Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit - Dạng 4: Toán Max, Min (nhiều biến) liên quan mũ và lôgarit - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit - Dạng 4: Toán Max, Min (nhiều biến) liên quan mũ và lôgarit - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 14: [2D2-4.4-3] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a,b là hai số thực 2 2 32 dương thỏa mãn b 3ab 4a và a 4;2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 3 b nhỏ nhất của biểu thức P log b 4a log2 . Tính tổng T M m . 8 4 4 1897 3701 2957 7 A. T .B. T . C. T .D. T . 62 124 124 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 a b Ta có b 3ab 4a b a 3a b a a b b 4a 0 b 4a Vì a,b dương nên b 4a , ta thay vào P ta được 3 log 4a 3 log a 2 3log a P log 4a log a 2 log a 2 2 a 4 2 a 4 2 log a 1 4 2 log 2 2 2 32 Đặt log2 a x vì a 4;2 nên x 2;32 x 2 3 Xét hàm số P x x x 1 4 3 3 x 1 (l) P x 2 P x 0 x 1 4 x 3 Ta có bảng biến thiên 778 19 3701 Vậy M ;m T M m . 32 4 124 Câu 101: [2D2-4.4-3] [CHUYÊN KHTN L4 – 2017] Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y . A. P 6 . B. P 2 2 3 . C. P 2 3 2 . D. P 17 3 . Lời giải Chọn B. Từ ln x ln y ln x2 y xy x2 y . Ta xét: Nếu 0 x 1 thì y xy x2 y 0 x2 mâu thuẫn. x2 Nếu x 1 thì xy x2 y y x 1 x2 y . x 1 x2 Vậy P x y x . x 1 x2 Ta có f x x xét trên 1; . x 1 2 2 x (l) 2x2 4x 1 2 Có f x 2 0 . x 2x 1 2 2 x (n) 2
2. 2 2 Vậy min f x f 2 2 3. 1; 2 Câu 48: [2D2-4.4-3](THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho các số a , b 1 thỏa mãn log2 a log3 b 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P log3 a log2 b bằng: A. log2 3 log3 2 .B. log3 2 log2 3 . 1 2 C. log2 3 log3 2 .D. . 2 log2 3 log3 2 Lời giải Chọn A x y x, y 0 Đặt x log2 a ; y log3 b . Ta có: a 2 ; b 3 và . x y 1 x y Khi đó: P log3 2 log2 3 x log3 2 y log2 3 x log3 2 y log2 3 . 2 2 Ta lại có: P x log3 2 y log2 3 x y log3 2 log2 3 log3 2 log2 3 . Vậy Pmax log3 2 log2 3 . Câu 9. [2D2-4.4-3] [LẠNG GIANG SỐ 1 -2017] Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 4y 1.Giá trị nhỏ nhất 6 2x y x 2y của P ln là a ln b . Giá trị của tích ab là x y A. 45 . B. 81. C. 108. D. 115. Lời giải Chọn B x x, y dương ta có: xy 4y 1 xy 1 4y 4y2 1 0 4 . y y x Có P 12 6 ln 2 . x y x Đặt t , điều kiện: 0 t 4 thì y 6 P f t 12 ln t 2 t 6 1 t 2 6t 12 f t t 2 t 2 t 2 t 2 t 3 21 f t 0 t 3 21 27 Từ BBT suy ra GTNN P ln 6 khi t 4 2
3. 27 a , b 6 ab 81. 2 Câu 39: [2D2-4.4-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho 3 3 2 3 1 P 9log1 a log1 a log1 a 1 với a ;3 và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 3 3 3 27 nhỏ nhất của biểu thức P . Tính S 4M 3m . 109 83 A. 42 .B. 38 .C. .D. . 9 2 Lời giải Chọn A. 1 Ta có: P log3 a log2 a 3log a 1. 3 3 3 3 1 Đặt t log3 a . Do a ;3 nên t  3;1 . 27 1 Khi đó: P t3 t 2 3t 1 với t  3;1 . 3 t 3 L P t t 2 2t 3. P t 0 t 1 N 2 14 2 Ta có P 3 10 , P 1 , P 1 M 10 , m . 3 3 3 Vậy S 4M 3m 42 . Câu 33. [2D2-4.4-3] [SGD SOC TRANG_2018_BTN_6ID_HDG] Cho a b 1. Giá trị lớn nhất của a2 b3 biểu thức S loga logb là b a A. 2 .B. 3 .C. 2 .D. 0 . Lời giải Chọn B Ta có S 2 loga b 3 logb a 5 loga b logb a S 5 2 loga b.logb a 3 Vậy maxS 3 khi a b . Câu 50: [2D2-4.4-3] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 2 x y2 4 log x 2y log x log y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P e1 2 y .e1 x . 5 8 1 A. min P e8 .B. min P e . C. min P e5 .D. min P e 2 . Lời giải Chọn C Từ log x 2y log x log y log xy x 2y xy . 2 x 2 2 2 2 2 x y2 x y2 x y 2 y 4 Biến đổi P e1 2 y .e1 x e 4 2 y 1 .e x 1 e 4 2 y 1 x 1 e 2 y 1 x 1 .
4. Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 2 2 2 x x x 2 2 2 y 2 2 y x 2 y 2 x 2y 2y 1 x 1 y . 2y 1 x 1 2 2y 1 x 1 x 2y 2 4 x 2y 2 Áp dụng BĐT Côsi ta có xy x 2y 2 x.2y x2 y2 8xy xy 8 x 2y 8 . 2 2 x 2y 8 5 x 2y 32 x 2y 64 x 2y 8 5 x 2y 8 Khi đó 0 4 x 2y 2 5 20 x 2y 2 20 x 2y 2 2 x 2 2 8 x 2y 8 2 y 8 P e5 . 4 x 2y 2 5 2y 1 x 1 5 8 Dấu “ ” xảy ra x 4, y 2 min P e5 . 3 HẾT Câu 30: [2D2-4.4-3] [Sở Hải Dương - 2017] Cho m loga ab , với a 1, 2 b 1và P loga b 16logb a . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m B. m 2 C. m 1 D. m 4 2 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận. 1 1 1 Ta có m log 3 ab log b log b 3m 1; log a . a 3 3 a a b 3m 1 2 16 Do đó P log2 b 16log a 3m 1 . a b 3m 1 2 16 48 Xét hàm số f m 3m 1 f m 18m 6 . 3m 1 3m 1 2 f m 0 3m 1 2 m 1. Bảng biến thiên. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 tại m 1. Cách 2: Trắc nghiệm. 1 1 1 Ta có m log 3 ab log b log b 3m 1; log a . a 3 3 a a b 3m 1 2 16 Do đó P log2 b 16log a 3m 1 . a b 3m 1 Thay các đáp án, nhận được đáp án A thỏa mãn yêu cầu P 12,m 1.
5. 1 Câu 32: [2D2-4.4-3] [THPT Yên Lạc-VP - 2017] Cho hai số thực a, b thỏa mãn b a 1 và biểu 3 3b 1 2 b thức: P loga 3 12log b a có giá trị nhỏ nhất. Tính . 4a a a 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 2 3 2 3 2 Lời giải Chọn A 3 2 1 Ta có: 4b 3b 1 (b 1)(2b 1) 0, b ;1 . 3 3 3 3b 1 4b 1 Suy ra: 3b 1 4b loga 3 loga 3 , do a ;1 . 4a 4a 3 b 1 b 1 b 4 2 P 3loga 12log b a 3 l oga l oga . a 2 a 2 a 2 b a log a a 1 b 1 b 4 3.3. l oga . l oga . 9 . 3 2 a 2 a 2 b loga a 1 b 2 Vậy P 9 1 b 4 . min l og 4 a 2 a 2 b loga a 1 1 1 1 b b b b 2 2 2 2 . 1 b b 2 b 2 l oga 2 a a a a a a 3 2 b 1 Vậy . a 3 4 Câu 49: [2D2-4.4-3] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b là các số thực dương thỏa a P log a 2log mãn b 1 và a b a . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b bằng: b b A. 6 B. 7 C. 5 D. 4 Lời giải Chọn C 1 Đặt t log b , vì b 1 và a b a nên t 1. a 2 a 1 4 P log a 2log Ta có a b 4 f t . b b 1 t t 1 4 1 Xét hàm số f t 4 trên nửa khoảng ;1 , ta có 1 t t 2
6. 1 4 3t 2 2 t 1 2 1 f t ; f t 0 t 2 ;1 hoặc t ;1 . 2 2 2 2 1 t t t . 1 t 2 3 2 Bảng biến thiên: 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có min f t 5 khi t . 1 ;1 3 2 2 Vậy min P 5 khi log b b 3 a2 . a 3 Câu 23. [2D2-4.4-3] [Cụm 1 HCM - 2017] Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2 a 1 log2 b 1 6 . Giá trị nhỏ nhất của S a b là A. min S 8 . B. min S 14 . C. min S 12 . D. min S 16 . Lời giải Chọn B log2 a 1 x Đặt x y 6 . log2 b 1 y a 1 2x Ta có a b 2 2x 2y 2 2x y 2. 26 16 a b 14 . y b 1 2 1 Câu 24. [2D2-4.4-3] [208-BTN - 2017] Cho ba số thực a , b , c ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của 4 biểu thức. 1 1 1 P loga b logb c logc a . 4 4 4 A. Pmin 1. B. Pmin 3. C. Pmin 3 3 . D. Pmin 6 . Lời giải Chọn D 2 1 2 1 1 2 1 Vợi mọi x ;1 ta có x x x 0 x x . 4 4 2 4 2 1 Lấy logarit 2 vế, ta được logt x logt x (với t 0;1 (*). 4 1 2 Áp dụng BĐT (*) ta được: loga b loga b 2loga b . 4 1 2 logb c logb c 2logb c . 4 1 2 logc a logc a 2logc a . 4 3 Suy ra P 2loga b logb c logc a 2.3 loga b.logb c.logc a 6 Pmin . Câu 30. [2D2-4.4-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình - 2017] Cho các số thực m . n thỏa mãn
7. 2 2 m m n 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P log m m 3logn . n n A. Pmin 13. B. Pmin 15 . C. Pmin 16 . D. Pmin 14 . Lời giải Chọn B Do m n 1 nên ta có. 2 2 2 m P log m m 3logn 2log m m 3 logn m 1 n n n 4 4 3 . 3 log m 1 3 2 n 2 log n m 1 logm n m logm n logm n logm m 1 Do m n 1 nên . logm n logm 1 0 4 3 Xét hàm số y 3 trên 0;1 . 1 x 2 x 8 3 Ta có y . 1 x 3 x2 8 3 3x3 x2 9x 3 1 y 0 0 0 x . 1 x 3 x2 x2 1 x 3 3 Bảng biến thiên. . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là Pmin 15 . Câu 997: [2D2-4.4-3] Xét các số thực a , b thỏa măn a b 1. T́m giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 2 2 a P log a a 3logb . b b A. Pmin 19 . B. Pmin 13. C. Pmin 14 . D. Pmin 15. Lời giải Chọn D. Với điều kiện đề bài, ta có 2 2 2 2 a a a a P log a a 3logb 2log a a 3logb 4 log a .b 3logb b b b b b b b 2 a 4 1 log a b 3logb . b b 2 3 2 3 Đặt t log a b 0 (vì a b 1), ta có P 4 1 t 4t 8t 4 f t . b t t 2 3 8t3 8t 2 3 2t 1 4t 6t 3 Ta có f (t) 8t 8 t 2 t 2 t 2
8. 1 1 Vậy f t 0 t . Khảo sát hàm số, ta có P f 15 . 2 min 2 Câu 1006. [2D2-4.4-3] [THPT QUẢNG XƯƠNG1] Cho a,b ¡ thỏa mãn các điều kiện a2 b2 1 và log a b 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a 4b 3 là a2 b2 1 1 A. 10 . B. . C. 10 . D. 2 10 . 10 2 Lời giải. Chọn A 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Do a b 1và log 2 2 a b 1 nên a b a b a b (1) a b 2 2 2 1 1 3 Ta có: a 2b a 2 b (2) 2 2 2 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy số a ,b và 1, 2 ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 3 a b (1 2 ) a 2 b 5 a b a 2b 2 2 2 2 2 2 2 (3) Từ (1) và (3) 2 1 3 3 10 Ta có: 5. a 2b a 2b 2a 4b 3 10 2 2 2 2 1 1 a b 5 10 2 2 a 10 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 2 5 2 10 1 1 1 b a b 10 2 2 2 Câu 1007. [2D2-4.4-3] [THPT CHUYÊN BIÊN HÒA] Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 a b 0 . 2 36 Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức sau T loga b loga.b a . A. Tmin 19 . B. Tmin 16 . C. Tmin không tồn tại. D. Tmin 13 . Lời giải Chọn B 2 36 2 36 2 36 T loga b loga.b a loga b loga b loga ab 1 loga b Đặt t loga b, vì 1 a b 0 loga b logb b t 1 36 36 Xét f (t) t 2 f '(t) 2t . Cho f ¢(t) 0 t 2 1 t (1 t)2 f (1) 19 Hàm số f (t) liên tục trên [1; ) có f (2) 16 min f (t) 16 minT 16 . [1; ) [1; ) lim f (t) t Câu 16: [2D2-4.4-3] Cho hai số thực a,b thỏa mãn 1 b a3 . Biểu thức 3 3 b 2 P 2 1 loga 4 2loga b 3 có giá trị lớn nhất bằng a
9. 31455 455 A. 67 . B. . C. 27 . D. . 512 8 Lời giải Chọn A 3 a 1 1 b a 0 loga b 3 3 3 3 b 2 3 1 2 P 2 1 loga 4 2loga b 3 2loga b 4 loga b 3 a 2 . Đặt x loga b . 3 3 1 2 Xét P 2x 4 x 3 với 0 x 3 2 2 2 1 2 P ' 6x 3x 4 x 2 2 x 0 2 1 2 6x 3x 4 x 0 2 1 2 2 x 3 4 x 0 VN 2 Lập bảng biến thiên ta có P 0 67