Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 7: Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc - Dạng 2: Các bài toán tiếp tuyến (có tham số) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 7: Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc - Dạng 2: Các bài toán tiếp tuyến (có tham số) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. x 1 Câu 3: [2D1-7.2-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hàm số y có đồ thị x 2 C và đường thẳng d : y 2x m 1 ( m là tham số thực). Gọi k1 , k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của d và C . Khi đó k1.k2 bằng 1 A. 3 . B. 4 . C. . D. 2 . 4 Lời giải Chọn B x 1 1 Ta có y y . x 2 x 2 2 Hoành độ giao điểm của d và C là nghiệm của phương trình: x 1 2x m 1 2x2 6 m x 3 m 0 . 1 ( luôn có hai nghiệm phân biệt). x 2 1 x x m 6 1 2 2 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1 thì . 1 x x 3 2m 1 2 2 1 1 Khi đó hệ số góc k1 y x1 2 , k2 y x2 2 . x1 2 x2 2 1 1 Nên k1.k2 2 2 4 . x 2 x 2 3 1 2 m m 6 4 2 Câu 13: [2D1-7.2-3](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2- 2018) Cho hàm số y x3 3x2 3mx 1 m . Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị tiếp xúc với Ox A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải Chọn B Vì hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi x3 3x2 1 phương trình x3 3x2 3mx 1 m 0 có hai nghiệm phân biệt m có hai nghiệm 1 3x 1 phân biệt ( x không thỏa mãn phương trình) 3 x3 3x2 1 6x3 12x2 6x 3 Đặt f x , f x , f x 0 có đúng 1 nghiệm 1 3x 1 3x 2 x0 1,565 Bảng biến thiên
2. x -∞ 1/3 x0 +∞ f'(x) + + 0 - f(x) +∞ f(x0) -∞ -∞ -∞ Dựa vào bảng biến thiên, chỉ có 1 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu 41: [2D1-7.2-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Với giá trị nào của 2x 3 m thì đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y . x 1 2 A. m 2 2 . B. m 1. C. m 2 . D. m 2 2 . 2 Lời giải Chọn D 2x 3 Đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y khi và chỉ khi hệ phương trình sau có x 1 nghiệm: 1 2x 3 2 1 2x m 2 x 1 x 1 . 2x 3 2x 3 2x m m 2x 2 x 1 x 1 2 1 2 Ta có 1 x 1 x 1. 2 2 2 Với x 1 thay vào 2 ta được m 2 2 . 2 2 Với x 1 thay vào 2 ta được m 2 2 . 2 Do đó, giá trị cần tìm của m là : m 2 2 . Câu 12: [2D1-7.2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y mx m 3 cắt đồ thị C : y 2x3 3x2 2 tại ba điểm phân biệt A , B , I 1; 3 mà tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S . A. 1. B. 1. C. 2 . D. 5 . Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d : 2x3 3x2 2 mx m 3 x 1 2x2 x m 1 0 (*)
3. Để đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt 2x2 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x 1. 9 0 m . 2 8 2.1 1 m 1 0 m 0 Do tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông góc với nhau nên k1.k2 1. Với k1 là hệ số góc tiếp tuyến với C tại A , k2 là hệ số góc tiếp tuyến với C tại B . 2 2 2 Ta có y 6x 6x k1 6x1 6x1 ; k2 6x2 6x2 . 2 2 2 Do k1.k2 1 nên 6x1 6x1 6x2 6x2 1 36 x1x2 36x1x2 x1 x2 36x1x2 1 0 . 1 x x 1 2 2 Theo định lý vi-et ta có m 1 x x 1 2 2 2 m 1 m 1 1 m 1 khi đó ta có 36 36 36 1 0 2 2 2 2 3 5 m 2 6 3 5 3 5 9m 9m 1 0 . Vậy S 1. 3 5 6 6 m 6 Câu 34: [2D1-7.2-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x3 m 3 x2 3m 2 x 2m tiếp xúc với trục Ox . A. m 2 ; m 1. B. m 2 ; m 1.C. m 2 ; m 1. D. m 2 ; m 1. Lời giải Chọn B 2 Ta có y x 2 x 1 m x m . y 0 Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox Hệ phương trình sau có nghiệm y 0 x 2 0 x2 1 m x m 0 2 x 2 x 1 m x m 0 2 2 x 1 m x m 0 x 1 m x m x 2 2x 1 m 0 1 m x 2
4. x 2 x 2 m 1 m 2 1 m x x 1 2 2 m 1 1 m 4m 0 Vậy m 2 hoặc m 1 đồ thị hàm số tiếp xúc Ox lần lượt tại các điểm A 2;0 , B 1;0 . * Tổng quát: Đồ thị hàm số bậc ba có điểm chung với trục Ox tại điểm A a;0 và tiếp xúc với Ox thì ta có cách giải tổng quát: + Phân tích y x a Ax 2 Bx C + Đồ thị hàm số tiếp xúc Ox Phương trình Ax 2 Bx C 0 có nghiệm kép hoặc nhận x a làm nghiệm. Câu 36: [2D1-7.2-3] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số x b y ab 2 . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ax 2 điểm A 1; 2 song song với đường thẳng d : 3x y 4 0 . Khi đó giá trị của a 3b bằng A. -2. B. 4. C. 1. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn A 2 ab 2 ab Ta có y y 1 . ax 2 2 a 2 2 2 ab Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3x y 4 0 nên: y 1 3 3 . a 2 2 1 b Mặt khác A 1; 2 thuộc đồ thị hàm số nên 2 b 2a 3. a 2 2 ab Khi đó ta có 3 2 a 2a 3 3a2 12a 12, a 2 . a 2 2 2 a 2 loai 5a 15a 10 0 . a 1 Với a 1 b 1 a 3b 2 . Câu 37: [2D1-7.2-3] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Có bao nhiêu giá trị nguyên 1 dương của tham số m để trên đồ thị hàm số C : y x3 mx2 2m 3 x 2018 có hai m 3 điểm nằm về hai phía của trục tung mà tiếp tuyến của Cm tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng d : x 2y 5 0 ? A. 3 .B. 0 .C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn C 1 Ta có y x2 2mx 2m 3 . Đường thẳng d có hệ số góc k . 2 Gọi M x0 ; y0 C . Tiếp tuyến của C tại M vuông góc với d nên
5. 2 2 x0 2mx0 2m 3 2 x0 2mx0 2m 5 0 * 5 YCBT * có hai nghiệm trái dấu 2m 5 0 m . 2 Do m nguyên dương nên m 1 hoặc m 2 . 3 x 1 2 Câu 2281. [2D1-7.2-3] Tìm m để C : y m 2 x 2mx 1 tiếp xúc với đường thẳng y 1 . m 3 2 2  2  2  A. m 0; ;2.B. m 4; ;6. C. m 0;4;6 . D. m 0; ;6. 3  3  3  Lời giải Chọn D Cm tiếp xúc đường thẳng y 1 tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 3 x0 1 2 (m 2)x0 2mx0 1 1 (a) 3 2 2 x0 (m 2)x0 2m 0 (b) Ta có: (b) x0 2  x0 m. 2 Thay x0 2 vào a ta được: m . 3 m3 Thay x m vào a ta được: m2 0 m 0  m 6. 0 6 2  Cm tiếp xúc đường thẳng y 1 m 0; ;6. 3  1 Câu 2291. [2D1-7.2-3] Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (4 3m)x 1 có đồ thị là C . Tìm các giá 3 m trị m sao cho trên đồ thị Cm tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 3 0 . 2 1 2 A. m 12 hoặc m .B. m 0 hoặc m 1.C. m 1 hoặc m .D. m 0 hoặc m . 3 3 3 Lời giải Chọn D 1 d có hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc k 2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2 y ' 2 mx2 2(m 1)x (4 3m) 2 mx2 2(m 1)x 2 3m 0 Theo bài toán, phương trình có đúng một nghiệm âm. Nếu m 0 thì 2x 2 x 1 (không thỏa) 2 3m Nếu m 0 thì dễ thấy phương trình có 2 nghiệm là x 1 hay x . m 2 3m 2 Do đó để có một nghiệm âm thì 0 m 0 hoặc m . m 3
6. 1 Câu 2292. [2D1-7.2-3] Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (4 3m)x 1 có đồ thị là C . Tìm các giá 3 m trị m sao cho trên đồ thị Cm tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 5 A. m 0;  ; .B. m 0;  ; . 3 2 3 2 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; . D. m 0;  ; . 2 2 3 2 2 3 Lời giải Chọn D 1 3 Ta có: y mx2 2(m 1)x 4 3m ; d : y x . 2 2 Theo yêu cầu bài toán phương trình y 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt mx2 2(m 1)x 2 3m 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt m 0 1 0 m 0 2 . S 0 1 2 m P 0 2 3 1 1 2 Vậy, với m 0;  ; thỏa mãn bài toán. 2 2 3 x2 x 1 Câu 2303. [2D1-7.2-3] Tìm m để đồ thị hàm số y tiếp xúc với parabol y x2 m . x 1 A. m 2 .B. m 0 .C. m 1.D. m 3 . Lời giải Chọn C Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình: 2 x0 x0 1 2 x0 m (1) x0 1 có nghiệm x0 . x2 2x 0 0 2x (2) 2 0 (x0 1) 2 Ta có: (2) x0 (2x0 5x0 4) 0 x 0 thay vào 1 ta được m 1. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. 3 2 Câu 2304. [2D1-7.2-3] Tìm m để đồ thị hai đồ thị hàm số (C1) : y mx (1 2m)x 2mx và 3 (C2 ) : y 3mx 3(1 2m)x 4m 2 tiếp xúc với nhau. 1 3 6 1 8 6 5 3 6 1 3 6 A. m ,m .B. m ,m .C. m ,m .D. m ,m . 2 2 2 12 2 12 2 12 Lời giải Chọn D (C1) và (C2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 : 3 2 3 mx0 (1 2m)x0 2mx0 3mx0 3(1 2m)x0 4m 2 2 2 3mx0 2(1 2m)x0 2m 9mx0 3(1 2m) 3 2 2mx0 (1 2m)x0 (3 8m)x0 4m 2 0 (1) có nghiệm x 2 0 6mx0 2(1 2m)x0 3 8m 0 (2)
7. x 1 Ta có: (1) (x 1)(2mx2 (1 4m)x 4m 2) 0 0 . 0 0 0 2 2mx0 (1 4m)x0 4m 2 0 1 Với x 1 thay vào 2 , ta có: m . 0 2 2 Với 2mx0 (1 4m)x0 4m 2 0 (*) ta có : x0 1 2 (2) 4mx0 x0 1 4m 0 1 4m ( m 0 vì m 0 hệ vô nghiệm) x 0 4m 1 4m (1 4m)2 (1 4m)2 Thay x vào (*) ta được: 2 4m 0 0 4m 8m 4m 3 6 48m2 24m 1 0 m 12 1 3 6 Vậy m ,m là những giá trị cần tìm. 2 12 x 2 Câu 2309. [2D1-7.2-3] Cho hàm số y có đồ thị là C và điểm A 0;m . Xác định m để từ A x 1 kẻ được 2 tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox . m 1 m 1 m 1 m 1 A. 1 .B. 2 .C. .D. 2 . m m m 1 m 3 5 3 Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi điểm M (x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến tại M của C có phương trình: 3 x0 2 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 3x0 x0 2 2 A m 2 m(x0 1) 3x0 (x0 2)(x0 1) 0 (với x0 1) (x0 1) x0 1 2 (m 1)x0 2(m 2)x0 m 2 0 (*). Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho ' 3(m 2) 0 m 1 (a 2)(b 2) ab 2(a b) 4 0 hay là: m 1 0 2 . (a 1)(b 1) ab (a b) 1 m 3m 2 0 3 m 1 Vậy 2 là những giá trị cần tìm. m 3 Cách 2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: y kx m . x0 2 kx0 m x0 1 d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 . 3 k 2 (x0 1) Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được:
8. x0 2 3x0 2 2 m (m 1)x0 2(m 2)x0 m 2 0 (*). x0 1 (x0 1) Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ' 3(m 2) 0 m 2 m 1 (i) m 1 m 1 2(m 2) m 2 0 Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M1(x1; y1), M 2 (x2 ; y2 ) với x1, x2 là nghiệm của (*) và x1 2 x2 2 y1 ; y2 . x1 1 x2 1 x1x2 2(x1 x2 ) 4 Để M1, M 2 nằm về hai phía Ox thì y1.y2 0 0 (1) x1x2 (x1 x2 ) 1 2(m 2) m 2 9m 6 2 Áp dụng định lí Viet: x x ; x x (1) 0 m . 1 2 m 1 1 2 m 1 3 3 2 m Kết hợp với i ta có 3 là những giá trị cần tìm. m 1 Câu 2310. [2D1-7.2-3] Tìm tham số m để đồ thị C : y x3 2(m 1)x2 5mx 2m của hàm số tiếp xúc với trục hoành. 4 4 4 A. m 0;1;  .B. m 0;1;2 .C. m 1;2;  .D. m 0;1;2;  . 3 3 3 Lời giải Chọn D C tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 3 2 x0 2(m 1)x0 5mx0 2m 0 A có nghiệm x . 2 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 Giải hệ A . 2 (x0 2)(x0 2mx0 m) 0 x0 2 (A) 2 2 3x0 4(m 1)x0 5m 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 (1) 2 x0 2mx0 m 0 4 Hoặc . Thay x0 2 vào 1 ta được m . 2 3 3x0 4(m 1)x0 5m 0 2 2 x0 2mx0 m 0 (2) 3x0 6mx0 3m 0 (3) Hệ 2 2 3x0 4(m 1)x0 5m 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 (1) m Trừ hai phương trình 1 và 3 , vế với vế ta được: (m 2)x m x . 0 0 m 2 m m2 2m2 Thay x vào 1 , ta được: m 0 0 m 2 (m 2)2 m 2 3 2 4 m 3m 2m 0 m 0  m 1 m 2 .Vậy m 0;1;2;  . 3 4 2 Câu 2311. [2D1-7.2-3] Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x (m 1)x 4m . Tìm tham số m để Cm tiếp xúc với đường thẳng d : y 3 tại hai điểm phân biệt.
9. m 1 m 1 m 2 m 1 A. .B. .C. . D. . m 3 m 16 m 13 m 13 Lời giải Chọn D 4 2 x0 (m 1)x0 4m 3 (1) C tiếp xúc với d tại điểm có hoành độ x khi hệ A có m 0 3 4x0 2(m 1)x0 0 (2) nghiệm x0 . m 1 Giải hệ A , (2) x 0 hoặc x2 . 0 0 2 3 Thay x 0 vào (1) ta được m . 0 4 2 2 2 m 1 m 1 (m 1) Thay x0 vào (1) ta được 4m 3 2 2 2 m2 14m 13 0 m 1  m 13. 3 3 Khi m thì C tiếp xúc với d tại chỉ một điểm 0;3 nên m không thỏa mãn yêu 4 m 4 cầu của bài toán. 2 Khi m 1 thì x0 1 x0 1, suy ra Cm tiếp xúc với d tại hai điểm ( 1;3 ). 2 Khi m 13 thì x0 7 x0 7 ,suy ra Cm tiếp xúc với d tại hai điểm 7;3 . Vậy các giá trị m cần tìm là m 1;m 13 . x2 x m Câu 2315. [2D1-7.2-3] Tìm tham số m để đồ thị hàm số C : y với m 0 cắt trục hoành m x 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm A, B vuông góc với nhau. 1 1 1 4 A. m .B. m .C. m . D. m . 5 3 5 7 Lời giải Chọn A 2x 1 Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc là k . x 1 x2 2x m 1 Ta có: y , đặt g x x2 2x m 1. x 1 2 Theo bài toán, g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 1 Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k .k 1, tìm được m . A B 5 Câu 41: [2D1-7.2-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x3 3x có đồ thị C và điểm A a;2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng ba tiếp tuyến của C đi qua A . Tập hợp S bằng A. S ; 1 B. S  2 2 C. S ;  2; \ 1 D. S ;2 3 3 Lời giải
10. Chọn C Giả sử là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k , khi đó phương trình đường thẳng là y k x a 2. 3 C x 3x k x a 2 1 Để là tiếp tuyến của thì hệ phương trình có nghiệm. 2 3x 3 k 2 2 1 x3 3x 3 x2 1 x a 2 Thay vào ta được x 1 0 x 1 2x2 3a 2 x 3a 2 0 2x2 3a 2 x 3a 2 0 * . C * Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị thì phương trình có hai nghiệm phân biệt a 1 2 2 a 2. 1 3a 2 1 3a 2 0 a 1 3 0 9a2 12a 12 0 a 2 x 1 . 2 S ;  2; \ 1 Vậy 3 . Câu 43: [2D1-7.2-3] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2x2 m 2 có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tìm tổng các phần tử của S . A. 2 . B. 5 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn B 4 2 Gọi M x0 ; x0 2x0 m 2 là tiếp điểm. 3 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có dạng: k 4x0 4x0 . x0 0 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục Ox thì k 0 x 1 . 0 x0 1 Tại A 0;m 2 thì phương trình tiếp tuyến là d1 : y m 2 . Tại B 1;m 3 thì phương trình tiếp tuyến là d2 : y m 3. Tại C 1;m 3 thì phương trình tiếp tuyến là d3 : y m 3. m 2 0 m 2 Theo đề, chỉ có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox nên: . m 3 0 m 3 Vậy S 2;3 do đó ta chọn phương án.B.
11. Câu 36: [2D1-7.2-3] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị C : y x3 3x2 9x 10 và điểm A m; 10 . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để có đúng 2 tiếp tuyến của C qua A . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 19 5 A. 3 .B. 5 .C. .D. . 4 2 Lời giải Chọn C Gọi d là đường thẳng qua A m; 10 có hệ số góc k . Suy ra d : y k x m 10 . d là tiếp tuyến của C khi hệ phương trình sau có nghiệm 3 2 x 3x 9x 10 k x m 10 1 2 3x 6x 9 k Thế k vào (1), ta được 2x3 3m 3 x2 6mx 9m 20 0 (*). Để có đúng 2 tiếp tuyến của C qua A thì phương trình (*) có 2 nghiệm. Suy ra đồ thị hàm số f x 2x3 3m 3 x2 6mx 9m 20 có 2 cực trị, trong đó có 1 cực trị thuộc trục hoành. Ta có f x 6x2 2 3m 3 x 6m . x 1 f 1 12m 21 f x 0 . 3 2 x m f m m 3m 9m 20 7 m 4 12m 21 0 Khi đó m 4 . 3 2 m 3m 9m 20 0 1 21 m 2 7 1 21  7 1 21 1 21 19 Vậy S ;4;  . Suy ra T 4 . 4 2  4 2 2 4 Câu 46: [2D1-7.2-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 3 2 y x 2x m 1 x 2m có đồ thị là Cm . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị Cm vuông góc với đường thẳng : y 3x 2018. 7 1 A. m .B. m 1.C. m 2 .D. m . 3 3 Lời giải Chọn C 2 2 2 7 7 2 Ta có y 3x 4x m 1 x 3 m m , dấu " " xảy ra x . 3 3 3 3 7 Tiếp tuyến d của C có hệ số góc nhỏ nhất là m . m 3 7 Bài ra d  nên m .3 1 m 2 . 3
12. Vậy m 2 . x 2 Câu 42: [2D1-7.2-3] (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số y có đồ thị C và điểm x 1 A 0;a . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a trong đoạn  2018;2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? A. 2017 . B. 2020 . C. 2018 . D. 2019 . Lời giải Chọn C Đường thẳng d đi qua điểm A 0;a , hệ số góc k có phương trình: y kx a . x 2 kx a x 1 Để d là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình 3 có nghiệm. 2 k x 1 x 2 3x Suy ra phương trình: a a 1 x2 2 a 2 x a 2 0 với x 1. 1 x 1 x 1 Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1. a 1 3 a 2 0 a 2. 2 a 1 a 1 2 a 2 a 2 0 x1 2 x2 2 Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là M x1; và N x2 ; với x1 , x2 là nghiệm của 1 x1 1 x2 1 2 a 2 a 2 do đó x x , x x . 1 2 a 1 1 2 a 1 Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi x 2 x 2 x x 2 x x 4 9a 6 2 1 . 2 0 1 2 1 2 0 0 a . x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 3 3 2 a Kết hợp điều kiện 2 suy ra 3 nên trên đoạn  2018;2018 số giá trị nguyên của a a 1 thỏa yêu cầu bài toán là 2018 . Câu 6: [2D1-7.2-3] (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Cho hàm số 3 2 y x 2x m 1 x 2m Cm . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1;2 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với Cm . Tổng tất cả các phần tử của tập S là? : 4 81 3 217 A. B. C. D. 3 109 4 81 Lời giải Chọn D Ta có: y 3x2 4x m 1 . Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M 1;2 là: y kx k 2 . Điều kiện tiếp xúc của Cm và tiếp tuyến là:
13. 3 2 x 2x m 1 x 2m kx k 2 1 . 2 3x 4x m 1 k 2 Thay 2 vào 1 ta có: x3 2x2 m 1 x 2m 3x3 4x2 m 1 x 3x2 4x m 1 2 . 2x3 5x2 4x 3 m 1 0 * . Để qua M 1;2 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với Cm thì phương trình * có đúng 2 nghiệm phân biệt. 3 2 y 2x 5x 4x * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y 3 m 1 Xét y 2x3 5x2 4x : y 6x2 10x 4 . x 1 y 0 2 . x 3 Bảng biến thiên: 4 3 m 1 1 m 3 Dựa vào bảng biến thiên: để * có đúng 2 nghiệm phân biệt thì: 28 3 m 1 109 27 m 81 4 109 Do đó: S ;  . 3 81  217 Vậy tổng các phần tử của S là: . 81