Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit - Dạng 4: Toán Max, Min (nhiều biến) liên quan mũ và lôgarit - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit - Dạng 4: Toán Max, Min (nhiều biến) liên quan mũ và lôgarit - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 50: [2D2-4.4-4] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Tính giá trị của biểu thức 1 x2 1 2 13 P x2 y2 xy 1 biết rằng 4 x log 14 y 2 y 1 với x 0 và 1 y . 2 2 A. P 4 .B. P 2 .C. P 1.D. P 3. Lời giải Chọn B 1 x2 1 Xét 4 x2 log 14 y 2 y 1 . 2 1 1 x2 1 2 x2 . 1 Ta có 4 x2 4 x2 4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1, (1). 3 Mặt khác 14 y 2 y 1 14 3 y 1 y 1 . 30 Đặt t y 1 ta có 0 t . Xét hàm số f t t3 3t 14 . Ta tìm GTLN – GTNN của 2 30 30 56 9 30 hàm số trên đoạn 0; được min f t f ; max f t f 1 16 . 2 30 2 4 30 0; 0; 2 2 Suy ra log 14 y 2 y 1 log 16 4 , (2). 2 2 x 1 x 1 Từ (1) và (2) suy ra ta có . Thay vào P 2 . t y 1 1 y 0 Câu 6: [2D2-4.4-4] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Xét các số thực 1 ab dương a ,b thỏa mãn log 2ab a b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của P a 2b . 2 a b min 2 10 3 3 10 7 2 10 1 2 10 5 A. P . B. P . C. P . D. P . min 2 min 2 min 2 min 2 Lời giải Chọn A Theo đề bài suy ra: 1 ab 0 . Ta có: 1 ab log 2ab a b 3 log 1 ab log a b 2 ab 1 a b 1 2 a b 2 2 log2 1 ab 1 2 1 ab log2 a b a b log2 2 2ab 2 2ab log2 a b a b 1 . 1 Xét hàm số: f t log t t , t 0 . Ta có: f t 1 0 , với mọi t 0 . 2 t ln 2 Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; . 2 b Do đó: 1 f 2 2ab f a b 2 2ab a b a . 1 2b Theo đề bài ta có: a , b 0 , suy ra b 2 . 2 b Ta có: P a 2b 2b g b , với b 0;2 . 1 2b 5 10 2 Đạo hàm: g b 2 ; g b 0 b 0;2 . 1 2b 2 4
2. 10 2 2 10 3 Ta có: lim g x 2 ; g ; lim g x 4 . x 0 4 2 x 2 2 10 3 Vậy P . min 2 Câu 5: [2D2-4.4-4](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2- x y 2018) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy . 3 x2 y2 xy 2 5x 4y 4 Tìm giá trị P của biểu thức P . max x y 3 A. Pmax 0 B. Pmax 1 C. Pmax 2 D. Pmax 3 Lời giải Chọn B Ta có: x y log x x 3 y y 3 xy 3 x2 y2 xy 2 3 x y log log 3 x2 y2 xy 3 x y 3 x2 y2 xy 2 3 3 x y log 3 x y x2 y2 xy 2 log x2 y2 xy 2 * . 3 3 Xét hàm số f t t log t , . 3 t 0 1 Có: f t 1 0, t 0 f t là hàm số đồng biến trên khoảng 0; . ln 3.t Do đó, * 3 x y x2 y2 xy 2 xy x y 2 3 x y 2 . Mặt khác, ta xét S x2 y2 x y 2 2xy x y 2 2 x y 2 6 x y 4 5 x y 3 2 5 . Khi đó, ta có: 3x 2y 1 P P 3 x P 2 y 1 6P x y 6 2 1 6P 2 P 3 x P 2 y x2 y2 P 3 2 P 2 2 5 2P2 10P 13 26P2 38P 64 0 0 P 1. x 2 Suy ra MaxP 1 . y 1 Câu 43. [2D2-4.4-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn 2a 4b 8c 4 . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M S a 2b 3c . Giá trị của biểu thức 4 logM m bằng 2809 281 4096 14 A. . B. . C. . D. . 500 50 729 25 Lời giải Chọn C Đặt a log2 x, 2b log2 y, 3c log2 z . Ta có S log2 xyz .
3. 3 3 4 4 4 x y z 3 xyz xyz S 3log2 3 3 4 4 MaxS M 3log2 , khi x y z 3 3 4 Gọi z min x, y, z 1 z . 3 4 Do x 1 y 1 0 xy x y 1 3 z xyz z 3 z 2 (vì z 1; 3 Suy ra S 1, do đó m min S 1 khi x z 1, y 2 4 3log2 M 3 4096 4 logM m 4 log 4 1 . 3log2 729 3 Câu 48. [2D2-4.4-4] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Cho hai số thực a , b thỏa mãn điều kiện a2 b2 1 và log a b 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a 4b 3 là a2 b2 10 1 A. 10 . B. . C. . D. 2 10 . 2 10 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Do a b 1nên log 2 2 a b 1 a b a b a b . a b 2 2 2 Mặt khác 2 2 1 1 2 2 1 1 1 P 2a 4b 3 2 a 4 b 2 4 a b 20. 10 . Vậy 2 2 2 2 2 Pmax 10 . Câu 2747. [2D2-4.4-4] [THPT Đặng Thúc Hứa - 2017 ] Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1. 1 a k Biết rằng biểu thức P loga đạt giá trị lớn nhất khi b a . Khẳng định nào sau logab a b đây đúng? 3 3 A. k ;2 . B. k 2;3 . C. k 0; . D. k 1;0 . 2 2 Lời giải Chọn C 1 a Ta có P loga loga ab 1 loga b 1 loga b 1 loga b . logab a b Khi b ak P 1 k 1 k . Đặt t 1 k . Với k 1. 2 2 1 9 9 P t t 2 t . 2 4 4 9 1 3 3 Max P . Đẳng thức xảy ra t k 0; . 4 2 4 2 Câu 2749. [2D2-4.4-4] [Minh Họa Lần 2 - 2017 ] Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1. Tìm giá 2 2 a trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P log a a 3logb . b b A. Pmin 19 . B. Pmin 13. C. Pmin 14 . D. Pmin 15.
4. Lời giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có. 2 a 2 a a a 2 2 P log a a 3logb 2log a a 3logb 4 log a .b 3logb b b b b b b b . 2 a 4 1 log a b 3logb b b 2 3 2 3 Đặt t log a b 0 (vì a b 1), ta có P 4(1 t) 4t 8t 4 f (t) . b t t 3 8t3 8t 2 3 (2t 1)(4t 2 6t 3) Ta có f (t) 8t 8 . t 2 t 2 t 2 1 1 Vậy f (t) 0 t . Khảo sát hàm số, ta có P f 15 . 2 min 2 Câu 2751. [2D2-4.4-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2 - 2017 ] Cho hai số thực a, b thỏa mãn 2 36 1 a b 0. Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức sau T loga b loga.b a . A. Tmin 16. B. Tmin 13. C. Tmin không tồn tại. D. Tmin 19. Lời giải Chọn A 2 36 2 36 2 36 T loga b loga.b a loga b loga b . loga ab 1 loga b Đặt t loga b, vì 1 a b 0 loga b logb b t 1. 36 36 Xét f (t) t 2 f '(t) 2t . Cho f '(t) 0 t 2 . 1 t (1 t)2 f (1) 19 Hàm số f (t) liên tục trên [1; ) có f (2) 16 Min f (t) 16 MinT 16 . [1; ) [1; ) lim f (t) t Câu 2765. [2D2-4.4-4] [THPT Đặng Thúc Hứa - 2017 ] Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1. 1 a k Biết rằng biểu thức P loga đạt giá trị lớn nhất khi b a . Khẳng định nào sau logab a b đây đúng? 3 3 A. k ;2 . B. k 2;3 . C. k 0; . D. k 1;0 . 2 2 Lời giải Chọn C 1 a Ta có P loga loga ab 1 loga b 1 loga b 1 loga b . logab a b Khi b ak P 1 k 1 k . Đặt t 1 k . Với k 1. 2 2 1 9 9 P t t 2 t . 2 4 4
5. 9 1 3 3 Max P . Đẳng thức xảy ra t k 0; . 4 2 4 2 Câu 2775. [2D2-4.4-4] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 - 2017 ] Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log 2 2 (2x y) 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2x y bằng: x 2 y 9 9 9 A. 9 . B. . C. . D. . 8 4 2 Lời giải Chọn D x2 2y2 1 0 x2 2y2 1 Bất PT log 2 2 (2x y) 1 (I), (II) . x 2 y 2 2 2 2 2x y x 2y 0 2x y x 2y Xét T= 2x y . TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 T 2x y x2 2y2 1. 1 9 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x2 2y2 2x y (x 1)2 ( 2y )2 . Khi đó. 2 2 8 1 1 9 2 1 2 1 2 9 9 9 9 9 2x y 2(x 1) ( 2y ) (2 ) (x 1) ( 2y ) . 2 2 2 4 2 2 2 4 2 8 4 2 . 9 1 Suy ra : maxT (x; y) (2; ) . 2 2 Câu 2776. [2D2-4.4-4] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 - 2017 ] Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log 2 2 (2x y) 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2x y bằng: x 2 y 9 9 9 A. 9 . B. . C. . D. . 8 4 2 Lời giải Chọn D x2 2y2 1 0 x2 2y2 1 Bất PT log 2 2 (2x y) 1 (I), (II) . x 2 y 2 2 2 2 2x y x 2y 0 2x y x 2y Xét T= 2x y . TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 T 2x y x2 2y2 1. 1 9 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x2 2y2 2x y (x 1)2 ( 2y )2 . Khi đó. 2 2 8 1 1 9 2 1 2 1 2 9 9 9 9 9 2x y 2(x 1) ( 2y ) (2 ) (x 1) ( 2y ) . 2 2 2 4 2 2 2 4 2 8 4 2 . 9 1 Suy ra : maxT (x; y) (2; ) . 2 2 Câu 34: [2D2-4.4-4] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 b 2 với a,b là các số thực thỏa mãn . P loga b 6 log b a 1 b a a A. 30 . B. 40 . C. 60 . D. 50 . Lời giải Chọn C
6. 2 2 2 log b t Ta có loga b 4 loga b . Đặt a . b 1 b 1 1 1 1 log log log b log a b b b b a a 2 a a 2 a a 2 b b logb loga a a 1 1 1 1 2 2 1 2log b 6 4log a a b 2 1 1 2 1 2log a log b 2 2 log b 4log a 4 log a log b 1 b a a b 2 b 2 a 4 2t 6 2 1 1 2 t 3t 2 t 1 t 2 t 1 t . 4 2 2 2 t 4 2 t 4t 4 t 2 t 2 t 2 2 t 1 Ta được P 4t 6 . t 2 2 Với b a 1 b a * Lấy log cơ số a 1 hai vế của * ta được loga b 2 nên t 2 . 2 2 t 1 *) Xét hàm số f t 4t 6 ,t D 2; . t 2 Ta được. t 3 12(t 1) 2 3 2 1 3 f ' t 8t 2 0 8t t 4t 4 12 t 1 0 8t 32t 20t 12 0 t . t 2 2 1 3 t 2 Do t 2 nên f ' t 0 có nghiệm t 3 . Ta có lim f t ; f 3 60;lim f t nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 60. . t 2 t Câu 47. [2D2-4.4-4] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho các số thực 2 2 2 dương x và y thỏa mãn 4 9.3x 2 y 4 9x 2 y .72 y x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2y 18 P . x 3 2 A. P 9. B. P . 2 C. P 1 9 2 . D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt t x2 2y , t ¡ . 2 2 2 Phương trình 4 9.3x 2 y 4 9x 2 y .72 y x 2 trở thành t t t 49 t t 7 4 9.3 4 9 . t 4 7 49 9 9. 49 0 . 7 3 Nhận thấy t 2 là nghiệm phương trình.
7. Ta chứng minh t 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. t t 7  Xét t 2: 7 49 và 9. 49 nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình 3 vô nghiệm. t t 7  Xét t 2 : 7 49 và 9. 49 nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô 3 nghiệm. x2 2 x 2y 18 x2 x 16 Vậy t x2 2y 2 y thay vào P 2 x x 16 16 16 x 1 2 x. 1 9 . Dấu bằng đạt được khi x x 4 . x x x Câu 19: [2D2-4.4-4](Sở Tiền Giang - 2018 - BTN) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x 4 y 2x4 2x2 y2 6 x2 log2 2x 4 y 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 bằng x y x y 9 16 25 A. 4 B. C. D. 4 9 9 Lời giải Chọn C x 4 y Điều kiện : 0 x y x 4 y x 4 y x 4 y log2 2x 4 y 1 log2 1 2x 4 y log2 2x 4 y x y x y 2x 2y x 4 y log2 2 2x 2y 2 x 4 y 2x 2y log2 x 4 y 2 x 4 y log2 2x 2y 2 2x 2y Xét hàm số f t log2 t 2t với t 0; 1 f t 2 0 với t 0; nên hàm số f t đồng biến trên t 0; . t ln 2 Nên x 4 y 2x 2y x 2y . 2x4 2x2 y2 6 x2 8 8 8 8 16 P y 2 y. . x y 3 9 9 y 9 9 y 9