Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 4: Phương pháp tính tích phân - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 4: Phương pháp tính tích phân - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 20. [DS12.C3.4.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ 1 thỏa mãn f tan x cos4 x , x ¡ . Tính I f x dx . 0 2 2 A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 Lời giải Chọn A 1 2 2 4 1 1 Đặt t tan x . Ta có 2 1 tan x 1 t cos x 2 f t 2 cos x 1 t 2 1 t 2 1 1 1 I f x dx dx . 2 2 0 0 1 x Đặt x tan u dx 1 tan u du ; đổi cận: x 0 u 0 ; x 1 u . 4 4 4 4 4 1 1 1 2 1 1 2 I 2 d tan u 2 . 2 du cos udu u sin 2u . 2 cos u 2 4 8 0 1 tan u 0 1 0 0 2 cos u Câu 31. [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hàm số f x liên 2 1 tục trên ¡ và f 2 16 , f x dx 4 . Tính tích phân I x. f 2x dx . 0 0 A. I 13 . B. I 12 . C. I 20 . D. I 7 . Lời giải Chọn D du dx u x Đặt 1 . dv f 2x dx v f 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I x. f 2x f 2x dx f 2 f 2x dx 8 f 2x dx . 2 0 2 0 2 2 0 2 0 Đặt t 2x dt 2dx . Với x 0 t 0 ; x 1 t 2 . 1 2 Suy ra I 8 f t dt 8 1 7 . 4 0 Câu 48. [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho y f x là hàm số 2 3 6 chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6. Biết rằng f x dx 8 và f 2x dx 3. Tính f x dx . 1 1 1 A. I 11. B. I 5 . C. I 2 . D. I 14 . Lời giải Chọn D 3 3 Ta có f 2x dx 3 f 2x dx 3 1 1 1 Khi đó đặt t 2x dt 2dx dx dt ; Với x 1 t 2 , x 3 t 6 . 2
2. 3 1 6 6 6 Ta có f 2x dx 3 f t dt 3 f t dt 6 f x dx 6 . 1 2 2 2 2 6 2 6 Vậy I f x dx f x dx f x dx 8 6 14 . 1 1 2 Câu 41: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho biết tích phân 1 7 I x 2 ln x 1 dx a ln 2 trong đó a , b là các số nguyên dương. Tìm mệnh đề đúng 0 b trong các mệnh đề sau: A. a b .B. a b .C. a b .D. a b 3 . Lời giải. Chọn A 1 du dx u ln x 1 x 1 Đặt . dv x 2 dx x2 v 2x 2 1 x2 1 1 x2 4x 5 1 1 3 I 2x ln x 1 dx ln 2 x 3 dx 2 2 x 1 2 2 x 1 0 0 0 1 5 1 x2 7 ln 2 3x 3ln x 1 4ln 2 . 2 2 2 4 0 Suy ra a 4 , b 4 . Vậy a b . Câu 22: [DS12.C3.4.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Giá trị của tích phân 100 x x 1 x 100 dx bằng 0 A. 0 .B. 1.C. 100 .D.một giá trị khác. Lời giải Chọn A 100 Tính I x x 1 x 100 dx . 0 Đặt t 100 x dx dt . Đổi cận: Khi x 0 thì t 100 ; khi x 100 thì t 0 . Do x x 1 x 100 100 t 99 t 1 t t t t 1 t 99 t 100 nên 100 100 I x x 1 x 100 dx t t 1 t 100 dt I 2I 0 I 0 . 0 0 Câu 24. [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho y f x , 2 2 y g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;2 và g x . f x dx 2 , g x . f x dx 3. Tính 0 0 2 tích phân I f x .g x dx . 0 A. I 1. B. I 6 .C. I 5 . D. I 1. Lời giải Chọn C
3. 2 2 Xét tích phân I f x .g x dx f x .g x f x .g x dx 0 0 2 2 g x . f x dx g x . f x dx 5 . 0 0 Câu 5. [DS12.C3.4.BT.c](THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho 5 2 f x dx 4 . Tính I f 2x 1 dx . 1 1 5 3 A. I 2 . B. I . C. I 4 . D. I . 2 2 Lời giải Chọn A 1 Đặt t 2x 1 dt 2dx dx dt . 2 Với x 1 t 1, với x 2 t 5 . 2 5 1 1 5 1 5 1 Khi đó ta có I f 2x 1 dx I f t . dt f t dt f x dx .4 2 . 1 1 2 2 1 2 1 2 e a.e2 b Câu 32: [DS12.C3.4.BT.c] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho I x ln xdx với a , b , 1 c c ¢ . Tính T a b c . A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D 1 du dx u ln x x Ta có: nên . dv xdx x2 v 2 e e x2 1 e e2 1 I x ln xdx ln x xdx . 1 2 1 2 1 4 a 1 b 1 . c 4 Vậy T a b c 6 . Câu 32: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho tích phân 4 dx 2 I a bln với a,b ¢ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 3 0 A. a b 3 . B. a b 5 . C. a b 5 . D. a b 3 . Lời giải Chọn C Đặt t 2x 1 t 2 2x 1 dx tdt . Đổi cận: x 0 t 1 x 4 t 3 4 dx 3 tdt 3 3 Khi đó I 1 dt 0 3 2x 1 1 3 t 1 t 3 3 2 t 3ln t 3 2 3ln 1 3 Do đó a b 5 .
4. 5 dx Câu 44: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Tính tích phân được kết 1 x 3x 1 quả I a ln 3 bln 5. Giá trị a2 ab 3b2 là A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn B t 2 1 2tdt Đặt t 3x 1 t 2 3x 1 x dx . 3 3 Đổi cận: x 1 t 2; x 5 t 4. Khi đó 4 4 2 4 1 1 t 1 a 2 I dt dt ln 2ln 3 ln 5 . Suy ra . 2 2 t 1 2 t 1 t 1 t 1 2 b 1 Do đó a2 ab 3b2 5 . Câu 27: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hàm số f x liên tục 2 trên ¡ và thỏa mãn: f x f 2 x 2x,x ¡ . Tính I f x dx. 0 1 4 A. I 2 B. I C. I 4 D. I 2 3 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 Ta có f x f 2 x 2x f x dx f 2 x dx 2xdx x2 4. 0 0 0 0 2 Xét J f 2 x dx 0 Đặt t 2 x dt dx . Khi x 0 t 2, x 2 t 0. 0 2 2 Suy ra J f t dt f t dt f x dx. 2 0 0 2 2 Vậy 2 f x dx 4 f x dx 2. 0 0 Câu 27: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số f x 2 liên tục trên ¡ và thỏa mãn: f x f 2 x 2x,x ¡ . Tính I f x dx. 0 1 4 A. I 2 B. I C. I 4 D. I 2 3 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 Ta có f x f 2 x 2x f x dx f 2 x dx 2xdx x2 4. 0 0 0 0 2 Xét J f 2 x dx 0 Đặt t 2 x dt dx . Khi x 0 t 2, x 2 t 0. 0 2 2 Suy ra J f t dt f t dt f x dx. 2 0 0
5. 2 2 Vậy 2 f x dx 4 f x dx 2. 0 0 m Câu 34: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho I 2x 1 e2xdx . Tập 0 hợp tất cả các giá trị của tham số m để I m là khoảng a;b . Tính P a 3b . A. P 3 B. P 2 C. P 4 D. P 1 Lời giải Chọn A m I 2x 1 e2xdx 0 du 2dx u 2x 1 Đặt 2x . 2x e dv e dx v 2 m 2x 1 e2x m m 2m 1 e2m 1 1 m I 2x 1 e2xdx e2xdx e2x mem e2m 1 0 2 0 0 2 2 2 0 I m me2m e2m 1 m m 1 e2m 1 0 0 m 1. Suy ra a 0,b 1 a 3b 3 . Câu 46: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Giá trị 9 3 4 3 2 3 cos x I x sin x e dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0,046 B. 0,036 C. 0,037 D. 0,038 Lời giải Chọn C 1 Đặt u cos x3 du 3 x2 sin x3 d x x2 sin x3 d x du . 3 1 3 Khi x thì u . 3 6 2 9 2 Khi x thì u . 3 4 2 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 Ta có I eu du eu du eu e 2 e 2 0,037 . 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 x2018 Câu 39: [DS12.C3.4.BT.c] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Tính tích phân I dx x 2 e 1 22020 22019 22018 A. I 0 .B. I .C. I .D. I . 2019 2019 2018 Lời giải Chọn C 2 x2018 Tính tích phân I dx . x 2 e 1 Đặt x t dx dt . Khi x 2 thì t 2; khi x 2 thì t 2 .
6. Ta có 2018 2 2 x2018 2 t 2 t 2018.et 2 t 2019 2.22019 I dx dt dt 2I t 2018dt x t t 2 e 1 2 e 1 2 e 1 2 2019 2 2019 22019 I . 2019 Câu 41: [DS12.C3.4.BT.c] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Số điểm cực trị của hàm số 2 x 1 2017 f x t 2 12 4 dt là: 1 A. 1.B. 3 .C. 2 .D. 0 . Lời giải Chọn B 2017 2017 Gọi F t t 2 12 4 dt . Suy ra F t t 2 12 4 . 2017 2 2 2 2 Ta có: f x F x 1 F 1 . Suy ra f x F x 1 .2x x 1 12 4 .2x . x 0 f x 0 2 . x2 1 12 4 0 2 x2 1 12 4 0 x2 1 2 x 1. BXD: Vậy chọn B. Câu 1: [DS12.C3.4.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 1 0, 1 1 2 1 2 x e 1 f x dx x 1 e f x dx . Tính f x dx . 0 0 4 0 e e2 A. B. 2 e C. D. e 2 2 4 Lời giải Chọn D 1 e2 1 Ta có x 1 ex f x dx . 0 4 u f x du f x dx Đặt x x dv x 1 e dx v xe 1 1 e2 1 1 e2 1 xex f x xex f x dx xex f x dx . 0 4 0 0 4 1 x 2 x x x Suy ra f x xe dx 0 f x xe hay f x xe e C . 0
7. Vì f 1 0 nên C 0 . Do đó, f x xex ex . 1 1 1 Vậy f x dx xex ex dx xex 2ex e 2 . 0 0 0 Câu 17: [DS12.C3.4.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Cho hàm số f x liên tục trên  1;1 và f x 2018 f x ex x  1;1. Tính 1 f x dx . 1 e2 1 e2 1 e2 1 A. B. C. D. 0 2018e e 2019e Lời giải Chọn C Cách 1. f x 2018 f x ex 2018 f x ex f x 1 1 1 e2 1 1 2018 f x dx exdx f x dx f x dx 1 1 1 e 1 1 1 1 Đặt t x f x dx f t d t f t dt 1 1 1 1 e2 1 1 1 e2 1 1 e2 1 Do đó 2018 f x dx f x dx 2019 f x dx f x dx . 1 e 1 1 e 1 2019e Cách 2. Từ giả thiết f x 2018 f x ex x  1;1 1 f x 2018 f x e x x  1;1 2 . Từ 1 và 2 20182 1 f x 2018ex e x x  1;1 2018ex e x f x x  1;1. 20182 1 1 1 1 1 e2 1 f x dx 2018ex e x dx 2018ex e x 1 . 2 2 1 1 2018 1 1 2018 1 2019e Câu 32: [DS12.C3.4.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- 2 2017 a a LẦN 2-2018) Cho x ln x 1 dx ln 3 ( là phân số tối giản, b 0 ). Tính S a b . 0 b b A. 6049 B. 6053 C. 1 D. 5 Lời giải Chọn A 2 2017 2017 x 1 x 1 x 1 Đặt u ln x 1 du dx ; dv xdx chọn v . x 1 2 2 2 Ta có 2 2 2 2 2017 x 1 2017 2017 x ln x 1 dx ln x 1 x 1 dx 2 2 0 0 0 2 2 3 2017 x 1 6051 ln 32017 ln 3 . 2 4 2 0
8. Vậy a 6051, b 2 S a b 6049 . Câu 32: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Biết 2 x 1 dx ln ln a b với a , b là các số nguyên dương. Tính P a2 b2 ab . 2 1 x x ln x A. 10 B. 8 C. 12 D. 6 Lời giải Chọn B 2 x 1 2 x 1 Ta có dx dx . 2 1 x x ln x 1 x x ln x 1 x 1 Đặt t x ln x dt 1 dx dx . x x Khi x 1 t 1; x 2 t 2 ln 2 . 2 ln 2 dt 2 ln 2 a 2 Khi đó I ln t ln ln 2 2 . Suy ra . 1 1 t b 2 Vậy P 8 . Câu 19: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Tích phân 3x 2 cos2 x dx bằng: 0 3 3 1 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 4 4 4 1 2 . 4 Lời giải Chọn B Đặt I 3x 2 cos2 x dx . Ta có: 0 1 1 1 I 3x 2 1 cos 2x dx 3x 2 dx 3x 2 cos 2x dx I I . 1 2 2 0 2 0 0 2 3 3 I 3x 2 dx x2 2x 2 2 . 1 0 2 0 2 I 3x 2 cos 2x dx . Dùng tích phân từng phần 2 0 du 3dx u 3x 2 Đặt 1 . Khi đó dv cos 2x dx v sin 2x 2 1 3 3 I 3x 2 sin 2x sin 2x dx 0 cos 2x 0 . 2 2 0 2 0 4 0
9. 1 3 2 3 2 Vậy I 2 . 2 2 4 Câu 38: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Biết 2 x dx a b 2 c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P a 2b c 7 . 2 1 3x 9x 1 1 86 67 A. . B. . C. 2 . D. . 9 27 27 Lời giải Chọn A Ta có 2 x 2 2 dx x 3x 9x2 1 dx 3x2 x 9x2 1 dx 2 1 3x 9x 1 1 1 2 2 2 2 2 3x2dx x 9x2 1dx x3 x 9x2 1dx 7 x 9x2 1dx . 1 1 1 1 1 2 Tính x 9x2 1dx . 1 tdt Đặt 9x2 1 t 9x2 1 t 2 xdx . 9 Khi x 1 thì t 2 2 ; khi x 2 thì t 35 . 35 2 35 tdt t3 35 16 Khi đó x 9x2 1dx t 35 2 . 1 2 2 9 27 2 2 27 27 2 x 35 16 16 35 Vậy dx 7 35 2 a 7 , b , c . 2 1 3x 9x 1 27 27 27 27 32 35 1 Vậy P a 2b c 7 7 7 . 27 27 9 Câu 47: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hàm số f x có 1 1 2 3 1 đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1, f x dx 9 và x f x dx . Tích 0 0 2 1 phân f x dx bằng: 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Lời giải Chọn B 1 2 Ta có: f x dx 9 1 0 1 1 - Tính x3 f x dx . 0 2 du f x dx u f x Đặt 4 3 x dv x .dx v 4
10. 1 1 4 1 1 1 3 x 1 4 1 1 4 x f x dx . f x x . f x dx x . f x dx 2 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 x4. f x dx 1 18 x4. f x dx 18 2 0 0 1 1 x9 1 1 - Lại có: x8dx 81 x8dx 9 3 0 9 0 9 0 - Cộng vế với vế các đẳng thức 1 , 2 và 3 ta được: 1 1 2 f x 18x4. f x 81x8 dx 0 f x 9x4 dx 0 0 0 1 4 . f x 9x dx 0 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x 9x4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 0 , x 1 khi quay quanh Ox bằng 0 9 f x 9x4 0 f x 9x4 f x f x .dx x4 C . 5 14 9 14 Lại do f 1 1 C f x x5 5 5 5 1 1 1 9 5 14 3 6 14 5 f x dx x dx x x . 0 0 5 5 10 5 0 2 2 3x 1 ln b Câu 24: [DS12.C3.4.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Biết dx ln a với a , b , c 2 1 3x x ln x c là các số nguyên dương và c 4 . Tổng a b c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn C 1 2 2 3 3x 1 1 Ta có dx x dx . Đặt t 3x ln x , dt 3 dx 2 1 3x x ln x 1 3x ln x x Đổi cận x 1 t 3 , x 2 t 6 ln 2 . 1 2 3 6 ln 2 dt 6 ln 2 ln 2 x dx ln t ln 6 ln 2 ln 3 ln 2 3 1 3x ln x 3 t 3 a 2 , b 2 , c 3. Vậy tổng a b c 7 . Câu 15: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Biết f sin x dx 1. Tính xf sin x dx . 0 0 1 A. .B. .C. .D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B Tính I xf sin x dx . 0 Đặt t x dt dx
11. Đổi cận: x 0 t , x t 0 . 0 I t f sin t dt t f sin t dt f sin t dt tf sin t dt 0 0 0 I t. f sin t dt t. f sin t dt . 2 0 0 Vậy x. f sin x dx . 2 0 Câu 31: [DS12.C3.4.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và π 4 3 f x 2 f x tan2 x . Tính f x dx π 4 π π π π A. 1 .B. 1.C. 1 .D. 2 . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D π 4 4 π 2 1 4 π π π Ta có tan xdx 1 dx tan x x π 1 1 2 2 π cos x 4 4 4 2 4 4 π π 4 2 3 f x 2 f x dx . 2 π 4 π π π π Đặt t x dt dx , đổi cận x t , x t . 4 4 4 4 π π π 4 4 4 3 f x 2 f x dx 3 f t 2 f t dt 3 f x 2 f x dx π π π 4 4 4 π π π π 4 4 π 4 π 4 Suy ra, f x dx f x dx 2 3 f x 2 f x dx 2 f x dx π π 2 π 2 π 4 4 4 4 π 4 π Vậy f x dx 2 π 2 4 Câu 49: [DS12.C3.4.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Có bao nhiêu giá trị của tham số m m sin x 1 trong khoảng 0;6 thỏa mãn dx ? 0 5 4cos x 2 A. 6 .B. 12. C. 8 .D. 4 . Lời giải Chọn A 1 m sin x m 1 Ta có dx d cos x 2 0 5 4cos x 0 5 4cos x 1 m 1 1 m d 5 4cos x ln 5 4cos x . 4 0 5 4cos x 4 0
12. 1 1 m 1 5 4cos m Mà 5 4cos x 5 4 0 ln 5 4cos x ln 2 4 0 4 9 5 4cos m 5 4cos m 9e 2 5 ln 2 e 2 cos m 9 9 4 9e 2 5 m arccos k2 k ¢ . 4 k 0 9e 2 5 arccos k2 0;6 k 1 4 k 2 Theo đề bài m 0;6 . k 1 9e 2 5 arccos k2 0;6 k 2 4 k 3 Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu 44: [DS12.C3.4.BT.c](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hàm số f x có đạo hàm 1 1 liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 6, 2x 2 . f x dx 6 . Tích phân f x dx . 0 0 A. 3 .B. 9 .C. 3 .D. 6 . Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Ta có 6 2x 2 . f x dx 2x 2 d f x 2x 2 f x 2 f x dx 0 0 0 0 1 1 2 f 0 6 6 2 f 0 2 f x dx f x dx 9 . 0 0 2 Câu 31: [DS12.C3.4.BT.c] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Biết rằng 1 dx 2 a 2ln với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a b bằng 2 0 x 4x 3 1 b A.3 .B. 5 .C. 9 .D. 7 . Lời giải Chọn B 1 dx 1 dx Ta có 2 0 x 4x 3 0 x 1 x 3 Đặt t x 3 x 1 1 1 1 1 x 1 x 3 dt dx dt 2 2 x 3 x 1 x 1 x 3 1 t 2dt dx dt dx . 2 t x 1 x 3 x 1 x 3 Khi x 0 thì t 1 3 ; khi x 1 thì t 2 2 . 1 2 2 dx dt 2 2 2 2 a 2 2 2ln t 2ln a b 5. 2 1 3 0 x 4x 3 1 3 t 1 3 b 3
13. Câu 34: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho 1 f (x) e F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính f (x)ln xdx bằng: 2 2x x 1 e2 3 2 e2 e2 2 3 e2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2e2 e2 e2 2e2 Lời giải Chọn A 1 f (x) Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên 2x2 x f (x) 1 1 2 f x 2 . x 2x x 1 e ln x u dx du Tính I f (x)ln xdx . Đặt x . f x dx dv 1 f x v e e e 2 e f x 1 1 e 3 Khi đó I f x .ln x dx .ln x . 1 2 2 2 1 x x 1 2x 1 2e Câu 37: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biết 4 x 1 ex rằng tích phân dx ae4 b . Tính T a2 b2 0 2x 1 3 5 A. T 1.B. T 2 . C. T . D. T . 2 2 Lời giải Chọn B 4 4 4 4 x x 1 x 1 2x 2 x 1 x e Ta có I e dx e dx 2x 1.e dx dx . 0 2x 1 2 0 2x 1 2 0 0 2x 1 4 ex Xét I dx . 1 0 2x 1 du exdx u ex 1 Đặt dx dx 1 2x 1 2 dv v . 2x 1 2x 1 2 1 2x 1 2 4 4 x x Do đó I1 e . 2x 1 e . 2x 1dx . 0 0 3e4 1 3 1 9 1 Suy ra I . Khi đó a ,b T 2 . 2 2 2 4 4 Câu 31: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 1 2 f x f x liên tục trên ¡ và f x 2 f 3x. Tính tích phân I dx x 1 x 2 1 5 3 7 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 Lời giải
14. Chọn C 1 1 1 1 Đặt t . Suy ra dt d 2 dx dx 2 dt . x x x t 1 1 Đổi cận x t 2. x 2 t . 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 Ta có I tf dt f dt f dx . 2 2 t t 1 t t 1 x x 2 2 2 2 2 2 f x 1 1 1 1 2 9 Suy ra 3I dx 2 f dx f x 2 f dx 3dx 3x 1 . 1 x 1 x x 1 x x 1 2 2 2 2 2 2 3 Vậy I . 2 Câu 33: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Biết rằng 1 1 x cos 2xdx asin 2 bcos 2 c , với a,b,c ¢ . Khẳng định nào sau đây đúng ? 0 4 A. a b c 1. B. a b c 0. C. 2a b c 1. D. a 2b c 1. Lời giải Chọn B du dx 1 u x Đặt I x cos 2xdx Đặt 1 . 0 dv cos2xdx v sin 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I xsin 2x sin 2xdx sin 2 cos2x sin 2 cos2 . 2 0 2 0 2 4 0 2 4 4 1 2sin 2 cos2 1 a b c 0 . 4 Câu 49: [DS12.C3.4.BT.c] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Biết 6 a c 3 a 3 4sin2 x dx , trong đó a ,b nguyên dương và tối giản. Tính a b c . 0 b 6 b A. 8 . B. 16. C. 12. D. 14. Lời giải Chọn D. Ta có: 6 6 6 2 3 4sin x dx 3 2 1 cos 2x dx 5 2cos 2x dx 0 0 0 5 3 3 . 6 6 Suy ra a 5 , b 6 , c 3. Vậy a b c 14. Câu 7: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết f x . f 1 x 1 với x 0;1. 1 dx Tính giá trí I 0 1 f x
15. 3 1 A. . B. . C. 1. D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn B 1 f x Ta có: f x . f 1 x f x 1 f x f 1 x 1 1 f x 1 dx Xét I 0 1 f x Đặt t 1 x x 1 t dx dt . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 0 . 0 dt 1 dt 1 dx 1 f x dx Khi đó I 1 1 f 1 t 0 1 f 1 t 0 1 f 1 x 0 1 f x 1 dx 1 f x dx 1 1 f x 1 1 Mặt khác dx dx 1 hay 2I 1. Vậy I . 0 1 f x 0 1 f x 0 1 f (t) 0 2 Câu 21: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho 2018 2018 e 1 x hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 2 . Khi đó tích phân f ln x2 1 dx 2 0 0 x 1 bằng A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C 2018 e 1 x Đặt I f ln x2 1 dx . 2 0 x 1 2 2x Đặt t ln x 1 dt 2 dx . x 1 Đổi cận: x 0 t 0 ; x e2018 1 t 2018 . 2018 2018 Vậy I f t dt f x dx 2 . 0 0 Câu 19: [DS12.C3.4.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Với mỗi số nguyên dương n ta kí 1 n 2 2 In 1 hiệu In x 1 x dx . Tính lim . n 0 In A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn A du dx 1 n u x 2 2 2 n 1 Xét In x 1 x dx . Đặt n 1 x . dv x 1 x2 dx 0 v 2 n 1 n 1 1 2 1 1 x 1 x 1 n 1 1 n 1 I 1 x2 dx 1 x2 dx n n 1 2 n 1 0 2 n 1 0 0 1 1 n 1 I 1 x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0
16. 1 1 1 n 1 n 1 I 1 x2 dx x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0 0 1 In 1 2n 1 In 1 In 1 2 n 1 In In 1 lim 1. n 2 n 2 In 2n 5 In Câu 36: [DS12.C3.4.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các giá trị dương của m 3 m 10 15 để x 3 x dx f , với f x ln x . 0 9 A. m 20 . B. m 4 . C. m 5 .D. m 3 . Lời giải Chọn D 14 15 15x 15 15 10 243 + Từ f x ln x f x f x do đó f . x15 x x2 9 20 3 + Tính tích phân I x 3 x m dx : 0 x 0 3 Đặt t 3 x x 3 t , dx dt , t 3 0 3 0 3 3t m 1 t m 2 3m 2 Do đó I 3 t t m dt 3t m t m 1 dt 3 0 m 1 m 2 0 m 1 m 2 3 m 2 m 2 5 m 10 3 243 3 3 + Ta có x 3 x dx f 0 9 m 1 m 2 20 m 1 m 2 4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m 3 . 3m 2 35 (Ghi chú: để giải PT rất khó và nhiều thời gian, nên chọn PP này để làm m 1 m 2 4.5 trắc nghiệm cho nhanh và chọn đúng đáp án) Câu 4: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị C là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x 2 (phần tô đen) là 2 1 2 A. f x dx . B. f x dx f x dx . 0 0 1 1 2 2 C. f x dx f x dx . D. f x dx . 0 1 0 Lời giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x 0;1 thì f x 0 , khi x 1;2 thì f x 0.
17. 1 2 Vậy S f x dx f x dx . 0 1 Câu 31: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Biết rằng 3 x ln x dx mln 3 nln 2 p , trong đó m , n , p ¤ . Khi đó số m là 2 9 27 A. . B. 18 . C. 9 . D. . 2 4 Lời giải Chọn A du dx u ln x Đặt x2 dv xdx v 2 9 m 3 3 2 3 x2 3 x2 9 x3 9 19 x ln x dx ln x dx ln 3 2ln 2 ln 3 2ln 2 n 2 2 2 2 6 2 6 2 2 2 2 19 p 6 9 Vậy m . 2 Câu 35: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tích phân 2 x2 2x cos x cos x 1 sin x c I dx a 2 b ln với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính giá trị 0 x cos x của biểu thức P ac3 b. 5 3 A. P 3. B. P . C. P . D. P 2 . 4 2 Lời giải Chọn D 2 x2 2x cos x cos x 1 sin x 2 x cos x 2 1 sin x Ta có I dx dx 0 x cos x 0 x cos x 2 1 sin x x2 2 2 2 2 x cos x dx sin x ln x cos x 1 ln 1 ln x cos x 2 8 2 8 0 0 1 1 a , b 1, c 2 . P ac3 b .8 1 2 . 8 8 Câu 2: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2D3-3] Cho hàm số 1 1 f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính I f x dx . 0 0 A. I 1. B. I 8 . C. I 12 .D. I 8 . Lời giải Chọn D * Cách 1 (Tích phân hàm ẩn – PP tích phân từng phần): u x 1 du dx + Đặt dv f x dx v f x
18. 1 1 + Do đó giả thiết x 1 f x f x dx 10 2 f 1 f 0 I 10 2 I 10 0 0 I 8. * Cách 2 (PP chọn hàm): Gọi f x ax b , a 0 f x a . Theo giả thiết ta có: 1 1 1 10 3 10 20 +) x 1 f x dx 10 a x 1 dx 10 x 1 dx a . 0 0 0 a 2 a 3 20 34 +) 2 f 1 f 0 2 2. b b 2 b . 3 3 20 34 Do đó, f x x . 3 3 1 1 20 34 Vậy I f x dx x dx 8 . 0 0 3 3 Câu 25: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số f (x) 4 1 x2 f (x) 1 liên tục trên ¡ và các tích phân f (tan x)dx 4 và dx 2 , tính tích phân I f (x)dx . 2 0 0 x 1 0 A. 2 B. 6 C. 3 D. 1 Lời giải Chọn B 4 4 f (tan x) Xét I f (tan x)dx 1 tan2 x dx . 2 0 0 1 tan x Đặt u tan x du 1 tan2 x dx Khi x 0 thì u 0 ; khi x thì u 1. 4 1 f (u) 1 f (x) 1 f (x) Nên I du dx . Suy ra dx 4. 2 2 2 0 1 u 0 1 x 0 1 x 2 1 x2 f (x) 1 x 1 1 f (x) 1 1 f (x) Mặt khác dx dx f x dx dx . 2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 0 1 x 1 1 Do đó 2 f x dx 4 f x dx 6 . 0 0 Câu 26: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số 1 x 2017 2017 y f (x) với f (0) f (1) 1. Biết rằng: e f x f x dx ae b Tính Q a b . 0 A. Q 22017 1 B. Q 2 C. Q 0 D. Q 22017 1 Lời giải Chọn C u f x du f x dx Đặt . x x dv e dx v e
19. 1 1 1 2 ex f x f x dx ex f x ex f x dx ex f x dxY ef 1 f 0 e 1. 1 0 0 0 Do đó a 1, b 1. Suy ra Q a2017 b2017 12017 1 2017 0. Vậy Q 0 . Câu 35. [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x 2018 f x 2xsin x . Tính 2 I f x dx ? 2 2 2 2 4 A. .B. .C. .D. . 2019 2018 1009 2019 Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 Ta có f x 2018 f x dx 2xsin xdx f x dx 2018 f x dx 2xsin xdx 2 2 2 2 2 2 2 2019 f x dx 2xsin xdx 1 2 2 2 + Xét P 2xsin xdx 2 u 2x du 2dx Đặt dv sin xdx v cos x 2 2 P 2x. cos x sin x 4 2 2 2 4 Từ 1 suy ra I f x dx . 2019 2 Câu 50: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x có f x liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn 3 f x f x 1 3.e 2x . Khi đó: 1 1 1 1 A. e3 f 1 f 0 .B. e3 f 1 f 0 . e2 3 2 2 e2 3 4 e2 3 e2 3 8 C. e3 f 1 f 0 .D. e3 f 1 f 0 e2 3 e2 3 8. 3 Lời giải Chọn C e2x 3 Ta có: 3 f x f x 1 3.e 2x 3e3x f x e3x f x e2x e2x 3 . ex 3x 2x 2x e f x e e 3 . Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được
20. 1 1 1 2 2 1 1 3 e 3 e 3 8 e3x f x dx e2x e2x 3 dx e3x f x e2x 3 e3 f 1 f 0 .Câ 0 0 0 3 0 3 u 33: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho 6 1 hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f x 6x2 f x3 . Tính f x dx . 3x 1 0 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B 6 1 1 1 6 f x 6x2 f x3 f x dx 6x2 f x3 dx dx 3x 1 0 0 0 3x 1 Đặt t x3 dt 3x2dx , đổi cận x 0 t 0 , x 1 t 1. 1 1 1 1 6 Ta có: 6x2 f x3 dx 2 f t dt 2 f x dx , dx 4. 0 0 0 0 3x 1 1 1 1 Vậy f x dx 2 f x dx 4 f x dx 4 0 0 0 Câu 46: [DS12.C3.4.BT.c] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số f x và g x liên tục, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f 0 . f 2 0 và g x f x x x 2 ex . 2 Tính giá trị của tích phân I f x .g x dx ? 0 A. 4 . B. e 2. C. 4 . D. 2 e. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x f x x x 2 ex g 0 g 2 0 (vì f 0 . f 2 0) 2 2 2 2 2 I f x .g x dx f x dg x f x .g x g x . f x dx x2 2x exdx 4 . 0 0 0 0 0 Câu 16: [DS12.C3.4.BT.c] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên tập số thực. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và 1 trục hoành đồng thời có diện tích S a . Biết rằng x 1 f x dx b và f 3 c . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I a b c B. I a b c C. I a b c D. I a b c
21. Lời giải Chọn A 1 1 1 Ta có b x 1 f x dx x 1 f x f x dx b 2 f 1 f 0 I . 0 0 0 Mặt khác ta có 1 3 a S f x dx f x dx f 1 f 0 f 3 f 1 2 f 1 f 0 f 3 0 1 2 f 1 f 0 a c . Vậy I 2 f 1 f 0 b a b c . Câu 1. [DS12.C3.4.BT.c] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho 1 x2 x ex dx a.e bln e c với a , b , c ¢ . Tính P a 2b c . x 0 x e A. P 1. B. P 1. C. P 0 . D. P 2 . Lời giải Chọn D 1 x2 x ex 1 x 1 ex xex Ta có: I dx dx . x x 0 x e 0 xe 1 Đặt t xex 1 dt 1 x exdx . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1. e 1 t 1 e 1 1 e 1 Khi đó: I dt 1 dt t ln t e ln e 1 . 1 t 1 t 1 Suy ra: a 1, b 1, c 1. Vậy: P a 2b c 2 .