Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 7: Bài toán tiếp tuyến sự tiếp xúc - Mức độ 4.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 7: Bài toán tiếp tuyến sự tiếp xúc - Mức độ 4.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. 2x 1 Câu 6: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y . Tìm trên hai nhánh của đồ thị C , các điểm M , x 1 N sao cho các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang. 7 1 A. M 2; 5 ,N 0; 1 . B. M 3; ,N 1; . 2 2 1 C. M 2; 5 ,N 1; . D. Với mọi M , N . 2 Lời giải Chọn D Gọi M(m; yM ), N(n; yN ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của C . Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A , B . Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C , D . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y y (m).(x m) yM 2m 4 2n 4 A 1; ,B(2m 1; 2) . Tương tự: C 1; ,D(2n 1; 2) . m 1 n 1 3 Hai đường thẳng AD và BC đều có hệ số góc: k nên AD // BC . (m 1)(n 1) Vậy mọi điểm M , N thuộc 2 nhánh của C đều thoả mãn bài toán. x 3 Câu 8: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y , có đồ thị là C . Tìm trên đường thẳng x 1 d : y 2x 1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới C . M(0;1) M(5;11) M(4;9) M(0;1) M( 1; 1) M( 1; 1) M( 1; 1) M( 1; 1) A. . B. . C. . D. . M(2; 5) M(7;15) M(2; 5) M(3;7) M(1; 3) M(1; 3) M(1; 3) M( 2; 3) Lời giải Chọn A Gọi M(m; 2m 1) d . Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: y k(x m) 2m 1 x 3 Phương trình hoành độ giao điểm của và (C): k(x m) 2m 1 x 1 kx2 (m 1)k 2mx mk (2m 4) 0 (*) tiếp xúc với (C) (*) có nghiệm kép k 0 2 (m 1)k 2m 4kmk (2m 4) 0 k 0 2 2 2 2 g(k) (m 1) k 4(m m 4)k 4m 0 Qua M(m; 2m 1) d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 32(m2 m 2) 0; g(0) 4m2 0 2 2 g(k) 0 có đúng 1 nghiệm k 0 32(m m 2) 0; g(0) 4m 0 1 m 1 0 16k 4 0 k 4
2. m 0 M(0;1) m 1 M( 1; 1) . m 2 M(2; 5) m 1 M(1; 3) Câu 16: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y x3 3x2 9x 1có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y x 1 một góc thỏa 5 cos . 41 1 9 321 1 9 321 A. . B. . y x 9 y x 34 9 9 9 9 1 9 321 C. .D. Đáp án khác. y x 7 9 9 Lời giải Chọn D 2 Ta có: y' 3(x 2x 3) . Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến tại M : y y'(x0 )(x x0 ) y0 Hay kx y b 0 , Với k y'(x0 ) k 1 5 Theo bài ra ta có: cos k2 1. 2 41 1 41(k 1)2 50(k2 1) 9k2 82k 9 0 k 9,k . 9 2 k 9 x0 2x0 0 x0 0,x0 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 9x 1 và y 9x 3 1 9 321 k 27x2 54x 80 0 x 9 0 0 0 9 1 9 321 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là: y x y(x ). 0 9 9 2x m Câu 20: [DS12.C1.7.BT.d] Gọi C là đồ thị của hàm số y = , m là tham số khác – 4 và d x 2 là một tiếp tuyến của C . Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có diện tích bằng 2. m 6 m 3 m 3 m 3 A. . B. . C. . D. . m 5 m 5 m 6 m 5 Lời giải Chọn D Hai đường tiệm cận đứng và ngang của C có phương trình lần lượt là x = 2, y = 2 ,suy ra giao điểm của chúng là I 2;2 .  Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy Hệ trục IXY .
3. x X x X 2 Công thức chuyển hệ tọa độ : I y Y yI Y 2 Đối với hệ trục IXY . Hai đường tiệm cận đứng và ngang của C có phương trình lần lượt là X 0 , Y 0 . 2(X 2) m 4 m C có phương trình là Y 2 Y F(X) . X 2 2 X Gọi X 0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với C thì phương trình d là m 4 m 4 m 4 2m 8 . Y 2 (X X0 ) 2 X X0 X0 X0 X0 2m 8 Gọi A là giao điểm của C với đường tiệm cận đứng của nó thì A 0; X0 Gọi B là giao điểm của C với đường tiệm cận ngang của nó thì B 2X 0 ;0 Diện tích tam giác vuông IAB do d tạo với hai đường tiệm cận là 1 1 1 2m 8 S IA.IB YA XB 2X0 2m 8 . 2 2 2 X0 2m 8 2 m 3 S 2 2m 8 2 . 2m 8 2 m 5 2mx 3 Câu 23: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của C . x m Tìm m để tiếp tuyến tại một diểm bất kì của C cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IAB có diện tích S 22 . A. m 5 . B. m 6 .C. m 7 .D. m 4 . Lời giải Chọn D (C) có tiệm cận đứng x m, tiệm cận ngang y 2m . 2mx0 3 Giao điểm 2 tiệm cận là I(m; 2m) và M x0 ; (C) . x0 m 2m2 3 2mx 3 Phương trình tiếp tuyến của tại M : 0 . C y 2 (x x0 ) (x0 m) x0 m 2 2mx0 2m 6 cắt TCĐ tại A m; , cắt TCN tại B(2x0 m; 2m) . x0 m 2 4m 6 1 2 Ta có: IA ; IB 2 x0 m SIAB IA.IB 4m 6 22 m 4 . x0 m 2 2x 3 Câu 24: [DS12.C1.7.BT.d] Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị C : y tại M cắt các đường tiệm x 2 cận tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận. 5 5 A. M 1;1 M 1; B. M 4; M 3; 3 3 3
4. 5 C. M 1;1 M 4; D. M 1;1 M 3; 3 3 Lời giải Chọn D 2x 3 1 Gọi M x ; y C y 0 và y' 0 0 0 x 2 0 2 0 x0 2 1 2x 3 Phương trình tiếp tuyến d của C tại M : y x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 2x0 2 d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A 2; , B 2x0 2; 2 . x0 2 Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2; 2 là giao điểm hai đường tiệm cận. Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 2 2x 3 2 1 2 0 S IM x0 2 2 x0 2 2 2 x0 2 x0 2 2 1 x 1 y 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 2 0 0 0 2 x 3 y 3 x0 2 0 0 Vậy M 1;1 M 3; 3 thỏa mãn bài toán. Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên C có hoành độ x 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 2x0 2 HD: theo trên ta có : A 2; ,B 2x0 2; 2 IA,IB.Chu vi tam giác AIB là x0 2 P IA IB AB IA IB IA2 IB2 2 IA.IB 2.IA.IB Đẳng thức xảy ra khi IA IB Nếu trường hợp tam giác AIB không vuông thì P IA IB AB , để tính AB ta cần đến định lý hàm số cosin AB2 IA2 IB2 2IA.IBcos I·A,IB . P IA IB AB2 2 IA.IB IA2 IB2 2IA.IBcos I·A,IB P 2 IA.IB 2IA.IB 2IA.IBcos I·A,IB . Đẳng thức xảy ra khi IA IB . 2x 2 Câu 28: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 C , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. A. : y x 21 và : y x 7 .B. : y x 3 và : y x 2 . C. : y x 1 và : y x 17 .D. : y x 1 và : y x 7 . Lời giải Chọn D Hàm số xác định với mọi x 1. 4 Ta có: y' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1; 2)
5. Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 0 . : y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại x 1 2x 6 A : 4 2x 2 A 1; 0 y (1 x ) 0 x 1 2 0 0 (x0 1) x0 1 Tiếp tuyến cắt tiệm ngang tại y 2 B : 4 2x 2 B(2x 1; 2) 2 (x x ) 0 0 2 0 (x0 1) x0 1 8 Suy ra: IA ; IB 2 x0 1 IA.IB 16 x0 1 Chu vi tam giác IAB : P IA IB AB IA IB IA2 IB2 Mà IA IB 2 IA.IB 8; IA2 IB2 2IA.IB 32 Nên P 8 32 8 4 2 2 Đẳng thức xảy ra IA IB (x0 1) 4 x0 3,x0 1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán: : y x 1 và : y x 7 . 2x Câu 31: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị C . Giả sử tồn tại phương trình tiếp x 2 tuyến của C , biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất, thì hoành độ tiếp điểm lúc này là: A. x0 0,x0 4 . B. x0 0,x0 3 .C. x0 1,x0 4 . D. x0 1,x0 3 . Lời giải Chọn A Hàm số xác định với mọi x 2 . 4 Ta có: y' (x 2)2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại M có phương trình 4 2x 4 2x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Ta có tâm đối xứng I( 2; 2) 4 2x2 Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến 0 : : 2 x y 2 0 (x0 2) (x0 2) 8 x 2 t d 0 8 , với t (x 2)2 0 4 t2 16 0 (x0 2) 16 t t 1 Do 2 d 2 t 16 2 16t2 16 2 2 Đẳng thức xảy ra khi t 16 t 4 (x0 2) 4 x0 0,x0 4 .
6. Câu 32: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y x3 ax2 bx c , c 0 có đồ thị C cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N . Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a;b;c để SAMN 1. A. a 4,b 5,c 2 . B. a 4,b 5,c 2 . C. a 4,b 6,c 2 . D. a 4,b 5,c 2 . Lời giải Chọn D Giả sử C cắt Ox tại M(m;0) và N(n;0) cắt Oy tại A(0;c) Tiếp tuyến tại M có phương trình: y (3m2 2am b)(x m) . Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m3 2am2 bm c 0 a 2m3 am2 0 m (do m3 am2 bm c 0 ) 2 Mà C cắt Ox tại hai điểm nên C tiếp xúc với Ox . Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có C tiếp xúc với Ox tại N . Do đó: y x3 ax2 bx c (x n)2 (x m) a a m ,n m 2n a 2 4 Suy ra 2mn n2 b a3 32c (1). 2 2 mn c 5a 16b Mặt khác S AMN 1 c n m 2 c a 8 a3 32c a 0 ta có: ac 8 vô nghiệm. 2 5a 16b a3 32c a 0 ta có: ac 8 a 4,b 5,c 2 . 2 5a 16b 2x 1 Câu 34: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 C , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y x và y x .B. y x 3 và y x 1. 4 4 4 4 4 4 1 13 1 1 13 1 5 C. y x và y x 1.D. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 . y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1
7. 2x0 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A(1; ), cắt đường tiệm cận ngang tại B(2x0 1; 2) . x0 1 Tâm đối xứng I(1; 2) 2 Suy ra IA ,IB 2 x0 1 IA.IB 4 x0 1 Chu vi tam giác IAB : p AB IA IB IA2 IB2 IA IB Mặt khác: IA2 IB2 2IA.IB 8; IA IB 2 IA.IB 4 Nên p 2 2 4 . Đẳng thức xảy ra IA IB 2 (x0 1) 4 x0 3,x0 1. 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 2x 1 Câu 35: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 C , biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y x và y x .B. y x 1 và y x 5 . 4 4 4 4 4 4 1 13 1 3 1 13 1 5 C. y x và y x .D. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 . y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 Gọi H là hình chiếu của I lên . Ta có d(I, ) IH 1 1 1 2 1 Trong tam giác vuông IAB ta có: IH 2 IA2 IB2 IA.IB 2 Suy ra IH 2 . Đẳng thức xảy ra IA IB . 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 Câu 37: [DS12.C1.7.BT.d] Gọi C là đồ thị của hàm số y x4 1 và d là một tiếp tuyến của C , d cắt hai trục tọa độ tại A và B . Viết phương trình tiếp tuyến d khi tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất (O là gốc tọa độ). 4 8 4 8 4 7 4 8 A. y x . B. y x .C. y x .D. y x . 4 15 5 4 12 5 4 5 5 4 125 5 Lời giải Chọn D 3 4 3 4 Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y 4x0 (x x0 ) x0 1 4x0 x 3x0 1 trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C . 3x4 1 A là giao điểm của d với trục Ox A 0 ;0 3 4x0 4 B là giao điểm của C với trục Oy B(0; 3x0 1) . Diện tích của tam giác vuông OAB :
8. 1 1 1 (3x4 1)2 1 (3x4 1)2 S OA.OB x y 0 0 2 2 A B 2 4x3 8 3 0 x0 1 (3x4 1)2 Xét trường hợp , khi đó 0 . x0 0 S . 3 8 x0 (3x4 1)2 0 Xét hàm số f (x0 ) 3 , x0 (0; ) . x0 2(3x4 1)12x3 .x3 (3x4 1)2 .3x2 3(3x4 1)(5x4 1) 0 0 0 0 0 0 0 f '(x0 ) 6 4 . x0 x0 4 1 1 f '(x0 ) 0 x0 x0 (do x0 0) 5 4 5 Bảng biến thiên của f (x0 ) x0 0 + f'(x0) - 0 + f(x0) 64 1 Từ bảng biến thiên suy ra min f (x0 ) đạt được khi và chỉ khi x0 5 4 5 4 5 8 1 Suy ra minS x0 . 5 4 5 4 5 4 8 Khi đó phương trình của (d) là y x . 4 125 5 Vì trục Oy là trục đối xứng của C nên trong trường hợp x0 0 , phương trình của d là 4 8 y x . 4 125 5 4 8 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y x . 4 125 5 4 2 Câu 38: [DS12.C1.7.BT.d] Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x 3 m 1 .x 3m 2 , m là tham số. Tìm các giá trị dương của tham số m để Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của Cm tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24 . 1 2 A. m 1. B. m .C. m . D. m 7 . 3 3 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành là x4 3 m 1 .x2 3m 2 0 (1) Đặt t x2 ,t 0 . Phương trình (1) trở thành : t2 3 m 1 .t 3m 2 0 (2)
9. Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt . Vì (2) luôn có hai nghiệm là t 1, t 3m 2 với mọi m và vì m 0 (giả thiết) nên ta có 1 3m 2 , suy ra với mọi tham số m 0 , Cm cắt Ox tại 4 diểm phân biệt và nếu gọi A là giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là xA 3m 2 . 4 2 Gọi f(x) x 3 m 1 .x 3m 2 , phương trình tiếp tuyến d của Cm tại A là 3 y f '(xA )(x xA ) f (xA ) [4xA 6(m 1)xA ](x xA ) ( vì f (xA ) 0 ) [4(3m 2) 3m 2 6(m 1) 3m 2](x 3m 2) 6m 2 3m 2 x 3m 2) Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì B 0 ; 6m 2 3m 2 . Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (vuông tại O ) , theo giả thiết ta có : SOAB 24 OA.OB 48 xA yB 48 3m 2(6m 2)(3m 2) 48 (3). Gọi f m 3m 2(6m 2)(3m 2) 3m 2(18m2 22m 4) 3 f (m) (18m2 22m 4) (36m 22) 3m 2 0 với mọi m 0 . 2 3m 2 2 Suy ra hàm số f m đồng biến trên 0; và vì f 24 , do đó phương trình (3) chỉ có 3 2 một nghiệm là m trên 0; . 3 2x Câu 39: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của x 2 đồ thị C , để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến tiếp tuyến là lớn nhất. A. y 2x và y x 8 .B. y x và y x 9 . C. y 3x và y x 8 .D. y x và y x 8 . Lời giải Chọn D Tiếp tuyến d của đồ thị C tại điểm M có hoành độ a 2 thuộc C có phương trình: 4 2a y (x a) 4x (a 2)2 y 2a2 0 (a 2)2 a 2 Tâm đối xứng của C là I 2; 2 . 8 a 2 8 a 2 8 a 2 d(I,d) 2 2 16 (a 2)4 2.4.(a 2)2 2 2 a 2 d(I,d) lớn nhất khi (a 2)2 4 a 4 hoặc a 0 . Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y x và y x 8 . 2x 3 Câu 40: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm trên C những điểm M sao x 2 cho tiếp tuyến tại M của C cắt hai tiệm cận của C tại A,B sao cho AB ngắn nhất.
10. 5 5 A. M(3; 3) hoặc M( 1; ) . B. M( 1; ) hoặc M(1;1) . 3 3 5 5 C. M(4; ) hoặc M( 1; ) .D. M(3; 3) hoặc M(1;1) . 2 3 Lời giải Chọn D 1 1 Lấy điểm M m; 2 C . Ta có: y (m) m 2 (m 2)2 1 1 Tiếp tuyến d tại M có phương trình: y (x m) 2 (m 2)2 m 2 2 Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: A 2; 2 m 2 Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B(2m – 2; 2) 1 Ta có: 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi hoặc . AB 4 (m 2) 2 8 m 1 m 3 (m 2) Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3; 3) hoặc M(1;1) . Câu 41: [DS12.C1.7.BT.d] Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y x3 mx m 1 tại điểm M có hoành độ x 1 cắt đường tròn C có phương trình (x 2)2 (y 3)2 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. A. m 3 . B. m 6 .C. m 8 .D. m 2 . Lời giải Chọn D Ta có: y 3x2 m y ( 1) 3 m ; y( 1) 2m 2 . C có tâm I(2; 3),R 2 . Phương trình đường thẳng d tại M( 1; 2m 2) : y (3 m)x m 1 (3 m)x y m 1 0 4 m 1 (3 m) 2. (3 m)2 1 d(I,d) 2 R (3 m)2 1 (3 m)2 1 (3 m)2 1 Dấu "=" xảy ra m 2 . Dó đó d(I,d) đạt lớn nhất m 2 Tiếp tuyến d cắt C tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất d(I,d) đạt lớn nhất m 2 , suy ra d : y x 3 . 1 3 Câu 43: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y x4 3x2 C . Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua 2 2 3 điểm A 0; và tiếp xúc với đồ thị C . 2 3 3 3 3 : y : y x : y x 1 : y 2 2 2 2 3 3 1 3 A. : y 2 2x B. : y 2x C. : y 2x D. : y 2x 2 2 2 2 3 3 1 3 : y 2 2x : y 2x : y 2x : y 2x 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
11. 3 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có hệ số góc k có đạng: y kx . 2 ∆ tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình : 1 3 3 x4 3x2 kx (1) 2 2 2 có nghiệm x 3 2x 6x k (2) 1 3 3 Thế (2) vào (1), ta có: x4 3x2 (2x3 6x)x x2 (x2 2) 0 2 2 2 (2) 3 x 0 k 0 : y 2 (2) 3 x 2 k 2 2 : y 2 2x . 2 (2) 3 x 2 k 2 2 : y 2 2x 2 x 2 Câu 2: [DS12.C1.7.BT.d] Gọi C là đồ thị của hàm số y . M 0;m là một điểm thuộc trục 2x 1 Oy . Tìm tất cả các giá trị nào của m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của C đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với C có hoành độ dương. A. m 0 .B. m 0 .C. m 0 .D. m 0 . Lời giải Chọn D Phương trình của đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k : y kx m . x0 2 kx0 m (1) 2x0 1 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 . 3 k (2) 2 (2x0 1) x0 2 3x0 2 Thay 2 vào 1 ta được: 2 m x0 2 2x0 1 3x m 2x0 1 3 2x0 1 (2x0 1) 1 Do x không phải là nghiệm của 3 nên 1 (4m 2)x2 4(m 2)x m 2 0 4 . 0 2 0 0 Yêu cầu của bài toán Phương trình 4 có ít nhất một nghiệm dương với mọi m 0 . Vì m 0 nên 4m 2 0 suy ra 4 có nghiệm 4(m 2)2 (4m 2)(m 2) 0 m 2 0. Bất đẳng thức này đúng với mọi m 0 . Khi đó gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 4 . 4(m 2) x x 0 1 2 4m 2 Ta có m 0, x1 0, x2 0 . m 2 x x 0 1 2 4m 2 Vậy, với mọi m 0 luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của C đi qua M và hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với C là số dương.
12. x 2 Câu 13: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y có đồ thị là C . Cho điểm A(0;a) . Tìm a để từ A x 1 kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. 1 2 2 A. a 1.B. a 2 .C. 1 a 1.D. a 1. 3 3 3 Lời giải Chọn D Phương trình đường thẳng d đi qua A(0;a) và có hệ số góc k : y kx a . x 2 kx a x 1 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x khi hệ: có nghiệm x . 3 k 2 (x 1) (1 a)x2 2(a 2)x (a 2) 0 1 có nghiệm x 1. Để qua A có 2 tiếp tuyến thì 1 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 a 1 a 1 2 3a 6 0 a 2 2(a 2) a 2 3 3 Khi đó ta có: x1 x2 , x1x2 và y1 1 , y2 1 a 1 a 1 x1 1 x2 1 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2 0 3 3 x1.x2 2(x1 x2 ) 4 2 1 . 1 0 0 3a 2 0 a x1 1 x2 1 x1.x2 (x1 x2 ) 1 3 2 Đối chiếu với điều kiện 2 ta được: a 1. 3 3 2 Câu 20: [DS12.C1.7.BT.d] Gọi Cm là đồ thị của hàm số y 2x 3(m 1)x mx m 1 và d là tiếp tuyến của Cm tại điểm có hoành độ x 1. Tìm m để d tạo với hai trục tọa độ một 8 tam giác có diện tích bằng . 3 5 5 5 5 m 0  m m 0  m m 0  m m 0  m 3 3 3 3 A. .B. . C. .D. . 9 73 19 73 9 3 19 73 m m m m 6 6 6 6 Lời giải Chọn D Ta có y 6x2 6(m 1)x m , suy ra phương trình tiếp tuyến d là: y y '( 1)(x 1) y( 1) 12 7m x 1 3m 4 y 12 7m x 4m 8. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của d với trục Ox và Oy thì 4m 8 P ;0 ,Q 0;4m 8 . 12 7m
13. 2 1 1 4m 8 8m 32 32m Diện tích OPQ : S OP.OQ 4m 8 . 2 2 12 7m 12 7m 8 8 S 8m2 32m 32 12 7m 3 3 2 8 5 8m 32m 32 (12 7m) 2 5 m 0  m 3 m m 0 3 3 2 8 2 19 73 8m 32m 32 (12 7m) 3m 19m 24 0 m 3 6 x4 Câu 22: [DS12.C1.7.BT.d] Cho hàm số y 2x2 4, có đồ thị là C . Gọi d là tiếp tuyến của 4 C tại điểm M có hoành độ x a .Tìm a để d cắt lại C tại hai điểm E, F khác M và trung điểm I của đoạn EF nằm trên parabol P : y x2 4. A. a 0 .B. a 1.C. a 2 .D. a 1. Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến d : a4 a4 3a4 y y (a)(x a) 2a2 4 (a3 4a)(x a) 2a2 4 (a3 4a)x 2a2 4 . 4 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của C và d : x4 3a4 2x2 4 (a3 4a)x 2a2 4 x4 8x2 4(a3 4a)x 3a4 8a2 0 4 4 x a (x a)2 (x2 2ax 3a2 8) 0 2 2 x 2ax 3a 8 0 (3) d cắt C tại hai điểm E, F khác M Phương trình 3 có hai nghiệm phân biệt khác a 2 a 2 ' a2 3a2 8 0 .(*) 2 2 6a 8 0 a 3 Tọa độ trung điểm I của đoạn EF : x x x E F a x a I 2 I 4 4 7a 2 3 3a 2 yI 6a 4 yI (a 4a)( a) 2a 4 (do I (d)) 4 4 4 2 2 7a 2 2 2 a a 0 I (P) : y x 4 6a 4 a 4 7a (1 ) 0 . 4 4 a 2 So với điều kiện (*) nhận a 0 . 3 2 Câu 25: [DS12.C1.7.BT.d] Tìm tham số m để đồ thị Cm của hàm số y x 4mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x2 x 1. 1  3  1  A. m 2; 7;1 .B. m 5; ;78 .C. m 2; ;1.D. m 2; ;1. 4  4  4  Lời giải
14. Chọn D Cm tiếp xúc với P tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 3 2 2 x0 4mx0 7mx0 3m x0 x0 1 (1) (A) có nghiệm x . 2 0 3x0 8mx0 7m 2x0 1 3 2 Giải hệ A , (1) x0 (4m 1)x0 (7m 1)x0 3m 1 0 x 1 (x 1)(x2 4mx 3m 1) 0 0 0 0 0 2 . x0 4mx0 3m 1 0 2 x0 1 x0 4mx0 3m 1 0 Vậy A  . 2 2 3x0 2(4m 1)x0 7m 1 0 (2) 3x0 2(4m 1)x0 7m 1 0 (2) Thay x0 1 vào 2 ta được m 2 . 2 2 3x0 2(4m 1)x0 7m 1 0 (2) 3x0 2(4m 1)x0 7m 1 0 (2) Hệ 2 2 x0 4mx0 3m 1 0 (3) 3x0 12mx0 9m 3 0 (4) Trừ hai phương trình 2 và 4 ,vế với vế ta được: 4mx0 2x0 2m 2 0 2m 1 x0 m 1 5 1 3 m 1 Khi m thì 5 trở thành 0 (sai), do đó 5 x0 . 2 2 2m 1 m 1 Thay x0 = vào phương trình 3 ,ta được: 2m 1 2 m 1 m 1 3 2 1 4m 3m 1 0 4m 11m 5m 2 0 m 2  m  m 1. 2m 1 2m 1 4 1  Vậy các giá trị m cần tìm là m 2; ;1. 4  Câu 32: [DS12.C1.7.BT.d] Tìm tất cả các điểm trên Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 4x2 2x 1 . 1 A. M 0;m với 2 m 1.B. M 0;m với m 5 . 2 1 C. M 0;m với m 1.D. M 0;m với 1 m 5. 2 Lời giải Chọn C Xét M (0;m) Oy . Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: y kx m . 2 x0 4x0 2x0 1 kx0 m d tiếp xúc đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 4x 1 có 1 0 k 2 4x0 2x0 1 nghiệm x0 . Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 4x2 x x 4x2 2x 1 x 0 0 m 4x2 2x 1 4x2 x m 4x2 2x 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4x0 2x0 1
15. x 1 m 0 f (x ) (*) 2 0 4x0 2x0 1 Để từ M kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (*) có ít nhất một nghiệm. 3x Xét hàm số f x , ta có: f (x ) 0 f '(x ) 0 x 0 0 0 2 3 0 0 ( 4x0 2x0 1) 1 1 Mặt khác: lim f (x0 ) ; lim f (x0 ) . x 2 x 2 Bảng biến thiên: x0 0 f (x0 ) 0 1 f (x0 ) 1 1 2 2 1 (*) có nghiệm m 1. 2 1 Vậy M 0;m với m 1 là những điểm cần tìm. 2