Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 7: Bài toán tiếp tuyến sự tiếp xúc - Mức độ 3.5 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 7: Bài toán tiếp tuyến sự tiếp xúc - Mức độ 3.5 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 46: [DS12.C1.7.BT.c] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn  f (1 2x)2 x  f (1 x)3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f (x) tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 8 6 A. y x .B. y x .C. y x .D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải Chọn A Từ giả thiết  f (1 2x)2 x  f (1 x)3 , đặt f 1 a và f 1 b . 2 3 a 0 Ta cho x 0 a a . a 1 2 Đạo hàm 2 vế ta được 4 f 1 2x . f 1 2x 1 3 f 1 x f 1 x . Cho x 0 ta có 4ab 1 3a2b .  Xét a 0 thay vào 4ab 1 3a2b vô lý. 1  Xét a 1 thay vào 4b 1 3b b . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 7 1 1 6 y x 1 1 x . 7 7 7 2x 3 Câu 35: [DS12.C1.7.BT.c] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x 2 có đồ thị C . Một tiếp tuyến của C cắt hai tiệm cận của C tại hai điểm A , B và AB 2 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 1 A. 2 . B. 2 . C. . D. 1. 2 Lời giải Chọn D 1 Ta có y Đường tiệm cận đứng là x 2 ; đường tiệm cận ngang là y 2 . x 2 2 1 Gọi M x0 ;2 C . x 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại M có phương trình d : y x x 2 . 2 0 x 2 x0 2 0 2 Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận đứng thì A 2;2 . x0 2 Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận ngang thì. B 2x0 2;2 . 2 2 2 2 x0 3 Theo đề bài ta có AB 2 2 nên 2x0 4 8 x0 2 1 . x0 2 x0 1 Với x0 3 thì y 3 1. Với x0 1 thì y 1 1. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là k 1.
2. x 1 Câu 13: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C . Gọi điểm M x ; y với 2 x 1 0 0 x0 1 là điểm thuộc C , biết tiếp tuyến của C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4x y 0. Hỏi giá trị của x0 2y0 bằng bao nhiêu? 7 7 5 5 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A x 1 Gọi M x ; 0 C với x 1 là điểm cần tìm. 0 0 2 x0 1 Gọi tiếp tuyến của C tại M ta có phương trình. x 1 1 x 1 : y f '(x )(x x ) 0 (x x ) 0 . 0 0 2(x 1) 2 0 2(x 1) 0 x0 1 0 2 2 x0 2x0 1 x0 2x0 1 Gọi A  Ox A ;0 và B  Oy B 0; 2 . 2 2(x0 1) Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là 2 2 x0 2x0 1 x0 2x0 1 G ; 2 . 6 6(x0 1) 2 2 x0 2x0 1 x0 2x0 1 Do G thuộc đường thẳng 4x y 0 4. 2 0 6 6(x0 1) 1 2 4 2 (vì A, B không trùng O nên x0 2x0 1 0 ) x0 1 1 1 x 1 x 0 2 0 2 . 1 3 x 1 x 0 2 0 2 1 1 3 7 Vì x 1nên chỉ chọn x M ; x 2y . 0 0 2 2 2 0 0 2 x 1 Câu 14: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị là C , đường thẳng d : y x m . Với 2x 1 mọi m ta luôn có d cắt C tại 2 điểm phân biệt A, B . Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại A, B . Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn nhất. A. m 1.B. m 2 .C. m 3 .D. m 5 . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là 1 x 1 x x m 2 . 2x 1 2 g x 2x 2mx m 1 0 (*) m 1 Theo định lí Viet ta có x x m; x x . Giả sử A x ; y , B x ; y . 1 2 1 2 2 1 1 2 2
3. 1 Ta có y , nên tiếp tuyến của C tại A và B có hệ số góc lần lượt là 2x 1 2 1 1 k1 2 và k2 2 . Vậy 2x1 1 2x2 1 1 1 4(x2 x2 ) 4(x x ) 2 k k 1 2 1 2 1 2 (2x 1)2 (2x 1)2 2 1 2 4x1x2 2(x1 x2 ) 1 4m2 8m 6 4 m 1 2 2 2 Dấu "=" xảy ra m 1. Vậy k1 k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m 1. 2x 1 Câu 15: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị C . Biết khoảng cách từ I 1; 2 đến x 1 tiếp tuyến của C tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất? A.3e .B. 2e . C. e . D. 4e . Lời giải Chọn C Phương pháp tự luận 3 Ta có y . x 1 2 2x0 1 Gọi M x0 ; C , x0 1 . Phương trình tiếp tuyến tại M là x0 1 3 2x0 1 2 2 y 2 (x x0 ) 3x (x0 1) y 2x0 2x0 1 0 . (x0 1) x0 1 6 x 1 6 6 d I, 0 6 . 4 9 9 (x0 1) 2 2 9 2 (x0 1) (x0 1) Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 1 3 y 2 3 L 9 2 2 0 0 (x0 1) x0 1 3 . (x 1)2 0 x0 1 3 y0 2 3 N Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án. Phương pháp trắc nghiệm Ta có IM  cx0 d ad bc x0 1 2 1 x 1 3 y 2 3 L 0 . x0 1 3 y 2 3 N x 2 Câu 16: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị x 1 hàm số C tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến bằng? A. 3 .B. 2 6 .C. 2 3 . D. 6 . Lời giải Chọn D
4. Phương pháp tự luận x0 2 Gọi M x0 ; C , x0 1 , I 1;1 . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng x0 1 3 x 2 : y (x x ) 0 . 2 0 x 1 x0 1 0 x 5 Giao điểm của với tiệm cận đứng là A 1; 0 . x0 1 Giao điểm của với tiệm cận ngang là B 2x0 1;1 . 6 Ta có IA , IB 2 x0 1 IA.IB 12 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB là x0 1 SIAB pr , suy ra S IA.IB IA.IB IA.IB r IAB 2 3 6 . p IA IB AB IA IB IA2 IB2 2 IA.IB 2.IA.IB 2 xM 1 3 y0 1 3 Suy ra rmax 2 3 6 IA IB x0 1 3 . xM 1 3 y0 1 3   IM 3; 3 IM 6 . Phương pháp trắc nghiệm IA IB IAB vuông cân tại I IM  . xM 1 3 yM 1 3 cxM d ad bc xM 1 1 2 xM 1 3 yM 1 3  IM 6 . 2x 3 Câu 17: [DS12.C1.7.BT.c] Cho hàm số y có đồ thị C . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm x 2 M bất kỳ của C luôn cắt hai tiệm cận của C tại A và B . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là A. 4. B. 2 . C. 2. D. 2 2 . Lời giải Chọn D 1 1 Lấy điểm M m;2 C với m 2 . Ta có y ' m 2 . m 2 m 2 1 1 Tiếp tuyến tại M có phương trình d : y x m 2 . m 2 2 m 2 2 Giao điểm của d với tiệm cận đứng là A 2;2 . m 2 Giao điểm của d với tiệm cận ngang là B 2m 2;2 . 2 1 2 2 Ta có AB 4 m 2 2 8 , suy ra AB 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi m 2 1, m 2 nghĩa là m 3 hoặc m 1.
5. Câu 36: [DS12.C1.7.BT.c] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị C : y x3 3x2 9x 10 và điểm A m; 10 . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để có đúng 2 tiếp tuyến của C qua A . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 19 5 A. 3 .B. 5 .C. .D. . 4 2 Lời giải Chọn C Gọi d là đường thẳng qua A m; 10 có hệ số góc k . Suy ra d : y k x m 10 . d là tiếp tuyến của C khi hệ phương trình sau có nghiệm 3 2 x 3x 9x 10 k x m 10 1 2 3x 6x 9 k Thế k vào (1), ta được 2x3 3m 3 x2 6mx 9m 20 0 (*). Để có đúng 2 tiếp tuyến của C qua A thì phương trình (*) có 2 nghiệm. Suy ra đồ thị hàm số f x 2x3 3m 3 x2 6mx 9m 20 có 2 cực trị, trong đó có 1 cực trị thuộc trục hoành. Ta có f x 6x2 2 3m 3 x 6m . x 1 f 1 12m 21 f x 0 . 3 2 x m f m m 3m 9m 20 7 m 4 12m 21 0 Khi đó m 4 . 3 2 m 3m 9m 20 0 1 21 m 2 7 1 21  7 1 21 1 21 19 Vậy S ;4;  . Suy ra T 4 . 4 2  4 2 2 4 Câu 46: [DS12.C1.7.BT.c] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 3 2 y x 2x m 1 x 2m có đồ thị là Cm . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị Cm vuông góc với đường thẳng : y 3x 2018. 7 1 A. m .B. m 1.C. m 2 .D. m . 3 3 Lời giải Chọn C 2 2 2 7 7 2 Ta có y 3x 4x m 1 x 3 m m , dấu " " xảy ra x . 3 3 3 3 7 Tiếp tuyến d của C có hệ số góc nhỏ nhất là m . m 3 7 Bài ra d  nên m .3 1 m 2 . 3
6. Vậy m 2 . Câu 41: [DS12.C1.7.BT.c] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số x 2 y có đồ thị C . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của C . Tiếp tuyến của C x 2 cắt hai đường tiệm cận của C tại hai điểm A , B . Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng A. 4 2 .B. 8 .C. 2 .D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 Tập xác định: D ¡ \ 2; y . x 2 2 lim y tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 ; lim y 1 tiệm cận ngang là đường x 2 x thẳng y 1, suy ra I 2;1 . 4 x 2 Phương trình tiếp tuyến của C có dạng: d : y x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 x 1 Tiếp tuyến của C cắt hai đường tiệm cận của C tại hai điểm A , B nên A 2; 0 , x0 2 B 2x0 2;1 . AB Do tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R . 2 Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: P AB. Chu vi bé nhất khi AB nhỏ nhất  8 Ta có AB 4 2x0 ; ; x0 2 2 2 2 8 2 8 AB 4 2 x0 4 x0 2 2 4.64 4 2 x0 2 x0 2 Vậy Pmin 4 2. .