Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 7: Bài toán tiếp tuyến sự tiếp xúc - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 7: Bài toán tiếp tuyến sự tiếp xúc - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 39. [DS12.C1.7.BT.c] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm x 1 số y . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến 2x 3 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng 1 A. d . B. d 1. C. d 2 . D. d 5 . 2 Lời giải Chọn A 3 1 Tọa độ giao điểm I ; . 2 2 x0 1 Gọi tọa độ tiếp điểm là x0 ; . Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại 2x0 3 x0 1 điểm x0 ; là: 2x0 3 1 x 1 2 y x x 0 x 2x 3 y 2x2 4x 3 0 . 2 0 2x 3 0 0 0 2x0 3 0 3 1 2 2x 3 2x2 4x 3 2 2 0 0 0 2x 3 2x 3 1 Khi đó: d I, 0 0 4 4 2 2 1 2x0 3 1 2x0 3 2 2x0 3 (Theo bất đẳng thức Cô si) 2 2x0 3 1 x0 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2x0 3 1 . 2x0 3 1 x0 1 1 Vậy max d I, . 2 x + 3 Câu 48: [DS12.C1.7.BT.c] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y = có x- 1 đồ thị là C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y 1 2x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của C với hai tiếp điểm tương ứng là A , B . Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là K . Độ dài đoạn thẳng OK là A. 34 .B. 10 .C. 29 .D. 58 . Lời giải Chọn D. Vì M d nên M m;1 2m . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến . Tiếp tuyến đi qua M có dạng y k x m 1 2m . Vì tiếp xúc với C nên hệ phương trình x 3 k x m 1 2m 1 x 1 có nghiệm. 4 2 k 2 x 1
2. Thay 2 vào 1 ta được x 3 4 x 3 4 x m 1 2m x 1 1 m 1 2m . x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 4 x 3 4 m 1 . 1 2m x 1 3 . x 1 x + 3 4 Mặt khác y = Û = y - 1, thay vào 3 ta được x- 1 x- 1 x 3 4 m 1 y 1 1 2m x 1 2mx m 1 y m 7 0 . Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2mx m 1 y m 7 0 . Gọi K x0 ; y0 là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua. Ta có 2mx0 m 1 y0 m 7 0 2x0 y0 1 m yo 7 0 . 2xo y0 1 0 x0 3 Vì đẳng thức luôn đúng với mọi m nên ta có K 3; 7 . y0 7 0 y0 7 Vậy OK 58 . Câu 41: [DS12.C1.7.BT.c] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x3 3x có đồ thị C và điểm A a;2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng ba tiếp tuyến của C đi qua A . Tập hợp S bằng A. S ; 1 B. S  2 2 C. S ;  2; \ 1 D. S ;2 3 3 Lời giải Chọn C Giả sử là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k , khi đó phương trình đường thẳng là y k x a 2. 3 C x 3x k x a 2 1 Để là tiếp tuyến của thì hệ phương trình có nghiệm. 2 3x 3 k 2 2 1 x3 3x 3 x2 1 x a 2 Thay vào ta được x 1 0 x 1 2x2 3a 2 x 3a 2 0 2x2 3a 2 x 3a 2 0 * .
3. C * Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị thì phương trình có hai nghiệm phân biệt a 1 2 2 a 2. 1 3a 2 1 3a 2 0 a 1 3 0 9a2 12a 12 0 a 2 x 1 . 2 S ;  2; \ 1 Vậy 3 . x 2 Câu 22: [DS12.C1.7.BT.c] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Cho hàm số y có đồ x 1 thị C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị C đến một tiếp tuyến tùy ý của đồ thị C . Khi đó giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là A. 2 2 .B. 2 .C. 3 .D. 3 3 . Lời giải Chọn B 1 Ta có I 1;1 . y ' . x 1 2 x0 2 1 Giả sử M x0 ; là một điểm thuộc C , x0 1. Suy ra: y ' x0 . x 1 2 0 x0 1 Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: 1 x 2 x x 2 4x 2 y x x 0 y 0 0 0 . 2 0 x 1 2 2 x0 1 0 x0 1 x0 1 2 2 x y x0 1 x0 4x0 2 0 d . 2 2 1 x0 1 x0 4x0 2 2 x 1 2 x 1 Suy ra: d 0 0 . I ;d 4 4 4 1 x0 1 1 x0 1 1 x0 1 4 4 2 Theo bất đẳng thức Cô-si: 1 x0 1 2 1. x0 1 2 x0 1 . 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 x0 1 x0 0 . 2 x 1 Suy ra: d 0 2 . Vậy max d 2 khi x 0; y 2 . I ;d 2 I ;d 0 0 2 x0 1 2x 3 Câu 5: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến tại x 2 điểm M thuộc C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại 4 A , B sao cho côsin góc A· BI bằng , với I 2; 2 . 17
4. 1 3 1 7 1 3 1 7 A. y x ; y x .B. y x ; y x . 4 2 4 2 4 2 4 2 1 3 1 7 1 3 1 7 C. y x ; y x .D. y x ; y x . 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Chọn D 2x0 3 I 2; 2 , gọi M x0 ; (C), x0 2 x0 2 1 2x 3 Phương trình tiếp tuyến tại : 0 M y 2 (x x0 ) (x0 2) x0 2 2x0 2 Giao điểm của với các tiệm cận: A 2; , B(2x0 2; 2). x0 2 · 4 · 1 IA 2 2 4 Do cos ABI nên tan ABI IB 16.IA (x0 2) 16 x0 0 hoặc 17 4 IB x0 4 3 1 3 Tại M 0; phương trình tiếp tuyến: y x . 2 4 2 5 1 7 Tại M 4; phương trình tiếp tuyến: y x . 3 4 2 Câu 14: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với C tại hai điểm phân biệt. A. y 2x . B. y 2x 1.C. y 2 . D. y 4 . Lời giải Chọn C Ta có y' 4x3 4x Gọi A(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại A có phương trình 3 : y (4x0 4x0 )(x x0 ) y0 Giả sử là tiếp tuyến tiếp xúc với C tại hai điểm phân biệt M(m; m4 2m2 1) và N(n;n4 2n2 1) với m n . Ta có phương trình : y y'(m)(x m) y(m) : y y'(n)(x n) y(n) y'(m) y'(n) 4n3 4n 4m3 4m Suy ra 4 2 4 2 m.y'(m) y(m) n.y'(n) y(n) 3m 2m 1 3n 2n 1 2 2 (n m)(n2 mn n2 ) (n m) 0 n mn n 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3(n m )(n m ) 2(n m ) 0 (n m) 3(n m ) 2 0 (*) 2 Từ (*) ta có: m n 0 hoặc n2 m2 . 3 m n 0 m n n2 1 n 1
5. 1 mn 2 2 2 3 m n vô nghiệm. 3 4 (m n)2 3 Vậy y 2 là tiếp tuyến cần tìm. 2x 1 Câu 36: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm điểm M thuộc C sao cho x 1 tiếp tuyến của C tại M vuông góc với IM , I là tâm đối xứng của C . A. y x 1, y x 4 . B. y x 3, y x 5 . C. y x 1, y x 3 .D. y x 1, y x 5 . Lời giải Chọn D Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 . y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 1  1 Đường thẳng có VTCP u 1; , IM (x 1; ) . 2 0 (x0 1) x0 1 1  . IM x0 1 3 0 x0 0,x0 2 (x0 1) Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y x 1, y x 5 . 1 Câu 42: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x3 2x2 3x có đồ thị là C . Tìm phương trình các 3 4 4 đường thẳng đi qua điểm A ; và tiếp xúc với đồ thị C của hàm số. 9 3 : y x : y 3x : y x : y 3x 4 4 4 4 A. : y x .B. : y x 1 C. : y D. : y 3 3 3 3 5 8 5 128 5 1 5 128 : y x : y x : y x : y x 9 81 9 81 9 81 9 81 Lời giải Chọn D 4 4 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng: y k x 9 3 ∆ tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình 1 3 2 4 4 x 2x 3x k x (1) 3 9 3 có nghiệm x 2 x 4x 3 k (2) 1 3 2 2 4 4 2 Thế (2) vào (1), được: x 2x 3x (x 4x 3) x x(3x 11x 8) 0 3 9 3
6. (2) x 0 k 3 : y 3x (2) 4 x 1 k 0 : y 3 8 (2) 5 5 128 x k : y x 3 9 9 81 Câu 45: [DS12.C1.7.BT.c] Viết phương trình tiếp tuyến của C : y x4 4x2 3 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị. 16 59 16 59 A. y 3; y x ; y x . 3 9 3 3 9 16 5 16 59 B. y 3; y x ; y x . 3 3 9 3 3 9 16 5 16 59 C. y 9 ; y x ; y x . 3 9 3 3 9 16 59 16 59 D. y 3; y x ; y x . 3 3 9 3 3 9 Lời giải Chọn D Điểm cực tiểu của C là A 0; 3 . Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) 3 4 2 3 4 2 y ( 4x0 8x0 )(x x0 ) x0 4x0 3 ( 4x0 8x0 )x 3x0 4x0 3 4 2 4 2 2 A(0; 3) d 3 3x0 4x0 3 3x0 4x0 0 x0 0 hoặc x0 3 Với x0 0 thì phương trình d: y 3 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 16 59 16 59 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y 3, y x , y x . 3 3 9 3 3 9 x3 1 Câu 1: [DS12.C1.7.BT.c] Tìm m để C : y m 2 x2 2mx 1 tiếp xúc với đường thẳng m 3 2 y 1 . 2  2  2  A. m 0; ;2.B. m 4; ;6.C. m 0;4;6 .D. m 0; ;6. 3  3  3  Lời giải Chọn D Cm tiếp xúc đường thẳng y 1 tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0
7. 3 x0 1 2 (m 2)x0 2mx0 1 1 (a) 3 2 2 x0 (m 2)x0 2m 0 (b) Ta có: (b) x0 2  x0 m. 2 Thay x0 2 vào a ta được: m . 3 m3 Thay x m vào a ta được: m2 0 m 0  m 6. 0 6 2  C tiếp xúc đường thẳng y 1 m 0; ;6. m 3  Câu 3: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x3 3x 2 . Tìm trên đường thẳng d : y 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với C . A. ( 1; 4) ; 7;4 ; (2; 4) .B. ( 1; 4) ; 7;4 ; (9; 4) . 2 C. ( 2; 4) ; 5;4 ; (2; 4) .D. ( 1; 4) ; ;4 ; (2; 4) . 3 Lời giải Chọn D Gọi M m;4 d . Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y k x m 4 . là tiếp tuyến của C hệ phương trình sau có nghiệm x : x3 3x 2 k(x m) 4 (1) * . 2 3x 3 k (2) 2 Thay 2 vào 1 ta được: (x 1) 2x (3m 2)x 3m 2 0 3 . x 1 hoặc 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 4 . Theo bài toán * có nghiệm x , đồng thời 2 có 2 giá trị k khác nhau, tức là phương trình 3 có nghiệm x phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khác nhau. + TH1: 4 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1 m 1. 2 + TH2: 4 có nghiệm kép khác 1 m hoặc m 2 . 3 2 Vậy các điểm cần tìm là: ( 1; 4) ; ;4 ; (2; 4) . 3 Câu 4: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x3 3x2 2 . Tìm trên đường thẳng d : y 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị. 1 m 2  m A. M m;2 d với 3 . B. M m;2 d với m 7. m 2 4 5 m 3 m m 1 m C. M m;2 d với 3 .D. M m;2 d với 3 . m 2 m 2
8. Lời giải Chọn D Gọi M (m; 2) (d ) . Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có dạng: y k(x m) 2 . là tiếp tuyến của C hệ phương trình sau có nghiệm x : x3 3x2 2 k(x m) 2 (1) * . 2 3x 6x k (2) Thay (2) và (1) ta được: 2x3 3(m 1)x2 6mx 4 0 2 2 (x 2) 2x (3m 1)x 2 0 x 2 hoặc f (x) 2x (3m 1)x 2 0 3 . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C hệ * có nghiệm x phân biệt đồng thời 2 có 3 giá trị k khác nhau 3 có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị x thỏa phương 5 0 m 1 m trình 2 có 3 giá trị k khác nhau 3 . f (2) 0 m 2 5 m 1 m Vậy M m;2 d với 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với C . m 2 2 Câu 5: [DS12.C1.7.BT.c] Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H : y x2 1 của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. A. y 2x .B. y 0 .C. y 2x 1. D. y 1. Lời giải Chọn B Phương trình của đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k : y kx m . 2 Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với H tại điểm M m; m2 1 . Khi đó đường thẳng d 2 có phương trình: y 2m m2 1 x m m2 1 . Đường thẳng d tiếp xúc với H tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình: 2 2 2 2 2 x 1 2m m 1 x m m 1 có đúng một nghiệm khác m 2 2 2x x 1 2m m 1 2 2 3 x m x x mx m m 2x 0 tức hệ có đúng một nghiệm khác m 2 2 x m x mx m 1 0 x m3 hay có nghiệm x 1, m 1 hoặc x 1, m 1. 2 2 x mx m 1 0 Vậy y 0 thỏa đề bài. Câu 6: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x4 2x2 3 , có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị C điểm B mà tiếp tuyến với C tại điểm đó song song với tiếp tuyến với C tại điểm A 1;2 . A. B 1;2 .B. B 0;3 .C. B 1;3 .D. B 2;3 .
9. Lời giải Chọn B Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm A 1;2 là y 3 . Do đó B 0;3 . Câu 7: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x4 2x2 3 , có đồ thị là C . Tìm trên đường thẳng y 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị C . A. M 0;2 , M 1;2 .B. M 0;2 , M 3;2 .C. M 5;2 , M 1;2 .D. Không tồn tại. Lời giải Chọn D Gọi M m;2 là điểm thuộc đường thẳng y 2 . Phương trình đường thẳng đi qua M m;2 có hệ số góc là k và d : y k x m 2 . 4 2 x0 2x0 3 k x0 m 2 1 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x khi hệ có nghiệm 0 3 4x0 4x0 k 2 x0 2 2 Suy ra phương trình: x0 1 3x0 4ax0 1 0 có nghiệm x0 . Qua M kẻ được 4 tiếp tuyến đến C khi phương trình có 4 nghiệm phân biệt và phương trình 2 có 4 giá trị k khác nhau. 2 Dễ thấy x0 1 0 k 1 k 1 , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài toán. Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán. Câu 8: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số : y x4 2x2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 6 6 A. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 4 6 4 6 B. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 7 3 7 4 4 C. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 4 6 4 6 D. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 Lời giải Chọn D Gọi A x0 ; y0 C .Phương trình tiếp tuyến t của C tại A là: 4 2 3 y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . t đi qua O 0;0 nên 4 2 4 4 2 6 x0 2x0 4x0 4x0 x0 3x0 2x0 0 x0 0, x0 3 Thay các giá trị của x0 vào phương trình của t ta được 3tiếp tuyến của C kẻ từ O 0;0 là: 4 6 4 6 t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9
10. Câu 9: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số: y x4 2x2 có đồ thị là C . Tìm những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến C . 1 A. M 0;m với 0 m 1.B. M 0;m với 1 m . 3 2 1 C. M 0;m với 0 m .D. M 0;m với 0 m . 3 3 Lời giải Chọn D M Oy M 0;m ; B C B x0 ; y0 . 4 2 3 Phương trình tiếp tuyến T của C tại B là y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . 4 2 4 4 2 T đi qua M 0;m nên m x0 2x0 4x0 4x0 x0 3x0 2x0 m 0 * . 3 Do hệ số góc của tiếp tuyến là k 4x0 4x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau. Vậy từ M 0;m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi phương trình * có 4 nghiệm phân biệt. 2 2 Đặt X x0 ta có phương trình 3X 2X m 0 Phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt , 1 3m 0 m 1 P 0 0 m 3 3 2 S 0 3 1 Vậy từ những điểm M 0;m với 0 m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C của hàm số đã 3 cho. Câu 10: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số: y x4 2x2 có đồ thị là C . Tìm những điểm N trên đường thẳng d : y 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến C . A. N n;3 , n 3 .B. N n;3 , n 3 .C. N n;3 , n 2 . D. N n;3 , n 13 . Lời giải Chọn A N d : y 3 N n;3 ; I C I x0 ; y0 . 4 2 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại I là: y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . 4 2 4 4 2 2 đi qua N n;3 nên 3 x0 2x0 4x0 4x0 n x0 3x0 4nx0 2x0 4nx0 3 0 4 3 2 3 x0 1 4n x0 x0 2x0 0 * Do x0 0không phải là nghiệm của * . 2 1 1 Phương trình * 3 x0 2 4n x0 2 0 x0 x0 1 2 Đặt t x0 x0 tx0 1 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi t. x0
11. Ta có phương trình 3t 2 4nt 4 0 3 Do hệ số góc của tiếp tuyến là k 4x0 4x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau. Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt ' 4n 2 12 0 n2 3 0 n 3 . Vậy từ những điểm N trên đường thẳng y 3 với n 3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C của hàm số đã cho. 1 Câu 11: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (4 3m)x 1 có đồ thị là C . Tìm 3 m các giá trị m sao cho trên đồ thị Cm tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 3 0 . 2 1 2 A. m 12 hoặc m .B. m 0 hoặc m 1.C. m 1 hoặc m .D. m 0 hoặc m . 3 3 3 Lời giải Chọn D 1 d có hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc k 2. Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2 y ' 2 mx2 2(m 1)x (4 3m) 2 mx2 2(m 1)x 2 3m 0 Theo bài toán, phương trình có đúng một nghiệm âm. Nếu m 0 thì 2x 2 x 1 (không thỏa) 2 3m Nếu m 0 thì dễ thấy phương trình có 2 nghiệm là x 1 hay x . m 2 3m 2 Do đó để có một nghiệm âm thì 0 m 0 hoặc m . m 3 1 Câu 12: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (4 3m)x 1 có đồ thị là C . Tìm 3 m các giá trị m sao cho trên đồ thị Cm tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 5 A. m 0;  ; .B. m 0;  ; . 3 2 3 2 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; .D. m 0;  ; . 2 2 3 2 2 3 Lời giải Chọn D 1 3 Ta có: y mx2 2(m 1)x 4 3m ; d : y x . 2 2 Theo yêu cầu bài toán phương trình y 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt mx2 2(m 1)x 2 3m 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
12. m 0 1 0 m 0 2 . S 0 1 2 m P 0 2 3 1 1 2 Vậy, với m 0;  ; thỏa mãn bài toán. 2 2 3 2x3 Câu 15: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Viết 3 phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 2;9 . A. y x 2 .B. y 8x 5 .C. y x 25 .D. y 8x 25 . Lời giải Chọn D Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2;9 có hệ số góc k là y k(x 2) 9 . 3 2x0 2 x0 4x0 2 k(x0 2) 9 (1) d tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 3 2 2x0 2x0 4 k (2) có nghiệm x0 . 2x3 Thay 2 vào 1 ta được: 0 x2 4x 2 ( 2x2 2x 4)(x 2) 9 3 0 0 0 0 0 3 2 4x0 15x0 12x0 9 0 x0 3 . Thay x0 3 vào 2 ta được k 8. Vậy phương trình tiếp tuyến d là y 8x 25 . 2x3 Câu 17: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Viết 3 phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 2; 2 . 3 1 3 1 3 7 3 5 A. y x .B. y x . C. y x .D. y x . 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến d của C đi qua A 2; 2 có dạng: y k x 2 2 . 2 x0 k(x0 2) 2 (1) 2 x0 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 . x2 4x 0 0 k 2 (2 x0 ) 2 2 x0 x0 4x0 3 1 2 (x0 2) 2 x0 2 y x . 2 x0 (2 x0 ) 4 2
13. 2x3 Câu 18: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Gọi M 3 là một điểm thuộc C có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại M . A. y 9 .B. y 64 .C. y 12 .D. y 8 . Lời giải Chọn D 2 2 xM xM M (C) yM yM 2 xM 2 xM d(M ,Ox) 2d(M ,Oy) yM 2 xM yM 2xM 2 4 x y 2x M M M xM yM yM 2xM xM 0 3 (*) 2 2 xM xM 2  2xM 3xM 4xM 0 yM 0 8 y 2x 2 x y M M M M 3 4 8 Vì M không trùng với gốc tọa độ O nên chỉ nhận M ; . 3 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại M là y 8x 8 . 2 y 2x xM M M yM yM 2xM xM 4 (*) 2 x x2 (do M O ). M 2x M 2 y 8 M xM 4xM 0 M yM 2xM 2 xM Phương trình tiếp tuyến của C tại M là y 8 . x2 x 1 Câu 23: [DS12.C1.7.BT.c] Tìm m để đồ thị hàm số y tiếp xúc với parabol y x2 m . x 1 A. m 2 .B. m 0 .C. m 1.D. m 3 . Lời giải Chọn C Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình: 2 x0 x0 1 2 x0 m (1) x0 1 có nghiệm x0 . x2 2x 0 0 2x (2) 2 0 (x0 1) 2 Ta có: (2) x0 (2x0 5x0 4) 0 x 0 thay vào 1 ta được m 1. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. 3 2 Câu 24: [DS12.C1.7.BT.c] Tìm m để đồ thị hai đồ thị hàm số (C1) : y mx (1 2m)x 2mx và 3 (C2 ) : y 3mx 3(1 2m)x 4m 2 tiếp xúc với nhau. 1 3 6 1 8 6 5 3 6 1 3 6 A. m ,m .B. m ,m .C. m ,m .D. m ,m . 2 2 2 12 2 12 2 12 Lời giải Chọn D (C1) và (C2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :
14. 3 2 3 mx0 (1 2m)x0 2mx0 3mx0 3(1 2m)x0 4m 2 2 2 3mx0 2(1 2m)x0 2m 9mx0 3(1 2m) 3 2 2mx0 (1 2m)x0 (3 8m)x0 4m 2 0 (1) có nghiệm x 2 0 6mx0 2(1 2m)x0 3 8m 0 (2) x 1 2 0 Ta có: (1) (x0 1)(2mx0 (1 4m)x0 4m 2) 0 2 . 2mx0 (1 4m)x0 4m 2 0 1 Với x 1 thay vào 2 , ta có: m . 0 2 2 Với 2mx0 (1 4m)x0 4m 2 0 (*) ta có : x0 1 2 (2) 4mx0 x0 1 4m 0 1 4m ( m 0 vì m 0 hệ vô nghiệm) x 0 4m 1 4m (1 4m)2 (1 4m)2 Thay x vào (*) ta được: 2 4m 0 0 4m 8m 4m 3 6 48m2 24m 1 0 m 12 1 3 6 Vậy m ,m là những giá trị cần tìm. 2 12 x2 x 1 Câu 27: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 C xuất phát từ M ( 1;3) . A. y 3x 1; y 3x .B. y 13 ; y 3x .C. y 3 ; y 3x 1.D. y 3 ; y 3x . Lời giải Chọn D x2 2x Ta có y . Gọi M (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với C (x 1)2 0 0 2 2 x0 2x0 x0 x0 1 d : y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 x0 2x0 x0 x0 1 Cách 1: M d 3 2 ( 1 x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 2 3(x0 1) (x0 2x0 )( x0 1) (x0 1)(x0 x0 1) 1 2x2 5x 2 0 x 2, x 0 0 0 0 2 Với x0 2 Phương trình tiếp tuyến y 3 . 1 Với x Phương trình tiếp tuyến y 3x . 0 2 Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M ( 1;3) , có hệ số góc k , khi đó phương trình d có dạng: y k(x 1) 3. d tiếp xúc đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :
15. 2 x0 x0 1 k(x0 1) 3 (1) x0 1 x2 2x 0 0 k (2) 2 (x0 1) 2 2 x0 x0 1 x0 2x0 Thế 2 vào 1 ta được: 2 (x0 1) 3 x0 1 (x0 1) 1 2x2 5x 2 0 x 2, x . 0 0 0 0 2 Với x0 2 k 0 Phương trình tiếp tuyến y 3 . 1 Với x k 3 Phương trình tiếp tuyến y 3x . 0 2 x2 x 1 Câu 28: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 C đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của C . A. y 2x 1.B. y 3x 2 .C. y 4x 3 .D. Không tồn tại. Lời giải Chọn D x2 2x Ta có y . Gọi M (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với C (x 1)2 0 0 2 2 x0 2x0 x0 x0 1 d : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Đồ thị có hai tiệm cận x 1 và y x , suy ra giao điểm của hai tiệm cận là I(1;1) . 2 2 x0 2x0 x0 x0 1 Cách 1: I d 1 2 (1 x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 x0 1 x0 2x0 x0 x0 1 2 0 vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I . Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua I , có hệ số góc k d : y k(x 1) 1. 2 x0 x0 1 k(x0 1) 1 x0 1 d tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x2 2x 0 0 k 2 (x0 1) x0 x2 x 1 x2 2x Thế k vào phương trình thứ hai ta được: 0 0 0 0 1 x0 1 x0 1 2 2 x0 x0 1 x0 2x0 x0 1 (phương trình vô nghiệm). Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I . x 2 Câu 29: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C và điểm A 0;m . Xác định m để x 1 từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox .
16. m 1 m 1 m 1 m 1 A. 1 .B. 2 .C. .D. 2 . m m m 1 m 3 5 3 Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi điểm M (x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến tại M của C có phương trình: 3 x0 2 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 3x0 x0 2 2 A m 2 m(x0 1) 3x0 (x0 2)(x0 1) 0 (với x0 1) (x0 1) x0 1 2 (m 1)x0 2(m 2)x0 m 2 0 (*). Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho ' 3(m 2) 0 m 1 (a 2)(b 2) ab 2(a b) 4 0 hay là: m 1 0 2 . (a 1)(b 1) ab (a b) 1 m 3m 2 0 3 m 1 Vậy 2 là những giá trị cần tìm. m 3 Cách 2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: y kx m . x0 2 kx0 m x0 1 d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 . 3 k 2 (x0 1) Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được: x0 2 3x0 2 2 m (m 1)x0 2(m 2)x0 m 2 0 (*). x0 1 (x0 1) Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ' 3(m 2) 0 m 2 m 1 (i) m 1 m 1 2(m 2) m 2 0 Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M1(x1; y1), M 2 (x2 ; y2 ) với x1, x2 là nghiệm của (*) và x1 2 x2 2 y1 ; y2 . x1 1 x2 1 x1x2 2(x1 x2 ) 4 Để M1, M 2 nằm về hai phía Ox thì y1.y2 0 0 (1) x1x2 (x1 x2 ) 1 2(m 2) m 2 9m 6 2 Áp dụng định lí Viet: x x ; x x (1) 0 m . 1 2 m 1 1 2 m 1 3 3 2 m Kết hợp với i ta có 3 là những giá trị cần tìm. m 1 Câu 30: [DS12.C1.7.BT.c] Tìm tham số m để đồ thị C : y x3 2(m 1)x2 5mx 2m của hàm số tiếp xúc với trục hoành.
17. 4 4 4 A. m 0;1;  .B. m 0;1;2 .C. m 1;2;  .D. m 0;1;2;  . 3 3 3 Lời giải Chọn D C tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 3 2 x0 2(m 1)x0 5mx0 2m 0 A có nghiệm x . 2 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 Giải hệ A . 2 (x0 2)(x0 2mx0 m) 0 x0 2 (A) 2 2 3x0 4(m 1)x0 5m 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 (1) 2 x0 2mx0 m 0 4 Hoặc . Thay x0 2 vào 1 ta được m . 2 3 3x0 4(m 1)x0 5m 0 2 2 x0 2mx0 m 0 (2) 3x0 6mx0 3m 0 (3) Hệ 2 2 3x0 4(m 1)x0 5m 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 (1) m Trừ hai phương trình 1 và 3 , vế với vế ta được: (m 2)x m x . 0 0 m 2 m m2 2m2 Thay x vào 1 , ta được: m 0 0 m 2 (m 2)2 m 2 3 2 4 m 3m 2m 0 m 0  m 1 m 2 .Vậy m 0;1;2;  . 3 4 2 Câu 31: [DS12.C1.7.BT.c] Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x (m 1)x 4m . Tìm tham số m để Cm tiếp xúc với đường thẳng d : y 3 tại hai điểm phân biệt. m 1 m 1 m 2 m 1 A. .B. .C. .D. . m 3 m 16 m 13 m 13 Lời giải Chọn D 4 2 x0 (m 1)x0 4m 3 (1) C tiếp xúc với d tại điểm có hoành độ x khi hệ A có m 0 3 4x0 2(m 1)x0 0 (2) nghiệm x0 . m 1 Giải hệ A , (2) x 0 hoặc x2 . 0 0 2 3 Thay x 0 vào (1) ta được m . 0 4 2 2 2 m 1 m 1 (m 1) Thay x0 vào (1) ta được 4m 3 2 2 2 m2 14m 13 0 m 1  m 13. 3 3 Khi m thì C tiếp xúc với d tại chỉ một điểm 0;3 nên m không thỏa mãn yêu 4 m 4 cầu của bài toán. 2 Khi m 1 thì x0 1 x0 1, suy ra Cm tiếp xúc với d tại hai điểm ( 1;3 ).
18. 2 Khi m 13 thì x0 7 x0 7 ,suy ra Cm tiếp xúc với d tại hai điểm 7;3 . Vậy các giá trị m cần tìm là m 1;m 13 . Câu 34: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số: y 4x3 3x 2 , có đồ thị là C . Tìm những điểm trên đường thẳng y 3 để từ đó có thể vẽ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C . 1 1 1 A. m 1 hoặc m 2 .B. m 1 hoặc m . 3 3 2 1 1 1 C. m 2 hoặc m .D. m 3 hoặc 1 m . 3 2 2 Lời giải Chọn B Giả sử M m;3 là điểm cần tìm và d là đường thẳng qua M có hệ số góc là k , phương trình có dạng: y k x m 3. Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C tại điểm N x0 ; y0 khi hệ: 4x3 3x 2 k x m 3 0 0 0 có nghiệm x0 , từ hệ suy ra 4x3 3x 2 k x m 3 0 0 0 2 x 2x0 1 4x0 2 3m 1 x0 3m 1 0 1 có nghiệm 0 . Qua M kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với C khi và chỉ khi phương trình 1 có 3 nghiệm 1 x , tức phương trình 4x2 2 3m 1 x 3m 1 0 2 có hai nghiệm phân biệt khác hay 0 0 0 2 1 1 m 1 hoặc m . 3 2 x2 x m Câu 35: [DS12.C1.7.BT.c] Tìm tham số m để đồ thị hàm số C : y với m 0 cắt trục m x 1 hoành tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm A, B vuông góc với nhau. 1 1 1 4 A. m .B. m .C. m .D. m . 5 3 5 7 Lời giải Chọn A 2x 1 Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc là k . x 1 x2 2x m 1 Ta có: y , đặt g x x2 2x m 1. x 1 2 Theo bài toán, g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 1 Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k .k 1, tìm được m . A B 5
19. 2x2 Câu 36: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm trên đường thẳng y x những x 2 điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến C , đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. m 5 3 .B. m 5 53 .C. m 6 23 .D. m 5 23 . Lời giải Chọn D Đường thẳng d đi qua điểm M m;m có hệ số góc là k , phương trình có dạng: y k x m m . 2 2x0 k x0 m m x0 2 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ: có nghiệm x0 , từ 2x2 8x 0 0 k 2 x0 2 đây ta tìm được m 5 23 .