác có diện tích lớn nhất bằng khi cạnh góc vuông , cạnh huyền . 6 3 3 3 Câu 9: [DS12.C1.3.BT.c] Cho hai số thực x 0, y 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện 1 1 (x y)xy x2 y2 xy . Giá trị lớn nhất M của biểu thức A là: x3 y3 A. M 0. B. M 0. C. M 1. D. M 16. Lời giải Chọn D 2 2 1 1 x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) x y 1 1 A . 3 3 3 3 3 3 x y x y x y xy x y Đặt x ty . Từ giả thiết ta có: (x y)xy x2 y2 xy (t 1)ty3 (t 2 t 1)y2 2 2 t 2 t 1 t 2 t 1 1 1 t 2 2t 1 Do đó y 2 ; x ty . Từ đó A 2 . t t t 1 x y t t 1 t 2 2t 1 3t 2 3 Xét hàm số f (t) 2 f (t) 2 . t t 1 t 2 t 1 1 Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi x y . 2 Câu 21: [DS12.C1.3.BT.c] [CHUYÊN VINH – L2]Cho các số thực x, y thỏa mãn x y 2 x 3 y 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x 2 y 2 15xy là A. min P 80 . B. min P 91. C. min P 83 . D. min P 63 . Lời giải Chọn C Ta có 2 x y 4 x y 2( x 3 y 3) (x y) 4(x y) 8 x 3. y 3 4(x y) x y 0 Mặt khác x y 2( x 3 y 3) 2 2(x y) x y 8 x y 4;8 Xét biểu thức P 4(x2 y2 ) 15xy 4(x y)2 7xy 16(x y) 7xy 7x(y 3) 16y 5x . y 3 0 Mà P 16(4 x) 5x 64 21x . y 4 x Kết hợp với x y 4 x 3;7 64 21x 83 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 83 Câu 18: [DS12.C1.3.BT.c] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ
6. hai uốn thành đường tròn đường kính r . Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ a nhất thì tỉ số nào sau đây đúng? r A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 4 . Lời giải Chọn B Độ dài đoạn dây bằng 60cm , cạnh hình vuông bằng a , bán kính đường tròn bằng r nên ta có: 30 2a 4a 2 r 60 r 1 . Gọi S là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn, suy ra S a2 r 2 2 . 30 2a 2 Thay 1 vào 2 ta được S a2 . 4 30 2a 2 8 a 120 Khi đó S 2a . 60 Cho S 0 a . 4 Bảng biến thiên. 60 30 a Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S nhỏ nhất khi a r . Vậy 2 . 4 4 r Câu 42: [DS12.C1.3.BT.c] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S là tập hợp tất x2 mx m cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y trên x 1 1;2 bằng 2 . Số phần tử của S là A. 3 .B. 1.C. 2 .D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định: D ¡ \ 1 . x2 mx m Xét hàm số: y . x 1 2 2 x 0 1;2 x 2x x 2x 2   y 2 ; y 0 2 0 x 2x 0 . x 1 x 1 x 2 1;2 4 y 0x 1;2 nên Max y y 2 m 1;2 3 4 2 m 2 m 4 3 3 Max y 2 m 2 1;2 3 4 10 m 2 m 3 3
7. Câu 40. [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 8 m3 , thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100000 / m2 , giá tôn làm thành xung quanh thùng là 50000 / m2 . Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất? A. 3 m . B. 1,5 m . C. 2 m . D. 1 m . Lời giải Chọn C. Gọi cạnh đáy và cạnh bên của thùng tôn là a và b (điều kiện: a 0 và b 0 ). 8 Ta có thể tích thùng tôn là: V a2b 8 . Suy ra: b . a2 1600000 Chi phí để sản xuất thùng tôn là: 4ab.50000 100000a2 100000a2 . a Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số dương ta có: 1600000 800000 800000 800000 800000 100000a2 100000a2 33 . .100000a2 12.105 . a a a a a 800000 Dấu bằng xảy ra khi 100000a2 a 2 . a 1600000 Cách 2: Khảo sát hàm y 100000a2 với a 0 . a 1600000 Suy ra: y 200000a 0 a 2 . Khi đó, ta có bảng biến thiên sau: a2 Dựa vào bảng biến thiên ta có ymin a 2 . Câu 41. [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định khoảng cách đó.
8. C 1,4 B 1,8 A ? O A. 2,4 m . B. 2,42 m . C. 2,46 m . D. 2,21 m . Lời giải Chọn A. C 1,4 B 1,8 A ? O · · · AC 3,2 Đặt BOC 0; , AOC a , AOB b , x OA. Khi đó ta có tan a , 2 x x 3,2 1,8 AB 1,8 tan a tan b 1,4x tan b , tan tan a b x x . Ta có hàm tan 5,76 2 x x 1 tan a.tan b 1 x 5,76 x2 1,4x là hàm đồng biến khi 0; nên càng lớn thì tan 2 càng lớn. 2 x 5,76 1,4x Xét tan : Áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số thực dương ta có x2 5,76 x2 5,76 2x.2,4 1,4x 1,4x 7 Suy ra tan . Dấu " " xảy ra khi x 5,76 2,4 . x2 5,76 2x.2,4 24 Câu 48. [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mx 1 5 m để hàm số y có giá trị lớn nhất trên đoạn  2;3 bằng . x m2 6 2 2 3 A. m 3 hoặc m . B. m 2 hoặc m . C. m 3 hoặc m . D. m 3 . 5 5 5 Lời giải Chọn D.
9. m3 1 y 2 x m2 1 2m 1 3m Ta có f 2 ; f 3 m2 2 3 m2 3 Giá trị m không đúng. Theo mình đáp án là D. 5 Hàm số xác định trên  2;3 khi m2 [ 2;3] m2 2 m3 1 Tính y 2 . x m2 Xét 2 trường hợp: Nếu m3 1 0 m 1 hàm số đồng biến trên  2;3 , nên max y y 3 .  2;3 1 3m 5 3 6 18m 15 5m2 5m2 18m 9 0 m 3,m . Vậy m 3 . 3 m2 6 5 Nếu m3 1 0 m 1, hàm số nghịch biến trên  2;3 nên max y y 2 .  2;3 1 2m 5 6 2 29 6 12m 5m2 10 5m2 12m 16 0 m . m2 2 6 5 Dựa vào điều kiện không có giá trị m thỏa điều kiện. Vậy m 3 . Câu 5: [DS12.C1.3.BT.c] [LẠNG GIANG SỐ 1 - 2017] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu? A. 115 250 000 .B. 101 250 000 .C. 100 000 000 . D. 100 250 000. Lời giải Chọn B Gọi x (đồng/tháng) (x > 0) là giá cho thuê mới. x Þ Số căn hộ bị bỏ trống là căn hộ 50 000 æ x ö Þ Số tiền công ty thuê được T (x)= (2 000 000+ x)ç50- ÷ èç 50 000ø÷ Khảo sát hàm số T (x) trên (0;+ ¥ ) x Þ T ¢(x)= 10- Þ T ¢(x)= 0 Û x = 250 000 . 25 000 Bảng biến thiên
10. Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là: T 101 250 000 . Câu 30: [DS12.C1.3.BT.c] [BIÊN HÒA – HÀ NAM - 2017] Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là 64 m3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất. A. r 3 m .B. r 3 16 m .C. r 3 32 m .D. r 4 m . Lời giải Chọn C Gọi hình trụ có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . 64 64 64 Ta có: V r 2h h l r 2 r 2 r 2 Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất. 128 Ta có: S 2S S 2 r 2 2 rl 2 r 2 . tp day xq r 128 Xét hàm số f r 2 r 2 với r 0 . r 128 Ta có f r 4 r ; f r 0 r 3 32 . r 2 Lập bảng biến thiên ta có f r đạt GTNN khi r 3 32 . Câu 32: [DS12.C1.3.BT.c] [SỞ BÌNH PHƯỚC - 2017] Một người nuôi cá thì nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng nếu mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n 480 20n gam . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 12. B. 14. C. 10. D. 18. Lời giải Chọn A Cách 1: Thế đáp án: Số cá trên mỗi đơn 12 14 10 18 vị diện tích Số cân nặng: 2880 2800 2800 2160 480 20n n(gam) Cách 2: Số cân nặng của n con cá là: f (n) 480 20n n 20n2 480n 20(n 12)2 2880 2880 Vậy giá trị lớn nhất của f (n) là 2880 đạt được khi n 12 .
11.  Chú ý: hàm f như một hàm số theo biến số thực, chứ không phải biến số nguyên dương Câu 18: [DS12.C1.3.BT.c] Anh Phong có một cái ao với diện tích 50m2 để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi 8 con / m2 thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm 0,5kg . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi) A. 488 con. B. 658 con. C. 342 con. D. 512 con. Lời giải Chọn D Số cá anh Phong thả trong vụ vừa qua là 50.20 = 1000 (con) 1500 Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần là = 1,5kg / con 1000 Gọi x > 0 là số cá anh cần thả ít đi cho vụ tới nên sẽ tăng 0,0625x kg/con Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu được T = f (x) = (1000 - x)(1,5 + 0,0625x) ì ï f ¢(x) = - 0,125x + 61 = 0 Þ x = 488 Þ íï Þ max f (x) = 16384 Û x = 488 ï f ¢¢ x = - 0,125 îï ( ) Vậy ở vụ sau anh chỉ cần thả 1000 - 488 = 512 con cá giống. Câu 31: [DS12.C1.3.BT.c] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2.250.000. B. 2.350.000. C. 2.450.000. D. 2.550.000. Lời giải Chọn A Gọi x là giá cho thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x – đồng; x ³ 2000.000 đồng ). Số căn hộ cho thuê được ứng với giá cho thuê: 1 1 50 - (x - 2000000) = - x + 90,(1) 50000 50.000 Gọi F (x) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F (x): đồng). æ ö ç 1 ÷ 1 2 Ta có F (x) = ç- x + 90÷x = - x + 90x èç 50.000 ø÷ 50.000 1 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F (x) = - x 2 + 90x với điều kiện 50.000 x ³ 2000.000
12. 1 F '(x) = - x + 90 25.000 1 F '(x) = 0 Û - x + 90 = 0 Û x = 2.250.000 25.000 Ta lập bảng biến thiên: Suy ra F (x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. 1 Nhận xét: Làm sao ta có thể tìm được hệ số trong biểu thức (1)? 50000 Ta có thể hiểu đơn giản như sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 - m (x - 2000.000)x = 2.000.000 thì số căn hộ được thuê là50. Nếu số tiền cho thuê tăng lên là x = 2.100.000 thì có 2 căn hộ để trống, nghĩa là có 48 người thuê. Ta có: 1 50 - m (2.100.000 - 2.000.000) = 48 Û m = . 50000 Câu 32: [DS12.C1.3.BT.c] Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a(m) (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất? 2a a A. chiều rộng bằng , chiều cao bằng 4 + p 4 + p a 2a B. chiều rộng bằng , chiều cao bằng 4 + p 4 + p C. chiều rộng bằng a(4 + p) , chiều cao bằng 2a(4 + p) D. chiều rộng bằng a(4 - p) , chiều cao bằng 2a(4 - p) Lời giải Chọn A Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là p x , tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a - px . Diện tích cửa sổ là: 2 p x a - p x - 2x p p a S = S + S = + 2x = ax - ( + 2)x 2 = ( + 2)x( - x) . 1 2 2 2 2 2 p + 2 2 a a Dễ thấy S lớn nhất khi x = - x hay x = .(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh p 4 + p + 2 2 Parabol)
13. a 2a Vậy để S thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng ; chiều rộng bằng max 4 + p 4 + p Câu 33: [DS12.C1.3.BT.c] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, l - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật) S S A. x = 4S,y = B. x = 4S,y = 4 2 S S C. x = 2S,y = D. x = 2S,y = 4 2 Lời giải Chọn D Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; 2 2S 2S - 2S x - 2S l = 2y + x = + x . Xét hàm số l (x) = + x . Ta có l '(x) = + 1 = . x x x 2 x 2 S S l '(x) = 0 Û x 2 - 2S = 0 Û x = 2S , khi đó y = = . x 2 Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là S x = 2S , y = thì mương có dạng thuỷ động học. 2 Câu 38: [DS12.C1.3.BT.c] Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? A. 200m ´ 200m B. 300m ´ 100m C. 250m ´ 150m D. Đáp án khác Lời giải Chọn A Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và Diện tích miếng đất: Theo đề bài thì: hay. Do đó: với Đạo hàm:. Cho. Lập bảng biến thiên ta được: khi. Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông). Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy. Câu 39: [DS12.C1.3.BT.c] Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là 384cm2 . Lề trên, lề dưới là 3cm; lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là: A. 24cm, 25cm. B. 15cm, 40cm. C. 20cm, 30cm. D. 22,2cm, 27cm. Lời giải
14. Chọn C Gọi a,b(cm)(a > 0,b > 0) là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là a + 6,b + 4 384 Ta có: a.b = 384 Þ b = (1) a 2304 Diện tích trang sách là: S = (a + 6)(b + 4) Û S = 4a + + 408 a 2304 Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: Û S ³ 2 4a. + 408 = 600 a 2304 Suy ra MinS = 600 Û 4a = Û a = 24, suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm a Câu 41: [DS12.C1.3.BT.c] Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1,034m2 B. 1,574m2 C. 1,989m2 D. 2,824m2 Lời giải Chọn C Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo căng và là phần giao của 2 đường tròn. Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O,M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu. Ta có phương trình đường tròn tâm (O): x 2 + y2 = 32 và phương trình đường tròn tâm 2 (M ): (x - 4) + y2 = 22 Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y = 9 - x 2 và 2 y = 4 - (x - 4) 2 21 Phương trình hoành độ giao điểm: 4 - (x - 4) = 9 - x 2 Û 4 + 8x - 16 = 9 Û x = 8 é21 ù 8 3 ê 2 ú ê 2 ú Diện tích phần được tô màu là: S = 2êò 4 - (x - 4) dx + ò 9 - x dxú» 1,989. Ta có thể ê2 21 ú ëê 8 ûú giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy. Câu 42: [DS12.C1.3.BT.c] Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có 3 chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng
15. vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn). A. 15 6 mét B. 2 30 mét C. 12 10 mét D. 10 2 mét Lời giải Chọn A Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm M ,N,P nằm trên các cạnh A 'B ',CC ',AD như hình vẽ. Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm M ,N,P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất. Đặt M (x;10;0),P (0;0;z),N (10;y;10). Chu vi tam giác MNP là: 2 2 2 MN + NP + PQ = (x - 10) + (y - 10) + 102 + 102 + y2 + (z - 10) + x 2 + 102 + z2 2 2 2 2 = (10 - x) + (y - 10) + 102 + y2 + (z - 10) + 102 + z2 + (- x) + 102 Áp dụng bất đẳng thức vecto : 2 2 2 Þ MN + NP + PM ³ (10 - x + y) + (y + z - 20) + 202 + z2 + (- x) + 102 2 2 2 ³ (10 - x + y + z) + (y - 10 + z - 10 - x) + (10 + 10 + 10) 2 2 = 2(y + z - x - 5) + 450 + (10 + 10 + 10) ³ 15 6 ïì ï y + z - x = 5 ï ïì y = z ï ï ï 10 - x y - 10 10 ï Dấu bằng xảy ra khi íï = = Û í 2y - x = 5 Û x = y = z = 5 ï y z - 10 10 ï ï ï x + y = 10 ï 10 - x + y y + z - 20 20 îï ï = = îï z - x 10 Vậy giá trị cần tìm là 15 6 . Câu 43: [DS12.C1.3.BT.c] Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 m được đặt song song và cách mặt đất h(m). Nhà có 3 trụ tại A, B, C vuông góc với ABC . Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N sao cho AM = x,AN = y và góc giữa MBC và (NBC)bằng 90 để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà. A. 5 3 . B. 10 3 . C. 10. D. 12. Lời giải Chọn A Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM = x + y .
16. Gọi I là trung điểm của BC . Ta có DABC đều Þ AI ^ BC , vì MN ^ (ABC ) Þ MN ^ BC , từ ïì MI ^ BC ï · 0 đó suy ra Þ BC ^ MNI Þ í Þ MIN = 90 ( ) ï NI ^ BC îï 2 æ10 3÷ö 2 ç ÷ DIMN vuông tại I nhận AI là đường cao nên Þ AM .AN = AI Þ xy = ç ÷ = 75 èç 2 ø÷ Theo bất đẳng thức Côsi: x + y ³ 2 xy = 2. 75 = 10 3 Û x = y = 5 3 Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là 10 3. Câu 44: [DS12.C1.3.BT.c] (NHO QUAN A) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 15 13 10 19 A. km B. km C. D. 4 4 4 4 Lời giải Chọn B Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x là hàm số tính tổng chi phí sử dụng. Đặt BS x thì ta được: SA 4 x, CS x2 1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f x được xác định như sau: f x 3000. 4 x 5000. x2 1 với x 0;4 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. x f ' x 3000 5000. . x2 1 x f ' x 0 3000 5000. 0 3000 x2 1 5000x 0 x2 1 3 x2 1 5x 3 16x2 9 x 3 4 x . x 0 4 x 0 Hàm số f x liên tục trên đoạn 0;4.
17. 3 Ta có: f 0 17000, f 16000, f 4 20615,52813. 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là 16000 và tại x . Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S 4 3 13 nằm cách A một đoạn SA 4 x 4 . 4 4 Câu 45: [DS12.C1.3.BT.c] (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A,B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A. AM = 6m, BM = 18m. B. AM = 7m, BM = 17m. C. AM = 4m, BM = 20m. D. AM = 12m, BM = 12m. Lời giải Chọn A Đặt AM = x(0 BM = 18(m). Câu 46: [DS12.C1.3.BT.c] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 569,5m B. 671,4m C. 779,8m D. 741,2m Lời giải Chọn C Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M vềB. dễ dàng tính được BD = 369, EF = 492. Ta đặt EM = x,khi đó ta được: 2 MF = 492- x, AM = x2 + 1182 ,BM = (492- x) + 4872 . Như vậy ta có hàm số f (x) được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB: 2 2 2 2 é ù f (x) = x + 118 + (492- x) + 487 với x Î ëê0;492ûú
18. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. x 492- x f '(x) = - . 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 x 492- x f '(x) = 0 Û - = 0 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 x 492- x Û = 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 2 Û x (492- x) + 4872 = (492- x) x2 + 1182 2 2 ïì 2 é 2 ù 2 2 ï x ê(492- x) + 487 ú= (492- x) (x + 118 ) Û í ëê ûú ï 0 £ x £ 492 îï ì 2 2 ï (487x) = (58056- 118x) Û íï ï 0 £ x £ 492 îï ïì 58056 58056 ï x = hay x = - 58056 Û í 605 369 Û x = ï 0 £ x £ 492 605 îï æ ö é ù ç58056÷ Hàm số f (x) liên tục trên đoạn ê0;492ú. So sánh các giá trị của f (0) , f ç ÷, f (492) ë û èç 605 ø÷ æ ö ç58056÷ ta có giá trị nhỏ nhất là f ç ÷» 779, 8m èç 605 ø÷ Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Câu 51: [DS12.C1.3.BT.c] (NGÔ QUYỀN – HP) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất. A. 42.000 đồng. B. 40.000 đồng. C. 43.000 đồng. D. 39.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng). Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x chiếc.
19. Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 x (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là: f x 3000 100x 12 x (nghìn đồng). Xét hàm số f x 3000 100x 12 x trên 0; . Ta có: f x 100x2 1800x 36000 100 x 9 2 44100 44100 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 9 . Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là39.000 đồng.