Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Ứng dụng hình học của tích phân - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Ứng dụng hình học của tích phân - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 3: [DS12.C3.5.BT.c] (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ) Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a , AD 3a và BC x với 0 x 3a . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD (kể cả các điểm trong) V 7 quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để 1 . V2 5 3a 3a 5a A. x . B. x . C. x .D. x a . 4 2 7 Lời giải Chọn D 2 1 2 2 V1 a 2a x , V2 a a x . 3 3 V 7 1 2 Theo đề ta có 1 5 2a x 7 a x x a . V2 5 3 3 Câu 23: [DS12.C3.5.BT.c] (CỤM 7 TP. HCM) Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là: y 2 O 2 4 x 22 16 10 A. . B. 2 . C. .D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D . Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng giới hạn sẽ là. 2 4 10 S xdx x x 2 dx . 0 2 3 Câu 1: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
2. A. 240cm3 . B. 240 cm3 . C. 120cm3 . D. 120 cm3 . Lời giải Chọn A z h A S(x) α y O α x C B x Đặt R 6 ( cm ), h 10 ( cm ). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( 6 x 6 ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x . Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác ABC vuông tại B như trong hình vẽ. 5 36 x2 1 1 2 1 2 2 h Ta có S x SABC AB.BC BC tan R x . 2 2 2 R 6 6 6 5 36 x2 Vậy thể tích lượng nước trong cốc là V S x dx dx 240 ( cm3 ). 6 6 6 Câu 37: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi H là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y 2x2 (với x 0 ), đường thẳng y x 3 và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình H khi quay quanh trục Ox bằng 52 17 51 53 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 5 17 17 Lời giải Chọn A
3. x 1 2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x x 3 3 x 2 3 1 2 52 Thể tích khối tròn xoay tạo bởi H :V x 3 dx 4x4dx . 1 0 15 Câu 46: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). A. V 1,52m3 . B. V 1,31m3 .C. V 1,27m3 .D. V 1,19m3 . Đã sửa so với đáp án gốc Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. y B M N x A' A B' x2 y2 Theo đề bài ta có phương trình của Elip là 1. 1 4 4 25 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip.
4. 1 2 Gọi S là diện tích của Elip ta có S ab . . 1 1 2 5 5 Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên 1 ta có phương trình của đường thẳng MN là y . 5 x2 y2 4 1 Mặt khác từ phương trình 1 ta có y x2 . 1 4 5 4 4 25 1 3 3 Do đường thẳng y cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là và nên 5 4 4 3 3 4 4 1 1 4 4 1 3 S x2 dx x2 dx . 2 3 5 4 5 5 3 4 10 4 4 3 4 1 Tính I x2 dx . 3 4 4 1 1 Đặt x sin t dx costdt . 2 2 3 3 Đổi cận: Khi x thì t ; Khi x thì t . 4 3 4 3 3 3 1 1 2 1 1 2 3 I . cos tdt 1 cos 2t dt . 2 2 8 8 3 2 3 3 4 1 2 3 3 3 Vậy S . 2 5 8 3 2 10 15 20 3 Thể tích của dầu trong thùng là V .3 1,52 . 5 15 20 Câu 35: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn C : x2 y 3 2 1 xung quanh trục hoành là A. V 6 .B. V 6 3 .C. V 3 2 .D. V 6 2 . Lời giải Chọn D C : x2 y 3 2 1 y 3 2 1 x2 y 3 1 x2 . y 3 2 1 x2 0 1 x 1. Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn C : x2 y 3 2 1 xung quanh trục hoành là
5. 1 2 1 2 V 3 1 x2 dx 3 1 x2 dx 6 2 . 1 1 Câu 15: [DS12.C3.5.BT.c] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Thể tích khối tròn x xoay sinh ra bởi phép quay trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e 2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2 bằng: A. e 1 .B. e2 .C. e2 1.D. e2 1 . Hướng dẫn giải Chọn D 18 18 2 Ta có 1 4x 18 C k 1 18 k . 4x k C k 4 k .xk .V exdx .ex 2 e2 1 .  18  18 0 k 0 k 0 0 Câu 18: [DS12.C3.5.BT.c] (SGD Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Xét H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x a a 0 . Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành bằng 57 là A. a 3 B. a 5 C. a 4 D. a 2 Lời giải Chọn A Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành là: a a 2 4 3 2 4 3 2 V 2x 1 dx 57 x 2x x 57 a 2a a 57 0 0 3 0 3 a 3 (thỏa mãn a 0 ). Vậy a 3 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 50: [DS12.C3.5.BT.c] (SGD Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Cho hàm số y x2 mx 0 m 4 có đồ thị C . Gọi S1 S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 4 (phần tô đậm trong hình vẽ bên dưới). Giá trị của m sao cho S1 S2 là
6. 10 8 A. m 3 B. m C. m 2 D. m 3 3 Lời giải Chọn D 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm của C và trục Ox là: x mx 0 x m 0 m 4 m m m 2 3 3 2 2 x x m S1 x mx dx mx x dx m . 2 3 6 0 0 0 4 4 4 3 2 3 2 2 x x 64 m S2 x mx dx x mx dx m 8m . 3 2 3 6 m m m 64 8 Ta có: S S 8m 0 m . 1 2 3 3 Câu 42: [DS12.C3.5.BT.c] (SGD Đồng Tháp - HKII 2017 - 2018) Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y 8x , y x và đồ thị hàm số y x3 là phân số tối giản a . Khi đó a b bằng b A. 62 B. 67 C. 33 D. 66 Lời giải Chọn B
7. 28 y 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 x 1 -1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 5 -3 -4 Ta có x 0 3 x 8x loại x 2 2 x 2 2 3 x 0 x x loại x 1 x 1 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 3 3 8x x x x 1 63 Suy ra S 8x x dx x x dx 16 2 4 2 4 4 4 0 0 0 0 Khi đó a b 67 . Câu 42: [DS12.C3.5.BT.c] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho (H ) là hình 3 x2 phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường Elip có phương trình y2 1 (phần tô đậm 2 4 trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng 2 3 2 3 3 A. B. C. D. 6 3 4 4 Lời giải Chọn A
8. x2 x2 Ta có y2 1 y 1 . 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là 2 2 x 1 x 3 2 4 2 x 1 1 x 3x x 4 0 4 . 4 2 x2 x 1 3 Suy ra diện tích hình phẳng (H ) cần tính là 1 x2 3 1 1 3 S 1 x2 dx 4 x2 dx . (H ) 4 2 2 3 1 1 1 Xét I 4 x2 dx , đặt x 2sin t ta được 1 6 6 6 6 1 2 2 sin 2t 3 I 4 4sin t 2costdt 2cos tdt 1 cos 2t dt t . 2 2 3 2 6 6 6 6 3 3 2 3 Do đó S . (H ) 3 2 3 6 Câu 11: [DS12.C3.5.BT.c] (MINH HỌA L2)Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận 8m trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải Chọn B x2 y2 Giả sử elip có phương trình 1, với a b 0 . a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 5 2 2 2 y 64 y E x y 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 64 25 5 y 64 y2 E 8 1 Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E1 ; E2 ; x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx 4 8 2 0 3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sin t , ta được S 80 6 4 3 Khi đó số tiền làT 80 .100000 7652891,82 ; 7.653.000 . 6 4
9. Câu 23: [DS12.C3.5.BT.c] Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là: 1 sin(pt ) v(t ) = + (m / s). Tính quãng đường vật đó di chuyển được trong khoảng thời gian 2p p 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. S » 0,9m. B. S » 0,998m. C. S » 0,99m. D. S » 1m. Lời giải Chọn D 5 æ sin pt ö ç 1 ( )÷ Ta có S = ç + ÷dt » 0,99842m . òç2p p ÷ 0 èç ø÷ Vì làm tròn kết quả đến hàng phần trăm nên S » 1m . Câu 25: [DS12.C3.5.BT.c] Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm Hải Vân (Đà Nẵng) được cho bởi công 290,4v thức f (v) = (xe/giây), trong đó v(km / h) là vận tốc trung bình của 0,36v2 + 13,2v + 264 các xe khi vào đường hầm. Tính lưu lượng xe là lớn nhất. Kết quả thu được gần với giá trị nào sau đây nhất? A. 9. B. 8,7 . C. 8,8 . D. 8,9. Lời giải Chọn D 2 290,4(- 0,36v + 264) 264 Ta có f ' v = với v > 0. f ' v = 0 Û v = ( ) 2 ( ) (0,36v2 + 13,2v + 264) 0,6 æ ö ç 264÷ Khi đó Max f (v) = f ç ÷» 8,9 (xe/giây) vÎ (0;+ ¥ ) èç 0,6 ø÷ Câu 30: [DS12.C3.5.BT.c] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = - 5t + 10(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m . B. 2m . C. 10m . D. 20m . Lời giải Chọn C Ta có ô tô đi được thêm 2 giây nữa với vận tốc chậm dần đều v(t ) = - 5t + 10(m / s) ứng dụng tích phân, ta có quãng đường cần tìm là: 2 2 2 æ 5 ö S = v(t )dt = (- 5t + 10)dt = ç- t 2 + 10t ÷ = 10(m) ò ò ç 2 ÷ 0 0 è ø0
10. * Lúc dừng thì ta có: v(t ) = 0 Þ - 5t + 10 = 0 Þ t = 2 1 Từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường: S = v t + at 2 0 2 ïì a = - 5 ï ï 1 2 Với í t = 2 Þ S = 10.2 + (- 5).2 = 10(m) ï 2 ï v = 10 îï 0 2 2 * Áp dụng công thức lý 10 ta có: v2 - v1 = 2.a.s Ta còn có công thức liên hệ giữa vận tốc và gia tốc: v = v0 + a.t Dựa vào phương trình chuyển động thì a = - 5(m / s2) Khi dừng hẳn thì ta có v2 = 0(m / s) v2 - v2 0 - 102 Theo công thức ban đầu, ta được s = 2 1 = = 10(m). 2a 2.(- 5) Câu 48: [DS12.C3.5.BT.c] Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát 100 thì số % người xem mua sản phẩm là P(x) ,x 0 . Hãy tính số quảng cáo được 1 49e 0.015x phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%. A. 333 . B. 343 . C. 330 . D. 323 . Lời giải Chọn A Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P 100 9.3799% 1 49e 1.5 Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P 200 29.0734% 1 49e 3 Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P 500 97.3614% 1 49e 7.5 Câu 49: [DS12.C3.5.BT.c] (CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). A. 19m3 . B. 21m3 . C. 18m3. D. 40m3 . Lời giải Chọn D
11. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. 0,5m 2m 5m 0,5m 19m 0,5m Ta có 2 19 Gọi P1 : y ax c là Parabol đi qua hai điểm A ;0 , B 0;2 2 2 19 8 0 a. 2 a 8 2 Nên ta có hệ phương trình sau: 2 361 P1 : y x 2 361 2 b b 2 2 5 Gọi P2 : y ax c là Parabol đi qua hai điểm C 10;0 , D 0; 2 2 5 1 0 a. 10 a 2 40 1 2 5 Nên ta có hệ phương trình sau: P2 : y x 5 5 40 2 b b 2 2 19 10 1 5 8 Ta có thể tích của bê tông là: V 5.2 x2 dx 2 x2 2 dx 40m3 0 0 40 2 361