Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 3: Max. Min - Dạng 14: Bài toán thực tế, liên môn về Max. Min - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 3: Max. Min - Dạng 14: Bài toán thực tế, liên môn về Max. Min - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 469: [2D1-3.14-3] Anh Phong có một cái ao với diện tích 50m2 để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi 8 con / m2 thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm 0,5kg . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi) A. 488 con. B. 658 con. C. 342 con. D. 512 con. Lời giải Chọn D Số cá anh Phong thả trong vụ vừa qua là 50.20 = 1000 (con) 1500 Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần là = 1,5kg / con 1000 Gọi x > 0 là số cá anh cần thả ít đi cho vụ tới nên sẽ tăng 0,0625x kg/con Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu được T = f (x) = (1000 - x)(1,5 + 0,0625x) ì ï f ¢(x) = - 0,125x + 61 = 0 Þ x = 488 Þ íï Þ max f (x) = 16384 Û x = 488 ï f ¢¢ x = - 0,125 îï ( ) Vậy ở vụ sau anh chỉ cần thả 1000 - 488 = 512 con cá giống. Câu 482: [2D1-3.14-3] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2.250.000. B. 2.350.000. C. 2.450.000. D. 2.550.000. Lời giải Chọn A Gọi x là giá cho thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x – đồng; x ³ 2000.000 đồng ). Số căn hộ cho thuê được ứng với giá cho thuê: 1 1 50 - (x - 2000000) = - x + 90,(1) 50000 50.000 Gọi F (x) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F (x): đồng). æ ö ç 1 ÷ 1 2 Ta có F (x) = ç- x + 90÷x = - x + 90x èç 50.000 ø÷ 50.000 1 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F (x) = - x 2 + 90x với điều kiện 50.000 x ³ 2000.000 1 F '(x) = - x + 90 25.000
2. 1 F '(x) = 0 Û - x + 90 = 0 Û x = 2.250.000 25.000 Ta lập bảng biến thiên: Suy ra F (x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. 1 Nhận xét: Làm sao ta có thể tìm được hệ số trong biểu thức (1)? 50000 Ta có thể hiểu đơn giản như sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 - m (x - 2000.000)x = 2.000.000 thì số căn hộ được thuê là50. Nếu số tiền cho thuê tăng lên là x = 2.100.000 thì có 2 căn hộ để trống, nghĩa là có 48 người thuê. Ta có: 1 50 - m (2.100.000 - 2.000.000) = 48 Û m = . 50000 Câu 483: [2D1-3.14-3] Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a(m) (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất? 2a a A. chiều rộng bằng , chiều cao bằng 4 + p 4 + p a 2a B. chiều rộng bằng , chiều cao bằng 4 + p 4 + p C. chiều rộng bằng a(4 + p) , chiều cao bằng 2a(4 + p) D. chiều rộng bằng a(4 - p) , chiều cao bằng 2a(4 - p) Lời giải Chọn A Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là p x , tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a - px . Diện tích cửa sổ là: 2 p x a - p x - 2x p p a S = S + S = + 2x = ax - ( + 2)x 2 = ( + 2)x( - x) . 1 2 2 2 2 2 p + 2 2 a a Dễ thấy S lớn nhất khi x = - x hay x = .(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh p 4 + p + 2 2 Parabol) a 2a Vậy để S thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng ; chiều rộng bằng max 4 + p 4 + p Câu 484: [2D1-3.14-3] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài đường biên giới hạn
3. của tiết diện này, l - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật) S S A. x = 4S,y = B. x = 4S,y = 4 2 S S C. x = 2S,y = D. x = 2S,y = 4 2 Lời giải Chọn D Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; 2 2S 2S - 2S x - 2S l = 2y + x = + x . Xét hàm số l (x) = + x . Ta có l '(x) = + 1 = . x x x 2 x 2 S S l '(x) = 0 Û x 2 - 2S = 0 Û x = 2S , khi đó y = = . x 2 Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là S x = 2S , y = thì mương có dạng thuỷ động học. 2 Câu 489: [2D1-3.14-3] Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? A. 200m ´ 200m B. 300m ´ 100m C. 250m ´ 150m D. Đáp án khác Lời giải Chọn A Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và Diện tích miếng đất: Theo đề bài thì: hay. Do đó: với Đạo hàm:. Cho. Lập bảng biến thiên ta được: khi. Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông). Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy. Câu 490: [2D1-3.14-3] Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là 384cm2 . Lề trên, lề dưới là 3cm; lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là: A. 24cm, 25cm. B. 15cm, 40cm. C. 20cm, 30cm. D. 22,2cm, 27cm. Lời giải Chọn C Gọi a,b(cm)(a > 0,b > 0) là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là a + 6,b + 4
4. 384 Ta có: a.b = 384 Þ b = (1) a 2304 Diện tích trang sách là: S = (a + 6)(b + 4) Û S = 4a + + 408 a 2304 Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: Û S ³ 2 4a. + 408 = 600 a 2304 Suy ra MinS = 600 Û 4a = Û a = 24, suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm a Câu 492: [2D1-3.14-3] Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1,034m2 B. 1,574m2 C. 1,989m2 D. 2,824m2 Lời giải Chọn C Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo căng và là phần giao của 2 đường tròn. Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O,M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu. Ta có phương trình đường tròn tâm (O): x 2 + y2 = 32 và phương trình đường tròn tâm 2 (M ): (x - 4) + y2 = 22 Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y = 9 - x 2 và 2 y = 4 - (x - 4) 2 21 Phương trình hoành độ giao điểm: 4 - (x - 4) = 9 - x 2 Û 4 + 8x - 16 = 9 Û x = 8 é21 ù 8 3 ê 2 ú ê 2 ú Diện tích phần được tô màu là: S = 2êò 4 - (x - 4) dx + ò 9 - x dxú» 1,989. Ta có thể ê2 21 ú ëê 8 ûú giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy. Câu 493: [2D1-3.14-3] Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có 3 chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn). A. 15 6 mét B. 2 30 mét C. 12 10 mét D. 10 2 mét Lời giải
5. Chọn A Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm M ,N,P nằm trên các cạnh A 'B ',CC ',AD như hình vẽ. Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm M ,N,P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất. Đặt M (x;10;0),P (0;0;z),N (10;y;10). Chu vi tam giác MNP là: 2 2 2 MN + NP + PQ = (x - 10) + (y - 10) + 102 + 102 + y2 + (z - 10) + x 2 + 102 + z2 2 2 2 2 = (10 - x) + (y - 10) + 102 + y2 + (z - 10) + 102 + z2 + (- x) + 102 Áp dụng bất đẳng thức vecto : 2 2 2 Þ MN + NP + PM ³ (10 - x + y) + (y + z - 20) + 202 + z2 + (- x) + 102 2 2 2 ³ (10 - x + y + z) + (y - 10 + z - 10 - x) + (10 + 10 + 10) 2 2 = 2(y + z - x - 5) + 450 + (10 + 10 + 10) ³ 15 6 ïì ï y + z - x = 5 ï ïì y = z ï ï ï 10 - x y - 10 10 ï Dấu bằng xảy ra khi íï = = Û í 2y - x = 5 Û x = y = z = 5 ï y z - 10 10 ï ï ï x + y = 10 ï 10 - x + y y + z - 20 20 îï ï = = îï z - x 10 Vậy giá trị cần tìm là 15 6 . Câu 494: [2D1-3.14-3] Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 m được đặt song song và cách mặt đất h(m). Nhà có 3 trụ tại A, B, C vuông góc với ABC . Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N sao cho AM = x,AN = y và góc giữa MBC và (NBC)bằng 90 để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà. A. 5 3 . B. 10 3 . C. 10. D. 12. Lời giải Chọn A Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM = x + y . Gọi I là trung điểm của BC . Ta có DABC đều Þ AI ^ BC , vì MN ^ (ABC ) Þ MN ^ BC , từ ïì MI ^ BC ï · 0 đó suy ra Þ BC ^ MNI Þ í Þ MIN = 90 ( ) ï NI ^ BC îï 2 æ10 3÷ö 2 ç ÷ DIMN vuông tại I nhận AI là đường cao nên Þ AM .AN = AI Þ xy = ç ÷ = 75 èç 2 ø÷ Theo bất đẳng thức Côsi: x + y ³ 2 xy = 2. 75 = 10 3 Û x = y = 5 3
6. Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là 10 3. Câu 495: [2D1-3.14-3] (NHO QUAN A) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 15 13 10 19 A. km B. km C. D. 4 4 4 4 Lời giải Chọn B Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x là hàm số tính tổng chi phí sử dụng. Đặt BS x thì ta được: SA 4 x, CS x2 1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f x được xác định như sau: f x 3000. 4 x 5000. x2 1 với x 0;4 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. x f ' x 3000 5000. . x2 1 x f ' x 0 3000 5000. 0 3000 x2 1 5000x 0 x2 1 3 x2 1 5x 3 16x2 9 x 3 4 x . x 0 4 x 0 Hàm số f x liên tục trên đoạn 0;4. 3 Ta có: f 0 17000, f 16000, f 4 20615,52813. 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là 16000 và tại x . Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S 4 3 13 nằm cách A một đoạn SA 4 x 4 . 4 4 Câu 496: [2D1-3.14-3] (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A,B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên
7. mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A. AM = 6m, BM = 18m. B. AM = 7m, BM = 17m. C. AM = 4m, BM = 20m. D. AM = 12m, BM = 12m. Lời giải Chọn A Đặt AM = x(0 BM = 18(m). Câu 497: [2D1-3.14-3] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 569,5m B. 671,4m C.779,8m D. 741,2m Lời giải Chọn C Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M vềB. dễ dàng tính được BD = 369, EF = 492. Ta đặt EM = x,khi đó ta được: 2 MF = 492- x, AM = x2 + 1182 ,BM = (492- x) + 4872 . Như vậy ta có hàm số f (x) được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB: 2 f x = x2 + 1182 + 492- x + 4872 với é ù ( ) ( ) x Î ëê0;492ûú Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. x 492- x f '(x) = - . 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872
8. x 492- x f '(x) = 0 Û - = 0 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 x 492- x Û = 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 2 Û x (492- x) + 4872 = (492- x) x2 + 1182 2 2 ïì 2 é 2 ù 2 2 ï x ê(492- x) + 487 ú= (492- x) (x + 118 ) Û í ëê ûú ï 0 £ x £ 492 îï ì 2 2 ï (487x) = (58056- 118x) Û íï ï 0 £ x £ 492 îï ïì 58056 58056 ï x = hay x = - 58056 Û í 605 369 Û x = ï 0 £ x £ 492 605 îï æ ö é ù ç58056÷ Hàm số f (x) liên tục trên đoạn ê0; 492ú. So sánh các giá trị của f (0) , f ç ÷, f (492) ë û èç 605 ø÷ æ ö ç58056÷ ta có giá trị nhỏ nhất là f ç ÷» 779, 8m èç 605 ø÷ Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Câu 502: [2D1-3.14-3] (NGÔ QUYỀN – HP) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất. A. 42.000 đồng. B. 40.000 đồng. C. 43.000 đồng. D. 39.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng). Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x chiếc. Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 x (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là: f x 3000 100x 12 x (nghìn đồng). Xét hàm số f x 3000 100x 12 x trên 0; . Ta có: f x 100x2 1800x 36000 100 x 9 2 44100 44100 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 9 .
9. Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là39.000 đồng. Câu 469: [DS12.C1.3.D14.c] Anh Phong có một cái ao với diện tích 50m2 để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi 8 con / m2 thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm 0,5kg . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi) A. 488 con. B. 658 con. C. 342 con. D. 512 con. Lời giải Chọn D Số cá anh Phong thả trong vụ vừa qua là 50.20 = 1000 (con) 1500 Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần là = 1,5kg / con 1000 Gọi x > 0 là số cá anh cần thả ít đi cho vụ tới nên sẽ tăng 0,0625x kg/con Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu được T = f (x) = (1000 - x)(1,5 + 0,0625x) ì ï f ¢(x) = - 0,125x + 61 = 0 Þ x = 488 Þ íï Þ max f (x) = 16384 Û x = 488 ï f ¢¢ x = - 0,125 îï ( ) Vậy ở vụ sau anh chỉ cần thả 1000 - 488 = 512 con cá giống. Câu 482: [DS12.C1.3.D14.c] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2.250.000. B. 2.350.000. C. 2.450.000. D. 2.550.000. Lời giải Chọn A Gọi x là giá cho thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x – đồng; x ³ 2000.000 đồng ). Số căn hộ cho thuê được ứng với giá cho thuê: 1 1 50 - (x - 2000000) = - x + 90,(1) 50000 50.000 Gọi F (x) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F (x): đồng). æ ö ç 1 ÷ 1 2 Ta có F (x) = ç- x + 90÷x = - x + 90x èç 50.000 ø÷ 50.000 1 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F (x) = - x 2 + 90x với điều kiện 50.000 x ³ 2000.000
10. 1 F '(x) = - x + 90 25.000 1 F '(x) = 0 Û - x + 90 = 0 Û x = 2.250.000 25.000 Ta lập bảng biến thiên: Suy ra F (x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. 1 Nhận xét: Làm sao ta có thể tìm được hệ số trong biểu thức (1)? 50000 Ta có thể hiểu đơn giản như sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 - m (x - 2000.000)x = 2.000.000 thì số căn hộ được thuê là50. Nếu số tiền cho thuê tăng lên là x = 2.100.000 thì có 2 căn hộ để trống, nghĩa là có 48 người thuê. Ta có: 1 50 - m (2.100.000 - 2.000.000) = 48 Û m = . 50000 Câu 483: [DS12.C1.3.D14.c] Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a(m) (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất? 2a a A. chiều rộng bằng , chiều cao bằng 4 + p 4 + p a 2a B. chiều rộng bằng , chiều cao bằng 4 + p 4 + p C. chiều rộng bằng a(4 + p) , chiều cao bằng 2a(4 + p) D. chiều rộng bằng a(4 - p) , chiều cao bằng 2a(4 - p) Lời giải Chọn A Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là p x , tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a - px . Diện tích cửa sổ là: 2 p x a - p x - 2x p p a S = S + S = + 2x = ax - ( + 2)x 2 = ( + 2)x( - x) . 1 2 2 2 2 2 p + 2 2 a a Dễ thấy S lớn nhất khi x = - x hay x = .(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh p 4 + p + 2 2 Parabol) a 2a Vậy để S thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng ; chiều rộng bằng max 4 + p 4 + p
11. Câu 484: [DS12.C1.3.D14.c] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, l - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật) S S A. x = 4S,y = B. x = 4S,y = 4 2 S S C. x = 2S,y = D. x = 2S,y = 4 2 Lời giải Chọn D Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; 2 2S 2S - 2S x - 2S l = 2y + x = + x . Xét hàm số l (x) = + x . Ta có l '(x) = + 1 = . x x x 2 x 2 S S l '(x) = 0 Û x 2 - 2S = 0 Û x = 2S , khi đó y = = . x 2 Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là S x = 2S , y = thì mương có dạng thuỷ động học. 2 Câu 489: [DS12.C1.3.D14.c] Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? A. 200m ´ 200m B. 300m ´ 100m C. 250m ´ 150m D. Đáp án khác Lời giải Chọn A Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và Diện tích miếng đất: Theo đề bài thì: hay. Do đó: với Đạo hàm:. Cho. Lập bảng biến thiên ta được: khi. Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông). Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy. Câu 490: [DS12.C1.3.D14.c] Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là 384cm2 . Lề trên, lề dưới là 3cm; lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là: A. 24cm, 25cm. B. 15cm, 40cm. C. 20cm, 30cm. D. 22,2cm, 27cm. Lời giải Chọn C Gọi a,b(cm)(a > 0,b > 0) là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là a + 6,b + 4
12. 384 Ta có: a.b = 384 Þ b = (1) a 2304 Diện tích trang sách là: S = (a + 6)(b + 4) Û S = 4a + + 408 a 2304 Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: Û S ³ 2 4a. + 408 = 600 a 2304 Suy ra MinS = 600 Û 4a = Û a = 24, suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm a Câu 492: [DS12.C1.3.D14.c] Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1,034m2 B. 1,574m2 C. 1,989m2 D. 2,824m2 Lời giải Chọn C Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo căng và là phần giao của 2 đường tròn. Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O,M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu. Ta có phương trình đường tròn tâm (O): x 2 + y2 = 32 và phương trình đường tròn tâm 2 (M ): (x - 4) + y2 = 22 Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y = 9 - x 2 và 2 y = 4 - (x - 4) 2 21 Phương trình hoành độ giao điểm: 4 - (x - 4) = 9 - x 2 Û 4 + 8x - 16 = 9 Û x = 8 é21 ù 8 3 ê 2 ú ê 2 ú Diện tích phần được tô màu là: S = 2êò 4 - (x - 4) dx + ò 9 - x dxú» 1,989. Ta có thể ê2 21 ú ëê 8 ûú giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy. Câu 493: [DS12.C1.3.D14.c] Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có 3 chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn). A. 15 6 mét B. 2 30 mét C. 12 10 mét D. 10 2 mét Lời giải
13. Chọn A Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm M ,N,P nằm trên các cạnh A 'B ',CC ',AD như hình vẽ. Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm M ,N,P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất. Đặt M (x;10;0),P (0;0;z),N (10;y;10). Chu vi tam giác MNP là: 2 2 2 MN + NP + PQ = (x - 10) + (y - 10) + 102 + 102 + y2 + (z - 10) + x 2 + 102 + z2 2 2 2 2 = (10 - x) + (y - 10) + 102 + y2 + (z - 10) + 102 + z2 + (- x) + 102 Áp dụng bất đẳng thức vecto : 2 2 2 Þ MN + NP + PM ³ (10 - x + y) + (y + z - 20) + 202 + z2 + (- x) + 102 2 2 2 ³ (10 - x + y + z) + (y - 10 + z - 10 - x) + (10 + 10 + 10) 2 2 = 2(y + z - x - 5) + 450 + (10 + 10 + 10) ³ 15 6 ïì ï y + z - x = 5 ï ïì y = z ï ï ï 10 - x y - 10 10 ï Dấu bằng xảy ra khi íï = = Û í 2y - x = 5 Û x = y = z = 5 ï y z - 10 10 ï ï ï x + y = 10 ï 10 - x + y y + z - 20 20 îï ï = = îï z - x 10 Vậy giá trị cần tìm là 15 6 . Câu 494: [DS12.C1.3.D14.c] Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 m được đặt song song và cách mặt đất h(m). Nhà có 3 trụ tại A, B, C vuông góc với ABC . Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N sao cho AM = x,AN = y và góc giữa MBC và (NBC)bằng 90 để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà. A. 5 3 . B. 10 3 . C. 10. D. 12. Lời giải Chọn A Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM = x + y . Gọi I là trung điểm của BC . Ta có DABC đều Þ AI ^ BC , vì MN ^ (ABC ) Þ MN ^ BC , từ ïì MI ^ BC ï · 0 đó suy ra Þ BC ^ MNI Þ í Þ MIN = 90 ( ) ï NI ^ BC îï 2 æ10 3÷ö 2 ç ÷ DIMN vuông tại I nhận AI là đường cao nên Þ AM .AN = AI Þ xy = ç ÷ = 75 èç 2 ø÷ Theo bất đẳng thức Côsi: x + y ³ 2 xy = 2. 75 = 10 3 Û x = y = 5 3
14. Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là 10 3. Câu 495: [DS12.C1.3.D14.c] (NHO QUAN A) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 15 13 10 19 A. km B. km C. D. 4 4 4 4 Lời giải Chọn B Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x là hàm số tính tổng chi phí sử dụng. Đặt BS x thì ta được: SA 4 x, CS x2 1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f x được xác định như sau: f x 3000. 4 x 5000. x2 1 với x 0;4 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. x f ' x 3000 5000. . x2 1 x f ' x 0 3000 5000. 0 3000 x2 1 5000x 0 x2 1 3 x2 1 5x 3 16x2 9 x 3 4 x . x 0 4 x 0 Hàm số f x liên tục trên đoạn 0;4. 3 Ta có: f 0 17000, f 16000, f 4 20615,52813. 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là 16000 và tại x . Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S 4 3 13 nằm cách A một đoạn SA 4 x 4 . 4 4 Câu 496: [DS12.C1.3.D14.c] (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A,B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M
15. trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A. AM = 6m, BM = 18m. B. AM = 7m, BM = 17m. C. AM = 4m, BM = 20m. D. AM = 12m, BM = 12m. Lời giải Chọn A Đặt AM = x(0 BM = 18(m). Câu 497: [DS12.C1.3.D14.c] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 569,5m B. 671,4m C.779,8m D. 741,2m Lời giải Chọn C Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M vềB. dễ dàng tính được BD = 369, EF = 492. Ta đặt EM = x,khi đó ta được: 2 MF = 492- x, AM = x2 + 1182 ,BM = (492- x) + 4872 . Như vậy ta có hàm số f (x) được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB: 2 f x = x2 + 1182 + 492- x + 4872 với é ù ( ) ( ) x Î ëê0;492ûú Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. x 492- x f '(x) = - . 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872
16. x 492- x f '(x) = 0 Û - = 0 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 x 492- x Û = 2 2 2 x + 118 (492- x) + 4872 2 Û x (492- x) + 4872 = (492- x) x2 + 1182 2 2 ïì 2 é 2 ù 2 2 ï x ê(492- x) + 487 ú= (492- x) (x + 118 ) Û í ëê ûú ï 0 £ x £ 492 îï ì 2 2 ï (487x) = (58056- 118x) Û íï ï 0 £ x £ 492 îï ïì 58056 58056 ï x = hay x = - 58056 Û í 605 369 Û x = ï 0 £ x £ 492 605 îï æ ö é ù ç58056÷ Hàm số f (x) liên tục trên đoạn ê0; 492ú. So sánh các giá trị của f (0) , f ç ÷, f (492) ë û èç 605 ø÷ æ ö ç58056÷ ta có giá trị nhỏ nhất là f ç ÷» 779, 8m èç 605 ø÷ Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Câu 502: [DS12.C1.3.D14.c] (NGÔ QUYỀN – HP) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất. A. 42.000 đồng. B. 40.000 đồng. C. 43.000 đồng. D. 39.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng). Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x chiếc. Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 x (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là: f x 3000 100x 12 x (nghìn đồng). Xét hàm số f x 3000 100x 12 x trên 0; . Ta có: f x 100x2 1800x 36000 100 x 9 2 44100 44100 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 9 .
17. Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là39.000 đồng. Câu 37. [2D1-3.14-3] (THPT Hảng Quang - Hải Dương - Lản 1 - 2018 - BTN) Thành phạ Hại Đông dạ đạnh xây dạng mạt trạm nưạc sạch đạ cung cạp cho hai khu dân cư A và B . Trạm nưạc sạch đạt tại vạ tríC trên bạ sông. Biạt AB 3 17 km , khoạng cách tạ A và B đạn bạ sông lạn lưạt là AM 3km , BN 6km (hình vạ). Gại T là tạng đạ dài đưạng ạng tạ trạm nưạc đạn A và B . Tìm giá trạ nhạ nhạt cạa T . A. 15km . B. 14,32km . C. 15,56km . D. 16km . Lời giải Chọn C Gọi A đối xứng với A qua MN , D là trung điểm của NB . Do A cố định nên A cũng cố định. Ta có: T CA CB CA CB A B (không đổi). Đẳng thức xảy ra khi C MN  A B . MC MA MA 1 Khi đó: (1) NC NB NB 2 Mặt khác, MN AD AD2 DB2 153 9 9 2 km (2) Từ (1) và (2) suy ra MC 3 2 km , NC 6 2 km . Vậy T CA CB AM 2 MC 2 BN 2 NC 2 9 18 36 72 9 3 ; 15,56km . Câu 24: [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G x 0,035x2 15 x , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. A. x 8 . B. x 10 . C. x 15. D. x 7 . Lời giải Chọn B Đk: x 0;15 . (vì độ giảm huyết áp không thể là số âm) 2 x 0 Có G x 0,035 2x 15 x x 0,105x 10 x 0 . x 10