Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Ứng dụng hình học của tích phân - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Ứng dụng hình học của tích phân - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 33.[DS12.C3.5.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex 1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y 2 x với x 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. 2 1 e2 1 5e 3 1 e 1 1 e2 1 A. .V B. . C. V V . D. V . 3 2e2 6e2 2 e 2 2e2 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y ex 1 và đường thẳng y 2 x : ex 1 2 x x 1. Đường thẳng y 2 x cắt trục hoành tại x 2 . 2 1 2 3 5e2 1 x 1 2 2 2x 2 1 x V e dx 2 x dx e 2x 4 2 0 3 6e 0 1 1 Câu 44. [DS12.C3.5.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Xét hàm số y f x liên tục trên miền D a,b có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng b 2 x a , x b . Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng 1 f x dx . Theo kết a quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f x ln x bị giới hạn bởi các đường thẳng 1 m x 1, x 3 là m m ln với m , n ¢ thì giá trị của m2 mn n2 là bao nhiêu? n A. 6 . B. 7 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn B 1 Ta có: f x . Khi đó, độ dài đường cong S là: x 3 1 3 1 x2 3 1 x2 l 1 dx dx xdx . 2 2 1 x 1 x 1 x Đặt t 1 x2 . Suy ra: t 2 1 x2 tdt xdx . Đổi cận: x 1 t 2 ; x 3 t 2. Suy ra: 2 2 2 2 t 1 2 1 t 1 l dx 1 dx t ln . t 2 1 t 1 t 1 2 2 t 1 2 2 2 Suy ra:
2. 1 1 1 3 2 2 1 2 l 2 2 ln ln 3 2 2 2 2 ln 2 2 ln . 2 3 2 3 3 1 m m 2 Mà l m m ln nên suy ra . n n 3 Vậy m2 mn n2 7 . Câu 50. [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường y 4 x2 , y 2 , y x có diện tích là S a b. . Chọn kết quả đúng: A. a 1, b 1. B. a b 1. C. a 2b 3. D. a2 4b2 5. Lời giải Chọn D y 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x Các phương trình hoành độ giao điểm: x 0 x 0 * 4 x2 x 2 2 4 x x x 2 . * 4 x2 2 x 0 . * x 2 . 2 2 2 2 2 Diện tích cần tính là: S 2 4 x2 dx 2 x dx 2dx 2 x dx 4 x2 dx 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2x 2x 4 x dx 2 2 3 2 2 4 x dx 3 4 x dx . 0 2 2 0 0 0 Đặt x 2sin t dx 2costdt . Đổi cận: x 0 t 0 ; x 2 t . 4 2 4 4 4 Ta có 4 x2 dx 4 4sin2 t.2costdx 4cos2 tdx 2 1 cos 2t dx 0 0 0 0 1 4 1 2 t sin 2t 2 1. 2 0 4 2 2 1 Vậy S 3 1 2 . . 2 2 1 Theo kí hiệu của bài toán ta suy ra a 2 , b . Do đó mệnh đề đúng là a2 4b2 5. 2 HẾT Câu 40: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong hệ trục x2 y2 tọa độ Oxy cho elip E có phương trình 1. Hình phẳng H giới hạn bởi nửa elip 25 9 nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó:
3. 1188 1416 A. V 60 .B. 30 . C. . D. . 25 25 Lời giải Chọn D y2 x2 x2 Ta có 1 y 9 1 với 5 x 5 . 9 25 25 5 9x2 Gọi V là thể tích cần tìm, ta có: V 9 dx 60 . 5 25 Câu 12: [DS12.C3.5.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x và y x2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng 2 4 A. .B. .C. .D. . 6 3 15 15 Lời giải Chọn A 2 x 0 y 0 Phương trình hoành độ giao điểm x x . x 1 y 1 Ta có đồ thị hai hàm số y x và y x2 đều đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x và y x2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường x y và x y quay xung quanh trục Oy . Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: 1 1 1 2 2 1 2 1 3 V y y dy y y dy . y y . 0 0 2 3 0 6 Câu 29: [DS12.C3.5.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của đường tròn x2 y2 1 bằng? 1 1 A. .B. .C. 1.D. 1. 4 2 2 2 4 Lời giải Chọn A
4. x 1 khi x 1 y x 1 . 1 x khi x 1 x2 y2 1 y 1 x2 do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y 1 x2 . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của đường tròn x2 y2 1 là phần tô màu vàng như hình vẽ. Diện tích hình phẳng trên là: 1 1 1 1 2 2 2 x 1 S 1 x 1 x dx 1 x dx x 1 dx I1 x I1 . 2 2 0 0 0 0 1 Tính I 1 x2 dx . 1 0 Đặt x sin t , t ; ; dx cost.dt . 2 2 Đổi cận x 0 t 0 ; x 1 t . 2 1 2 2 2 2 1 cos 2t I 1 x2 dx 1 sin2 t .cost.dt cost cost.dt cos2 t.dt dt 1 0 0 0 0 0 2 1 sin 2t 2 t . 2 2 0 4 1 Vậy S . 4 2 Câu 1. [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho parabol P : y x2 2 và hai tiếp tuyến của P tại các điểm M 1;3 và N 2;6 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và hai tiếp tuyến đó bằng 9 13 7 21 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến tại M 1;3 là d1 : y 2x 1. Phương trình tiếp tuyến tại N 2;6 là d2 : y 4x 2 .
5. 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và d : 2x 1 4x 2 x . 1 2 2 1 2 2 9 Vậy S x2 2 2x 1 dx x2 2 4x 2 dx . 1 1 4 2 Câu 3. [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c như hình vẽ 1 : f c f a f b . 2 : f c f b f a . 3 : f a f b f c . 4 : f a f b . Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Gọi S1, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi f x và trục hoành nằm bên dưới và bên trên b b b Ox . Khi đó S f x dx f x dx f x f a f b 1 a a a Tương tự S2 f c f a . Quan sát đồ thị f x ta có S2 S1 0 f c f b f a f b do đó f c f a f b . Vậy 1 và 4 đúng. Câu 29. [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos x , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 2 A. V 1. B. V 1. C. V 1 . D. V 1 . Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành có thể tích là: 2 2 V y2dx 2 cos x dx 2x sin x 2 1 . 0 0 0
6. Câu 37: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y 2 0 ; y x ; y 0 quay quanh trục Ox bằng 5 6 2 5 A. B. C. D. 6 5 3 6 Lời giải Chọn D Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau: Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ; y 0; x 0 ; x 1. 1 x2 1 Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối tròn xoay có thể tích V x dx . . 1 0 2 0 2 Phần 2 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x ; y 0; x 1; x 2 . Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích 3 2 2 2 x 2 V 2 x dx . . 2 1 3 1 3 5 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V V V . 1 2 6 Câu 31: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 4x 3 , y x 3 (phần tô đậm trongy hình vẽ). Diện tích 8 của H bằng 37 109 A. B. 2 6 3 454 91 C. D. 25 5 Lời giải 3 O 1 3 5 x Chọn B Diện tích của H là 5 5 S x2 4x 3 x 3 dx x 3 x2 4x 3 dx 0 0 5 1 3 5 2 2 2 x 3 dx x 4x 3 dx x 4x 3 dx x 4x 3 dx 0 0 1 3 5 1 3 5 2 3 3 3 x x 2 x 2 x 2 3x 2x 3x 2x 3x 2x 3x 2 3 3 3 0 0 1 3 55 4 4 20 109 . 2 3 3 3 6 Câu 42: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y , y = - x + 2 và x = 0 quay quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây? 1 3 32 11 A. V = p . B. V = p . C. V = p . D. V = p . 3 2 15 6
7. Lời giải Chọn C ïì x = y ïì y = x2 (x ³ 0) ï ï ï ï Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: í y = - x + 2 Û íï y = - x + 2 ( ) ï ï ï x = 0 ï x = 0 îï îï éx = 1 nhaän 2 2 ê ( ) Phương trình hoành độ giao điểm: x = - x + 2 Û x + x - 2 = 0 Û ê êx = - 2 loaïi ë ( ) Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi hình (H) quay quanh trục Ox là: 1 1 æ 2 2 ö 32 V = p ç - x + 2 - x2 ÷dx = p x2 - 4x + 4- x4 dx = p (đvtt) òèç( ) ( ) ø÷ ò( ) 0 0 15 Câu 12: [DS12.C3.5.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Gọi tam giác cong (OAB) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2x2 , y 3 x , y 0 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của OAB bằng 8 5 4 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A Gọi parabol P : y 2x2 và đường thẳng d : y 3 x . Ta có phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x 1 2x2 3 x 2x2 x 3 0 3 x 2 Suy ra tọa độ điểm A(1;3) và (d)  Ox B(3;0) .
8. 1 3 2 8 Khi đó S S S 2x2dx (3 x)dx 2 . (OAB) 1 2 0 1 3 3 Câu 25: [DS12.C3.5.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 6x 12 và các tiếp tuyến tại các điểm A 1;7 và B 1;19 . 1 2 4 A. . B. .C. .D. 2 . 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta có y 2x 6 . Gọi tiếp tuyến tại điểm A 1;7 là d1 Suy ra d1 : y y 1 x 1 7 4x 11. Gọi tiếp tuyến tại điểm B 1;19 là d2 Suy ra d2 : y y 1 x 1 19 8x 11. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d1 và parabol là: x2 6x 12 4x 11 x 1. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d2 và parabol là: x2 6x 12 8x 11 x 1. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d2 và d1 là: 4x 11 8x 11 x 0. Vậy diện tích hình phẳng cần tính là: 0 1 1 1 2 S x2 6x 12 8x 11 dx x2 6x 12 4x 11 dx . 1 0 3 3 3 Câu 39: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB 2m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC 4m , CE 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. E 3,5m B 2m 1m A 4m M C A. 9,75m3 .B. 10,5m3 .C. 10m3 .D. 10,25m3 . Lời giải Chọn C
9. y 3,5 E B 1 2m A 2 4 x Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A  O 2 7 cạnh cong AE nằm trên parabol P : y ax bx đi qua các điểm 2;1 và 4; nên 2 3 1 P : y x2 x 16 8 4 3 2 1 2 Khi đó diện tích tam giác cong ACE có diện tích S x x dx 5m . 0 16 8 Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là V 5.2 10m3 . 6 Câu 22: [DS12.C3.5.BT.c] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nếu f x dx 12 0 2 thì f 3x dx bằng 0 A. 6 . B. 36 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt t 3x dt 3dx . Đổi cận: x 0 t 0 , x 2 t 6 2 1 6 1 Khi đó: f 3x dx f t dt .12 4 . 0 3 0 3 Câu 36: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12,5m . Diện tích của cổng là: 100 200 A. 100 m2 . B. 200 m2 . C. m2 . D. m2 . 3 3 Lời giải Chọn D Cách 1:
10. Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng. Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax2 c . Vì P đi qua đỉnh I 0;12,5 nên ta có c 12,5 . c 25 P cắt trục hoành tại hai điểm A 4;0 và B 4;0 nên ta có 0 16a c a . 16 32 25 Do đó P : y x2 12,5 . 32 4 25 2 200 2 Diện tích của cổng là: S x 12,5 dx m . 4 32 3 Cách 2: Ta có parabol đã cho có chiều cao là h 12,5m và bán kính đáy OD OE 4m . 4 200 Do đó diện tích parabol đã cho là: S rh m2 . 3 3 Câu 45: [DS12.C3.5.BT.c] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x ax3 bx2 c , các đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.
11. 51 52 50 53 A. S . B. S . C. S . D. S . 8 8 8 8 Lời giải Chọn A. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x ax3 bx2 c , các đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành được chia thành hai phần: Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 S1 3. f x ax3 bx2 c Miền D2 gồm: y 1 . x 1; x 2 Dễ thấy C đi qua 3 điểm A 1;1 , B 0;3 , C 2;1 nên đồ thị C có phương trình 1 3 f x x3 x2 3. 2 2 2 1 3 27 S x3 x2 3 1 dx . 2 1 2 2 8 51 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S S S . 1 2 8 Câu 46: [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2x 3x y . x 1 2x 1 3 1 1 A. y . B. y 2 . C. x .D. y . 2 2 2 Lời giải Chọn D. 3 1 Ta có lim y lim y 2 x x 2 2 2x 3x y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 2x 1 Câu 44: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Trong hệ trục tọa độ 2 Oxy , cho parabol P : y x và hai đường thẳng y a , y b 0 a b (hình vẽ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng y a (phần tô đen); S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng y b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1 S2 ?
12. A. b 3 4a . B. b 3 2a . C. b 3 3a . D. b 3 6a . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của parabol P : y x2 với đường thẳng y b là x2 b x b . Phương trình hoành độ giao điểm của parabol P : y x2 với đường thẳng y a là x2 a x a . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng y b là b b 3 2 x b b 4b b S 2 b x d x 2 bx 2 b b . 3 3 3 0 0 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng y a (phần tô màu đen) a a 3 2 x a a 4a a là S1 2 a x d x 2 ax 2 a a . 3 3 3 0 0 4b b 4a a 3 3 Do đó S 2S 2. b 2 a b 3 2 a b 3 4a . 1 3 3 Câu 11: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2D3-2] Cho parabol P : y x2 và hai điểm A , B thuộc P sao cho AB 2 . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng AB . 3 4 3 5 A. .B. . C. . D. . 2 3 4 6 Lời giải Chọn B
13. y y=x2 B A 1 x O Gọi A a;a2 và B b;b2 là hai điểm thuộc P sao cho AB 2 . Không mất tính tổng quát giả sử a b . Theo giả thiết ta có AB 2 nên 2 b a 2 b2 a2 4 b a 2 b a 2 1 4 . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y b a x ab . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng AB ta có b 3 b x2 x3 b a S a b x ab x2 dx a b abx . 2 3 6 a a Mặt khác b a 2 b a 2 1 4 nên b a b a 2 do b a 2 1 1. 3 b a 23 4 Vậy S . Vậy S . 6 6 max 3 Câu 26: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1D3-3] Tính diện tích ln x S của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y , trục hoành Ox và các đường D x 1 x ; x 2 ? e 1 1 2 A. SD 1 ln 2 .B. SD 1 ln 2 . 2 2 1 2 1 1 2 C. SD ln 2 . D. SD 1 ln 2 . 2 2 2 Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 ln x 1 ln x 2 ln x S dx dx dx D 1 x 1 x 1 x e e 1 2 1 2 2 2 2 ln x ln x ln x ln x 1 ln 2 1 2 dx dx 1 ln 2 . 1 x 1 x 2 1 2 2 2 2 1 e e Câu 47: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn
14. phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB 5 cm, OH 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. 160 140 14 A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. 50 cm2 3 3 3 Lời giải Chọn B 16 16 Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: P : y x2 x . 25 5 16 16 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P : y x2 x , trục hoành và các đường thẳng 25 5 5 16 2 16 40 x 0 , x 5 là: S x x dx . 0 25 5 3 160 Tổng diện tích phần bị khoét đi: S 4S cm2 . 1 3 2 Diện tích của hình vuông là: Shv 100 cm . 160 140 Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: S S S 100 cm2 . 2 hv 1 3 3