Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 3: Max. Min - Dạng 12: Max. Min của biểu thức nhiều biến - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 3: Max. Min - Dạng 12: Max. Min của biểu thức nhiều biến - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 45: [2D1-3.12-4] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2y3 7y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y . A. P 10 B. P 4 .C. P 6 .D. P 8 . Lời giải Chọn B 2y3 7y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . 2 y3 3y2 3y 1 y 1 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1 x . 3 2 y 1 3 y 1 2 1 x 1 x 1 . Xét hàm số f t 2t3 t trên 0; . Ta có: f t 6t 2 1 0 với t 0 f t luôn đồng biến trên 0; . Vậy 1 y 1 1 x y 1 1 x . P x 2y x 2 2 1 x với x 1 . Xét hàm số g x 2 x 2 1 x trên ;1 . 1 1 x 1 Ta có: g x 1 . g x 0 x 0 . 1 x 1 x Bảng biến thiên g x : Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra giá trị lớn nhất của P là: max g x 4 . ;1 Câu 50. [2D1-3.12-4] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho x, y là hai số thực 1 dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 1 xy 1 y 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y x y x 2y P ? x2 xy 3y2 6 x y 5 7 7 5 5 7 5 7 A. . B. . C. . D. . 3 30 30 3 3 30 30 Lời giải Chọn C 1 xy 1 xy 1 y 1 x y 2 2 y xy 1 xy 1 y xy 1 y 0 xy 1 y y xy 1 xy 1 y 0 xy 1 y 0 xy 1 y
2. 2 x 1 1 1 1 1 2 y y y 4 y 2 x 1 1 0 . Dấu bằng đạt được khi y 2 , x . y 4 2 x y x 2y t 1 t 2 x 1 P với t và t 0; . x2 xy 3y2 6 x y t 2 t 3 6 t 1 y 4 t 1 5 1 Ta có 8t 7 với mọi t 0; t 2 t 3 27 4 2 2 t 1 5 1 4t 1 20t 25t 6 1 Thật vậy 8t 7 0 với mọi t 0; . 2 t 2 t 3 27 729 t t 3 4 5 t 2 P 8t 7 f t . 27 6t 6 1 16 5t 2 32 5t 16 5 27 1 Khi đó f t . 0 với mọi t 0; . 2 54 t 1 4 5 t 2 1 7 10 5 1 Vậy P 8t 7 f t f , dấu bằng đạt được khi x , y 2 . 27 6t 6 4 30 2 Câu 1. [2D1-3.12-4] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn 2 x2 y 1 2x y 2018 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P 2y 3x . x 1 2 1 7 3 5 A. P .B. P . C. P . D. P . min 2 min 8 min 4 min 6 Lời giải Chọn B 2 2 x y 1 2x y 2 2x y Cách 1: Ta có 2018 2 2 x y 1 log2018 2 x 1 x 1 2 2 2 x 1 2 2x y log2018 2x y log2018 x 1 2 2 2 x 1 log2018 x 1 2 2x y log2018 2x y Có dạng f x 1 2 f 2x y với f t 2t log t , t 0 . 2018 1 Xét hàm số f t 2t log t , t 0 , ta có f t 2 0 t 0 nên hàm số f t 2018 t.ln 2018 đồng biến trên khoảng 0; . Khi đó f x 1 2 f 2x y x 1 2 2x y y x2 1. Ta có P 2y 3x 2 x2 1 3x 2x2 3x 2 . Bảng biến thiên
3. 7 3 Vậy P khi x . min 8 4 2 x2 2x 1 2 x2 y 1 2x y 2 x2 2x 1 2x y 2x y 2018 2x y Cách 2: Ta có 2018 2018 x 1 2 x 1 2 20182 2x y x 1 2 2 20182 x 1 2x y . 20182 2x y x 1 2 2u 2 2018 v Đặt u x 1 , v 2x y với u , v 0 . Phương trình trên có dạng: 20182v u u.20182u v.20182v 1 với u , v 0 . Xét hàm đặc trưng f t t.2018t có f t 2018t t.2018t.ln 2018 0 với t 0 , suy ra hàm số f t đồng biến trên 0; . Do đó phương trình 1 có dạng f u f v u u x 1 2 2x y y x2 1. Khi đó P 2y 3x 2 x2 1 3x 2x2 3x 2 có đồ thị là một 3 7 7 3 đường cong Parabol, đỉnh là điểm thấp nhất có tọa độ I ; . Do vậy, Pmin khi x . 4 8 8 4 Câu 14: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức M 3x y 4 x y 1 .27 x y 3 x2 y2 bằng 9476 193 148 A. . B. 76 . C. . D. . 243 3 3 Lời giải Chọn D Điều kiện x 2; y 3 . x y 1 2 x 2 y 3 x y 1 2 4 x y 1 2 x 2 y 3 .(*) Vì 2 x 2 y 3 x y 1 nên từ (*) suy ra x y 1 2 8 x y 1 x y 7 . Vì 2 x 2 y 3 0 nên từ (*) suy ra 2 x y 1 0 x y 1 0 x y 1 x y 1 4 x y 1 . x y 1 4 x y 1 4 x y 3 Do x 2 nên x2 2x , y2 1 2y , suy ra x2 y2 1 2 x y . Từ đó ta có M 3x y 4 x y 1 .27 x y 3 x2 y2 3x y 4 x y 1 .27 x y 6 x y 3. Đặt t x y với t 1 hoặc 3 t 7 . 2188 Xét hàm số f t 3t 4 t 1 27 t 6t 3, ta có f 1 . 243 f t 3t 4 ln 3 27 t t 1 .27 t ln 2 6 . t 4 2 7 t f t 3 ln 3 t 1 ln 2 2 2 .ln 2 0 , t 3;7 . Suy ra f t đồng biến trên 3;7 , mà f t liên tục trên 3;7 và f 3 . f 7 0 nên phương trình f t 0 có nghiệm duy nhất t0 3;7 .
4. t 3 to 7 f'(t) 0 + 148 4 f(t) 3 f(to) 148 Suy ra M 3x y 4 x y 1 .27 x y 3 x2 y2 . Đẳng thức xảy ra khi x 2 , y 1. 3 Câu 46: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho a,b ¡ ; a,b 0 thỏa mãn 3 3 2 2 2 2 a b a b 2 a b ab a b ab 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 3 3 9 2 2 b a b a bằng 21 23 23 A. 10 . B. . C. . D. . 4 4 4 Lời giải Chọn C a b Đặt t t 2 . Ta có: b a 3 2 a3 b3 a2 b2 a b a b a b a b a b P 4 3 3 9 2 2 4 3. . 9 2. . b a b a b a b a b a b a b a 4t3 9t 2 12t 18 . Ta có 2 2 a b 2 2 a b ab a b ab 2 2 1 a b 1 b a ab a b 1 1 2 1 a b 2 b a a b Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 1 1 1 1 a b a b 2 2 a b .2 2 2 2 a b a b b a a b a b a b 5 Suy ra 2 1 2 2 2 . b a b a b a 2 a b 5 Hay t . b a 2 5 Xét hàm số f t 4t3 9t 2 12t 18 với t . 2 5 t 2 2 2 Ta có f t 12t 18t 12 ; f t 0 . 1 5 t 2 2 5 5 Ta có f t 0, t , nên hàm số f t đồng biến trên ; . 2 2 5 23 Bởi vậy: min f t f . 4 2 1; 2 4
5. 23 Hay min P khi a 2;b 1 hoặc a 1;b 2 . 4 Câu 47: [2D1-3.12-4] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2 y2 xy 4 4y 3x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3 x3 y3 20x2 2xy 5y2 39x . 5 5 A. 100. B. . C. . D. 5 . 3 5 Lời giải Chọn A x2 y2 xy 4 4y 3x y2 y x 4 x2 3x 4 0 2 4 x 4 4 x2 3x 4 3x2 4x 0 0 x . 3 x2 y2 xy 4 4y 3x x2 y2 xy 4y 3x 4 P 3 x3 y3 20x2 2xy 5y2 39x 3 x y x2 y2 xy 20x2 2xy 5y2 39x 2 2 2 2 2 4 4 4 4 29x 7y 5xy 27x 12y 7y 5. y 27. 12y 29. 7 y 100 . 3 3 3 3 4 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 100 khi x y . 3 Câu 46: [2D1-3.12-4] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 2x 2 y 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P (2x2 y)(2y2 x) 9xy là: A. 18 B. 12 C. 16 D. 21 Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4 2x 2 y 2 2x.2 y 2x y 2 x y 2 . 2 x y Lại có: xy 1. 2 Khi đó: P 2x2 y 2y2 x 9xy 2 x3 y3 4x2 y2 10xy = 2 x y x y 2 3xy 4 xy 2 10xy 4 4 3xy 4 xy 2 10xy 16 2 xy 2 2xy xy 1 18 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 18 khi x y 1. Câu 48: [2D1-3.12-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai số thực x, y thỏa mãn:9x3 2 y 3xy 5 x 3xy 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y3 6xy 3 3x2 1 x y 2 296 15 18 36 296 15 36 4 6 4 6 18 A. .B. . C. . D. . 9 9 9 9 Lời giải Chọn B Ta có 9x3 2 y 3xy 5 x 3xy 5 0 27x3 6x 3xy 5 3xy 5 2 3xy 5 .
6. Xét hàm f t t3 2t với t 0; có f ' t 3t 2 2 0t 0; nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; . Khi đó ta có 3x 3xy 5 x 0 và 9x2 3xy 5 . Với x 0 thì 0 5 l . với x 0 thì P x3 y3 6xy 3 3x2 1 x y 2 x3 y3 6xy 9x2 3 x y 2 x3 y3 6xy 3xy 2 x y 2 x3 y3 3x2 y 3xy2 2 x y 4 x y 3 2 x y 4 9x2 5 5 5 4 5 4 5 Mà x y x 4x 2 4x. . Đặt t x y thì t . 3x 3x 3x 3 3 4 5 4 5 Xét f t t3 2t 4 với t . Khi đó f t 3t 2 2 0 với t . 3 3 4 5 36 296 15 Do đó f t f 3 9 36 296 15 36 296 15 Suy ra P . Vậy GTNN của P là . 9 9 Câu 47: [2D1-3.12-4] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 2 x 3 y 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x2 y2 15xy . A. min P 80 . B. min P 91. C. min P 83 . D. min P 63 . Lời giải Chọn C x 3 Điều kiện: . y 3 Ta có x y 2 x 3 y 3 x y 2 4 x y 8 x 3. y 3 4 x y x y 4 1 . x y 0 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x y 2 x 3 y 3 2 2 x y x y 8 2 . Từ 1 và 2 ta có x y 4;8 Ta lại có x 3 y 3 0 xy 3 x y 9 . Đặt t x y suy ra P 4 x2 y2 15xy 4 x y 2 7xy 4t 2 21t 63 . Xét hàm số f t 4t 2 21t 63, với t 4;8 21 Ta có f t 8t 21 0 t 4;8 . Do đó min f t f 4 83. 8 4;8
7. x y 4 x 7 Do đó P 83 suy ra min P 83 khi . x y 2 x 3 y 3 y 3 Câu 46: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho hai số thực x , 1 1 y thỏa mãn 0 x , 0 y và log 11 2x y 2y 4x 1. Xét biểu thức 2 2 P 16yx2 2x 3y 2 y 5 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P . Khi đó giá trị của T 4m M bằng bao nhiêu? A. 16 B. 18 C. 17 D. 19 Lời giải Chọn A Ta có log 11 2x y 2y 4x 1 2 2x y log 11 2x y 1 0 Đặt t 2x y , 0 t 11. Phương trình trở thành: 2t log 11 t 1 0 . 1 Xét hàm số f t 2t log 11 t 1 trên khoảng 0;11 . 1 Có y 2 0 , t 0;11 . Do đó hàm số f t luôn đồng biến. 11 t Dễ thấy 1 có nghiệm t 1. Do đó t 1 là nghiệm duy nhất của 1 . 1 y 2 Suy ra 2x 1 y . Khi đó P 16y 1 y 3y 2 y 5 4y3 5y2 2y 3 . 4 3 2 1 Xét hàm số g y 4y 5y 2y 3 trên 0; , có 2 2 1 g y 12y 10y 2 0 , y 0; . 2 Do đó, min g y g 0 3 , max g y g 1 4 . 1 1 0; 0; 2 2 Suy ra m 3 , m 4 . Vậy T 4.3 4 16 . Câu 45: [2D1-3.12-4] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho x , y , z là ba số 3 8 1 thực dương và P đạt giá trị nhỏ nhất. 2x y 8yz 2 x2 y2 z2 4xz 3 x y z Tính x y z . 3 A. 3 .B. 3 3 .C. 1.D. . 2 Lời giải Chọn C 2x y 8yz 2x y 2 y.2z 2x y y 2z 2 x y z 2 2 x2 y2 z2 4xz 2 x z 2 2y2 2 x z y2 x y z 2 3 8 1 1 8 P 2 x y z x y z 3 x y z 2 x y z x y z 3 Đặt t x y z t 0 .
8. 1 8 Xét hàm số f t trên 0; 2t t 3 1 8 3t 3 3 5t Ta có f t ; f t 0 t 1 2t 2 t 3 2 2t 2 t 3 2 Bảng biến thiên 3 1 1 Vậy min P x y z 1. Khi đó, x z và y . 2 4 2 Câu 6: [2D1-3.12-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho các số thực x , y 1 với x 0 thỏa mãn 5x 3 y 5xy 1 x y 1 1 5 xy 1 3y . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của 5x 3 y biểu thức T x 2y 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m 0;1 . B. m 1;2 . C. m 2;3 . D. m 1;0 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có: 5x 3 y 5xy 1 x y 1 1 5 xy 1 3y 5x 3 y 5x 3 y 5 x 3 y x 3y 5 xy 1 5xy 1 xy 1. Xét hàm số f t 5t 5 t t có f t 5t ln 5 5 t ln 5 1 0 , t ¡ . Do đó hàm số f t đồng biến trên ¡ f x 3y f xy 1 x 3y xy 1 x 1 2x 2 y 3 x x 1 y (do x 0 nên x 3 0 ) x 2y 1 x 1 3 x x 3 x2 2x 1 . x 3 x2 2x 1 x2 6x 5 Xét hàm số g x với x 0 có g x 0 , x 0 . x 3 x 3 2 1 1 1 Do đó: g x g 0 , x 0 hay x 2y 1 , x 0 . Vậy m 0;1 . 3 3 3 Câu 1318: [2D1-3.12-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] [2017] Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x 1 2y 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 2 x 1 y 1 8 4 x y . Khi đó, giá trị của M m bằng. A. 41.B. 42 .C. 43.D. 44 . Lời giải Chọn C P x2 y2 2 x 1 y 1 8 4 x y x y 2 2 x y 2 8 4 x y . Đặtt x y P t 2 2t 2 8 4 t .
9. x y x 1 2y 2 Theo giả thiết . x y 2 x 2y 1 2 2 x 1 y 1 x 2y 1 2 x 1 y 1 3 x y . t 3t t 2 3t 0 0 t 3 . Xét f t t 2 2t 2 8 4 t trên 0;3 . 4 f t 2t 2 ; f t 0 2t 2 4 t 4 t 1 4 t 2 . 4 t t 0 t 2 2t 1 4 t 4 t3 2t 2 7t 0 t 1 2 2 0;3. t 1 2 2 0;3 Ta có f 0 18 ; f 3 25 min P 18, max P 25 . Vậy M m 25 18 43. Câu 1319: [2D1-3.12-4] [THPT Kim Liên-HN] [2017] Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = (x- 1)2 + y2 + (x + 1)2 + y2 + 2- y . 191 A. P = 5 + 2 .B. P = 2+ 3 .C. P = 2 2 .D. P = . min min min min 50 Lời giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có. P ³ (1- x + 1- x)2 + (2y)2 + 2- y = 2 1+ y2 + 2- y . 2y 1 Xét hàm số f (y)= 2 1+ y2 + 2- y. Ta có f ¢(y)= - 1. f ¢(y)= 0 Û y = . 1+ y2 3 . Ta thấy min f (y)= 2+ 3 . Do đó Pmin = 2+ 3 . Câu 1320: [2D1-3.12-4] [THPT Chuyên KHTN] [2017] Với a,b 0 thỏa mãn điều kiện a b ab 1, giá trị nhỏ nhất của P a4 b4 bằng. 4 4 4 4 A. 2 2 1 .B. 2 2 1 .C. 2 1 . D. 2 1 . Lời giải Chọn B 2 2 P a4 b4 a2 b2 2 a.b 2 a b 2 2ab 2 ab 2 . 2 P 1 ab 2 2ab 2 ab 2 1 4x x2 2x2 với ab x x 0 . P x4 16x2 1 2x2 8x3 8x 2x2 x4 8x3 16x2 8x 1. Ta có a b 1 ab 2 ab .
10. x 2 x 1 0 0 x 2 1 0 x 3 2 2 . P 4x3 24x2 32x 1. Bảng biến thiên. . 4 min P P 3 2 2 2 2 1 . Câu 50: [2D1-3.12-4] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Xét ba số thực a;b;c thay đổi thuộc đoạn 0;3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T 4 a b b c c a ab bc ca a2 b2 c2 là 3 81 41 A. 0 . B. . C. . D. . 2 4 2 Lời giải: Chọn C. Đặt x a b , y b c , z c a , không mất tổng quát giả sử a b c . Do a,b,c 0;3 nên x y a c 3 . Ta có 1 T 4xyz x2 y2 z2 2 1 2 4xy x y x2 y2 x y 2 2 2 2 2 2 x y 81 4xy x y x y xy 11xy x y 9xy 9 2 4 a 3 3 b 81 81 Khi 2 thì T nên giá trị lớn nhất của T bằng . 4 4 c 0
11. Câu 32: [2D1-3.12-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho x, y 0 và thoả mãn . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 3x2 y xy2 2x3 2x ? A. 4 .B. 8 .C. 12. D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D x2 3 Xét x2 xy 3 0 y (do x 0 ) x x 0 x2 3 5x2 14x 9 9 Xét 2x 3y 14 0 2x 3 14 0 0 9 1 x x x 1 x 5 5 2 2 2 2 2 2 4 2 x2 3 x 3 3x x 3 x 3 2x 2x 5x2 9 Ta có: P 3x2. x. 2x3 2x x x2 x x 5x2 9 9 Xét P trên 1; . x 5 5x2 9 9 9 P 0 x 1; nên P đồng biến trên 1; . x2 5 5 9 Suy ra min P P 1 4, max P P 4 . 9 9 1; 1; 5 5 5 Vậy min P max P 0. Câu 37. [2D1-3.12-4] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa điều kiện y 0 , x2 x y 12 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M xy x 2 y 17 lần lượt bằng A. 10; 6. B. 5; 3. C. 20; 12. D. 8; 5. Lời giải Chọn C Ta có: y x2 x 12 . Do đó: y 0 x2 x 12 0 4 x 3. 2 2 3 2 Mặt khác, M xy x 2y 17 x x x 12 x 2 x x 12 17 x 3x 9x 7 . Xét hàm số f x x3 3x2 9x 7 với 4 x 3. Ta có: f x 3x2 6x 9. Do đó: f x 0 x 1 x 3. Khi đó: f 3 20, f 1 12, f 4 13, f 3 20 . Vậy max M 20, min m 12 . Câu 49: [2D1-3.12-4] (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 3 3 1 1 1 x y z 4 và xy yz zx 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z x y z bằng: A. 20 . B. 25 . C. 15. D. 35 . Lời giải Chọn B x y z 4 x y 4 z Ta có: 2 . xy yz zx 5 xy 5 z x y 5 4z z
12. 2 2 2 Lại có: x y 4xy 4 z 4 5 4z z2 z 2 . Dấu " " xảy ra khi x y . 3 Và x y z 3 x3 y3 z3 3 x y z x y z 3xy x y x3 y3 z3 43 12 x y z 3xy x y 64 3 4 z 5 z2 . 3 3 3 1 1 1 3 2 5 Ta có: P x y z 3z 12z 15z 4 3 2 . x y z z 4z 5z 2 50 Đặt t z3 4z2 5z , với z 2 t 2 . 3 27 4 50 Do đó xét hàm số f t 5 3 , với t 2 . t 27 20 50 Ta có f t 0, t ;2 nên hàm số f t liên tục và nghịch biến. t2 27 Do đó Pmin f 2 25 đạt tại x y 1, z 2 .