Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Mức độ 4.1 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Mức độ 4.1 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 45: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2y3 7y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y . A. P 10 B. P 4 .C. P 6 .D. P 8 . Lời giải Chọn B 2y3 7y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . 2 y3 3y2 3y 1 y 1 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1 x . 3 2 y 1 3 y 1 2 1 x 1 x 1 . Xét hàm số f t 2t3 t trên 0; . Ta có: f t 6t 2 1 0 với t 0 f t luôn đồng biến trên 0; . Vậy 1 y 1 1 x y 1 1 x . P x 2y x 2 2 1 x với x 1 . Xét hàm số g x 2 x 2 1 x trên ;1 . 1 1 x 1 Ta có: g x 1 . g x 0 x 0 . 1 x 1 x Bảng biến thiên g x : Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra giá trị lớn nhất của P là: max g x 4 . ;1 Câu 50. [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho x, y là hai số 1 thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 1 xy 1 y 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu y x y x 2y thức P ? x2 xy 3y2 6 x y 5 7 7 5 5 7 5 7 A. . B. . C. . D. . 3 30 30 3 3 30 30 Lời giải Chọn C 1 xy 1 xy 1 y 1 x y 2 2 y xy 1 xy 1 y xy 1 y 0 xy 1 y y xy 1 xy 1 y 0 xy 1 y 0 xy 1 y
2. 2 x 1 1 1 1 1 2 y y y 4 y 2 x 1 1 0 . Dấu bằng đạt được khi y 2 , x . y 4 2 x y x 2y t 1 t 2 x 1 P với t và t 0; . x2 xy 3y2 6 x y t 2 t 3 6 t 1 y 4 t 1 5 1 Ta có 8t 7 với mọi t 0; t 2 t 3 27 4 2 2 t 1 5 1 4t 1 20t 25t 6 1 Thật vậy 8t 7 0 với mọi t 0; . 2 t 2 t 3 27 729 t t 3 4 5 t 2 P 8t 7 f t . 27 6t 6 1 16 5t 2 32 5t 16 5 27 1 Khi đó f t . 0 với mọi t 0; . 2 54 t 1 4 5 t 2 1 7 10 5 1 Vậy P 8t 7 f t f , dấu bằng đạt được khi x , y 2 . 27 6t 6 4 30 2 Câu 50: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b , c là 3 3 3 các số thực thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn log2 a log2 b log2 c 1. Khi biểu thức 3 3 3 a b c P a b c 3 log2 a log2 b log2 c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng. a b c là 1 A. 3 . B. 3.2 3 3 . C. 4 . D. 6 . Lời giải. Chọn C Đặt x log2 a; y log2 b; z log2 c. Vì a,b,c 1;2 nên x, y, z 0;1 . 3 3 3 a b c P a b c 3 log2 a log2 b log2 c 3 3 3 a b c 3 a log2 a blog2 b c log2 c . a3 b3 c3 3 ax by cz . Ta chứng minh a3 3ax x3 1. Thật vậy: 1 1 Xét hàm số f a a log a,a 1; 2 f a 1 f a 0 a . 2 a ln 2 ln 2 1  Trên đoạn 1;2 ta có f a Max f 1 , f 2 , f  1 a log2 a 1. ln 2  hay a x 1 a x 1 0. Do đó. Xét: a3 3ax x3 1 a x 1 a2 x2 1 a ax x 0 . ( Vì theo trên ta có a x 1 0 và a2 x2 x 1 a ax 0, a 1; 2, x 0; 1 ). Vậy a3 3ax x3 1 0 a3 3ax x3 1. Tương tự b3 3by y3 1; c3 3cz z3 1. Do đó P a3 b3 c3 3 ax by cz x3 y3 z3 3 1 3 4 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0, z 1 và các hoán vị, tức là a b 1,c 2 và các hoán vị. Khi đó a b c 4 .
3. BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9.B 10.A 11.A 12.C 13.C 14.B 15.D 16.C 17.B 18.D 19.C 20.B 21.D 22.A 23.D 24.B 25.D 26.C 27.C 28.A 29.B 30.B 31.C 32.D 33.A 34.A 35.C 36.B 37.C 38.B 39.C 40.D 41.B 42.A 43.D 44.A 45.B 46.B 47.A 48.D 49.B 50.C Câu 1. [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Xét các số thực dương x , y 2 x2 y 1 2x y thỏa mãn 2018 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P 2y 3x . x 1 2 1 7 3 5 A. P .B. P . C. P . D. P . min 2 min 8 min 4 min 6 Lời giải Chọn B 2 2 x y 1 2x y 2 2x y Cách 1: Ta có 2018 2 2 x y 1 log2018 2 x 1 x 1 2 2 2 x 1 2 2x y log2018 2x y log2018 x 1 2 2 2 x 1 log2018 x 1 2 2x y log2018 2x y Có dạng f x 1 2 f 2x y với f t 2t log t , t 0 . 2018 1 Xét hàm số f t 2t log t , t 0 , ta có f t 2 0 t 0 nên hàm số f t 2018 t.ln 2018 đồng biến trên khoảng 0; . Khi đó f x 1 2 f 2x y x 1 2 2x y y x2 1. Ta có P 2y 3x 2 x2 1 3x 2x2 3x 2 . Bảng biến thiên 7 3 Vậy P khi x . min 8 4 2 x2 2x 1 2 x2 y 1 2x y 2 x2 2x 1 2x y 2x y 2018 2x y Cách 2: Ta có 2018 2018 x 1 2 x 1 2 20182 2x y x 1 2 2 20182 x 1 2x y . 20182 2x y x 1 2 2u 2 2018 v Đặt u x 1 , v 2x y với u , v 0 . Phương trình trên có dạng: 20182v u u.20182u v.20182v 1 với u , v 0 . Xét hàm đặc trưng f t t.2018t có f t 2018t t.2018t.ln 2018 0 với t 0 , suy ra hàm số f t đồng biến trên 0; . Do đó phương trình 1 có dạng f u f v u u x 1 2 2x y y x2 1. Khi đó P 2y 3x 2 x2 1 3x 2x2 3x 2 có đồ thị là một
4. 3 7 7 3 đường cong Parabol, đỉnh là điểm thấp nhất có tọa độ I ; . Do vậy, Pmin khi x . 4 8 8 4 Câu 14: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức M 3x y 4 x y 1 .27 x y 3 x2 y2 bằng 9476 193 148 A. . B. 76 . C. . D. . 243 3 3 Lời giải Chọn D Điều kiện x 2; y 3 . x y 1 2 x 2 y 3 x y 1 2 4 x y 1 2 x 2 y 3 .(*) Vì 2 x 2 y 3 x y 1 nên từ (*) suy ra x y 1 2 8 x y 1 x y 7 . Vì 2 x 2 y 3 0 nên từ (*) suy ra 2 x y 1 0 x y 1 0 x y 1 x y 1 4 x y 1 . x y 1 4 x y 1 4 x y 3 Do x 2 nên x2 2x , y2 1 2y , suy ra x2 y2 1 2 x y . Từ đó ta có M 3x y 4 x y 1 .27 x y 3 x2 y2 3x y 4 x y 1 .27 x y 6 x y 3. Đặt t x y với t 1 hoặc 3 t 7 . 2188 Xét hàm số f t 3t 4 t 1 27 t 6t 3, ta có f 1 . 243 f t 3t 4 ln 3 27 t t 1 .27 t ln 2 6 . t 4 2 7 t f t 3 ln 3 t 1 ln 2 2 2 .ln 2 0 , t 3;7 . Suy ra f t đồng biến trên 3;7 , mà f t liên tục trên 3;7 và f 3 . f 7 0 nên phương trình f t 0 có nghiệm duy nhất t0 3;7 . t 3 to 7 f'(t) 0 + 148 4 f(t) 3 f(to) 148 Suy ra M 3x y 4 x y 1 .27 x y 3 x2 y2 . Đẳng thức xảy ra khi x 2 , y 1. 3 Câu 46: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho a,b ¡ ; a,b 0 thỏa mãn 2 a2 b2 ab a b ab 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 a2 b2 P 4 3 3 9 2 2 bằng b a b a 21 23 23 A. 10 . B. . C. . D. . 4 4 4 Lời giải Chọn C
5. a b Đặt t t 2 . Ta có: b a 3 2 a3 b3 a2 b2 a b a b a b a b a b P 4 3 3 9 2 2 4 3. . 9 2. . b a b a b a b a b a b a b a 4t3 9t 2 12t 18 . Ta có 2 2 a b 2 2 a b ab a b ab 2 2 1 a b 1 b a ab a b 1 1 2 1 a b 2 b a a b Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 1 1 1 1 a b a b 2 2 a b .2 2 2 2 a b a b b a a b a b a b 5 Suy ra 2 1 2 2 2 . b a b a b a 2 a b 5 Hay t . b a 2 5 Xét hàm số f t 4t3 9t 2 12t 18 với t . 2 5 t 2 2 2 Ta có f t 12t 18t 12 ; f t 0 . 1 5 t 2 2 5 5 Ta có f t 0, t , nên hàm số f t đồng biến trên ; . 2 2 5 23 Bởi vậy: min f t f . 4 2 1; 2 4 23 Hay min P khi a 2;b 1 hoặc a 1;b 2 . 4 Câu 47: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2 y2 xy 4 4y 3x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3 x3 y3 20x2 2xy 5y2 39x . 5 5 A. 100. B. . C. . D. 5 . 3 5 Lời giải Chọn A x2 y2 xy 4 4y 3x y2 y x 4 x2 3x 4 0 2 4 x 4 4 x2 3x 4 3x2 4x 0 0 x . 3 x2 y2 xy 4 4y 3x x2 y2 xy 4y 3x 4 P 3 x3 y3 20x2 2xy 5y2 39x 3 x y x2 y2 xy 20x2 2xy 5y2 39x 2 2 2 2 2 4 4 4 4 29x 7y 5xy 27x 12y 7y 5. y 27. 12y 29. 7 y 100 . 3 3 3 3
6. 4 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 100 khi x y . 3 Câu 46: [DS12.C1.3.BT.d](THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho hàm số f x 8x4 ax2 b , trong đó a , b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn  1;1 bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng? A. a 0 , b 0 B. a 0 , b 0 C. a 0 , b 0 D. a 0 , b 0 Lời giải Chọn C Cách 1. x 0 Xét g x 8x4 ax2 b , g x 32x3 2ax 0 a . x2 16 Ta có max f x 1 g 0 b  1;1 .  1;1 TH1. a 0 . Ta có g 1 g 1 8 a b 1. Suy ra max f x 1 không thỏa YCBT.  1;1 TH2. a 0 . a Nếu 1 a 16 . Ta có g 1 g 1 8 a b 1. Suy ra max f x 1 không thỏa 16  1;1 YCBT. a Nếu 1 a 16 . 16 Ta có BBT a2 1 1 a2 64 ▪ max f x b 1. Khi đó YCBT 32 a 8 (thỏa a 16 )  1;1 a 8 8 a b 1 b 1 ▪ max f x 8 a b 1. Khi đó, YCBT a2  1;1 b 1 32 a 8 a 8 a2 a 8 b 1. a 6 0 24 a 8 32
7. a2 a2 b 1 b 1 32 32 a2 a2 a 8 ▪ max f x b 1. Khi đó, YCBT 8 a b 1 6 a 0 .  1;1 32 32 b 1 b 1 a 8 Vậy a 8, b 1 thỏa YCBT. Cách 2. Đặt t x2 khi đó ta có g t 8t 2 at b . Vì x  1;1 nên t 0;1. Theo yêu cầu bài toán thì ta có: 0 g t 1 với mọi t 0;1 và có dấu bằng xảy ra. Đồ thị hàm số g t là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều kiện sau xảy ra : 1 g 0 1 1 b 1 1 b 1 1 1 g 1 1 1 8 a b 1 1 8 a b 1 2 2 32 32b a 32 32 a2 32b 32 3 1 1 32 Lấy 1 32 3 ta có : 64 a2 64 do đó 8 a 8. Lấy 3 32 2 ta có : 64 a2 32a 256 64 Suy ra : a2 32a 192 0 24 a 8. Khi đó ta có a 8 và b 1. Kiểm tra : g t 8t 2 8t 1 2 2t 1 2 1 Vì 0 t 1 nên 1 2t 1 1 0 2t 1 2 1 1 g t 2 2t 1 2 1 1. Vậy max g t 1 khi t 1 x 1 (t/m). Câu 46: [DS12.C1.3.BT.d] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 2x 2 y 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P (2x2 y)(2y2 x) 9xy là: A. 18 B. 12 C. 16 D. 21 Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4 2x 2 y 2 2x.2 y 2x y 2 x y 2 . 2 x y Lại có: xy 1. 2 Khi đó: P 2x2 y 2y2 x 9xy 2 x3 y3 4x2 y2 10xy = 2 x y x y 2 3xy 4 xy 2 10xy 4 4 3xy 4 xy 2 10xy 16 2 xy 2 2xy xy 1 18 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 18 khi x y 1.
8. Câu 48: [DS12.C1.3.BT.d] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Một sợi dây có chiều dài là 6 m , được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất? 12 18 3 36 3 18 A. m B. m C. m D. m 4 3 4 3 4 3 9 4 3 Lời giải Chọn D Gọi x m là cạnh của tam giác đều, 0 x 2 . 6 3x Suy ra cạnh hình vuông là m . 4 Gọi S là tổng diện tích của hai hình thu được. 2 2 3 6 3x S x x . . 4 4 3 6 3x 3 Ta có : S ' x x 2 . . 2 4 4 3 6 3x 3 18 S ' x 0 x 2 . 0 x . 2 4 4 9 4 3 Bảng biến thiên 18 Dựa vào bảng biến thiên, S đạt giá trị nhỏ nhất tại x m . 9 4 3 Câu 47: [DS12.C1.3.BT.d] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 2 x 3 y 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x2 y2 15xy . A. min P 80 . B. min P 91. C. min P 83 . D. min P 63 . Lời giải Chọn C x 3 Điều kiện: . y 3
9. Ta có x y 2 x 3 y 3 x y 2 4 x y 8 x 3. y 3 4 x y x y 4 1 . x y 0 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x y 2 x 3 y 3 2 2 x y x y 8 2 . Từ 1 và 2 ta có x y 4;8 Ta lại có x 3 y 3 0 xy 3 x y 9 . Đặt t x y suy ra P 4 x2 y2 15xy 4 x y 2 7xy 4t 2 21t 63 . Xét hàm số f t 4t 2 21t 63, với t 4;8 21 Ta có f t 8t 21 0 t 4;8 . Do đó min f t f 4 83. 8 4;8 x y 4 x 7 Do đó P 83 suy ra min P 83 khi . x y 2 x 3 y 3 y 3 Câu 50: [DS12.C1.3.BT.d] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho ba số thực x , y , z thỏa mãn 4x2 y2 9z2 4x 12z 11. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4x 2y 3z . A. 6 2 15 .B. 20 .C. 8 4 3 .D. 16. Lời giải Chọn D Ta có 4x2 y2 9z2 4x 12z 11 2x 1 2 y2 3z 2 2 16 . Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 2 2x 1 2 y2 3z 2 2 22 22 12 2 2x 1 2y 3z 2 2 4x 2y 3z 4 16.9 4x 2y 3z 4 12 P 16 Pmax 16 .Câu 45: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho x , y , z 3 8 1 là ba số thực dương và P đạt giá trị 2x y 8yz 2 x2 y2 z2 4xz 3 x y z nhỏ nhất. Tính x y z . 3 A. 3 .B. 3 3 .C. 1.D. . 2 Lời giải Chọn C 2x y 8yz 2x y 2 y.2z 2x y y 2z 2 x y z 2 2 x2 y2 z2 4xz 2 x z 2 2y2 2 x z y2 x y z 2 3 8 1 1 8 P 2 x y z x y z 3 x y z 2 x y z x y z 3 Đặt t x y z t 0 .
10. 1 8 Xét hàm số f t trên 0; 2t t 3 1 8 3t 3 3 5t Ta có f t ; f t 0 t 1 2t 2 t 3 2 2t 2 t 3 2 Bảng biến thiên 3 1 1 Vậy min P x y z 1. Khi đó, x z và y . 2 4 2 Câu 50: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2017 2019 x2 trên tập xác định của nó. Tính M m . A. 2019 2017 . B. 2019 2019 2017 2017 . C. 4036 . D. 4036 2018 . Lời giải Chọn D TXĐ: D 2019; 2019 x2 Ta có y 2017 2019 x2 2019 x2 x2 2017 2019 x2 2019 2x2 y 0 2017 2019 x2 0 0 2019 x2 2019 x2 Trên D , đặt t 2019 x2 , t 0 . Ta được: t 1 2 2 x 2018 2t 2017t 2019 0 2019 2019 x 1 t x 2018 2 Khi đó f 2018 2018 2018 ; f 2018 2018 2018 f 2019 2017 2019 ; f 2019 2017 2019 Suy ra m min y 2018 2018 , M max y 2018 2018 D D Vậy M m 4036 2018. a a Câu 50. [DS12.C1.3.BT.d] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Gọi S ; (với là b b phân số tối giản và a ¢ , b ¥ * ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình 2x2 mx 3 x 2 có hai nghiệm phân biệt. Tính B a2 b3. A. B 16.B. B 3.C. B 113.D. B 9. Lời giải Chọn C
11. x 2 x 2 Ta có 2x2 mx 3 x 2 . 2 2 2 2x mx 3 x 2 mx x 4x 1 x2 4x 1 Do x 0 không thỏa nên m . x x2 4x 1 Xét f x trên  2; \ 0. x x2 1 Ta có f x 0 với mọi x  2; \ 0 . x2 BBT: 11 11 2 3 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m S ; B 11 2 113.Câu 44: 2 2 [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m , góc ·ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS 40m . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? A. 40 67 40 mét. B. 20 111 40 mét.C. 40 31 40 mét. D. 40 111 40 mét. S L K J I H G F E B C A D Lời giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau
12. S L K A J A E F B I D G H C C D A B Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS . Từ giả thiết về hình chóp đều S.ABCD ta có ·ASL 120. Ta có AL2 SA2 SL2 2SA.SL.cos ·ASL 2002 402 2.200.40.cos120 49600 . Nên AL 49600 40 31 . Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét. Câu 48: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai số thực x, y thỏa mãn:9x3 2 y 3xy 5 x 3xy 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y3 6xy 3 3x2 1 x y 2 296 15 18 36 296 15 36 4 6 4 6 18 A. .B. . C. . D. . 9 9 9 9 Lời giải Chọn B Ta có 9x3 2 y 3xy 5 x 3xy 5 0 27x3 6x 3xy 5 3xy 5 2 3xy 5 . Xét hàm f t t3 2t với t 0; có f ' t 3t 2 2 0t 0; nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; . Khi đó ta có 3x 3xy 5 x 0 và 9x2 3xy 5 . Với x 0 thì 0 5 l . với x 0 thì P x3 y3 6xy 3 3x2 1 x y 2 x3 y3 6xy 9x2 3 x y 2 x3 y3 6xy 3xy 2 x y 2 x3 y3 3x2 y 3xy2 2 x y 4 x y 3 2 x y 4
13. 9x2 5 5 5 4 5 4 5 Mà x y x 4x 2 4x. . Đặt t x y thì t . 3x 3x 3x 3 3 4 5 4 5 Xét f t t3 2t 4 với t . Khi đó f t 3t 2 2 0 với t . 3 3 4 5 36 296 15 Do đó f t f 3 9 36 296 15 36 296 15 Suy ra P . Vậy GTNN của P là . 9 9 Câu 5: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng MA2 MB2 MC 2 , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB , R 3, CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ? A B M Q N D P C 3 2 3n n A. dm . B. 2 .2 1600 . C. 2 2 dm . D. 2 2 5 2 dm . 2 Lời giải Chọn C A A I O O I x Gọi cạnh đáy của mô hình là x (cm) với x 0 . Ta có AI AO IO 25 2 . 2 2 2 2 2 x x Chiều cao của hình chóp h AI OI 25 2 1250 25 2x . 2 2 1 1 Thể tích của khối chóp bằng V .x2. 1250 25 2x . 1250x4 25 2x5 . 3 3 Điều kiện 1250 25 2x 0 x 25 2 . 1 Xét hàm số y . 1250x4 25 2x5 với 0 x 25 2 . 3 1 5000x3 125 2x4 Ta có y . . 3 2 1250x4 25 2x3 Có y 0 5000x3 125 2x4 0 x 20 2 .
14. Bảng biến thiên Vậy để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng 20 2 cm 2 2 dm . Câu 33: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết a 24 và b 3 , hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu? A. 18 5 .B. 27 5 .C. 15 5 .D. 12 5 . Lời giải Chọn C Đặt các điểm như hình vẽ. EB AF ab Đặt DF x , x 0 , ta có ADF đồng dạng với BED nên EB . ED DF x 2 2 2 2 ab Gọi l là chiều dài của que sào, ta có l AB x b a f x . x ab ab a2b 3 2 f x 2 x b 2 2 a 2 x b 1 3 ; f x 0 x a b 12 . x x x
15. Xét bảng sau: x 0 12 f x 0 f x 1125 Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là l 1125 15 5 . Câu 48: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Gia đình ông An xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp dung tích là 2018 lít, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng được làm bằng bê tông có giá 250.000 đồng/ m2 , thân bể được xây bằng gạch có giá 200.000 đồng/ m2 và nắp bể được làm bằng tôn có giá 100.000 đồng/ m2 . Hỏi chi phí thấp nhất gia đình ông An bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu ? (làm tròn đến hàng đơn vị). A. 2.017.000 đồng. B. 2.017.331 đồng. C. 2.017.333 đồng. D. 2.017.334 đồng. Lời giải Chọn C Đổi 2018 (lít) 2,018m3 . Gọi chiều cao của hình hộp là h , chiều rộng là x , chiều dài là 3x . 2,018 Theo giả thiết ta có V x.3x.h 2,018 h . 3x2 2,018 2,018 Xét hàm số f x 250.x.3x 200. 2.3x. 2 2.x. 2 100.3x.x 3x 3x 15750x3 16144 min . 15x 2 3 15750.3.x .15x 15 15750x 16144 472500x3 242160 Suy ra f x 15x 2 225x2 242160 f x 0 472500x3 242160 0 x 3 . 472500
16. Vậy chi phí thấp nhất gia đình ông An bỏ ra để xây bể nước là 242160 15750. 16144 472500 2017.333 (nghìn) 2017333 (đồng). 242160 15.3 472500 Câu 45. [DS12.C1.3.BT.d] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x , y là 2 2 1 các số thực thỏa mãn điều kiện: 3x y 2.log x y 1 log 1 xy . Tìm giá trị lớn nhất 2 2 2 của biểu thức M 2 x3 y3 3xy . 17 13 A. 3 . B. 7 . C. .D. . 2 2 Lời giải Chọn A x y Điều kiện: . xy 1 x y 2 2 xy 1 1 Biến đổi điều kiện thành 3 .3 .log2 x y log2 2 1 xy 2 x y 2 2 2 1 xy 3 .log2 x y 3 .log2 2 1 xy * . 3t Xét hàm số f t 3t.log t với t 0 . Ta có f t 3t ln 3.log t 0 với mọi t 0 . 2 2 t ln 2 Suy ra hàm số f t luôn đồng biến và liên tục trên khoảng 0; . 2 2 2 x y 2 Từ * ta có x y 2 1 xy x2 y2 2 x y 2 2xy xy . 2 Đặt u x y , vì x y 2 2 x2 y2 4 nên 2 u 2 . Ta có 2 2 2 2 u 2 u 2 M 2 x y x y xy 3xy 2 x y 2 xy 3xy 2u 2 3 . 2 2 2 2 2u 6 u 3 u 2 3 Xét hàm số g u u3 u2 6u 3 với u 2 . 2 2 2 u 1 Có g u 3u 3u 6 ; g u 0 . u 2 13 Ta có g 2 7 ; g 1 ; g 2 1. 2 13 x y 1 max M max g u Vậy khi u 1 hay 2 2  2;2 2 x y 2 1 3 1 3 x y 1 x x 2 2 1 suy ra hoặc . xy 1 3 1 3 2 y y 2 2 Câu 46: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho hai số 1 1 thực x , y thỏa mãn 0 x , 0 y và log 11 2x y 2y 4x 1. Xét biểu thức 2 2
17. P 16yx2 2x 3y 2 y 5 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P . Khi đó giá trị của T 4m M bằng bao nhiêu? A. 16 B. 18 C. 17 D. 19 Lời giải Chọn A Ta có log 11 2x y 2y 4x 1 2 2x y log 11 2x y 1 0 Đặt t 2x y , 0 t 11. Phương trình trở thành: 2t log 11 t 1 0 . 1 Xét hàm số f t 2t log 11 t 1 trên khoảng 0;11 . 1 Có y 2 0 , t 0;11 . Do đó hàm số f t luôn đồng biến. 11 t Dễ thấy 1 có nghiệm t 1. Do đó t 1 là nghiệm duy nhất của 1 . 1 y 2 Suy ra 2x 1 y . Khi đó P 16y 1 y 3y 2 y 5 4y3 5y2 2y 3 . 4 3 2 1 Xét hàm số g y 4y 5y 2y 3 trên 0; , có 2 2 1 g y 12y 10y 2 0 , y 0; . 2 Do đó, min g y g 0 3 , max g y g 1 4 . 1 1 0; 0; 2 2 Suy ra m 3 , m 4 . Vậy T 4.3 4 16 . Câu 40: [DS12.C1.3.BT.d](Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích lớn nhất Smax của hình thang. 8 2 4 2 3 3 3 3 A. S B. S C. S D. S max 9 max 9 max 2 max 4 Lời giải Chọn D Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên cạnh CD . Đặt ·ADC DH sin , DH cos 1 1 S AH. AB CD sin 2 2cos f ABCD 2 2 f cos 2cos2 1 0 x 3 3 3 Vậy S . max 4
18. Câu 6: [DS12.C1.3.BT.d] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho các số thực 1 x , y với x 0 thỏa mãn 5x 3 y 5xy 1 x y 1 1 5 xy 1 3y . Gọi m là giá trị nhỏ 5x 3 y nhất của biểu thức T x 2y 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m 0;1 . B. m 1;2 . C. m 2;3 . D. m 1;0 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có: 5x 3 y 5xy 1 x y 1 1 5 xy 1 3y 5x 3 y 5x 3 y 5 x 3 y x 3y 5 xy 1 5xy 1 xy 1. Xét hàm số f t 5t 5 t t có f t 5t ln 5 5 t ln 5 1 0 , t ¡ . Do đó hàm số f t đồng biến trên ¡ f x 3y f xy 1 x 3y xy 1 x 1 2x 2 y 3 x x 1 y (do x 0 nên x 3 0 ) x 2y 1 x 1 3 x x 3 x2 2x 1 . x 3 x2 2x 1 x2 6x 5 Xét hàm số g x với x 0 có g x 0 , x 0 . x 3 x 3 2 1 1 1 Do đó: g x g 0 , x 0 hay x 2y 1 , x 0 . Vậy m 0;1 . 3 3 3