Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 4: Hàm số mũ và hàm số Logarit - Mức độ 3.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 4: Hàm số mũ và hàm số Logarit - Mức độ 3.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 32. [DS12.C2.4.BT.c] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm x số y f x 2018ln e 2018 e . Tính giá trị biểu thức T f 1 f 2 f 2017 . 2019 2017 A. T . B. T 1009 . C. T . D. T 1008 . 2 2 Lời giải Chọn C e t e e1 t t e Xét hàm số g t ta có g 1 t e . t 1 t e t e e e e e e e et et e Khi đó g t g 1 t 1. (*) et e e et x x 2018 2018 e Xét hàm số y f x 2018ln e e ta có y f x x . e 2018 e 1 2017 1 2017 Do 1 nên theo (*) ta có f 1 f 2017 f f 1. 2018 2018 2018 2018 Khi đó ta có T f 1 f 2 f 2017 f 1 f 2017 f 2 f 2016 f 1008 f 1010 f 1009 1009 e 2018 1 2017 1 1 1 1008 1009 2 2 e 2018 e Câu 50: [DS12.C2.4.BT.c] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Cho các số thực dương x , y thỏa 2 x y2 4 mãn log x 2y log x log y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P e1 2 y .e1 x . 5 8 1 A. min P e8 .B. min P e .C. min P e5 . D. min P e 2 . Lời giải Chọn C Từ log x 2y log x log y log xy x 2y xy . 2 x 2 2 2 2 2 x y2 x y2 x y 2 y 4 Biến đổi P e1 2 y .e1 x e 4 2 y 1 .e x 1 e 4 2 y 1 x 1 e 2 y 1 x 1 . Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 2 2 2 x x x 2 2 2 y 2 2 y x 2 y 2 x 2y 2y 1 x 1 y . 2y 1 x 1 2 2y 1 x 1 x 2y 2 4 x 2y 2 Áp dụng BĐT Côsi ta có xy x 2y 2 x.2y x2 y2 8xy xy 8 x 2y 8 . 2 2 x 2y 8 5 x 2y 32 x 2y 64 x 2y 8 5 x 2y 8 Khi đó 0 4 x 2y 2 5 20 x 2y 2 20 x 2y 2
2. 2 x 2 2 8 x 2y 8 2 y 8 P e5 . 4 x 2y 2 5 2y 1 x 1 5 8 Dấu “ ” xảy ra x 4, y 2 min P e5 . HẾT Câu 7: [DS12.C2.4.BT.c] [Chuyên ĐH Vinh -2017] Cho các số thực a , b khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục Ox mà cắt các đường y a x , y bx , trục tung lần lượt tại M , N và A thì AN 2AM (hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? y N A M y = bx y = ax x O . 1 A. ab .B. ab2 1.C. b 2a . D. a2 b . 2 Lời giải Chọn B Giả sử N , M có hoành độ lần lượt là n , m . Theo đề, ta có: n 2m , bn am . m Vậy b 2m am ab2 1 ab2 1. Câu 9: [DS12.C2.4.BT.c] [Chuyên ĐH Vinh -2017] Cho các số thực a , b khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục Ox mà cắt các đường y a x , y bx , trục tung lần lượt tại M , N và A thì AN 2AM (hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? y N A M y = bx y = ax x O . 1 A. ab .B. ab2 1.C. b 2a . D. a2 b . 2 Lời giải Chọn B Giả sử N , M có hoành độ lần lượt là n , m . Theo đề, ta có: n 2m , bn am . m Vậy b 2m am ab2 1 ab2 1. Câu 9: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho các số thực a,b thỏa mãn 3 3 1 æ ö æ ö ab = 4,a ³ ,b ³ 1. Tìm giá trị lớn nhất P của biểu thức P = çlog a÷ + çlog b- 1÷ . . max ç 1 ÷ ç 1 ÷ 2 è 2 ø è 2 ø 27 A. P = 0 . B. P = - 6 . C. P = - 63.D. P = - . max max max max 4
3. Lời giải Chọn D 3 3 æ ö æ ö 3 P = çlog a÷ + çlog b- 1÷ = - log3 a- (3- log a) = - 9log2 a + 27log a- 27 ç 1 ÷ ç 1 ÷ 2 2 2 2 è 2 ø è 2 ø 1 với £ a £ 4(do b ³ 1). 2 27 3 Khi đó P = - khi a = . max 4 2 Câu 37: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho các số thực a,b thỏa mãn 3 3 1 æ ö æ ö ab = 4,a ³ ,b ³ 1. Tìm giá trị lớn nhất P của biểu thức P = çlog a÷ + çlog b- 1÷ . . max ç 1 ÷ ç 1 ÷ 2 è 2 ø è 2 ø 27 A. P = 0 . B. P = - 6 . C. P = - 63.D. P = - . max max max max 4 Lời giải Chọn D 3 3 æ ö æ ö 3 P = çlog a÷ + çlog b- 1÷ = - log3 a- (3- log a) = - 9log2 a + 27log a- 27 với ç 1 ÷ ç 1 ÷ 2 2 2 2 è 2 ø è 2 ø 1 27 3 £ a £ 4(do b ³ 1). Khi đó P = - khi a = . 2 max 4 2 3 Câu 30: [DS12.C2.4.BT.c] [Sở Hải Dương - 2017] Cho m loga ab , với a 1, b 1và 2 P loga b 16logb a . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m B. m 2 C. m 1 D. m 4 2 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận. 1 1 1 Ta có m log 3 ab log b log b 3m 1; log a . a 3 3 a a b 3m 1 2 16 Do đó P log2 b 16log a 3m 1 . a b 3m 1 2 16 48 Xét hàm số f m 3m 1 f m 18m 6 . 3m 1 3m 1 2 f m 0 3m 1 2 m 1. Bảng biến thiên. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 tại m 1.
4. Cách 2: Trắc nghiệm. 1 1 1 Ta có m log 3 ab log b log b 3m 1; log a . a 3 3 a a b 3m 1 2 16 Do đó P log2 b 16log a 3m 1 . a b 3m 1 Thay các đáp án, nhận được đáp án A thỏa mãn yêu cầu P 12,m 1. 1 Câu 32: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT Yên Lạc-VP - 2017] Cho hai số thực a, b thỏa mãn b a 1 3 3b 1 2 b và biểu thức: P loga 3 12log b a có giá trị nhỏ nhất. Tính . 4a a a 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 2 3 2 3 2 Lời giải Chọn A 3 2 1 Ta có: 4b 3b 1 (b 1)(2b 1) 0, b ;1 . 3 3 3 3b 1 4b 1 Suy ra: 3b 1 4b loga 3 loga 3 , do a ;1 . 4a 4a 3 b 1 b 1 b 4 2 P 3loga 12log b a 3 l oga l oga . a 2 a 2 a 2 b a log a a 1 b 1 b 4 3.3. l oga . l oga . 9 . 3 2 a 2 a 2 b loga a 1 b 2 Vậy P 9 1 b 4 . min l og 4 a 2 a 2 b loga a 1 1 1 1 b b b b 2 2 2 2 . 1 b b 2 b 2 l oga 2 a a a a a a 3 2 b 1 Vậy . a 3 4 5 3x 3 x Câu 28: [DS12.C2.4.BT.c] [BTN 175 – 2017] Cho 9x 9 x 23. Khi đó biểu thức K , có 1 3x 3 x giá trị bằng 7 5 1 A. . B. . C. . D. 3 . 3 2 2 Lời giải Chọn B
5. 2 * 9x 9 x 23 32x 3 2x 23 3x 3 x 25 3x 3 x 5 . 5 3x 3 x 5 5 5 * K . 1 3x 3 x 1 5 2 Câu 34: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2 – 2017] Cho x , y , z là các số thực khác 0 thỏa mãn 2x 3y 6 z . Tính giá trị biểu thức M xy yz zx . A. M 1. B. M 0 . C. M 3. D. M 6 . Lời giải Chọn B x ln 2 x ln 2 Ta có Ta có 2x 3y y ;2x 6 z z . ln 3 ln 6 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 Xét M xy yz zx x . ln 3 ln 3.ln 6 ln 6 2 2 ln 2.ln 6 ln 2 ln 2.ln 3 x . ln 3.ln 6 ln 2 ln 6 ln 2 ln 3 x2  0 . ln 3.ln 6 Câu 35: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT chuyên Lê Quý Đôn – 2017] Cho hai số thực không âm a,b . Đặt a b 3a 3b X 3 2 , Y . Khẳng định sau đây đúng? 2 A. X Y . B. X Y . C. X Y . D. X Y . Lời giải Chọn A a b a b a b 3 3 3 3 a b Ta có: Y 2. . 3 3 2 X . 2 2 2 2 9t [THPT Quoc Gia 2017 – 2017] Xét hàm số f t với m là tham Câu 36: [DS12.C2.4.BT.c] 9t m2 số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f x f y 1 với mọi x, y thỏa mãn ex y e x y . Tìm số phần tử của S . A. Vô số. B. 0. C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn D ex e.x Ta có nhận xét: ex y e x y x y 1. y e e.y ( Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x y 1). Do đó ta có: f (x) f (y) 1 f (x) f (1 x) 1. 9x 91 x 9 m2.9x 9 m2.91 x 1 1. 9x m2 91 x m2 9 m2.9x m2.91 x m4 9 m2.9x 9 m2.91 x 9 m2.9x m2.91 x m4 . m4 9 m 3 . Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
6. x Câu 38: [DS12.C2.4.BT.c] [BTN 176 – 2017] Tính đạo hàm của hàm số x2 1 . 2 2 2 2 xln x 1 2 2x xln x 1 2 2x A. e ln x 1 2 . B. e x ln x 1 2 . x 1 x 1 2 2 2 2 xln x 1 2 x ln x 1 2 2x C. e ln x 1 2 . D. e ln x 1 2 2. x 1 x 1 Lời giải Chọn A 2 2 x xln x 1 Ta có x 1 e . Do đó. 2 2 2 2 xln x 1 xln x 1 2 xln x 1 2 2x e ' e . x ln x 1 ' e ln x 1 . 2 x 1 Cách khác: 2 2 x 2 A' 2 2x 2 x 2 2x A x 1 ln A x ln x 1 ln x 1 x. 2 A' x 1 ln x 1 2 A x 1 x 1 . Câu 3: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT chuyên Thái Bình - 2017] Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu239 là 24360 năm(tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S Aert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r 0 ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? A. 82230 (năm).B. 82232 (năm). C. 82238 (năm). D. 82235 (năm). Lời giải Chọn D - Pu239 có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có: ln 5 ln10 5 10.er.24360 r 0,000028 . 24360 ln5 ln10 t -Vậy sự phân hủy của Pu239 được tính theo công thức S A.e 24360 . ln5 ln10 t ln10 ln10 -Theo đề: 1 10.e 24360 t 82235 (năm). ln 5 ln10 0,000028 24360 Chú ý: Theo đáp án gốc là D (SGK). Tuy nhiên: nếu không làm tròn r thì kết quả ln5 ln10 t ln10 1 10.e 24360 t 80922 Kết quả gần A nhất. ln 5 ln10 24360 Câu 4: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT chuyên KHTN lần 1 - 2017] Giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của 2 2 hàm số f (x) 2sin x 2cos x lần lượt là. A. 2 và 3 .B. 2 và 2 2 . C. 2 2 và 3 . D. 2 và 3 . Lời giải Chọn C Đặt cos2 x t,(0 t 1) f (x) 2t 21 t . Xét hàm số g(t) 2t 21 t ,t [0;1] g (t) 2t 21 t ln 2 .
7. g 0 3 t 1 t 1 g (t) 0 2 2 0 t . Mà g 1 3 . 2 1 g 2 2 3 2 Câu 8: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - 2017] Giá trị nhỏ nhất của tham số m để ex m 2 1 hàm số y x 2 đồng biến trên khoảng ln ;0 gần nhất với số nào sau ðây: e m 4 A. 0,03.B. 1.C. 0,45.D. 1,01. Lời giải Chọn C. x t m 2 1 Đặt e t. Suy ra y 2 đồng biến trên khoảng ;1 . t m 4 m2 m 2 y 2 . t m2 1 Để hàm số đồng biến trên khoảng ;1 cần: 4 2 1 m 2 m m 2 0 1 m 2 m 1 1 1 . Suy ra chọn C. m ;1 1 1 m 4 m 4 4 2 Câu 14: [DS12.C2.4.BT.c] [BTN 164 - 2017] Giải phương trình y 0 biết y ex x . 1 3 1 2 1 2 A. x .B. x , x . 3 2 2 1 3 1 3 1 2 1 2 C. x , x . D. x , x . 3 3 2 2 Lời giải Chọn B 2 y ex x . 2 y ' 1 2x ex x . 2 2 y" 2ex x 1 2x 2 ex x . 2 Hay y" 4x2 4x 1 ex x . 2 2 2 1 2 Do đó y" 0 4x2 4x 1 0 x . 4 2 ex 1 Câu 15: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT Thanh Thủy - 2017] Với giá trị nào của m thì hàm số y ex m đồng biến trên khoảng 2; 1 . 1 m 1 e2 1 A. m 1.B. m 1.C. .D. m . e 1 e2 m 1 e
8. Lời giải Chọn C Đặt t ex t ex 0 . t 1 1 1 Bài toán trở thành tìm m để hàm số y đồng biến trên khoảng 2 ; . t m e e m 1 Có y . t m 2 1 1 Để hàm số đồng biến trên khoảng 2 ; . e e m 1 0 1 y 0,t m 1 m m e2 1 1 e . m ; 1 2 e e 1 m 1 m e e2 Câu 17: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT Chuyên Quang Trung - 2017] Cho hàm số e3x m-1 e x +1 4 y . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . 2017 A. m 3e2 1.B. 3e2 1 m 3e3 1. C. 3e3 1 m 3e4 1.D. m 3e4 1. Lời giải Chọn D e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . e m 1 e 1 2017 2017 e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . 3e m 1 e . 2017 2017 Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . 3e m 1 e 0,x 1;2 (*), mà 2017 2017 e3 x m 1 ex 1 4 0,x ¡ 2017 3x x . Nên (*) 3e m 1 e 0,x 1;2 4 ln 0 2017 3e2x 1 m,x 1;2 . Đặt g x 3e2x 1,x 1;2 , g x 3e2x .2 0,x 1;2 . . Vậy (*) xảy ra khi m g 2 m 3e4 1. Câu 18: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT Chuyên Quang Trung - 2017] Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 y 2sin x 2cos x . A. 5 .B. 4 .C. 3 .D. 2 .
9. Lời giải Chọn C Đặt t sin2 x,t 0;1 . Tìm GTLN của y 2t 21 t trên 0;1. 1 y 2t ln 2 21 t ln 2 0 2t 21 t t . 2 1 f (0) 3; f (1) 3; f 2 2 . 2 Vậy max y 3. 0;1 cos x Câu 20: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT Chuyên KHTN - 2017] Cho hàm số y sin x , ta có. 1 1 ln 2 ln 2 2 4 2 1 1 2 4 2 1 1 A. y e ln 2 .B. y e ln 2 . 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 1 1 ln 2 2 2 1 1 2 2 1 1 C. y e ln 2 .D. y e ln 2 . 4 2 2 2 4 2 2 2 Lời giải Chọn B Cách 1: cos x Logarit Nepe hai vế của hàm số y sin x , ta có: ln y ln sin x cos x cos x.ln sin x . Tiếp tục đạo hàm hai vế, ta được: y sin x cos x ln y cos x.ln sin x .ln sin x cos x. . y 2 cos x sin x cos x cos x cos x sin x.ln sin x Suy ra . y sin x sin x 2 cos x Vậy cos cos . cos sin .ln sin 4 4 4 4 4 y sin . 4 4 sin 2 cos 4 4 2 2 1 .ln 1 4 2 2 2 ln 2 2 1 2 4 2 1 ln 2 . e . 2 4 1 4 4 2 2. 2 4 2 4 2 Chú ý: Nếu giải bài toán theo cách trên thì rất phức tạp và mất thời gian với hình thức thi trắc nghiệm. Ta có một cách giải nhanh hơn, hiệu quả hơn nhờ tính năng “Tính đạo hàm tại một điểm” của máy tính cầm tay CASIO. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay CASIO: – Trước hết, ta thấy do bài toán liên quan đến hàm lượng giác, nên ta cần đổi đơn vị góc sang Radian (Rad) bằng cách ấn SHIFT MODE 4 (hình bên).
10. d – Ấn SHIFT . Máy tính hiện ra (như hình dưới). dx x . d cos X – Ta nhập vào máy tính: sin X 0.7371895357 . dx X 4 – Từ các đáp án. Nhập vào máy tính để chọn giá trị đúng nhất. 1 ln 2 2 4 2 1 1 Ta thấy chỉ có y e ln 2 thỏa mãn. 4 4 2 4 4 2 2 Câu 21: [DS12.C2.4.BT.c] [THPT Ngô Quyền - 2017] Cho hàm số f x e3x x . Biết phương trình f x 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tính x1x2 . 9 7 3 A. x x .B. x x 3.C. x x . D. x x . 1 2 4 1 2 1 2 4 1 2 2 Lời giải Chọn C 2 2 2 f x 3 2x e3x x ; f x 2 3 2x e3x x . 2 7 f 0 3 2x 2 4x2 12x 7 0 (có hai nghiệm) x x . 1 2 4 ln x2 16 Câu 22: [DS12.C2.4.BT.c] [BTN 164-2017] Tập xác định của hàm số y là: x 5 x2 10x 25 A. 5; B. ; 5 .C. ¡ .D. ¡ \ 5 . .  Lời giải Chọn A ln x2 16 ln x2 16 ln x2 16 Viết lại y . x 5 x2 10x 25 x 5 x 5 2 x 5 x 5 2 2 ln x 16 x 16 0 Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi . x 5 x 5 x 5 x 5 0 2 x 16 x 4 x 5 . x 5 5 x 5 x 0 Suy ra hàm số có tập xác định là 5; .