Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 7: Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc - Dạng 1: Các bài toán tiếp tuyến (không tham số) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 7: Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc - Dạng 1: Các bài toán tiếp tuyến (không tham số) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. x 2 Câu 2058: [2D1-7.1-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Cho hàm số y có đồ thị x 1 C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị C đến một tiếp tuyến tùy ý của đồ thị C . Khi đó giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là A. 2 2 .B. 2 . C. 3 .D. 3 3 . Lời giải Chọn B 1 Ta có I 1;1 . y ' . x 1 2 x0 2 1 Giả sử M x0 ; là một điểm thuộc C , x0 1. Suy ra: y ' x0 . x 1 2 0 x0 1 Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: 1 x 2 x x 2 4x 2 y x x 0 y 0 0 0 . 2 0 x 1 2 2 x0 1 0 x0 1 x0 1 2 2 x y x0 1 x0 4x0 2 0 d . 2 2 1 x0 1 x0 4x0 2 2 x 1 2 x 1 Suy ra: d 0 0 . I ;d 4 4 4 1 x0 1 1 x0 1 1 x0 1 4 4 2 Theo bất đẳng thức Cô-si: 1 x0 1 2 1. x0 1 2 x0 1 . 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 x0 1 x0 0 . 2 x 1 Suy ra: d 0 2 . Vậy max d 2 khi x 0; y 2 . I ;d 2 I ;d 0 0 2 x0 1 x 2 Câu 2058: [DS12.C1.7.D01.c] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Cho hàm số y có x 1 đồ thị C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị C đến một tiếp tuyến tùy ý của đồ thị C . Khi đó giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là A. 2 2 .B. 2 . C. 3 .D. 3 3 . Lời giải Chọn B 1 Ta có I 1;1 . y ' . x 1 2 x0 2 1 Giả sử M x0 ; là một điểm thuộc C , x0 1. Suy ra: y ' x0 . x 1 2 0 x0 1 Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: 1 x 2 x x 2 4x 2 y x x 0 y 0 0 0 . 2 0 x 1 2 2 x0 1 0 x0 1 x0 1
2. 2 2 x y x0 1 x0 4x0 2 0 d . 2 2 1 x0 1 x0 4x0 2 2 x 1 2 x 1 Suy ra: d 0 0 . I ;d 4 4 4 1 x0 1 1 x0 1 1 x0 1 4 4 2 Theo bất đẳng thức Cô-si: 1 x0 1 2 1. x0 1 2 x0 1 . 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 x0 1 x0 0 . 2 x 1 Suy ra: d 0 2 . Vậy max d 2 khi x 0; y 2 . I ;d 2 I ;d 0 0 2 x0 1 Câu 33: [2D1-7.1-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Tiếp tuyến của 4x 3 đồ thị hàm số y cùng với 2 tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng: 2x 1 A. 6 .B. 7 .C. 5 .D. 4 . Lời giải Chọn C 1 Gọi M x ; y là điểm nằm trên đồ thị hàm số , x . 0 0 0 2 10 y 2x 1 2 10 4x 3 Phương trình tiếp tuyến tại M : y f (x ) x x y y x x 0 0 0 0 2 0 2x 1 2x0 1 0 1 Tiệm cận đứng: x , tiệm cận ngang: y 2 2 Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng 1 10 1 4x0 3 4x0 8 1 4x0 8 xA yA 2 x0 . Vậy A ; 2 2 2x 1 2x 1 2 2x 1 2x0 1 0 0 0 Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận 10 4x0 3 1 4x0 1 ngang yB 2 2 2 xB x0 xB 2x0 . Vậy B ;2 2x 1 2 2 2x0 1 0 1 Giao điểm 2 tiệm cận là I ;2 2  10 10 Ta có: IA 0; IA 2x0 1 2x0 1  IB 2x0 1;0 IB 2x0 1 1 1 10 Tam giác IAB vuông tại I nên SIAB IA.IB . 2x0 1 5 . 2 2 2x0 1 Câu 45: [2D1-7.1-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 , với m là tham số; gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d . 1 1 A. k .B. k .C. k 3.D. k 3. 3 3
3. Lời giải Chọn C Tập xác định D ¡ . Ta có y 3x2 6mx 3 m2 1 và y 6x 6m . Khi đó y 0 3x2 6mx 3 m2 1 0 . 3m 3 9m2 9 m2 1 9 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x m 1 và 3 3m 3 x m 1. 3 y m 1 6 m 1 6m 6 0 x m 1 là điểm cực đại của hàm số A m 1; 3m 2 là điểm cực đại của đồ thị C . xA m 1 Ta có yA 3xA 1 yA 3m 2 A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình y 3x 1. Do đó hệ số góc k của đường thẳng d là 3 . 2x Câu 48: [2D1-7.1-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y có x 2 đồ thị C và điểm M x0 ; y0 C x0 0 . Biết rằng khoảng cách từ I 2;2 đến tiếp tuyến của C tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2x0 y0 0 .B. 2x0 y0 2 .C. 2x0 y0 2 .D. 2x0 y0 4 . Lời giải Chọn D Phương trình tiếp tuyến của C tại M có dạng d : y y x0 . x x0 y0 . 2x0 Ta có M x0 ; y0 C y0 x0 2 4 4 Lại có y 2 y x0 2 . x 2 x0 2 4 2x Do đó d : y . x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 2 2 2 d : y x0 2 4x 4x0 2x0 x0 2 d : 4x x0 2 y 2x0 0 2 2 8 2 x0 2 2x0 16 8x 8 d I;d 0 . 4 4 2 2 16 4 x0 2 x0 2 16 x0 2 2 x0 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 2 16 2 16 x0 2 2 2 x0 2 . 2 8 0 d I;d 1. x0 2 x0 2 2 16 2 x 0 Dấu “ ” xảy ra x 2 x 2 4 0 0 2 0 x 4 x0 2 0 Bài ra x0 0 nên x0 4 y0 4 2x0 y0 4 .
4. Câu 36: [2D1-7.1-3] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị C . Đường thẳng d : y x 2 cắt đồ thị C tại ba điểm A , B , C 0;2 . Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A và B . Tính k1.k2 . A. 9 . B. 27 . C. 81. D. 81. Lời giải Chọn D. Ta có: y 3x2 3 Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C là : 3 3 x 0 x 3x 2 x 2 x 4x 0 x 2 Vậy đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt: A 2;2 , B 2;4 và C 0;2 . Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A và B , ta có: k1 y 2 9 , k2 y 2 9 . Vậy k1k2 81. Câu 16: [2D1-7.1-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị hàm số x 1 C : y . Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A 2; 1 là x 2 A. 1. B. 3 . C. 2 .D. 0 . Lời giải Chọn D + TXĐ: D ¡ \ 2 . 1 Ta có y , x 2 . x 2 2 x0 1 Gọi tọa độ tiếp điểm là M x0 ; với x0 2 . Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại x0 2 1 x 1 điểm M là: y . x x 0 . 2 0 x 2 x0 2 0 Tiếp tuyến đi qua điểm A 2; 1 nên ta có phương trình: 1 x 1 1 x 1 x 1 . 2 x 0 1 0 0 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 x0 2 0 0 0 0 x0 2 x0 2 Phương trình vô nghiệm. x0 x0 2 0 2 Vậy không có tiếp tuyến nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2x 1 Câu 35: [2D1-7.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y 2x 2 có đồ thị C . Gọi M x0 ; y0 (với x0 1) là điểm thuộc C , biết tiếp tuyến của C tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S OIB 8S OIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của S x0 4y0. 17 23 A. S 8. B. S . C. S . D. S 2 . 4 4
5. Lời giải Chọn A 2 Ta có y , TCĐ: x 1 d1 , TCN: y 1 d2 , I 1;1 . 2x 2 2 2 2x 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x ; y có dạng y x x 0 0 0 2 0 2x 2 2x0 2 0   x0 1 A  d1 A 1; , B  d2 B 2x0 1;1 . IB 2x0 2;0 , IA 0; . x0 1 x0 1 1 1 1 2 S OIB 8S OIA .1.IB 8. .1.IA IB 8IA 2x0 2 8 x0 1 4 2 2 x0 1 5 5 x 3 (do x 1) y S x 4y 3 4. 8. 0 0 0 4 0 0 4 2x 1 Câu 35: [2D1-7.1-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y có đồ thị 2x 2 là (C). Gọi M x0 ; y0 (với x0 1) là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S OIB 8S OIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Tính S x0 4y0. 7 13 A. S 2. B. S . C. S . D. S 2. 4 4 Lời giải Chọn D (Vì O· IA O· IB ) 1 1 IA 1 Ta có S 8S OI.IB.sin O· IB 8 OI.IA.sin O· IA IB 8IA . OIB OIA 2 2 IB 8
6. 5 x 3 y 1 2 1 4 Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k y . 8 2 8 3 2x 2 x 1 y 4 5 Với x 3, y S x 4y 3 5 2 . 4 Câu 5: [2D1-7.1-3] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x xác định và có 2 3 đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 2x 1 f 1 x x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 5 1 6 A. y x .B. y x . C. y x .D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải Chọn B 2 3 2 3 f 1 0 Từ f 2x 1 f 1 x x (*), cho x 0 ta có f 1 f 1 0 f 1 1 2 Đạo hàm hai vế của (*) ta được 4. f 2x 1 . f 2x 1 3 f 1 x . f 1 x 1. 2 Cho x 0 ta được 4 f 1 . f 1 3. f 1 . f 1 1 f 1 . f 1 . 4 3 f 1 1 ( ). Nếu f 1 0 thì ( ) vô lý, do đó f 1 1, khi đó ( ) trở thành 1 f 1 .4 3 1 f 1 7 1 1 8 Phương trình tiếp tuyến y x 1 1 y x . 7 7 7 Câu 28: [2D1-7.1-3](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y 2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ được hai tiếp tuyến phân x2 biệt tới đồ thị hàm số y đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Tính tổng x 1 hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S . A. T 2 3 .B. T 3.C. T 1.D. T 2. Lời giải Chọn D x2 1 y x 1 x 1 x 1 Gọi điểm A a;2 d : y 2 . Đường thẳng đi qua A có dạng y k x a 2 x2 k x a 2 x 1 2 2 Điều kiện tiếp xúc: 2 1 a k 4k 4 0 x 2x 2 k x 1 4 a 3 Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau 2 1 1 a a 1
7. Vậy tổng hai hoành độ là: 2 . 2x 1 Câu 1628: [2D1-7.1-3] [THPT Chuyên NBK(QN) – 2017] Cho hàm số y có đồ thị C . x 1 Tiếp tuyến với đồ thị C tại M 2;5 cắt hai đường tiệm cận tại E và F. Khi đó độ dài EF bằng. A. 10 .B. 2 10 .C. 13 . D. 2 13 . Lời giải Chọn B Tiệm cận đứng của đồ thị C là: x 1 . Tiệm cận ngang của đồ thị C là: y 1. 3 Ta có y . x 1 2 Tiếp tuyến với C tại M 2;5 là: 3 y y 2 x 2 5 y x 2 5 y 3x 11. 2 1 2 Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E 1;8 . Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F 3; 2 . Vậy EF 3 1 2 2 8 2 40 2 10 . Câu 45: [2D1-7.1-3](CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x xx tại điểm có hoành độ bằng 2 . A. y 4x 4 . B. y 4ln 2 x 8ln 2 4 . C. y 4 1 ln 2 x 8ln 2 4 . D. y 2x . Lời giải Chọn C Hàm số y f x xx xác định trên khoảng 0; . Ta có y f x xx ln f x ln xx ln f x x ln x . Lấy đạo hàm hai vế, ta có f x 1 ln x f x f x 1 ln x f x f x xx 1 ln x f 2 22 1 ln 2 4 1 ln 2 . Ta có f 2 22 4 . Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 2 là y f 2 x 2 f 2 hay y 4 1 ln 2 x 8ln 2 4 . Câu 39. [2D1-7.1-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số x 1 y . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp 2x 3 tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng 1 A. d . B. d 1. C. d 2 . D. d 5 . 2
8. Lời giải Chọn A 3 1 Tọa độ giao điểm I ; . 2 2 x0 1 Gọi tọa độ tiếp điểm là x0 ; . Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại 2x0 3 x0 1 điểm x0 ; là: 2x0 3 1 x 1 2 y x x 0 x 2x 3 y 2x2 4x 3 0 . 2 0 2x 3 0 0 0 2x0 3 0 3 1 2 2x 3 2x2 4x 3 2 2 0 0 0 2x 3 2x 3 1 Khi đó: d I, 0 0 4 4 2 2 1 2x0 3 1 2x0 3 2 2x0 3 (Theo bất đẳng thức Cô si) 2 2x0 3 1 x0 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2x0 3 1 . 2x0 3 1 x0 1 1 Vậy max d I, . 2 Câu 38. [2D1-7.1-3](SỞ GD-ĐT HẬU GIANG-2018-BTN) Cho hàm số 3 2 Cm : y x 2x m 1 x 2m , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1;2 có thể vẽ đến Cm đúng hai tiếp tuyến. 4 4 109 A. m . B. m . 3 3 81 109 4 109 C. m . D. m hoặc m . 81 3 81 Lời giải Chọn D Ta có: y 3x2 4x m 1. Giả sử A a;a3 2a2 m 1 a 2m là tiếp điểm của tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến tại A là: y 3a2 4a m 1 x a a3 2a2 m 1 a 2m . Do tiếp tuyến qua M 1;2 nên: 2 3a2 4a m 1 1 a a3 2a2 m 1 a 2m 2a3 5a2 4a 3m 3 0 (*). Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị Cm thì (*) có đúng hai nghiệm. a 1 3 2 2 Xét hàm số g a 2a 5a 4a 3m 3 , g a 6a 10a 4 , g a 0 2 . a 3 109 Do đó y 3m , y 3m 4 . CT 27 CĐ 4 m yCT 0 3 Để (*) có đúng hai nghiệm thì . y 0 109 CĐ m 81
9. Đề này có vấn đề chỗ đáp án. Đáp án cũ là: 4 4 41 41 4 41 A. m . B. m . C. m . D. m hoặc m . 3 3 9 9 3 9 Và đáp án sửa như trên. x 2 Câu 2058: [2D1-7.1-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Cho hàm số y có đồ thị x 1 C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị C đến một tiếp tuyến tùy ý của đồ thị C . Khi đó giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là A. 2 2 .B. 2 . C. 3 .D. 3 3 . Lời giải Chọn B 1 Ta có I 1;1 . y ' . x 1 2 x0 2 1 Giả sử M x0 ; là một điểm thuộc C , x0 1. Suy ra: y ' x0 . x 1 2 0 x0 1 Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: 1 x 2 x x 2 4x 2 y x x 0 y 0 0 0 . 2 0 x 1 2 2 x0 1 0 x0 1 x0 1 2 2 x y x0 1 x0 4x0 2 0 d . 2 2 1 x0 1 x0 4x0 2 2 x 1 2 x 1 Suy ra: d 0 0 . I ;d 4 4 4 1 x0 1 1 x0 1 1 x0 1 4 4 2 Theo bất đẳng thức Cô-si: 1 x0 1 2 1. x0 1 2 x0 1 . 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 x0 1 x0 0 . 2 x 1 Suy ra: d 0 2 . Vậy max d 2 khi x 0; y 2 . I ;d 2 I ;d 0 0 2 x0 1 x + 3 Câu 48: [2D1-7.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y = có đồ thị x- 1 là C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y 1 2x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của C với hai tiếp điểm tương ứng là A , B . Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là K . Độ dài đoạn thẳng OK là A. 34 .B. 10 . C. 29 . D. 58 . Lời giải Chọn D. Vì M d nên M m;1 2m . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến . Tiếp tuyến đi qua M có dạng y k x m 1 2m .
10. Vì tiếp xúc với C nên hệ phương trình x 3 k x m 1 2m 1 x 1 có nghiệm. 4 2 k 2 x 1 Thay 2 vào 1 ta được x 3 4 x 3 4 x m 1 2m x 1 1 m 1 2m . x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 4 x 3 4 m 1 . 1 2m x 1 3 . x 1 x + 3 4 Mặt khác y = Û = y - 1, thay vào 3 ta được x- 1 x- 1 x 3 4 m 1 y 1 1 2m x 1 2mx m 1 y m 7 0 . Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2mx m 1 y m 7 0 . Gọi K x0 ; y0 là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua. Ta có 2mx0 m 1 y0 m 7 0 2x0 y0 1 m yo 7 0 . 2xo y0 1 0 x0 3 Vì đẳng thức luôn đúng với mọi m nên ta có K 3; 7 . y0 7 0 y0 7 Vậy OK 58 . 2x 3 Câu 2235. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x 2 M thuộc C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A , B sao cho côsin góc 4 A· BI bằng , với I 2; 2 . 17 1 3 1 7 1 3 1 7 A. y x ; y x .B. y x ; y x . 4 2 4 2 4 2 4 2 1 3 1 7 1 3 1 7 C. y x ; y x . D. y x ; y x . 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Chọn D 2x0 3 I 2; 2 , gọi M x0 ; (C), x0 2 x0 2 1 2x 3 Phương trình tiếp tuyến tại : 0 M y 2 (x x0 ) (x0 2) x0 2 2x0 2 Giao điểm của với các tiệm cận: A 2; , B(2x0 2; 2). x0 2 · 4 · 1 IA 2 2 4 Do cos ABI nên tan ABI IB 16.IA (x0 2) 16 x0 0 hoặc 17 4 IB x0 4
11. 3 1 3 Tại M 0; phương trình tiếp tuyến: y x . 2 4 2 5 1 7 Tại M 4; phương trình tiếp tuyến: y x . 3 4 2 Câu 2244. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với C tại hai điểm phân biệt. A. y 2x . B. y 2x 1. C. y 2 . D. y 4 . Lời giải Chọn C Ta có y' 4x3 4x Gọi A(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại A có phương trình 3 : y (4x0 4x0 )(x x0 ) y0 Giả sử là tiếp tuyến tiếp xúc với C tại hai điểm phân biệt M(m; m4 2m2 1) và N(n;n4 2n2 1) với m n . Ta có phương trình : y y'(m)(x m) y(m) : y y'(n)(x n) y(n) y'(m) y'(n) 4n3 4n 4m3 4m Suy ra 4 2 4 2 m.y'(m) y(m) n.y'(n) y(n) 3m 2m 1 3n 2n 1 2 2 (n m)(n2 mn n2 ) (n m) 0 n mn n 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 3(n m )(n m ) 2(n m ) 0 (n m) 3(n m ) 2 0 (*) 2 Từ (*) ta có: m n 0 hoặc n2 m2 . 3 m n 0 m n n2 1 n 1 1 mn 2 2 2 3 m n vô nghiệm. 3 4 (m n)2 3 Vậy y 2 là tiếp tuyến cần tìm. 2x 1 Câu 2266. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm điểm M thuộc C sao cho tiếp x 1 tuyến của C tại M vuông góc với IM , I là tâm đối xứng của C . A. y x 1, y x 4 . B. y x 3, y x 5 . C. y x 1, y x 3 . D. y x 1, y x 5 . Lời giải Chọn D Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 . y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 1  1 Đường thẳng có VTCP u 1; , IM (x 1; ) . 2 0 (x0 1) x0 1 1  . IM x0 1 3 0 x0 0,x0 2 (x0 1)
12. Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y x 1, y x 5 . 1 Câu 2272. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y x3 2x2 3x có đồ thị là C . Tìm phương trình các đường 3 4 4 thẳng đi qua điểm A ; và tiếp xúc với đồ thị C của hàm số. 9 3 : y x : y 3x : y x : y 3x 4 4 4 4 A. : y x .B. : y x 1 C. : y D. : y 3 3 3 3 5 8 5 128 5 1 5 128 : y x : y x : y x : y x 9 81 9 81 9 81 9 81 Lời giải Chọn D 4 4 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng: y k x 9 3 ∆ tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình 1 3 2 4 4 x 2x 3x k x (1) 3 9 3 có nghiệm x 2 x 4x 3 k (2) 1 3 2 2 4 4 2 Thế (2) vào (1), được: x 2x 3x (x 4x 3) x x(3x 11x 8) 0 3 9 3 (2) x 0 k 3 : y 3x (2) 4 x 1 k 0 : y 3 8 (2) 5 5 128 x k : y x 3 9 9 81 Câu 2275. [2D1-7.1-3] Viết phương trình tiếp tuyến của C : y x4 4x2 3 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị. 16 59 16 59 A. y 3; y x ; y x . 3 9 3 3 9 16 5 16 59 B. y 3; y x ; y x . 3 3 9 3 3 9 16 5 16 59 C. y 9 ; y x ; y x . 3 9 3 3 9 16 59 16 59 D. y 3; y x ; y x . 3 3 9 3 3 9 Lời giải Chọn D Điểm cực tiểu của C là A 0; 3 . Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) 3 4 2 3 4 2 y ( 4x0 8x0 )(x x0 ) x0 4x0 3 ( 4x0 8x0 )x 3x0 4x0 3
13. 4 2 4 2 2 A(0; 3) d 3 3x0 4x0 3 3x0 4x0 0 x0 0 hoặc x0 3 Với x0 0 thì phương trình d: y 3 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 16 59 16 59 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y 3, y x , y x . 3 3 9 3 3 9 Câu 2283. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y x3 3x 2 . Tìm trên đường thẳng d : y 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với C . A. ( 1;4) ; 7;4 ; (2;4) .B. ( 1;4) ; 7;4 ; (9;4) . 2 C. ( 2;4) ; 5;4 ; (2;4) .D. ( 1;4) ; ;4 ; (2;4) . 3 Lời giải Chọn D Gọi M m;4 d . Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y k x m 4 . là tiếp tuyến của C hệ phương trình sau có nghiệm x : x3 3x 2 k(x m) 4 (1) * . 2 3x 3 k (2) 2 Thay 2 vào 1 ta được: (x 1) 2x (3m 2)x 3m 2 0 3 . x 1 hoặc 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 4 . Theo bài toán * có nghiệm x , đồng thời 2 có 2 giá trị k khác nhau, tức là phương trình 3 có nghiệm x phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khác nhau. + TH1: 4 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1 m 1. 2 + TH2: 4 có nghiệm kép khác 1 m hoặc m 2 . 3 2 Vậy các điểm cần tìm là: ( 1;4) ; ;4 ; (2;4) . 3 Câu 2284.[2D1-7.1-3] Cho hàm số y x3 3x2 2 . Tìm trên đường thẳng d : y 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị. 1 m 2  m A. M m;2 d với 3 .B. M m;2 d với m 7 . m 2 4 5 m 3 m m 1 m C. M m;2 d với 3 .D. M m;2 d với 3 . m 2 m 2 Lời giải Chọn D Gọi M (m;2) (d) . Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có dạng: y k(x m) 2 .
14. là tiếp tuyến của C hệ phương trình sau có nghiệm x : x3 3x2 2 k(x m) 2 (1) * . 2 3x 6x k (2) Thay (2) và (1) ta được: 2x3 3(m 1)x2 6mx 4 0 2 2 (x 2) 2x (3m 1)x 2 0 x 2 hoặc f (x) 2x (3m 1)x 2 0 3 . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C hệ * có nghiệm x phân biệt đồng thời 2 có 3 giá trị k khác nhau 3 có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị x thỏa phương 5 0 m 1 m trình 2 có 3 giá trị k khác nhau 3 . f (2) 0 m 2 5 m 1 m Vậy M m;2 d với 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với C . m 2 2 Câu 2285. [2D1-7.1-3] Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H : y x2 1 của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. A. y 2x .B. y 0.C. y 2x 1. D. y 1. Lời giải Chọn B Phương trình của đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k : y kx m . 2 Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với H tại điểm M m; m2 1 . Khi đó đường thẳng d 2 có phương trình: y 2m m2 1 x m m2 1 . Đường thẳng d tiếp xúc với H tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình: 2 2 2 2 2 x 1 2m m 1 x m m 1 có đúng một nghiệm khác m 2 2 2x x 1 2m m 1 2 2 3 x m x x mx m m 2x 0 tức hệ có đúng một nghiệm khác m 2 2 x m x mx m 1 0 x m3 hay có nghiệm x 1,m 1 hoặc x 1,m 1. 2 2 x mx m 1 0 Vậy y 0 thỏa đề bài. Câu 2286.[2D1-7.1-3] Cho hàm số y x4 2x2 3 , có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị C điểm B mà tiếp tuyến với C tại điểm đó song song với tiếp tuyến với C tại điểm A 1;2 . A. B 1;2 .B. B 0;3 .C. B 1;3 . D. B 2;3 . Lời giải Chọn B Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm A 1;2 là y 3 . Do đó B 0;3 .
15. Câu 2287.[2D1-7.1-3] Cho hàm số y x4 2x2 3 , có đồ thị là C . Tìm trên đường thẳng y 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị C . A. M 0;2 , M 1;2 .B. M 0;2 , M 3;2 .C. M 5;2 , M 1;2 . D. Không tồn tại. Lời giải Chọn D Gọi M m;2 là điểm thuộc đường thẳng y 2 . Phương trình đường thẳng đi qua M m;2 có hệ số góc là k và d : y k x m 2 . 4 2 x0 2x0 3 k x0 m 2 1 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x khi hệ có nghiệm 0 3 4x0 4x0 k 2 x0 2 2 Suy ra phương trình: x0 1 3x0 4ax0 1 0 có nghiệm x0 . Qua M kẻ được 4 tiếp tuyến đến C khi phương trình có 4 nghiệm phân biệt và phương trình 2 có 4 giá trị k khác nhau. 2 Dễ thấy x0 1 0 k 1 k 1 , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài toán. Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán. Câu 2288.[2D1-7.1-3] Cho hàm số : y x4 2x2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 6 6 A. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 4 6 4 6 B. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 7 3 7 4 4 C. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 4 6 4 6 D. t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 Lời giải Chọn D Gọi A x0 ; y0 C .Phương trình tiếp tuyến t của C tại A là: 4 2 3 y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . t đi qua O 0;0 nên 4 2 4 4 2 6 x0 2x0 4x0 4x0 x0 3x0 2x0 0 x0 0, x0 3 Thay các giá trị của x0 vào phương trình của t ta được 3 tiếp tuyến của C kẻ từ O 0;0 là: 4 6 4 6 t : y 0; t : y x; t : y x . 1 2 9 3 9 Câu 2289. [2D1-7.1-3] Cho hàm số: y x4 2x2 có đồ thị là C . Tìm những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến C . 1 A. M 0;m với 0 m 1.B. M 0;m với 1 m . 3 2 1 C. M 0;m với 0 m .D. M 0;m với 0 m . 3 3
16. Lời giải Chọn D M Oy M 0;m ; B C B x0 ; y0 . 4 2 3 Phương trình tiếp tuyến T của C tại B là y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . 4 2 4 4 2 T đi qua M 0;m nên m x0 2x0 4x0 4x0 x0 3x0 2x0 m 0 * . 3 Do hệ số góc của tiếp tuyến là k 4x0 4x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau. Vậy từ M 0;m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi phương trình * có 4 nghiệm phân biệt. 2 2 Đặt X x0 ta có phương trình 3X 2X m 0 Phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt , 1 3m 0 m 1 P 0 0 m 3 3 2 S 0 3 1 Vậy từ những điểm M 0;m với 0 m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C của hàm số đã 3 cho. Câu 2290. [2D1-7.1-3] Cho hàm số: y x4 2x2 có đồ thị là C . Tìm những điểm N trên đường thẳng d : y 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến C . A. N n;3 , n 3 .B. N n;3 , n 3 .C. N n;3 , n 2 . D. N n;3 , n 13 . Lời giải Chọn A N d : y 3 N n;3 ; I C I x0 ; y0 . 4 2 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại I là: y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . 4 2 4 4 2 2 đi qua N n;3 nên 3 x0 2x0 4x0 4x0 n x0 3x0 4nx0 2x0 4nx0 3 0 4 3 2 3 x0 1 4n x0 x0 2x0 0 * Do x0 0 không phải là nghiệm của * . 2 1 1 Phương trình * 3 x0 2 4n x0 2 0 x0 x0 1 2 Đặt t x0 x0 tx0 1 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi t . x0 Ta có phương trình 3t 2 4nt 4 0 3 Do hệ số góc của tiếp tuyến là k 4x0 4x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau. Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2
17. nghiệm phân biệt ' 4n2 12 0 n2 3 0 n 3 . Vậy từ những điểm N trên đường thẳng y 3 với n 3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C của hàm số đã cho. 2x3 Câu 2295. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Viết phương 3 trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 2;9 . A. y x 2.B. y 8x 5 .C. y x 25.D. y 8x 25 . Lời giải Chọn D Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2;9 có hệ số góc k là y k(x 2) 9. 3 2x0 2 x0 4x0 2 k(x0 2) 9 (1) d tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 3 2 2x0 2x0 4 k (2) có nghiệm x0 . 2x3 Thay 2 vào 1 ta được: 0 x2 4x 2 ( 2x2 2x 4)(x 2) 9 3 0 0 0 0 0 3 2 4x0 15x0 12x0 9 0 x0 3 . Thay x0 3 vào 2 ta được k 8. Vậy phương trình tiếp tuyến d là y 8x 25 . 2x3 Câu 2297. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Viết phương 3 trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A 2; 2 . 3 1 3 1 3 7 3 5 A. y x .B. y x .C. y x . D. y x . 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến d của C đi qua A 2; 2 có dạng: y k x 2 2 . 2 x0 k(x0 2) 2 (1) 2 x0 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 . x2 4x 0 0 k 2 (2 x0 ) 2 2 x0 x0 4x0 3 1 2 (x0 2) 2 x0 2 y x . 2 x0 (2 x0 ) 4 2 2x3 Câu 2298. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Gọi M là một 3 điểm thuộc C có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại M . A. y 9 .B. y 64 .C. y 12 . D. y 8 . Lời giải Chọn D
18. 2 2 xM xM M (C) yM yM 2 xM 2 xM d(M ,Ox) 2d(M ,Oy) yM 2 xM yM 2xM 2 4 x y 2x M M M xM yM yM 2xM xM 0 3 (*) 2 2 xM xM 2  2xM 3xM 4xM 0 yM 0 8 y 2x 2 x y M M M M 3 4 8 Vì M không trùng với gốc tọa độ O nên chỉ nhận M ; . 3 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại M là y 8x 8 . 2 y 2x xM M M yM yM 2xM xM 4 (*) 2 x x2 (do M O ). M 2x M 2 y 8 M xM 4xM 0 M yM 2xM 2 xM Phương trình tiếp tuyến của C tại M là y 8 . x2 x 1 Câu 2307. [2D1-7.1-3] Cho hàm số y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của C x 1 xuất phát từ M ( 1;3) . A. y 3x 1; y 3x .B. y 13 ; y 3x .C. y 3 ; y 3x 1.D. y 3 ; y 3x . Lời giải Chọn D x2 2x Ta có y . Gọi M (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với C (x 1)2 0 0 2 2 x0 2x0 x0 x0 1 d : y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 x0 2x0 x0 x0 1 Cách 1: M d 3 2 ( 1 x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 2 3(x0 1) (x0 2x0 )( x0 1) (x0 1)(x0 x0 1) 1 2x2 5x 2 0 x 2, x 0 0 0 0 2 Với x0 2 Phương trình tiếp tuyến y 3 . 1 Với x Phương trình tiếp tuyến y 3x . 0 2 Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M ( 1;3) , có hệ số góc k , khi đó phương trình d có dạng: y k(x 1) 3. d tiếp xúc đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 : 2 x0 x0 1 k(x0 1) 3 (1) x0 1 x2 2x 0 0 k (2) 2 (x0 1) 2 2 x0 x0 1 x0 2x0 Thế 2 vào 1 ta được: 2 (x0 1) 3 x0 1 (x0 1)