Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 5: Ứng dụng hình học của tích phân - Dạng 13: Bài toán thực tế (gắn hệ trục, tìm đường cong…) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 5: Ứng dụng hình học của tích phân - Dạng 13: Bài toán thực tế (gắn hệ trục, tìm đường cong…) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 462: [2D3-5.13-3] (MINH HỌA L2)Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục 8m bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải Chọn B x2 y2 Giả sử elip có phương trình 1, với a b 0 . a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 5 2 2 2 y 64 y E x y 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 64 25 5 y 64 y2 E 8 1 Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E1 ; E2 ; x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx 4 8 2 0 3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sin t , ta được S 80 6 4 3 Khi đó số tiền làT 80 .100000 7652891,82 ; 7.653.000 . 6 4 Câu 481: [2D3-5.13-3] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = - 5t + 10(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m . B. 2m . C. 10m . D. 20m . Lời giải Chọn C Ta có ô tô đi được thêm 2 giây nữa với vận tốc chậm dần đều v(t ) = - 5t + 10(m / s) ứng dụng tích phân, ta có quãng đường cần tìm là: 2 2 2 æ 5 ö S = v(t )dt = (- 5t + 10)dt = ç- t 2 + 10t ÷ = 10(m) ò ò ç 2 ÷ 0 0 è ø0 * Lúc dừng thì ta có: v(t ) = 0 Þ - 5t + 10 = 0 Þ t = 2 1 Từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường: S = v t + at 2 0 2
2. ïì a = - 5 ï ï 1 2 Với í t = 2 Þ S = 10.2 + (- 5).2 = 10(m) ï 2 ï v = 10 îï 0 2 2 * Áp dụng công thức lý 10 ta có: v2 - v1 = 2.a.s Ta còn có công thức liên hệ giữa vận tốc và gia tốc: v = v0 + a.t Dựa vào phương trình chuyển động thì a = - 5(m / s2) Khi dừng hẳn thì ta có v2 = 0(m / s) v2 - v2 0 - 102 Theo công thức ban đầu, ta được s = 2 1 = = 10(m). 2a 2.(- 5) Câu 462: [DS12.C3.5.D13.c] (MINH HỌA L2)Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé 8m của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải Chọn B x2 y2 Giả sử elip có phương trình 1, với a b 0 . a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 5 2 2 2 y 64 y E x y 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 64 25 5 y 64 y2 E 8 1 Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E1 ; E2 ; x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx 4 8 2 0 3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sin t , ta được S 80 6 4 3 Khi đó số tiền làT 80 .100000 7652891,82 ; 7.653.000 . 6 4 Câu 481: [DS12.C3.5.D13.c] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = - 5t + 10(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
3. A. 0,2m . B. 2m . C. 10m . D. 20m . Lời giải Chọn C Ta có ô tô đi được thêm 2 giây nữa với vận tốc chậm dần đều v(t ) = - 5t + 10(m / s) ứng dụng tích phân, ta có quãng đường cần tìm là: 2 2 2 æ 5 ö S = v(t )dt = (- 5t + 10)dt = ç- t 2 + 10t ÷ = 10(m) ò ò ç 2 ÷ 0 0 è ø0 * Lúc dừng thì ta có: v(t ) = 0 Þ - 5t + 10 = 0 Þ t = 2 1 Từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường: S = v t + at 2 0 2 ïì a = - 5 ï ï 1 2 Với í t = 2 Þ S = 10.2 + (- 5).2 = 10(m) ï 2 ï v = 10 îï 0 2 2 * Áp dụng công thức lý 10 ta có: v2 - v1 = 2.a.s Ta còn có công thức liên hệ giữa vận tốc và gia tốc: v = v0 + a.t Dựa vào phương trình chuyển động thì a = - 5(m / s2) Khi dừng hẳn thì ta có v2 = 0(m / s) v2 - v2 0 - 102 Theo công thức ban đầu, ta được s = 2 1 = = 10(m). 2a 2.(- 5) Câu 36: [2D3-5.13-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12,5m . Diện tích của cổng là: 100 200 A. 100 m2 . B. 200 m2 . C. m2 . D. m2 . 3 3 Lời giải Chọn D Cách 1:
4. Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng. Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax2 c . Vì P đi qua đỉnh I 0;12,5 nên ta có c 12,5 . c 25 P cắt trục hoành tại hai điểm A 4;0 và B 4;0 nên ta có 0 16a c a . 16 32 25 Do đó P : y x2 12,5 . 32 4 25 2 200 2 Diện tích của cổng là: S x 12,5 dx m . 4 32 3 Cách 2: Ta có parabol đã cho có chiều cao là h 12,5m và bán kính đáy OD OE 4m . 4 200 Do đó diện tích parabol đã cho là: S rh m2 . 3 3 Câu 47: [2D3-5.13-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB 5 cm, OH 4 cm. Tính diện
5. tích bề mặt hoa văn đó. 160 140 14 A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. 50 cm2 3 3 3 Lời giải Chọn B 16 16 Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: P : y x2 x . 25 5 16 16 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P : y x2 x , trục hoành và các đường thẳng 25 5 5 16 2 16 40 x 0 , x 5 là: S x x dx . 0 25 5 3 160 Tổng diện tích phần bị khoét đi: S 4S cm2 . 1 3 2 Diện tích của hình vuông là: Shv 100 cm . 160 140 Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: S S S 100 cm2 . 2 hv 1 3 3 Câu 39: [2D3-5.13-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB 2m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC 4m , CE 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.
6. E 3,5m B 2m 1m A 4m M C A. 9,75m3 .B. 10,5m3 .C. 10m3 .D. 10,25m3 . Lời giải Chọn C y 3,5 E B 1 2m A 2 4 x Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A  O 2 7 cạnh cong AE nằm trên parabol P : y ax bx đi qua các điểm 2;1 và 4; nên 2 3 1 P : y x2 x 16 8 4 3 2 1 2 Khi đó diện tích tam giác cong ACE có diện tích S x x dx 5m . 0 16 8 Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là V 5.2 10m3 . Câu 22: [2D3-5.13-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng y 1 y = x2 20 y = 20x 20 x 20 20 20 800 400 A. cm2 .B. cm2 .C. 250 cm2 .D. 800 cm2 . 3 3
7. Lời giải Chọn B Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo công thức sau: 20 20 1 2 2 3 1 3 400 2 S 20x x dx . 20. x x cm . 0 20 3 60 0 3 Câu 24. [2D3-5.13-3] (Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Cho hai đường tròn O1;10 và O2;8 cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn O2 . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần được tô màu như hình vẽ). Quay H quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A O2 O1 C B 824 608 97 145 A. . B. . C. . D. 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ 2 2 Ta có O1O2 O1A O2 A 6 . Ta có O2 0;0 ,O1 6;0 . 2 2 2 Đường tròn O2;8 có phương trình là: x y 64 y 64 x . 2 2 2 Đường tròn O1;10 có phương trình là: x 6 y 100 y 100 x 6 . 8 4 2 608 Thể tích cần tìm V 64 x2 dx 100 x 6 dx . 0 0 3 Câu 8: [2D3-5.13-3] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH – 5/2018] Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên dưới.
8. Biết rằng sau 10s thì vật đó đạt đến vận tốc cao nhất và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì vật đó đi được quãng đường bao nhiêu mét? 1400 1100 1000 A. 300 m. B. m.C. m.D. m. 3 3 3 Lời giải Chọn D Giả sử vận tốc của vật biểu diễn bởi hàm số P : v t at 2 bt c a 0 . Dựa vào đồ thị hàm số ta có P đi qua O 0;0 và có đỉnh I 10;50 . c 0 c 0 c 0 1 1 2 100a 10b 50 10a b 5 a P : v t t 10t . 2 2 b 20a b 0 10 b 10 2a Lúc bắt đầu: t 0 s; lúc đạt vận tốc cao nhất: t 10 s. Vậy quãng đường vận đó đi được kể từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất là: 10 10 1 2 1000 s v t dt t 10t dt . 0 0 2 3 Câu 462: [2D3-5.13-3] (MINH HỌA L2)Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục 8m bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải Chọn B x2 y2 Giả sử elip có phương trình 1, với a b 0 . a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 5 2 2 2 y 64 y E x y 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 64 25 5 y 64 y2 E 8 1
9. Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E1 ; E2 ; x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx 4 8 2 0 3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sin t , ta được S 80 6 4 3 Khi đó số tiền làT 80 .100000 7652891,82 ; 7.653.000 . 6 4 Câu 481: [2D3-5.13-3] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = - 5t + 10(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m . B. 2m . C. 10m . D. 20m . Lời giải Chọn C Ta có ô tô đi được thêm 2 giây nữa với vận tốc chậm dần đều v(t ) = - 5t + 10(m / s) ứng dụng tích phân, ta có quãng đường cần tìm là: 2 2 2 æ 5 ö S = v(t )dt = (- 5t + 10)dt = ç- t 2 + 10t ÷ = 10(m) ò ò ç 2 ÷ 0 0 è ø0 * Lúc dừng thì ta có: v(t ) = 0 Þ - 5t + 10 = 0 Þ t = 2 1 Từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường: S = v t + at 2 0 2 ïì a = - 5 ï ï 1 2 Với í t = 2 Þ S = 10.2 + (- 5).2 = 10(m) ï 2 ï v = 10 îï 0 2 2 * Áp dụng công thức lý 10 ta có: v2 - v1 = 2.a.s Ta còn có công thức liên hệ giữa vận tốc và gia tốc: v = v0 + a.t Dựa vào phương trình chuyển động thì a = - 5(m / s2) Khi dừng hẳn thì ta có v2 = 0(m / s) v2 - v2 0 - 102 Theo công thức ban đầu, ta được s = 2 1 = = 10(m). 2a 2.(- 5) Câu 1: [2D3-5.13-3] (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
10. A. 240cm3 . B. 240 cm3 . C. 120cm3 . D. 120 cm3 . Lời giải Chọn A z h A S(x) α y O α x C B x Đặt R 6 ( cm ), h 10 ( cm ). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( 6 x 6 ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x . Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác ABC vuông tại B như trong hình vẽ. 5 36 x2 1 1 2 1 2 2 h Ta có S x SABC AB.BC BC tan R x . 2 2 2 R 6 6 6 5 36 x2 Vậy thể tích lượng nước trong cốc là V S x dx dx 240 ( cm3 ). 6 6 6 Câu 46: [2D3-5.13-3] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). A. V 1,52m3 . B. V 1,31m3 .C. V 1,27m3 .D. V 1,19m3 . Đã sửa so với đáp án gốc Lời giải Chọn A
11. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. y B M N x A' A B' x2 y2 Theo đề bài ta có phương trình của Elip là 1. 1 4 4 25 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. 1 2 Gọi S là diện tích của Elip ta có S ab . . 1 1 2 5 5 Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên 1 ta có phương trình của đường thẳng MN là y . 5 x2 y2 4 1 Mặt khác từ phương trình 1 ta có y x2 . 1 4 5 4 4 25 1 3 3 Do đường thẳng y cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là và nên 5 4 4 3 3 4 4 1 1 4 4 1 3 S x2 dx x2 dx . 2 3 5 4 5 5 3 4 10 4 4 3 4 1 Tính I x2 dx . 3 4 4 1 1 Đặt x sin t dx costdt . 2 2 3 3 Đổi cận: Khi x thì t ; Khi x thì t . 4 3 4 3 3 3 1 1 2 1 1 2 3 I . cos tdt 1 cos 2t dt . 2 2 8 8 3 2 3 3 4 1 2 3 3 3 Vậy S . 2 5 8 3 2 10 15 20 3 Thể tích của dầu trong thùng là V .3 1,52 . 5 15 20 Câu 5343: [2D3-5.13-3] [THPT Yên Lạc-VP-2017] Ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình
12. tròn đường kính AB có diện tích là 32 và B· AC 30 . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB . . 784 325 620 A. .B. . C. 279 .D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A C D (H) A O I H B Gọi VAID là thể tích vật thể khi quay miền phẳng chứa cung tròn AID quanh AB. Gọi VACB là thể tích vật thể khi quay miền phẳng chứa cung tròn ACB quanh AB. Ta có: 3 AI 1 VAID 1 1 . AB 2 VACB 2 8 7 V V V V V . tim IDCB ABC AID 8 ABC VACB Vnon ACH VC homcauCHB . 2 2 1 1 AB 1 AB Ta có: S AB . 32 32 AB 16 . 2 I , 2 2 2 2 2 µ 0 Do A 30 nên COB đều nên H là trung điểm của BI ; IH 4 ; AH 12 ; OB 8 ; CH 4 3 . 8 2 1 2 320 V AH. CH 192 ; V 64 x2 dx . non ACB C hom cau CHB 3 4 3 7 320 784 Vtim 192 . 8 3 3 Câu 5348: [2D3-5.13-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2-2017] Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m . 28 26 128 131 A. m2 .B. m2 . C. m2 .D. m2 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
13. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các đường 1 y x2 , y 8 . 2 1 2 x 4 Phương trình hoành độ giao điểm: x 8 . 2 x 4 Diện tích vòm cửa là. 4 1 2 1 3 4 128 S 8 x dx 8x x . 4 2 6 4 3 Câu 5350: [2D3-5.13-3] [Minh Họa Lần 2-2017] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.). . A. 7.826.000 đồng.B. 7.653.000 đồng. C. 7.862.000 đồng.D. 7.128.000 đồng. Lời giải Chọn B x2 y2 Giả sử elip có phương trình 1. a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 . 5 2 2 2 y 64 y E x y 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 . 64 25 5 y 64 y2 E 8 2 Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E1 ; E2 ; x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx . 4 8 2 0
14. 3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sin t , ta được S 80 . 6 4 3 Khi đó số tiền là T 80 .100000 7652891,82 ; 7.653.000 .Câu 5355: [2D3-5.13-3] [Cụm 4 6 4 HCM - 2017] Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5dm bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối nhau. Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó bằng 6dm (quy tròn 2 chữ số thập phân). A. 135,02dm3 .B. 104,67dm3 .C. 428,74dm3 .D. 414,69dm3 . Lời giải Chọn D . Hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số x 25 y2 , trục tung và hai đường thẳng y 3 , y 3 . Khi quay hình phẳng H quanh trục tung ta được hình dạng cái chum. 3 2 3 Vậy thể tích cái chum là: V 25 y2 dy 25 y2 dy 132 . 3 3 Câu 5356: [2D3-5.13-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a , AD 3a và BC x 0 x 3a với . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang V 7 ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để 1 . V2 5 5a 3a 3a A. x .B. x a . C. x .D. x . 7 4 2 Lời giải Chọn B . 2 1 2 2 V1 a 2a x , V2 a a x . Theo đề ta có 3 3 V 7 1 2 1 5 2a x 7 a x x a . V2 5 3 3
15. Câu 5358: [2D3-5.13-3] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa - 2017] Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng8m (như hình vẽ)∙. . 131 28 26 128 A. m2 .B. (m2 ) . C. (m2 ) . D. m2 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của cạnh đáy, trục Oy trùng với chiều cao của vòm cửa. Gọi Parabol có dạng: y ax2 bx c . Vì Parabolcó đỉnh I 0;8 và qua điểm 4;0 ; 4;0 nên ta có: c 8 c 8 1 2 16a 4b 8 0 b 0 . Vậy Parabol có phương trình là y x 8 . 2 16a 4b 8 0 1 a 2 1 y x2 8 2 Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y 0 . x 4 x 4 4 4 1 2 1 2 128 2 Từ đó ta có S x 8 dx x 8 dx (m ) . 4 2 4 2 3 Câu 5360: [2D3-5.13-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên - 2017] Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D t đô la mỗi năm, với D t 90 t 6 t 2 12t trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ khi công ty bắt đầu vay nợ. Sau 4 năm công ty đã phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này. 3 3 A. D t 30 t 2 12t 1610640 .B. D t 30 t 2 12t C . 2 3 C. D t 30 3 t 2 12t 1610640 D. D t 30 t 2 12t 1595280 . . Lời giải Chọn A 1 Ta có D t 90 t 6 t 2 12tdt 45 2t 12 t 2 12t 2 dt . 1 45 3 3 45 t 2 12t 2 d t 2 12t t 2 12t C 30 t 2 12t C . 3 2 Vì sau bốn năm số nợ là 1626000 đô la nên ta có: 3 D 4 30 42 12.4 C 1626000 15360 C 1626000 C 1610640 .
16. 3 Vậy D t 30 t 2 12t 1610640 . Câu 5368: [2D3-5.13-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 - 2017] Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng / m2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị). 6m O . A. 4821232 đồng.B. 8412322 đồng.C. 8142232 đồng.D. 4821322 đồng. Lời giải Chọn D Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là. x2 y2 36 . Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y 36 x2 f (x) Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị. 3 y f (x) và hai đường thẳng x 3; x 3 S 2 36 x2 dx . 3 Đặt x 6sin t dx 6costdt . Đổi cận : x 3 t ; x 3 t . 6 6 6 6 6 S 2 36cos2tdt 36 (cos2t+1)dt 18(sin 2 t 2 t) 18 3 12 . 6 6 6 Do đó số tiền cần dùng là 70000.S 4821322 đồng. Câu 30: [2D3-5.13-3] (Chuyên Vinh - Lần 1 - 2018 - BTN) Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
17. 800 400 A. 800cm2 . B. cm2 . C. cm2 . D. 250cm2 . 3 3 Lời giải Chọn C Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10cm 1dm ), các cánh hoa tạo bởi các x2 x2 y2 y2 đường parabol có phương trình y , y , x , x . 2 2 2 2 Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn x2 bởi hai đồ thị hàm số y , y 2x và hai đường thẳng x 0; x 2 . 2 Do đó diện tích một cánh hoa bằng 2 2 2 3 x 2 2 3 x 4 2 400 2 4 2 400 2 2x dx 2x dm cm dm cm . 0 2 3 6 3 3 3 3 0 Câu 31: [2D3-5.13-3] (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng là một parabol. Giá 1m2 cửa sắt là 660.000 đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là: 55 A. 6500 B. .103 C. 5600 D. 6050 6 Lời giải Chọn D
18. Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành 2 phần như sau: Khi đó S S1 S2 S1 5.1,5 S1 7,5 Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng của tích phân. Gắn hệ trục Oxy trong đó O trùng với trung điểm AB , OB  Ox,OC  Oy , Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol. Giả sử P : y ax2 bx c 5 25 5 A ;0 P a b c 0 2 2 4 2 a 25 5 25 5 2 2 1 Khi đó: B ;0 P a b c 0 b 0 P : y x 2 4 2 25 2 1 1 c 1 c C 0, P 2 2 2 2,5 2 1 10 55 Diện tích S 2 x2 dx m2 S m2 . 2 0 25 2 6 6 55 Vậy giá tiền cửa sắt là: x 660.000 6.050.000 (đồng). 6