Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 7: Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc - Dạng 1: Các bài toán tiếp tuyến (không tham số) - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 7: Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc - Dạng 1: Các bài toán tiếp tuyến (không tham số) - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. x 1 Câu 37: [2D1-7.1-4](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho đồ thị C : y và d , d là hai tiếp 2x 1 2 tuyến của C song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa d1 và d 2 là A. 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. 2 2 . Lời giải Chọn C x 1 1 Do C : y , y x x 0 . 2x 2x2 d1, d2 là hai tiếp tuyến của C song song với nhau lần lượt có các hoành độ tiếp điểm là 1 1 x x 1 2 x1, x2 x1 x2 , nên ta có y x1 = y x2 2 2 x1 x2 . 2x1 2x2 x1 x2 x1 1 x1 1 Gọi M x1; ; N x1; . 2x1 2x1 x 1 1 x 1 1 x 1 PTTT d tại M x ; 1 : y x x 1 x x y 1 0 . 1 1 2 1 2 1 2x1 2x1 2x1 2x1 2x1 2 x 4 Khi đó d d 1 . d1 , d2 N ;d1 1 2 1 4 1 4x1 2 4x1 x1 1 1 4 4 Áp dụng BĐT Cô-Si ta có 4x2 2 4x2. 4 d 2 . 1 2 1 2 d1; d2 x1 x1 2 1 2 4x1 2 x1 Câu 46: [2D1-7.1-4](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hàm số 2x y có đồ thị C và điểm A(0;a) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để x 1 từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN đến C với M , N là các tiếp điểm và MN 4 . Tổng các phần tử của S bằng. A. 4 . B.3 . C. 6 . D.1. Lời giải Chọn D (Câu này giải không ra được đúng đáp án C của đề gốc nên đã phải sửa đáp án D cho phù hợp) 2x 2 y y x 1 x 1 2 Phương trình đường thẳng qua A(0;a) có hệ số góc k : y kx a (d). 2x kx a 1 x 1 (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm. 2 2 k 2 x 1 2x 2 Thay (2) và (1) ta được x a x 1 (x 1)2 2x(x 1) 2x a x 1 2 a 2 x2 2ax a 0 *
2. Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 1. a 2 0 a 2 với x ; x là nghiệm phương trình * . 2 M N a a(a 2) 0 a 0 2 2 Nên M xM ;2 , N xN ;2 xM 1 xN 1 2 2 1 1 Theo giả thuyết MN 4 xM xN 4 16 xN 1 xM 1 8a 2 4 2 2 4 x x 8a (a 2) x x M N 16 16 M N 2 (a 2)2 2 xM 1 xN 1 2 a 2 8a 8a 16 a3 6a 2 13a 8 0 a 1. Vậy tổng các giá trị thực là 1. a 2 2 Câu 36: [2D1-7.1-4](THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Cho hàm 3 số y = x - 2018x có đồ thị là (C). M1(x1; y1)Î (C) có hoành độ bằng 1. Tiếp tuyến của (C) tại M1(x1; y1) cắt (C) tại M 2 (x2; y2 ) khác M1 . Tiếp tuyến của (C) tại M 2 (x2; y2 ) cắt (C) tại M3 (x3; y3) khác M 2 Tiếp tuyến của (C) tại M n- 1 cắt (C) tại M n (xn; yn ) khác M n- 1 . Tính y 2018 ? x2018 A. (- 4)2017 - 2018. B. 22017 - 2018 . C. 42017 - 2018 . D. (- 2)2017 - 2018. Lời giải Chọn C Ta có: y 3x2 2018. 2 3 Phương trình tiếp tuyến k với C tại M k xk ; yk : y 3xk 2018 x xk xk 2018xk . Phương trình hoành độ giao điểm của k và C là: 3 2 3 2 x xk x 2018x 3xk 2018 x xk xk 2018xk x xk x 2xk 0 . x 2xk 2017 Khi đó, ta có: xn là cấp số nhân với công bội q 2 , x1 1 x2018 2 3 y2018 x2018 - 2018x2018 2 2017 Suy ra = = x2018 - 2018 4 2018 . x2018 x2018 Nhận xét: Xét hàm số y ax3 bx2 cx d C . Tiếp tuyến với C tại điểm M1 x1; y1 có phương trình 3 2 y y x1 x x1 ax1 bx1 cx1 d Phương trình hoành độ giao điểm của và C : 3 2 3 2 2 ax bx cx d y x1 x x1 ax1 bx1 cx1 d a x x1 x x2 0 1 . b b Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x x x x 2x . 1 1 2 a 2 a 1
3. b Vậy tiếp tuyến với C tại điểm M x ; y cắt C tại điểm M x ; y thì x 2x . 1 1 1 2 2 2 2 a 1 Câu 2246.[2D1-7.1-4] Cho hàm số y x3 3x2 9x 1có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến 5 của C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y x 1 một góc thỏa cos . 41 1 9 321 1 9 321 A. . B. . y x 9 y x 34 9 9 9 9 1 9 321 C. . D. Đáp án khác. y x 7 9 9 Lời giải Chọn D 2 Ta có: y' 3(x 2x 3) . Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến tại M : y y'(x0 )(x x0 ) y0 Hay kx y b 0 , Với k y'(x0 ) k 1 5 Theo bài ra ta có: cos k2 1. 2 41 1 41(k 1)2 50(k2 1) 9k2 82k 9 0 k 9,k . 9 2 k 9 x0 2x0 0 x0 0,x0 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 9x 1 và y 9x 3 1 9 321 k 27x2 54x 80 0 x 9 0 0 0 9 1 9 321 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là: y x y(x ). 0 9 9 2x 3 Câu 2254. [2D1-7.1-4] Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị C : y tại M cắt các đường tiệm cận tại x 2 hai điểm phân biệt A,B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận. 5 5 A. M 1;1 M 1; B. M 4; M 3; 3 3 3 5 C. M 1;1 M 4; D. M 1;1 M 3; 3 3 Lời giải Chọn D 2x 3 1 Gọi M x ; y C y 0 và y' 0 0 0 x 2 0 2 0 x0 2 1 2x 3 Phương trình tiếp tuyến d của C tại M : y x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 2x0 2 d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A 2; , B 2x0 2; 2 . x0 2
4. Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2; 2 là giao điểm hai đường tiệm cận. Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 2 2x 3 2 1 2 0 S IM x0 2 2 x0 2 2 2 x0 2 x0 2 2 1 x 1 y 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 2 0 0 0 2 x 3 y 3 x0 2 0 0 Vậy M 1;1 M 3; 3 thỏa mãn bài toán. Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên C có hoành độ x 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 2x0 2 HD: theo trên ta có : A 2; ,B 2x0 2; 2 IA,IB.Chu vi tam giác AIB là x0 2 P IA IB AB IA IB IA2 IB2 2 IA.IB 2.IA.IB Đẳng thức xảy ra khi IA IB Nếu trường hợp tam giác AIB không vuông thì P IA IB AB , để tính AB ta cần đến định lý hàm số cosin AB2 IA2 IB2 2IA.IBcos I·A,IB . P IA IB AB2 2 IA.IB IA2 IB2 2IA.IBcos I·A,IB P 2 IA.IB 2IA.IB 2IA.IBcos I·A,IB . Đẳng thức xảy ra khi IA IB . 2x 2 Câu 2258. [2D1-7.1-4] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , x 1 biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. A. : y x 21 và : y x 7 .B. : y x 3 và : y x 2 . C. : y x 1 và : y x 17 . D. : y x 1 và : y x 7 . Lời giải Chọn D Hàm số xác định với mọi x 1. 4 Ta có: y' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1; 2) Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 0 . : y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại x 1 2x 6 A : 4 2x 2 A 1; 0 y (1 x ) 0 x 1 2 0 0 (x0 1) x0 1 Tiếp tuyến cắt tiệm ngang tại y 2 B : 4 2x 2 B(2x 1; 2) 2 (x x ) 0 0 2 0 (x0 1) x0 1
5. 8 Suy ra: IA ; IB 2 x0 1 IA.IB 16 x0 1 Chu vi tam giác IAB : P IA IB AB IA IB IA2 IB2 Mà IA IB 2 IA.IB 8; IA2 IB2 2IA.IB 32 Nên P 8 32 8 4 2 2 Đẳng thức xảy ra IA IB (x0 1) 4 x0 3,x0 1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán: : y x 1 và : y x 7 . 2x Câu 2261. [2D1-7.1-4] Cho hàm số y có đồ thị C . Giả sử tồn tại phương trình tiếp tuyến của x 2 C , biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất, thì hoành độ tiếp điểm lúc này là: A. x0 0,x0 4 . B. x0 0,x0 3 .C. x0 1,x0 4 . D. x0 1,x0 3 . Lời giải Chọn A Hàm số xác định với mọi x 2 . 4 Ta có: y' (x 2)2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại M có phương trình 4 2x 4 2x2 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Ta có tâm đối xứng I( 2; 2) 4 2x2 Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến 0 : : 2 x y 2 0 (x0 2) (x0 2) 8 x 2 t d 0 8 , với t (x 2)2 0 4 t2 16 0 (x0 2) 16 t t 1 Do 2 d 2 t 16 2 16t2 16 2 2 Đẳng thức xảy ra khi t 16 t 4 (x0 2) 4 x0 0,x0 4 . Câu 2262. [2D1-7.1-4] Cho hàm số y x3 ax2 bx c , c 0 có đồ thị C cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N . Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a;b;c để SAMN 1. A. a 4,b 5,c 2 . B. a 4,b 5,c 2 . C. a 4,b 6,c 2 . D. a 4,b 5,c 2 . Lời giải Chọn D Giả sử C cắt Ox tại M(m;0) và N(n;0) cắt Oy tại A(0;c) Tiếp tuyến tại M có phương trình: y (3m2 2am b)(x m) . Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m3 2am2 bm c 0 a 2m3 am2 0 m (do m3 am2 bm c 0 ) 2 Mà C cắt Ox tại hai điểm nên C tiếp xúc với Ox . Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có C tiếp xúc
6. với Ox tại N . Do đó: y x3 ax2 bx c (x n)2 (x m) a a m ,n m 2n a 2 4 Suy ra 2mn n2 b a3 32c (1). 2 2 mn c 5a 16b Mặt khác S AMN 1 c n m 2 c a 8 a3 32c a 0 ta có: ac 8 vô nghiệm. 2 5a 16b a3 32c a 0 ta có: ac 8 a 4,b 5,c 2 . 2 5a 16b 2x 1 Câu 2264.[2D1-7.1-4] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , x 1 biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y x và y x .B. y x 3 và y x 1. 4 4 4 4 4 4 1 13 1 1 13 1 5 C. y x và y x 1. D. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 . y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 2x0 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A(1; ), cắt đường tiệm cận ngang tại B(2x0 1; 2) . x0 1 Tâm đối xứng I(1; 2) 2 Suy ra IA ,IB 2 x0 1 IA.IB 4 x0 1 Chu vi tam giác IAB : p AB IA IB IA2 IB2 IA IB Mặt khác: IA2 IB2 2IA.IB 8; IA IB 2 IA.IB 4 Nên p 2 2 4 . Đẳng thức xảy ra IA IB 2 (x0 1) 4 x0 3,x0 1. 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 2x 1 Câu 2265. [2D1-7.1-4] Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , x 1 biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y x và y x .B. y x 1 và y x 5 . 4 4 4 4 4 4
7. 1 13 1 3 1 13 1 5 C. y x và y x . D. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M 1 2x 1 0 . y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 Gọi H là hình chiếu của I lên . Ta có d(I, ) IH 1 1 1 2 1 Trong tam giác vuông IAB ta có: IH 2 IA2 IB2 IA.IB 2 Suy ra IH 2 . Đẳng thức xảy ra IA IB . 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 4 4 Câu 2267.[2D1-7.1-4] Gọi C là đồ thị của hàm số y x4 1 và d là một tiếp tuyến của C , d cắt hai trục tọa độ tại A và B . Viết phương trình tiếp tuyến d khi tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất (O là gốc tọa độ). 4 8 4 8 4 7 4 8 A. y x . B. y x .C. y x . D. y x . 4 15 5 4 12 5 4 5 5 4 125 5 Lời giải Chọn D 3 4 3 4 Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y 4x0 (x x0 ) x0 1 4x0 x 3x0 1 trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C . 3x4 1 A là giao điểm của d với trục Ox A 0 ;0 3 4x0 4 B là giao điểm của C với trục Oy B(0; 3x0 1) . Diện tích của tam giác vuông OAB : 1 1 1 (3x4 1)2 1 (3x4 1)2 S OA.OB x y 0 0 2 2 A B 2 4x3 8 3 0 x0 1 (3x4 1)2 Xét trường hợp , khi đó 0 . x0 0 S . 3 8 x0 (3x4 1)2 0 Xét hàm số f (x0 ) 3 , x0 (0; ) . x0 2(3x4 1)12x3 .x3 (3x4 1)2 .3x2 3(3x4 1)(5x4 1) 0 0 0 0 0 0 0 f '(x0 ) 6 4 . x0 x0 4 1 1 f '(x0 ) 0 x0 x0 (do x0 0) 5 4 5 Bảng biến thiên của f (x0 )
8. x0 0 + f'(x0) - 0 + f(x0) 64 1 Từ bảng biến thiên suy ra min f (x0 ) đạt được khi và chỉ khi x0 5 4 5 4 5 8 1 Suy ra minS x0 . 5 4 5 4 5 4 8 Khi đó phương trình của (d) là y x . 4 125 5 Vì trục Oy là trục đối xứng của C nên trong trường hợp x0 0 , phương trình của d là 4 8 y x . 4 125 5 4 8 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y x . 4 125 5 1 3 Câu 2273. [2D1-7.1-4] Cho hàm số y x4 3x2 C . Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm 2 2 3 A 0; và tiếp xúc với đồ thị C . 2 3 3 3 3 : y : y x : y x 1 : y 2 2 2 2 3 3 1 3 A. : y 2 2x B. : y 2x C. : y 2x D. : y 2x 2 2 2 2 3 3 1 3 : y 2 2x : y 2x : y 2x : y 2x 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 3 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có hệ số góc k có đạng: y kx . 2 ∆ tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình : 1 3 3 x4 3x2 kx (1) 2 2 2 có nghiệm x 3 2x 6x k (2)
9. 1 3 3 Thế (2) vào (1), ta có: x4 3x2 (2x3 6x)x x2 (x2 2) 0 2 2 2 (2) 3 x 0 k 0 : y 2 (2) 3 x 2 k 2 2 : y 2 2x . 2 (2) 3 x 2 k 2 2 : y 2 2x 2 x4 Câu 2302. [2D1-7.1-4] Cho hàm số y 2x2 4, có đồ thị là C . Gọi d là tiếp tuyến của C tại 4 điểm M có hoành độ x a .Tìm a để d cắt lại C tại hai điểm E, F khác M và trung điểm I của đoạn EF nằm trên parabol P : y x2 4. A. a 0 .B. a 1.C. a 2 . D. a 1. Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến d : a4 a4 3a4 y y (a)(x a) 2a2 4 (a3 4a)(x a) 2a2 4 (a3 4a)x 2a2 4 . 4 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của C và d : x4 3a4 2x2 4 (a3 4a)x 2a2 4 x4 8x2 4(a3 4a)x 3a4 8a2 0 4 4 x a (x a)2 (x2 2ax 3a2 8) 0 2 2 x 2ax 3a 8 0 (3) d cắt C tại hai điểm E, F khác M Phương trình 3 có hai nghiệm phân biệt khác a 2 a 2 ' a2 3a2 8 0 .(*) 2 2 6a 8 0 a 3 Tọa độ trung điểm I của đoạn EF : x x x E F a x a I 2 I 4 4 7a 2 3 3a 2 yI 6a 4 yI (a 4a)( a) 2a 4 (do I (d)) 4 4 4 2 2 7a 2 2 2 a a 0 I (P) : y x 4 6a 4 a 4 7a (1 ) 0 . 4 4 a 2 So với điều kiện (*) nhận a 0 .